RISPOSTA SISMICA LOCALE: I MODELLI

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1 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI 3 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Negli anni sono stati elaborate e affinate numerose tecniche per l analisi della risposta sismica locale, diverse tra loro a seconda delle modalità di rappresentazione del problema e degli elementi di complessità introdotti al fine di rendere lo schema ideale rappresentato col modello, il più vicino possibile alla situazione reale, tenendo conto solo di alcuni o di tutti quei fattori che contribuiscono a determinare la risposta sismica locale di un deposito (geometria del deposito, e quindi effetti laterali e di bordo ed amplificazione topografica; comportamento dei terreni in condizioni dinamiche, e quindi effetti di non linearità, stratificazione e più in generale di eterogeneità del deposito). Ovviamente non esiste un modello universalmente valido e applicabile in tutte le situazioni, bensì una ricetta, ogni volta diversa, da adattare al caso in esame e che dosi sapientemente tutti gli elementi di complessità che caratterizzano la situazione reale in un modello che non sia eccessivamente complesso, ai fini della sua applicazione e del reperimento dei dati necessari, ma neanche troppo semplicistico. Tali modelli si raggruppano in varie categorie e principalmente in funzione della dimensionalità con cui rappresentano la situazione reale (modelli monodimensionali, bidimensionali e tridimensionali), e quindi in funzione del tipo di soluzione che propongono, analitica, cioè in forma chiusa, o numerica (modelli analitici e numerici), in funzione dello schema matematico adottato nella rappresentazione del terreno (metodi della trave a taglio continua e discretizzata) e del modello di comportamento adottato per il terreno (modelli lineari, lineari equivalenti, non lineari, elasto-plastici). Questi modelli, applicabili tutti in campo libero (free-field) cioè in assenza di strutture, possono poi essere 45

2 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI ulteriormente integrati e complicati da modelli di interazione strutturaterreno. 3.1 FORMULAZIONE ANALITICA DEL PROBLEMA Il problema (Figura 3.1) che tali modelli intendono risolvere, e quindi la soluzione che propongono, consiste nel determinare tutte quelle modifiche, in termini di ampiezza, durata e contenuto in frequenza che un segnale sismico u B (t) (espresso nel dominio del tempo sottoforma di accelerazioni, velocità o spostamenti, o nel dominio della frequenza, ω, come spettro di Fourier o spettro di risposta, F) in arrivo alla base, B, di un deposito subisce nel suo attraversamento, fino a raggiungere la superficie,, trasformandosi in un segnale u (t). u (t) u (t) R t t F (t) F (t) R ω R Outcropping ω DEPOITO ROCCIA u (t) B F (t) B B t Base ω Figura 3.1 chema di riferimento adottato per l analisi della risposta sismica locale Di fatto come input sismico nei modelli per l analisi della risposta sismica locale non viene mai utilizzato il moto sismico alla base del deposito, ma quello, u R (t), sulla medesima roccia o terreno affioranti (R), diverso da quello relativo alla base del deposito per le differenti condizioni 46

3 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.1 Formulazione analitica del problema al contorno (superficie libera in un caso e deposito nell altro). Una volta individuato il deposito su cui effettuare l analisi, occorre delimitare arealmente le dimensioni del sito in esame, che possono variare da quelle di un manufatto a quelle di un centro abitato. A seconda delle dimensioni dell area in esame, delle semplificazioni introdotte nella rappresentazione della geometria del problema, delle modalità di propagazione delle onde sismiche e del comportamento del terreno, si possono avere più modelli con differenti livelli di complessità (nelle procedure, nei tempi di calcolo, ma anche nel numero e nella qualità dei dati), dei quali occorre sempre valutare l adeguatezza relativamente alla complessità della situazione reale da analizzare, agli obiettivi della ricerca e alle disponibilità economiche. 3.2 CONDIZIONI DI DEPOITO IDEALE: MODELLI MONODIMENIONALI I modelli più semplici e comunemente utilizzati (anche per analisi preliminari o di taratura di modelli più complessi come quelli bidimensionali) sono i modelli monodimensionali (1-D), che si basano su una serie di ipotesi e di semplificazioni introdotte nella caratterizzazione geometrica e meccanica del deposito e nelle leggi di propagazione delle onde sismiche e di comportamento dei terreni; in particolare si assume che 1. il bedrock sia orizzontale e indefinitamente esteso; 2. il deposito sia omogeneo o al più stratificato orizzontalmente; 3. la sollecitazione sismica sia costituita da sole onde di taglio polarizzate sul piano orizzontale (H) incidenti il bedrock con direzione di propagazione verticale. Quindi a seconda del modello di comportamento adottato per il terreno si possono avere : modelli lineari modelli lineari equivalenti (HAKE, WAVE, ecc.) modelli non lineari (DERAMOD, CHAROIL, MAH, ecc.) modelli elasto-plastici (CYBERQUAKE, ecc.) Le ipotesi geometriche, relative ovviamente a condizioni ideali, possono trovare un certo riscontro nella realtà nel caso di depositi stratificati più o meno orizzontalmente con superficie libera e bedrock orizzontali (o con pendenza in ogni caso modesta) e con dimensioni areali largamente superiori allo spessore e in cui il volume di terreno investigato sia comunque lontano dai bordi. Le ipotesi riguardanti la sollecitazione sismica e le sue modalità di propagazione all interno del deposito sono così giustificate: 47

4 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale per quanto riguarda la direzione di propagazione assunta verticale, dal fatto che le onde sismiche subiscono, nell attraversare il terreno e le relative discontinuità stratigrafiche, numerosi fenomeni di riflessione e rifrazione secondo angoli legati alla velocità di propagazione all interno di ciascuno degli strati attraversati dalla legge di nell; essendo le velocità degli strati più superficiali mediamente più basse, le onde sismiche tendono ad assumere una direzione di propagazione verticale in prossimità della superficie; per quanto riguarda la predominanza di onde H, dal fatto che, dal punto di vista ingegneristico, le sollecitazioni sismiche più significative ai fini della sicurezza sono quelle di taglio orizzontali. Limitandosi per il momento ai modelli lineari, con riferimento alla dinamica dei sistemi discreti e più precisamente alla risposta dei sistemi ad un solo grado di libertà, per valutare la risposta in superficie al deposito (in termini di storia temporale delle accelerazioni, velocità, spostamenti, deformazioni o tensioni di taglio, ecc.) ad un assegnato input sismico applicato alla base (ad esempio l accelerogramma) si utilizza la funzione di trasferimento (o più impropriamente di amplificazione). Questa è una funzione complessa F(ω) definita nel dominio della frequenza, caratteristica della geometria e delle proprietà meccaniche del deposito che moltiplicata per la trasformata di Fourier F B (ω) dell input sismico u B (t), fornisce la trasformata di Fourier F (ω) del moto sismico in superficie u (t), sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti, valido ovviamente solo in un dominio di comportamento lineare. Per cui nota, dalla geometria e dalle caratteristiche meccaniche del deposito, la funzione di trasferimento F(ω), assegnato nel dominio del tempo la sollecitazione alla base del deposito, e quindi la sua trasformata di Fourier, F B (ω) (calcolata con la tecnica della Fast Fourier Transform), si ottiene il moto sismico in superficie nel dominio delle frequenze, F (ω), e facendone l antitrasformata (con la procedura inversa: Inverse Fast Fourier Transform) l analogo nel dominio del tempo: F ω = F ω F ω (Eq. 3.1) ( ) ( ) B( ) da cui: F ( ω) ( ω) ( ω) F = = F B F F B j ϕ ( ω) ( ω) e F ( ) ( ω) j ϕb ω ( ω) e = e j [ ϕ( ω) ϕb( ω) ] (Eq. 3.2) Dalla (Eq. 3.2) si deduce che la funzione di trasferimento, può essere definita, come rapporto tra la trasformata di Fourier del moto sismico in 48

5 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale superficie al deposito e la trasformata del moto su roccia alla base, per cui l ampiezza, o modulo, della funzione di trasferimento è pari al rapporto tra le ampiezze degli spettri di Fourier rispettivamente in superficie e alla base ( e si chiama funzione di amplificazione) e la fase pari alla differenza tra le fasi. La funzione di trasferimento indica, ad esempio, quali sono le componenti del moto sismico che nell attraversare il deposito vengono maggiormente modificate, e in particolare amplificate (per valori dell ampiezza maggiori di uno) e attenuate (per valori minori di uno). Il deposito agisce quindi sul moto sismico di input come un filtro che concentra la sua azione amplificante o smorzante su determinati campi di frequenze, con un valore massimo corrispondente alla frequenza caratteristica del deposito. È ovvio che la conoscenza della sola funzione di trasferimento, che è caratteristica del deposito e indipendente dall input sismico prescelto, fornisce informazioni in maniera del tutto relativa sui campi di frequenza nei quali si concentrerà l esaltazione e l attenuazione del moto, che, se non raccordate ad un moto sismico di input, non permettono di definire ad esempio le ampiezze massime del moto in superficie e le frequenze corrispondenti (infatti non è detto che in corrispondenza dei picchi massimi della funzione di trasferimento si abbia un picco massimo dell input e quindi dell output). La chiave per le analisi monodimensionali in campo lineare è quindi la funzione di trasferimento, che diventa una proprietà intrinseca e caratteristica di un deposito, legata alle sue caratteristiche geometriche e meccaniche, in grado di fornire informazioni, però solo qualitative, sui campi di frequenze in cui è lecito attendersi significativi fenomeni di amplificazione del moto sismico e gli intervalli in cui è possibile che addirittura si verifichino fenomeni di attenuazione. Di seguito, applicando la teoria della dinamica dei sistemi discreti alla propagazione monodimensionale delle vibrazioni in un mezzo infinitamente esteso (nella direzione di propagazione delle onde, ad esempio una trave di lunghezza infinita) e soggetto ad un eccitazione armonica, verranno derivate le funzioni di trasferimento relativamente alla medesima configurazione geometrica monodimensionale riportata in Figura 3.2; essa prevede la presenza di uno strato di terreno () omogeneo e orizzontale, di spessore H, poggiante su un substrato orizzontale ed infinitamente esteso (B), al quale viene applicata una sollecitazione armonica stazionaria orizzontale, di frequenza f (e frequenza circolare ω= 2πf) che produce (prevalentemente) onde di taglio che si propagano all interno dello strato di terreno sovrastante 49

6 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale con una direzione di propagazione verticale e inducono, al variare della profondità z, spostamenti, u(z,t), del terreno in direzione orizzontale. u(z,t) z H H B a (t) B t Figura 3.2 chema geometrico monodimensionale Verranno invece considerate differenti situazioni geotecniche, partendo da quelle più semplici, ma anche meno realistiche e comunque utili per stimare, senza appesantire il calcolo, l influenza dei fattori geometrici e meccanici sulle caratteristiche del moto sismico, fino a quelle più complesse. Tali condizioni geotecniche sono rappresentate dai valori della densità, della velocità delle onde (o equivalentemente del modulo di taglio ottenibile dalla (Eq. 2.6)) caratteristici del terreno e del substrato, rispettivamente ρ s,v s e ρ r, V r, e dal rapporto di smorzamento del terreno, D. Un parametro che riassume sinteticamente per ciascuno strato tali proprietà è l impedenza sismica, definita come il prodotto tra la densità dello strato ρ e la velocità delle onde, V, da cui si ricava il rapporto d impedenza sismica tra il substrato e il terreno sovrastante: ρr Vr I = (Eq. 3.3) ρ V s s 50

7 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale trato di terreno omogeneo elastico su substrato infinitamente rigido i suppone (Figura 3.3) che il terreno abbia un comportamento elastico lineare (per cui lo smorzamento D è nullo e non si verificano fenomeni di smorzamento interni) e che il substrato sia infinitamente rigido, cioè la velocità di propagazione delle onde, V b, è infinita (e così l impedenza I). Ciò significa che le onde, raggiunta la superficie libera, si propagano in direzione verticale, verso il basso, e vengono completamente riflesse dalla superficie di separazione tra substrato e terreno senza attraversarla (legge di nell), in modo che l energia elastica trasportata rimanga confinata nello strato di terreno e non si abbiano fenomeni di smorzamento per scattering, ovvero il substrato non sia minimamente influenzato dalla presenza del deposito (condizione equivalente a quella di substrato affiorante). u(z,t) z A e i( ω t+ k z ) H B e i( ω t-k z ) ρ, V B Figura trato di terreno omogeneo elastico su substrato infinitamente rigido Applicando tali ipotesi si ottiene l equazione differenziale caratteristica del moto di propagazione delle onde all interno dello strato di terreno: ρ 2 2 u u = G (Eq. 3.4) 2 2 t z la cui soluzione, che fornisce l andamento, in funzione del tempo t, e al variare della profondità z, dello spostamento orizzontale del terreno, u(z,t), è del tipo: i( ωt+ ksz) i( ωt ksz) uzt (, ) = A e + B e (Eq. 3.5) dove A e B rappresentano l ampiezza rispettivamente dell onda diretta che si propaga verso l alto e dell onda riflessa che si propaga verso il basso, e k s il numero d onda riferito al terreno, definito come: 51

8 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale k s = ω V s (Eq. 3.6) Applicando le condizioni al contorno secondo cui in superficie (z=0) sono nulle le deformazioni di taglio e le tensioni di taglio, si ottiene che A=B e che: (, ) 2 cos( s ) iω t uzt = A kz e (Eq. 3.7) Tale moto è rappresentato ancora da una funzione armonica caratterizzata dalla stessa frequenza dell eccitazione e da un ampiezza funzione della profondità, dell ampiezza dell onda A e del numero d onda k s Essendo in un caso semplificato in cui il moto di input, e quindi anche quello di output, sono rappresentati da funzioni armoniche, la funzione di trasferimento F 1 (ω) tra superficie e base del deposito, è data semplicemente dal rapporto tra il moto del terreno in superficie e alla base dello strato, cioè in termini di spostamento: F 1 ( ω) (, t) ) (, )) cos( s ) u = = = uht k H ω H cos V s (Eq. 3.8) e dipende dalla frequenza d eccitazione (ω), dalle caratteristiche geometriche dello strato (H) e dalle sue proprietà meccaniche (V ). In termini di accelerazione, trattandosi di moti armonici per i quali vale la relazione u&& = ω 2 u(), t si avrebbe avuto la stessa funzione. Il modulo della funzione di trasferimento, cioè il rapporto tra l ampiezza dello spostamento in superficie e alla base del deposito su roccia (o equivalentemente in questo caso su roccia affiorante), definito anche funzione di amplificazione, è dato da: F 1 ( ω) == 1 ω H cos V s (Eq. 3.9) Essendo il denominatore comunque sempre minore di 1, risulta che tale funzione, al variare della frequenza di eccitazione, è sempre maggiore di 1 (per cui lo spostamento in superficie è sempre maggiore di quello alla base del deposito) e diventa sempre più grande (fino a diventare teoricamente infinito) quanto più ω H/V s detto anche fattore di frequenza, tende a valori pari a π/2 + nπ (Figura 3.4), cioè quanto più la frequenza di eccitazione ω si avvicina a valori pari a: V π ω s = + nπ con n = 0,1,2,3,. (Eq. 3.10) n H 2 52

9 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale F ( ω) 1 (π V ) 2H 3 (π V ) 2H 5 (π V ) 2H 7 (π V ) 2H 9 (π V ) 2H ω Figura 3.4 Funzione di amplificazione nel caso di strato di terreno omogeneo elastico su substrato infinitamente rigido Tali frequenze (o i relativi periodi T n =1/ω n ) corrispondenti ai massimi valori della funzione di amplificazione sono definite frequenze (o periodi) naturali di vibrazione dello strato e sono direttamente proporzionali alla velocità del materiale e inversamente proporzionali al suo spessore. Nel caso più generale di input irregolare e periodico, comunque scomponibile in una serie di infinite armoniche di differente frequenza e ampiezza, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti anche l output sarà esprimibile come sommatoria di infinite armoniche, e il loro rapporto, al variare della frequenza, definito come funzione di trasferimento, è ancora dato dalla (Eq. 3.8), dalla quale si può intuire, anche in un modello così semplificato come quello proposto, che la risposta di un deposito è fortemente influenzato dalla frequenza di eccitazione (in caso di sollecitazione armonica) o dal suo contenuto in frequenza (nel caso di input irregolare) e che le frequenze ω in corrispondenza delle quali si verificano le maggiori amplificazioni sono le frequenze naturali di vibrazione dello strato, ω n dipendenti dalle sue proprietà geometriche e meccaniche. Tale fenomeno viene definito risonanza. 53

10 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale trato di terreno omogeneo viscoelastico su substrato infinitamente rigido Il modello ideale appena descritto presuppone che a causa del comportamento elastico del materiale e della presenza del substrato rigido, le onde sismiche si propaghino nel terreno indefinitamente senza modificare la loro energia e quindi la loro ampiezza, invece in una situazione reale si verifichino attenuazioni connessi a fenomeni di smorzamento interni, legati alla non linearità del comportamento del terreno, e fenomeni di smorzamento per scattering, legati ai fenomeni di riflessione e rifrazione che si verificano in corrispondenza dell interfaccia tra substrato e terreno per effetto della non rigidità del bedrock. Introducendo l ipotesi di non linearità del comportamento del terreno (Figura 3.5) e conservando l ipotesi di rigidità del bedrock, per modellare l attenuazione dell ampiezza delle onde sismiche e quindi la riduzione dell energia elastica da esse trasportata (convertita in calore) dovuto allo smorzamento interno del materiale, si adotta il modello viscoelastico lineare di Kelvin-Voigt: τ = G γ + η γ (Eq. 3.11) t in cui la resistenza a taglio τ è esprimibile come somma di una componente elastica e di una componente viscosa. u(z,t) z A e i( ω t+ k z ) H B e ρ i( ω t-k z ), V, D B Figura trato di terreno omogeneo viscoelastico su substrato infinitamente rigido La componente elastica è proporzionale alla deformazione angolare di taglio corrispondente γ secondo una costante, rappresentata dal modulo di taglio G e fisicamente rappresentata nel modello da una molla; la componente viscosa è rappresentata da uno smorzatore, proporzionale alla velocità di 54

11 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale deformazione, secondo un coefficiente η, che rappresenta la viscosità del materiale, legato al rapporto di smorzamento dalla relazione: D = ηω 2G L equazione del moto ottenuta in questo caso risulta: ρ 2 2 η 3 u u u = G t z z t e la soluzione è del tipo: i( ωt+ k* z) i( ωt k* z) (, ) = + (Eq. 3.12) (Eq. 3.13) uzt A e B e (Eq. 3.14) dove A e B, sono al solito le ampiezze delle onde che si propagano rispettivamente verso l alto e verso il basso, legate alle condizioni al contorno, k s * (= k 1 +ik 2 ) è il numero d onda complesso del terreno, legato, per piccoli valori del rapporto do smorzamento D, a quello precedentemente definito, dalla relazione: ( ) ks* = ks 1 id (Eq. 3.15) Applicando le condizioni al contorno, già ipotizzate nel caso precedente, si ottiene (A=B): k2z i( ωt k1z) uz (,)= t A e e (Eq. 3.16) che mostra come l ampiezza del moto si riduce (essendo k 2 negativo) esponenzialmente con la profondità z, a causa della dissipazione interna del materiale. La funzione di trasferimento, in questo caso, risulta, per piccoli valori del rapporto di smorzamento D: 1 1 F2 ( ω) = = cos[ ks( 1 i D) H] ω H (Eq. 3.17) cos ( 1 i D) Vs e la funzione di amplificazione: 1 1 F2 ( ω) = = (Eq. cos ( ks H) + ( D ks H) 2 ω H ω H cos + D 3.18) V V da cui si può vedere (Figura 3.6) come il rapporto tra lo spostamento in superficie e alla base del deposito, su roccia (affiorante data l ipotesi di substrato infinitamente rigido), è funzione della frequenza di eccitazione ω, delle caratteristiche geometriche e meccaniche del terreno, e non raggiunge mai (per valori di D > 0) valori infiniti come nel caso precedente (essendo il denominatore sempre maggiore di 0), bensì massimi relativi per valori del fattore di frequenza kh π/2 + nπ. s s 55

12 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale F ( ω) 2 50 D = 1.25 % D = 2.5 % D = 5 % D = 10 % 1 (π V ) 2H 3 (π V ) 2H 5 (π V ) 2H 7 (π V ) 2H 9 (π V ) 2H ω Figura Funzione di amplificazione nel caso di strato di terreno omogeneo viscoelastico su substrato infinitamente rigido Le frequenze corrispondenti ai massimi relativi della funzione di amplificazione rappresentano le frequenze naturali del deposito e risultano, all incirca: V π ω s + nπ con n = 0,1,2,3,. (Eq. 3.19) n H 2 e i valori di picco, a parità di D, decrescono all aumentare della frequenza naturale considerata, per cui il picco massimo corrisponde alla frequenza naturale più bassa (n = 0), detta anche frequenza fondamentale del deposito: π Vs ω 0 = (Eq. 3.20) 2H mentre il periodo corrispondente alla frequenza fondamentale è detto periodo caratteristico del sito: 2π 4H T = = (Eq. 3.21) ω 0 Vs ed entrambi forniscono informazioni importanti sulla frequenza, o il periodo, in corrispondenza del quale è attesa la massima amplificazione dello strato di terreno, che risulta: 2 F2 ( ω) = (Eq. 3.22) max πd La massima amplificazione dipende solo dal rapporto di smorzamento, all aumentare del quale diminuisce, mentre la frequenza (o il 56

13 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale periodo) fondamentale dello strato dipendono solo dalle sue caratteristiche geometriche (spessore) e dalle proprietà meccaniche (velocità delle onde ). Confrontando la Figura 3.4 con la Figura 3.6, in cui è riportata la funzione di amplificazione in funzione del fattore di frequenza in assenza di smorzamento (D = 0) e per valori positivi, comunque piccoli (D > 0), è evidente come lo smorzamento, e quindi la non linearità del comportamento del terreno, schematizzata col modello di Kelvin-Voigt, determini un abbattimento della funzione di amplificazione e soprattutto in corrispondenza delle alte frequenze, fino a raggiungere, per elevati valori del rapporto di smorzamento, valori inferiori a uno, determinando quindi fenomeni di attenuazione del moto sismico anziché di amplificazione. È possibile ricorrere anche a modelli più complessi, e più realistici, per rappresentare la non linearità del comportamento del terreno, che nella schematizzazione discreta prevedano l uso di più molle e smorzatori, che, d altra parte complicano notevolmente l espressione dell equazione d onda e della sua soluzione trato di terreno omogeneo elastico su substrato deformabile e si suppone che il substrato non sia più infinitamente rigido (quindi con una velocità delle onde e un rapporto d impedenza con lo strato sovrastante finiti), le onde sismiche che si propagano all interno dello strato di terreno verso il basso, raggiungendo la superficie di separazione tra roccia e terreno, vengono solo in parte riflesse, in quanto parte della loro energia viene rifratta e quindi attraversa tale superficie continuando a viaggiare nello strato roccioso fino ad incontrare l interfaccia con un altro materiale o delle superfici di discontinuità, in corrispondenza delle quali vengono ulteriormente frazionate in onde riflesse e rifratte. Quindi se lo strato roccioso è sufficientemente spesso, le onde che lo attraversano e che solo in parte ritornano verso il deposito, vi arrivano comunque dopo un intervallo di tempo troppo lungo o con un ampiezza troppo piccola da potere influenzare la risposta sismica in superficie. Quindi, in definitiva, parte dell energia elastica associata alle onde che attraversano lo strato di terreno viene irrimediabilmente perduta (smorzamento per scattering o per radiazione), determinando una minore amplificazione del moto sismico in superficie, rispetto al caso di substrato rigido. In questo caso si crea un interferenza reciproca tra substrato e strato di terreno sovrastante, per cui mentre nei casi precedentemente considerati la risposta sismica locale era influenzata dalle sole caratteristiche del deposito, ora intervengono anche le caratteristiche (meccaniche) del substrato che influenza il comportamento del terreno ed è a sua volta influenzato dalla presenza del 57

14 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale terreno sovrastante, per cui il moto sismico in corrispondenza del substrato sarà differente a seconda che venga valutato sotto il deposito o in condizioni di roccia affiorante. upponendo, per il momento, che il terreno abbia un comportamento lineare (Figura 3.7) e che il substrato sia di spessore infinito (semispazio) è possibile dimostrare (Roesset,1970) che la funzione di trasferimento (e quindi di amplificazione), intesa come rapporto tra il moto sismico valutato alla superficie del deposito e in corrispondenza del substrato alla base del deposito, F 3 (ω), è la stessa precedentemente trovata nel caso di substrato infinitamente rigido (Eq. 3.8), e non dipende dalle caratteristiche di deformabilità del substrato; se invece tale funzione viene calcolata come rapporto tra il moto sismico valutato in superficie e il moto sismico valutato nel substrato roccioso in corrispondenza di un suo affioramento, F 3r (ω), allora l espressione si arricchisce di un termine che tiene conto delle caratteristiche meccaniche del substrato tramite il rapporto d impedenza I tra substrato e terreno: 1 F3 r ( ω) = ω H 1 i V I sin ω H (Eq. 3.23) cos + V s s u(z,t) z A e i( ω t+ k z ) H B e i( ω t-k z ) ρ, V s ρ r, V r Figura trato di terreno omogeneo elastico su substrato deformabile La funzione di amplificazione (Figura 3.8) risulta: 1 F3 r ( ω) = 2 2 ω H 1 2 ω H cos + sin 2 V I V s s (Eq. 3.24) 58

15 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale e dipende dalla frequenza di eccitazione ω, dalle caratteristiche meccaniche e geometriche dello strato di terreno e dalle caratteristiche meccaniche del substrato (nell ipotesi di spessore infinito): Confrontando l andamento di tale funzione con l analoga ricavata nel caso di substrato rigido e comportamento elastico (Figura 3.6), essa assume valore sempre maggiore di uno (essendo il denominatore sempre minore di uno), senza mai raggiungere valori infiniti (se non nel caso di impedenza infinita, cioè di substrato infinitamente rigido), inoltre presenta dei massimi relativi, in corrispondenza degli stessi valori di frequenza, (Eq. 3.10), di uguale valore (a differenza del caso di comportamento lineare) pari a I; infine, a parità di frequenza, all aumentare del rapporto d impedenza e quindi del contrasto di rigidezza esistente tra terreno e substrato, aumenta anche l amplificazione. In definitiva la deformabilità del substrato influisce sull amplificazione in maniera analoga alla non linearità del comportamento del terreno, attenuando l amplificazione (e impedendo di raggiungere valori infiniti), però in misura uguale al variare della frequenza (e non solo in corrispondenza di determinati valori di frequenza), e in maniera tanto più marcata quanto minore è il contrasto d impedenza tra substrato e terreno. F ( ) 3 r ω 10 I = 10 I = inf. 8 6 I = I = 2.5 I = 1.25 (π V ) 2H 3 (π V ) 2H 5 (π V ) 2H 7 (π V ) 2H 9 (π V ) 2H ω Figura Funzione di amplificazione nel caso di strato di terreno omogeneo elastico su substrato deformabile trato di terreno omogeneo viscoelastico su substrato deformabile Introducendo, rispetto al caso precedente, anche l ipotesi di non linearità del comportamento del terreno, al quale viene applicato ancora una volta il 59

16 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale modello di Kelvin-Voigt, si ottiene la seguente espressione della funzione di trasferimento, espressa, come nel caso precedente, come rapporto tra il moto sismico valutato alla sommità del deposito e il moto sismico valutato sul substrato in corrispondenza di un affioramento: 1 F4r ( ω) = ω H 1 ω H (Eq. 3.25) cos + i sin Vs * I * Vs * dove I* è il rapporto d impedenza complesso, definito come: I* = ρr V ρ V s r s * * (Eq. 3.26) e V s * e V r * le velocità, complesse, delle onde corrispondenti rispettivamente al terreno e al substrato roccioso. L espressione della funzione di amplificazione è difficilmente rappresentabile in una forma compatta, in ogni caso per smorzamento nullo (D = 0) si riottiene l espressione (Eq. 3.24) relativa al caso di substrato deformabile e terreno lineare, mentre per valori positivi del rapporto di smorzamento D si sommano gli effetti dovuti alla non linearità del comportamento del terreno e alla deformabilità del substrato; per cui la funzione di amplificazione non raggiunge valori infiniti, ma continua ad essere caratterizzata da massimi relativi raggiunti in corrispondenza delle frequenze naturali del deposito e di ampiezza progressivamente decrescente, a parità del rapporto d impedenza, con l aumentare della frequenza naturale e in misura tanto più marcata quanto maggiore è lo smorzamento. Invece, fissato il rapporto di smorzamento D, la funzione di amplificazione tende ad aumentare all aumentare dell impedenza e in misura uguale su tutte le frequenze naturali del deposito. L amplificazione per cui non è mai infinita è può essere maggiore o minore di 1, determinando quindi fenomeni di amplificazione o attenuazione. Riportando l espressione del valore di picco massimo della funzione di amplificazione, corrispondente alla frequenza fondamentale ω 0 : 1 F4 ( ω) = max 1 πd (Eq. 3.27) + I 2 si osserva come esso dipenda da due soli fattori: il rapporto di smorzamento D del terreno e il rapporto d impedenza tra roccia e terreno I; dalla Figura 3.9 è possibile vedere come il picco massimo coincide con il rapporto d impedenza per D = 0, mentre per valori positivi di D, aumenta all aumentare di I, e, fissato I, diminuisce all aumentare di D. 60

17 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale 100 Picco massimo della funzione di amplificazione 10 D = 10 % D = 5 % D = 2.5 % D = 0 D = 1.25 % 0 10 Rapporto d impedenza I 100 Figura 3.9 Picco massimo della funzione di amplificazione corrispondente alla frequenza fondamentale al variare del rapporto d impedenza I, per differenti valori del rapporto di smorzamento D Influenza dei parametri geotecnici e geometrici del sito sui modelli monodimensionali Applicando un modello semplificato per l analisi monodimensionale di un deposito, ad esempio quello più completo illustrato nel Paragrafo precedente, può essere interessante studiare gli effetti sulla risposta sismica locale della variazione delle caratteristiche geotecniche e geometriche del deposito. Ad esempio con riferimento ad un sito costituito da un area piuttosto estesa e ubicata nella parte occidentale della città di Teheran (Hosseini, 1995), scelto un accelerogramma di riferimento sulla base degli studi di pericolosità sismica locale, è stato applicato il codice HAKE, basato su un modello lineare equivalente multistrato (cioè che consente l analisi su depositi stratificati orizzontalmente, come verrà meglio spiegato nel Paragrafo successivo). Confrontando i risultati ottenuti, in termini di spettro di risposta delle accelerazioni, al variare dei parametri geotecnici caratteristici del sito è stato osservato che: 61

18 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale diminuendo la densità dello strato più superficiale (Figura 3.10), non viene sostanzialmente modificato il contenuto in frequenza della risposta (e in particolare il periodo predominante), mentre cambia solo l ampiezza, che aumenta. Lo stesso accade, ma in misura minore, modificando la densità degli strati sottostanti. modificando il modulo di taglio massimo (o la velocità delle onde di taglio) non si apprezzano sostanziali variazioni nelle risposta (Figura 3.11), mentre si possono osservare cambiamenti nell ampiezza massima, al variare della rigidezza del substrato (Figura 3.12); un aumento del rapporto di smorzamento dall 1% al 7% può determinare una riduzione dell ampiezza massima dello spettro anche del 200%, mentre non modifica la frequenza fondamentale (Figura 3.13); modificando lo spessore dello strato più superficiale (che è quello che più di tutti influenza la risposta sismica locale) ad esempio da 2 a 10 m, l accelerazione massima si riduce da 1.38 g a 0.9 g e il periodo caratteristico aumenta circa del 50% (Figura 3.14). Figura 3.10 pettri di risposta elastici calcolati per differenti valori della densità del terreno 62

19 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale Figura 3.11 pettri di risposta elastici calcolati per differenti valori della velocità delle onde del terreno Figura 3.12 pettri di risposta elastici calcolati per differenti valori del modulo di taglio del bedrock 63

20 RIPOTA IMICA LOCALE: I MODELLI Par. 3.2 Condizioni di deposito ideale Figura 3.13 pettri di risposta elastici calcolati per differenti valori del rapporto di smorzamento del terreno Figura 3.14 pettri di risposta elastici calcolati per differenti valori dello spessore dello strato più superficiale 64

21 3.3 CONDIZIONI DI DEPOITO REALE: EFFETTI DOVUTI ALLA TRATIGRAFIA E ALLA NON LINEARITÀ, EFFETTI BIDIMENIONALI E TOPOGRAFICI Per determinare la funzione di amplificazione caratteristica di un deposito sono state considerate fino ad ora delle situazioni semplificate, per quello che riguarda la geometria del deposito e del substrato roccioso, e le loro caratteristiche geotecniche, partendo da una situazione ideale e introducendo progressivamente elementi più realistici circa la deformabilità del substrato e la non linearità del comportamento del terreno. In ogni caso anche la situazione di maggiore complessità fin qui analizzata (terreno omogeneo viscoelastico su substrato deformabile) risulta ben lontana dalle condizioni reali di un deposito, come confermato anche dai confronti ottenuti con risultati sperimentali relativi a registrazioni da reti accelerometriche sperimentali (una per tutte la rete di accelerometri in superficie e in foro installata nella Garner Valley in California presso la faglia di an Giacinto, eale et al., 1991). Infatti un deposito reale generalmente presenta: da un punto di vista delle proprietà geotecniche: 1. eterogeneità verticali, cioè variazione dei parametri di rigidezza e di smorzamento con la profondità, dovute a stratificazioni di unità litotecniche differenti e in alcuni casi all interno del medesimo strato; 2. anisotropie orizzontali connesse alla variazione di tali parametri in direzione areale per lo stesso tipo di materiale; 3. un comportamento, soprattutto per alcuni tipi di materiali, marcatamente non lineare, fortemente dissipativo già a piccole deformazioni e quindi non rappresentabile con un modello viscoelastico; da un punto di vista delle proprietà geometriche: 1. eterogeneità laterali, connesse alla stratificazione non orizzontale del deposito e del substrato roccioso (effetti di bordo di valli alluvionali, effetti dovuti alla morfologia irregolare del bedrock, ecc.) 2. morfologia superficiale irregolare (creste, crinali, ecc.) che interferisce in maniera significativa sui normali percorsi delle onde sismiche determinando fenomeni di focalizzazione (effetti topografici) Di seguito verranno analizzati separatamente ciascuno di tali fattori con riferimento agli ultimi sviluppi della ricerca sull influenza che essi 65

22 esercitano sulle caratteristiche del moto sismico superficiale, e sui modelli numerici che includano tali effetti Effetti dovuti alle eterogeneità verticali Raramente si presenta il caso di deposito omogeneo, caratterizzato cioè dallo stesso tipo di materiale appartenente alla stessa formazione geologica e alla stesa unità litotecnica, quindi caratterizzato da valori uniformi al variare della profondità di parametri fisico-meccanici quali la densità, il peso specifico, le proprietà indice in generale, la resistenza al taglio, ecc.. Anche in questo caso, comunque, soprattutto per spessori elevati, i parametri connessi alla resistenza del terreno, sia in campo statico che dinamico, non si possono ritenere costanti con la profondità a causa della loro dipendenza da fattori, quali la tensione litostatica, il grado di sovraconsolidazione e di cementazione, ecc. Quindi, ad esempio, il rapporto di smorzamento D, ma ancor più il modulo di taglio G o la velocità delle onde, V, variano comunque in maniera continua con la profondità anche all interno di uno strato di terreno omogeneo; a questo si aggiunga il fatto che poi generalmente un deposito reale è caratterizzato da più strati di materiale di differente natura e origine geologica, con differenti caratteristiche fisiche e meccaniche. Il problema è quindi come questa eterogeneità influisce sulla risposta sismica locale e come i modelli semplificati precedentemente descritti devono essere modificati per tenerne conto. È chiaro che, per la natura del problema, più che la variabilità dei parametri fisici (quali ad esempio la densità o il peso specifico) è la variabilità dei parametri che caratterizzano il comportamento del terreno in campo dinamico (modulo di taglio e rapporto di smorzamento) ad influenzare maggiormente la risposta sismica locale di un deposito e tra questi il parametro che è risultato più significativo e su cui comunque è stato fatto il maggior numero di studi e di ricerche, è il modulo di taglio G (o la velocità delle onde, V ) oluzione analitica In un primo tempo è stata ipotizzata una variabilità continua di tale parametro con la profondità secondo relazioni funzionali lineari o iperboliche (Gazetas, 1982; Vinale et al., 1983) che consentono di ottenere una soluzione analitica del problema esprimibile in forma chiusa. Ad esempio è stato fatto riferimento ad un deposito di spessore H, poggiante su un substrato roccioso orizzontale infinitamente rigido, e 66

23 caratterizzato da una densità costante e da velocità delle onde variabile con la profondità, secondo una legge del tipo: V = V ( + z) m 0 1 α (Eq. 3.28) dove V 0 rappresenta la velocità in superficie, m la legge di variazione (ed assume valore uno per una legge lineare o minore di uno per leggi iperboliche) e α una variabile positiva che rappresenta il grado di variazione esistente tra la superficie e la base del deposito (infatti nel caso lineare, m = 1, α = V H /V 0 1). Tale problema è stato risolto in forma chiusa e la soluzione è stata confrontata con l analoga calcolata nel caso di deposito omogeneo. In Figura 3.15 vengono riportati, i modi di vibrare del terreno, relativamente alle prime quattro frequenze naturali del deposito, nel caso di deposito omogeneo (V H /V 0 =1) e nel caso di deposito eterogeneo con legge di variazione lineare (m = 1), per valori crescenti della eterogeneità (V H /V 0 =10, 20, 50). Figura 3.15 Modi di vibrare del terreno relativamente alle prime quattro frequenze naturali del deposito, nel caso di deposito omogeneo (V H /V 0 =1) e nel caso di deposito eterogeneo (V H /V 0 =10, 20, 50) con legge di variazione lineare (m = 1) della velocità delle onde. (Vinale et al., 1983) 67

24 i può osservare come l influenza dell eterogeneità del deposito si traduca in una sostanziale modifica dei modi di oscillazione del deposito, tanto più evidente quanto maggiore è la frequenza naturale considerata, che comporta, con l aumentare del grado di eterogeneità, una riduzione delle ampiezze degli spostamenti a parità di profondità, e una concentrazione dei valori massimi degli spostamenti in corrispondenza degli strati superficiali del deposito. In Figura 3.16 è riportata la funzione di amplificazione corrispondente per α = 0.5, e per valori dello smorzamento pari a 5% (linea continua) e del 10 % (linea tratteggiata), confrontate con le funzioni di amplificazione, di cui sono riportati solo i primi picchi, ottenute nel caso di deposito omogeneo (α = 0) e nel caso di deposito eterogeneo con grado di eterogeneità maggiore (α =2; 10). Figura 3.16 Funzioni di amplificazione calcolate per differenti valori di eterogeneità (α =0, 0.5, 2; 10) e del rapporto di smorzamento (D = 5%, 10%) (Gazetas, 1982) 68

25 Dall analisi di tali curve si può osservare come all aumentare del grado di eterogeneità del deposito aumenti la prima frequenza fondamentale e l ampiezza della funzione di amplificazione e in misura tanto più marcata quanto minore è il rapporto di smorzamento. In Figura 3.17 a è riportato il caso reale di Città del Messico, dove sono stati adottati due differenti profili di velocità (Figura 3.17 b), uno uniforme (deposito omogeneo)e uno variabile con legge parabolica; dal confronto tra le funzioni di amplificazione, riportate in Figura 3.17 c, si può notare come l eterogeneità del terreno determini un avvicinamento delle frequenze naturali del deposito e un aumento dei valori di picco. a) b) 0 V = 75 m/s 5 V (z) Argilla soffice ρ = 1.2 t/m3 D = 1.3 % H = 27 m Depth [m] ρ r c) 10 8 = 1.2 t/m3 D = 1.3 % V = 27 m r V = m/s V = 75 m/s V [m/s] Amplificazione Frequenza [Hz] 3 4 Figura 3.17 trati grafia relativa al caso di Città del Messico (a), profili di velocità adottati (b) e corrispondenti funzioni di amplificazione ottenute. 69

26 oluzione numerica: i metodi della trave a taglio continua e discretizzata In presenza di depositi eterogenei caratterizzati da strati di caratteristiche geologiche e meccaniche molto diverse (con elevati valori del rapporto d impedenza) non è più pensabile utilizzare una legge di variazione continua delle Vs o comunque una legge che sia esprimibile mediante una relazione analitica, per cui occorre procedere ad una risoluzione numerica del problema. In tal caso si ricorre sempre ad una rappresentazione monodimensionale del problema, che prevede l ipotesi di deposito stratificato orizzontalmente su substrato orizzontale e infinitamente esteso, attraversato dalle sole onde con direzione di propagazione verticale (quindi con moto oscillatorio orizzontale e deformazioni di taglio puro), e che consente di semplificare notevolmente la schematizzazione del deposito riducendolo ad una colonna di terreno di larghezza unitaria, in cui le dimensioni trasversali si possano ritenere trascurabili e alla base della quale viene applicata un oscillazione. Lungo l altezza di tale colonna, detta anche trave a taglio, si ipotizza che le caratteristiche di rigidezza e di smorzamento siano variabili. Tali metodi, detti anche metodi della trave a taglio, sono essenzialmente di due tipi: i metodi della trave a taglio continua e i metodi della trave a taglio discretizzata (Roesset, 1970). I metodi continui schematizzano la colonna di terreno come un mezzo stratificato continuo (Figura 3.18), dove ogni strato viene considerato omogeneo e con legame costitutivo viscoelastico lineare e i parametri necessari a caratterizzare ciascun strato i-esimo sono lo spessore H i, la densità ρ i, il modulo di taglio G i (o la velocità delle onde, V si ) e il rapporto di smorzamento D i. I metodi discreti (Figura 3.19) invece schematizzano gli strati con una serie di masse concentrate in corrispondenza della superficie di separazione degli strati e collegate tra loro da molle e smorzatori viscosi, che simulano la legge di comportamento sforzi-deformazione assegnata al materiale, generalmente non lineare. I parametri necessari a caratterizzare ciascun strato sono lo spessore H i, la massa m i, la rigidezza della molla K i (legata al modulo di taglio dalla relazione K i =G i /H i ) e il coefficiente di smorzamento dello smorzatore c i. In entrambi i casi, nota l eccitazione sismica alla base (ad esempio sotto forma di accelerogramma) la risposta sismica del terreno viene determinata risolvendo le equazioni del moto; nei metodi continui esse sono formulate come equazioni differenziali del moto di propagazione delle onde 70

27 sismiche in un mezzo continuo (del tipo (Eq. 3.4) nel caso di modelli lineari o (Eq. 3.13) per modello visoelastici-lineari) e vengono risolte nel dominio delle frequenze utilizzando la trasformata di Fourier (in maniera analoga a quanto visto nei casi ideali semplificati esposti nel Paragrafo precedente). u 1 G, D, ρ trato 1 z 1 h 1 u 2 G, D, ρ h 2 trato 2 z 2 z i u i G, D, ρ i i i h i trato i z n u n G, D, ρ n n n hn trato n U n + 1 z n + 1 G, D, ρ n + 1 n + 1 n + 1 h n + 1 = inf. Bedrock Figura 3.18 chematizzazione di un deposito stratificato orizzontalmente secondo il metodo della trave a taglio continua Invece nei metodi discreti le equazioni del moto, per il generico elemento i-esimo, sono del tipo: mu i&& i + τ i τ i 1 = mu i&& b (Eq. 3.29) con m i e u i rispettivamente massa e spostamento alla base dell elemento i- esimo, τ i e τ i-1, lo sforzo di taglio rispettivamente nell elemento i e i-1 e vengono integrate e risolte nel domino del tempo o ricorrendo all analisi modale. I metodi continui, come si è potuto veder nel Paragrafo 3.2, consentono di ottenere nel caso di geometrie semplici soluzioni analitiche in forma chiusa, a discapito però di un eccessiva semplificazione nella rappresentazione del comportamento del terreno, che, per garantire l uso della trasformata di Fourier nel calcolare la risposta sismica del terreno, richiede un legame sforzi-deformazioni lineare e quindi leggi costitutive lineari o al più che simulino un comportamento non lineare conservando, mediante formule iterative, delle espressioni lineari. Questi ultimi sono noti 71

28 come modelli lineari-equivalenti e richiedono, per ciascun strato, anche la legge di variazione con la deformazione del modulo di taglio e del rapporto di smorzamento. Per l applicazione di leggi costitutive più complesse che tengano conto del comportamento non lineare (isteretico instabile) dei terreni e dello sviluppo delle pressioni interstiziali bisogna ricorrere ai metodi discreti. m 1 k 1 trato 1 c 1 trato 2 m i k i c i trato i m n k n trato n c n m n + 1 C = V n + 1 ρ r R Bedrock Figura chematizzazione di un deposito stratificato orizzontalmente secondo il metodo della trave a taglio discreta In definitiva l eterogeneità del deposito con la profondità è comunque un fattore importante nella stima della risposta sismica locale, di cui si può tenere conto utilizzando modelli più complessi, ma anche più adatti ad una situazione di deposito non omogeneo, supportati da un adeguata caratterizzazione stratigrafica del terreno e da una campagna di prove in sito (DH, CH, ecc.) e in laboratorio (RC, TXC, ecc.) che consentano di ricavare il profilo continuo delle Vs o del modulo di taglio G e eventualmente le leggi di decadimento per i vari materiali incontrati. 72

29 3.3.2 Effetti dovuti alla non linearità del comportamento del terreno La non linearità del comportamento del terreno costituisce uno dei fattori che maggiormente influenzano la risposta sismica locale, soprattutto per un certo tipo di terreni (terreni soffici) e in corrispondenza di eventi sismici di una certa intensità (da moderata a forte). Per tale motivo questo è forse il campo su cui si è concentrato, almeno nell ultimo decennio, il maggior numero di studi, finalizzati non solo all individuazione dei vari parametri geotecnici che influenzano e determinano la non linearità del comportamento del terreno e alla valutazione degli effetti che producono sulla risposta sismica locale, ma anche alla messa a punto di codici di calcolo che traducano gli sviluppi nel campo della ricerca in modelli che utilizzino legami costitutivi non lineari secondo formulazioni non troppo complesse e che non richiedano l uso di un numero eccessivo di parametri. Un notevole passo in avanti nella comprensione di tali fenomeni e della loro rilevanza nella valutazione della risposta sismica locale, è stato fatto grazie alle osservazioni e alle ricerche condotte in seguito agli eventi di Città del Messico (eed et al. 1987) e di Loma Prieta (eed et al. 1990), dalle quali è emersa in maniera chiara la differenza tra un comportamento essenzialmente elastico dimostrato da alcuni depositi consolidati di Città del Messico e quello decisamente non lineare verificatosi in alcuni siti durante il terremoto di Loma Prieta Cenni teorici La non linearità del comportamento del terreno si traduce in una variazione delle caratteristiche di rigidezza (G) e di smorzamento (D) con il livello deformativo raggiunto, e quindi indirettamente con il numero di cicli applicati e (in campo isteretico instabile) con il livello di pressione interstiziale raggiunto. In particolare si assiste ad una diminuzione del modulo di taglio (a cui corrisponde un decadimento della rigidezza) e ad un aumento del rapporto di smorzamento (a cui corrisponde un incremento delle proprietà dissipative), che possono condurre, in terreni incoerenti non saturi o coesivi soffici, a deformazioni irreversibili (addensamento) e in terreni granulari saturi a un incremento di pressione interstiziale con perdita di resistenza (liquefazione). Esiste comunque un campo di piccole deformazioni in cui tali valori si mantengono pressoché stabili e il comportamento del terreno si può ritenere lineare; il problema è determinare l ampiezza di tale intervallo (cioè la soglia di deformazione elastica, γ l ), che può essere più o meno esteso a seconda della natura del terreno (e delle sue proprietà indice), e confrontarlo con l intensità 73