Introduzione alla probabilità. Renato Mainetti

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1 Introduzione alla probabilità Renato Mainetti

2 Esperimenti sulla probabilità: Vedremo come utilizzare semplici funzioni di matlab per avvicinarci al mondo della probabilità, iniziando così ad introdurre i concetti che verranno successivamente approfonditi e formalizzati nelle lezioni di teoria. Nel dettaglio eseguiremo esperimenti con: - Moneta - Dadi 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 2

3 Legge dei Grandi Numeri La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema di Bernoulli descrive il comportamento della media di una sequenza di n variabili casuali indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta ecc.) al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa (n) (wiki) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 3

4 Testa o Croce? Vogliamo realizzare una funzione in Matlab che ci permetta di simulare il processo di tirare una moneta e analizzarne l esito. Proviamo a capire cosa fa la funzione di Matlab rand: >> help rand 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 4

5 rand: Uniformly distributed pseudorandom numbers. Eseguendo il comando: >>rand Otteniamo un numero casuale tra (0 e 1). (intervallo aperto) Matlab in pratica suddivide l intervallo tra 0 e 1 uniformemente, restituendo un valore di questo intervallo. Tutti i sotto intervalli sono equiprobabili. 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 5

6 Perché pseudo-random? Perché i numeri sono generati da un algoritmo deterministico che produce una sequenza. Proviamolo! L algoritmo di generazione può essere inizializzato con un seme (seed). Normalmente matlab all avvio setta il seed a 0. Per vedere l attuale valore del seed eseguiamo: >> rng 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 6

7 Seed (inizializzazione numeri pseudorandom) >> rng ans = Type: 'twister' Seed: 0 State: [625x1 uint32] Il seed può essere modificato: >> rng(1) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 7

8 Seed (inizializzazione numeri pseudorandom) Cosa succede ora se generiamo nuovi numeri? >> rand (Otteniamo sempre numeri casuali tra 0 e 1) Cosa succede se lo inizializziamo nuovamente ad 1 e proviamo ad estrarre nuovi numero casuali? >> rng(1) >> rand 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 8

9 Seed (inizializzazione numeri pseudorandom) Come avete potuto vedere, inizializzando il seed in pratica si riporta l algoritmo di estrazione ad uno stato iniziale ben definito. Ogni volta che eseguiamo un estrazione ottengo un numero casuale e cambio lo stato interno dell algoritmo in maniera deterministica. Quando il seed viene inizializzato ad uno specifico valore, otterrò la stessa sequenza di estrazioni. 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 9

10 Funzione moneta: Dopo aver visto come estrarre una sequenza di numeri casuali tra 0 e 1, ci chiediamo come sia possibile trasformare ogni evento di estrazione in un risultato che indichi Testa o Croce. Idee? 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 10

11 Testa o Croce? Come ottenere esattamente 1 e 0? Un possibile approccio è testare su ogni elemento del vettore/matrice creato se il numero estratto è maggiore di 0.5 La condizione di veridicità infatti ritorna valore 0 se è falsa e valore 1 se è vera, quindi: >> risultato = estrazione > /04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 11

12 Testa o Croce? Come ottenere esattamente 1 e 0? Un altro possibile approccio può invece essere quello di impiegare un metodo di arrotondamento visto nella prima lezione. Quale? 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 12

13 Testa o Croce? L operatore di round: >> help round Ci conferma che: rounds towards nearest decimal or integer round(x) rounds each element of X to the nearest integer. (ogni elemento del vettore X) >> risultato = round(estrazione) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 13

14 Testa o Croce? Provate ora a scrivere una funzione che riceva in ingresso il numero di righe, di colonne da fornire alla funzione rand, passando inoltre il valore di soglia per l evento testa o croce. Dopo aver fatto questa semplice funzione proviamo a pensare come sia possibile calcolare e disegnare le statistiche delle estrazioni compiute. Idee? (la soluzione è nel file moneta.m in allegato alla lezione) Come possiamo fare prove fingendo di avere una moneta truccata? 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 14

15 Simulazione del tiro di dadi Proviamo ora a simulare il tiro di due dadi, per poter analizzare empiricamente le probabilità legate a questo evento. Come possiamo fare? Idee su qualche funzione di arrotondamento? La funzione round? 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 15

16 Simulazione del tiro di dadi Perché la funzione round non va bene in questo caso: dadi = round((rand(1,100000)*6)) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 16

17 Simulazione del tiro di dadi E se usassimo la funzione floor? dadi = floor((rand(1,100000)*6)+1) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 17

18 Simulazione del tiro di dadi E se usassimo la funzione ceil? dadi = ceil(rand(1,100000)*6) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 18

19 Simulazione del tiro di dadi Meglio ancora: Usare ciò che ci regala matlab. La funzione: randi >> help randi Questa funzione ritorna numeri interi pseudocasuali uniformemente distribuiti nell intervallo specificato: >> dadi = randi([1 6],1,100000) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 19

20 Simulazione del tiro di dadi Proviamo ora a generare una funzione che simuli un doppio tiro di dadi. Aggiungere poi un metodo che conti quante volte è uscito un doppio numero specificato come parametro. Qual è la probabilità che esca un doppio 6? Qual è la probabilità che escano due numeri uguali? (la soluzione è nel file dadi.m in allegato alla lezione) 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 20

21 Simulazione del tiro di dadi Qual è la probabilità che esca un doppio 6? 1/6 * 1/6 = 1/ % Qual è la probabilità che escano due numeri uguali? 1 * 1/6 = 1/ % 14/04/2016 Introduzione alla probabilità - Lezione 6 21