Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso. Cenni di statistica

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1 Facoltà di Farmacia Corso di Matematica co elemeti di Statistica Docete: Riccardo Rosso Cei di statistica I queste ote forirò alcui elemeti di statistica per arricchire i coteuti del libro di testo. La statistica può esser vista come la scieza che orgaizza ed aalizza dati umerici per fii descrittivi o per permettere di predere delle decisioi. Dalla mole di dati umerici a disposizioe la statistica trae degli idicatori sitetici che possao riassumere le proprietà salieti dell itera distribuzioe. L isieme che deve essere studiato prede il ome geerico di popolazioe. Più precisamete si tratta di ua popolazioe umerica, dal mometo che ad ogi elemeto della popolazioe (u idividuo) viee associato u umero che può essere, ad esempio, il risultato di ua particolare misura. Ua popolazioe è solitamete composta da u umero elevato di idividui ed accedere a tutti i dati umerici può essere ua operazioe troppo oerosa e luga. Ad esempio, se si vuole misurare la glicemia a tutti gli italiai per avere u idea del livello medio di glucosio el sague o si può pesare di sottoporre all esame tutti i cittadii italiai perché ciò richiederebbe troppo tempo. Ha seso ivece isolare u sottoisieme della popolazioe, u campioe, più facilmete accessibile, costituito da u umero ragioevolmete elevato di idividui e fare le misure su di esso. Si poe aturalmete ua domada. Le iformazioi, precise ma limitate, che si ottegoo sul campioe possoo forire u idea precisa sul comportameto della popolazioe, che resta iaccessibile ella sua totalità? Occorre azitutto u criterio di scelta el campioe che lo reda attedibile, o viziato da qualche difetto i origie. Nell esempio appea descritto, o ha molto seso esamiare u campioe di diabetici, misurare la glicemia e pretedere che il tasso riscotrato rispecchi quello dell itera popolazioe italiaa. Il campioe è viziato alla base e le coclusioi sarebbero fallaci. Il campioe deve essere u campioe casuale, itededo co questo u campioe i cui il criterio di scelta degli idividui che e fao parte o deve essere ricostruibile i modo determiistico. Ad esempio, si può associare agli idividui della popolazioe u umero e selezioare el campioe solo gli idividui che corrispodoo ai umeri estratti da u geeratore di umeri casuali. Ua volta garatita la casualità del campioe, resta il problema di verificare l attedibilità delle predizioi possibili sulla popolazioe fatte a partire dai dati campioari limitati a ostra disposizioe. La parte della statistica che si occupa di fare predizioi attedibili sulla popolazioe, partedo dall esame

2 di u campioe, è detta statistica ifereziale. Quali soo gli idicatori umerici sulla distribuzioe dei dati campioari che meglio si prestao ad ua descrizioe fedele della popolazioe? I che modo la dispersioe dei dati campioari iflueza le coclusioi che si possoo trarre sulla popolazioe? Co quata cofideza si può essere sicuri che u dato campioario rispecchi il comportameto della popolazioe? Queste soo alcue domade aturali el quadro della statistica ifereziale a cui cercheremo di dare risposta el seguito. Prima di affrotare questi problemi, facciamo u passo idietro e itegriamo le iformazioi di statistica descrittiva riportate sul testo cosigliato. No sempre soo oti co precisioe i dati umerici coteuti i u campioe. Sovete, ivece di cooscere i sigoli dati, si cooscoo degli itervalli etro cui i dati cadoo e il umero di dati che cadoo i u certo itervallo. Vediamo u esempio, cosiderado u idagie sul peso di 100 studeti di u Uiversità. I pesi p soo espressi i chilogrammi e, soo stati raggruppati i classi. Per ciascua classe è idicata la frequeza f i, cioè il umero di idividui il cui peso appartiee alla classe i esima 60 p 62 f 1 = 5 63 p 65 f 2 = p 68 f 3 = p 71 f 4 = p 74 f 5 = 8. Osserviamo che le cique classi di peso soo di uguale ampiezza, ma o soo cotigue, i quato l estremo superiore di ua classe o coicide co quello iferiore della classe successiva. Si può ovviare a questo icoveiete estededo i cofii delle classi i modo simmetrico, a siistra e a destra, di 0.5kg. I questo modo, siccome la popolazioe o è stata cambiata, possiamo rappresetre i dati ella forma seguete 59.5 p < 62.5 f 1 = p < 65.5 f 2 = p < 68.5 f 3 = p < 71.5 f 4 = p < 74.5 f 5 = 8. Questo processo o è u iutile artificio cotabile. Riflettiamo sull affermazioe: il peso di u idividuo è 62 kg. Poiché essua misura è perfetta, l affermazioe va itesa a meo di errori ed il valore 62 kg è i realtà 62 kg ± errore di misura. I questo caso, l errore assuto è di 0.5kg. Il procedimeto di allargameto delle classi rispecchia questo tipo di imprecisioe. Come possiamo calcolare la media dei dati umerici se coosciamo u iformazioe parziale sulle frequeze? I effetti, o sappiamo come i dati si distribuiscao all itero di ogi classe. Occorre formulare u ipotesi 2

3 ragioevole, i asseza di ulteriori iformazioi. La più semplice cogettura è che gli elemeti apparteeti ad ua classe si distribuiscao uiformemete al suo itero. Così facedo, diveta aturale associare ad ogi classe u rappresetate, il valore cetrale della classe, ed attribuire u solo valore umerico, ai fii del calcolo della media, a tutti i dati all itero di ua classe: quello del rappresetate. Nell esempio cosiderato i rappresetati r i soo 59.5 p < 62.5 r 1 = p < 65.5 r 2 = p < 68.5 r 3 = p < 71.5 r 4 = p < 74.5 r 5 = 73. La media X, calcolata sulla distribuzioe delle frequeze, co l ipotesi di distribuzioe uiforme all itero di ciascua classe è X = = kg. 100 Per rappresetare i modo efficace le frequeze delle classi del campioe, si può costruire u istogramma. A questo scopo si associa ad ogi classe u segmeto sull asse delle ascisse di lughezza proporzioale all ampiezza della classe e si riporta il valore del rappresetate (Figura 1). 42 f p(kg) Figura 1: Istogramma della distribuzioe di frequeza. La spezzata tratteggiata è il poligoo delle frequeze. Sopra ogi segmeto di costruisce u rettagolo di altezza proporzioale alla frequeza della classe. Il grafico così costruito è l istogramma del campioe. Uedo i puti medi delle basi superiori dei rettagoli si può tracciare ua spezzata, detta poligoo delle frequeze che forisce u modo alterativo di esprimere le iformazioi preseti ell istogramma. Per calcolare la mediaa dell isieme di dati è utile costruire u ulteriore diagramma, il diagramma cumulativo delle frequeze. Acora ua volta, i 3

4 ascissa si riportao tati segmeti cotigui quate soo le classi i cui il campioe è stato ripartito. Sul segmeto più a siistra si costruisce u rettagolo di altezza proporzioale al umero di dati miori di 62.5 kg, il limite superiore della prima classe: el caso i esame tale frequeza è 5 (Figura 2) f p < 62.5 p < 65.5 p < 68.5 p < 71.5 p < 74.5 p(kg) Figura 2: Diagramma cumulativo delle frequeze. La spezzata è l ogiva di frequeza. Al passo successivo si costruisce u rettagolo di altezza proporzioale al umero di dati miori di 65.5kg, il limite superiore della secoda classe: ai 5 precedeti si aggiugoo i 18 apparteeti alla secoda classe, per u totale di 23 elemeti. Iterado la procedura classe per classe veiamo a costruire altri tre rettagoli di altezze proporzioali a 65 = , a 92 = ed a 100 = A differeza dell istogramma, il diagramma cumulativo delle frequeze è formato, per costruzioe, da rettagoli la cui altezza o può dimiuire, ma mao che ci si sposta verso destra. Uedo i puti medi delle basi superiori dei rettagoli si ha ua uova spezzata, detta ogiva di frequeza, che o può presetare tratti co pedeza egativa. Mostriamo l utilizzo del diagramma cumulativo delle frequeze per stimare la mediaa di ua distribuzioe di frequeze. I base alla defiizioe, la mediaa M e è il dato che si colloca come spartiacque el campioe, i quato il 50% dei dati è miore o uguale ad M e metre il restate 50% è maggiore o uguale alla mediaa. Come per il calcolo della media, quado soo assegate le frequeze di classi aziché i sigoli dati, formuliamo l ipotesi di uiformità della distribuzioe dei dati all itero di ogi classe. Per procedere, restiamo el quadro dell esempio appea trattato ed idetifichiamo la classe i cui cade la mediaa. La metà del campioe è pari a 50 idividui; sul diagramma cumulativo tracciamo la retta orizzotale a quo- 4

5 ta 50: il primo rettagolo del diagramma che viee itersecato dalla retta corrispode alla classe coteete la mediaa (Figura 3): el ostro caso si tratta della classe i cui dati variao tra 65.5 p < f 65 B 50 C 23 A K H 65.5 M e p(kg) Figura 3: Metodo grafico per calcolare la mediaa. Il segmeto AB traduce l ipotesi di distribuzioe uiforme dei dati all itero della classe. Ifatti, cotado i pesi a partire da quelli più piccoli, vediamo che 23 cadoo sotto i 65.5kg e 65 sotto i 68.5kg: il dato mediao, che divide il campioe i due parti uguali è compreso tra 65.5 p < Per avere ua stima ulteriore osserviamo che ell attraversare la classe coteete la mediaa si passa dal puto A, a quota 23, al puto B, posto a quota 65. Tuttavia il diagramma cumulativo è discotiuo perché si limita a localizzare i puti A e B evideziati i Figura 3, ma o dice ulla su come si passi da A a B, trasitado ella classe. Come già visto i precedeza, è aturale ipotizzare ua distribuzioe uiforme dei dati all itero della classe: graficamete ciò corrispode a dire che il passaggio da A a B avviee lugo il segmeto di retta AB (retta di iterpolazioe lieare). A questo puto possiamo forire ua stima ulteriore della mediaa M e. Ifatti, sia C il puto i cui la retta posta al livello 50 iterseca AB. Poiché i triagoli rettagoli ABH e ACK soo simili, possiamo scrivere AH BH = AK CK. Ora AH è l ampiezza della classe, el ostro caso AH = 3 kg, BH è il umero di idividui che cadoo ella classe coteete la mediaa, BH = 42 metre CK = = 17. Quato ad AK, l ascissa di K corrispode al valore 50 della frequeza e duque rappreseta il valore icogito della mediaa M e. D altra parte, l ascissa di A corrispode al limite iferiore della classe, 65.5 kg, per cui la lughezza del segmeto AK è AK = M e

6 Iseredo i dati ella proporzioe abbiamo da cui segue 3 42 = M e M e = = 66.7kg. Esercizi Per ogua delle segueti distribuzioi di frequeze, idividuare il rappresetate delle classi, tracciare l istogramma delle frequeze ed il diagramma cumulativo delle frequeze; ioltre, calcolare media e mediaa della distribuzioe: Classe f requeza Classe f requeza Classe f requeza =========================================== Come già detto i precedeza, la statistica ifereziale si occupa di forire stime su ua popolazioe umerica a partire da campioi casuali. I particolare, il problema che affroteremo è quello di determiare come la media campioaria x e la deviazioe stadard campioaria s misurio la 6

7 media µ e la deviazioe stadard σ della popolazioe. Lo strumeto basilare per risolvere questo problema è forito dal teorema cetrale del limite che ora euceremo i ua forma comoda per le applicazioi. Sia data ua popolazioe umerica di media µ e deviazioe stadard σ e si estraggao da essa dei campioi casuali C 1, C 2,...C M, ciascuo formato da idividui, co > 30. Possiamo calcolare la media campioaria x i di ciascu campioe C i, (i = 1, 2,..., M) ed otteeere così u uovo isieme umerico, quello delle M medie campioarie. Come si distribuiscoo le medie campioarie? Maifestao ua tedeza i u certo seso uiversale, seguedo ua legge geerale, oppure il loro comportameto dipede dalla distribuzioe della popolazioe? Il teorema cetrale del limite forisce la risposta a queste domade. Teorema. Sia data ua popolazioe umerica ifiita 1 di media µ e scarto quadratico medio σ da cui vegoo estratti dei campioi casuali formati ciascuo da idividui, co > 30. La distribuzioe delle medie campioarie tede ad ua distribuzioe gaussiaa di media µ x = µ e scarto quadratico medio σ x = σ. La poteza del teorema risiede el fatto che, partedo da ua popolazioe che può ache o seguire il modello gaussiao, le medie campioarie, purché calcolate su campioi abbastaza gradi, tedoo a distribuirsi secodo ua legge precisa, quella gaussiaa. L uso del teorema i questo cotesto sarà il seguete. Suppoiamo di avere u campioe casuale di gradezza opportua ( > 30) e di questo campioe calcoliamo la media campioaria x. Poiché la distribuzioe delle medie è (approssimativamete) gaussiaa, sappiamo che il 95% dei dati cade ell itervallo [µ 1.96σ x, µ+1.96σ x ] e che il 99% dei dati cade ell itervallo [µ 2.58σ x, µ σ x ] Questa proprietà geerale delle curve gaussiae cosete di associare co ragioevole fiducia u itervallo etro cui la media della popolazioe µ cade. Ifatti possiamo dire che, per il 95% dei campioi, e che, per il 99% dei campioi, µ 1.96σ x x µ σ x µ 2.58σ x x µ σ x. Lette i termii di µ, queste disuguagliaze divetao x 1.96σ x µ x σ x 1 Il teorema vale ache se la popolazioe è fiita ed il campioameto è fatto co ripetizioi, ammettedo che u idividuo possa etrare i più di u campioe casuale. Se la popolazioe è costituita da u umero N fiito di idividui ed il campioameto o ammette ripetizioe, il teorema vale acora, ma lo scarto quadratico medio σ x diveta σ x = σ N N 1 : questa differeza egli scarti quadratici medi si riduce al crescere di N. 7

8 e x 2.58σ x µ x σ x. Gli itervalli associati alla media µ si chiamao itervalli di cofideza al 95% e al 99%, rispettivamete. Resta u problema, i quato gli itervalli di cofideza hao ampiezza legata a σ x = σ e quidi dipedete dallo scarto quadratico medio della popolazioe, che è icogito. Questo ostacolo si supera i quato è possibile dimostrare che lo scarto quadratico medio i=1 (x i x) 2 campioario s := 1 approssima i modo preciso ed efficace σ e duque si possoo scrivere gli itervalli di cofideza ella forma x 1.96 s µ x s e x 2.58 s µ x s, che dipede solo dai dati campioari. Esempio Si vuole stimare l età media degli uteti di ua biblioteca civica. A questo scopo si selezioa u campioe casuale composto da = 100 persoe avete media x = 29 ai e scarto quadratico medio s = 8 ai. Trovare itervalli di cofideza per la l età media µ al 95% ed al 99%. Poiché il campioe è composto da = 100 idividui, possiamo applicare il teorema cetrale del limite ed affermare che el 95% dei casi la media µ appartiee all itervallo s µ < s. Iseredo i dati proposti cocludiamo che < µ < co u grado di fiducia pari al 95%. Aalogamete si procede per determiare l itervallo di cofideza al 99% che diveta < µ < Come si vede, per accrescere il grado di fiducia, cioè ridurre il rischio di dare ua localizzazioe scorretta della media µ, occorre ampliare l itervallo di cofideza riducedo così la precisioe della stima. Esempio Nell esempio precedete, si suppoga che i dati x = 29 ai e scarto quadratico medio s = 8 ai siao stati otteuti da u campioe casuale composto da = 400 persoe. Trovare i uovi itervalli di cofideza per l età media µ al 95% ed al 99%. L uico cambiameto riguarda lo scarto quadratico medio campioario che ora vale s 20 = 2 5. Pertato, l itervallo di cofideza al 95% è < µ < 29.79, metre quello al 99% è < µ < Rispetto all esempio precedete gli itervalli si soo ridotti di ampiezza e duque la stima è più 8

9 precisa. Il maggior grado di precisioe è dovuto al fatto che i dati provegoo da u campioe più ampio. Esempio Si vuole stimare l importo medio della spesa degli acquireti di u supermercato, i ua certa fascia oraria. La spesa media valutata su u campioe casuale formato da 250 acquireti è x = Euro co uo scarto quadratico medio s = 3.90 Euro. Trovare gli itervalli di cofideza per µ al 95% ed al 99%. Ora abbiamo s = = Euro per cui l itervallo di cofideza al 95% è < < µ < Euro metre quello al 99% è < µ < Euro. Esempio Si vuole stimare il salario medio µ di ua certa categoria di operai. Per questo si prede u campioe casuale di 625 idividui e si ottiee ua media campioaria di x = Euro ed uo scarto quadratico medio campioario s = 1230 Euro. Trovare l itervallo di cofideza al 99% per µ. Se il campioe che ha forito i dati è composto da 900 idividui, come si modifica l itervallo di cofideza? Poiché σ s = 49.2 Euro otteiamo < µ < Euro come itervallo di cofideza al 99% per µ. Se ivece gli stessi valori di x ed s soo stati otteuti da u campioe di 900 idividui, lo scarto quadratico medio della distribuzioe delle medie campioarie diveta σ s = 41 Euro e duque l itervallo di cofideza al 99% per µ diveta < µ < Euro. Come sempre, disporre di u campioe più grade, a parità di x ed s, migliora la stima su µ. La distribuzioe gaussiaa delle medie cosete ache di sottoporre ad esame critico ipotesi effettuate su ua popolazioe. L idea del procedimeto è la seguete. Si suppoe che vega fatta ua affermazioe che localizzi la media µ della popolazioe (ipotesi zero). Per verificare l attedibilità dell ipotesi, si procede a selezioare u campioe casuale sufficietemete grade ( > 30) di cui si calcola la media campioaria x e lo scarto quadratico medio campioario s. A questo puto si misura la distaza i termii di scarti quadratici medi di µ dalla media osservata sul campo x. Quato più x si allotaa da µ, tato più divetiamo sospettosi circa la validità dell ipotesi riguardate la media e siamo codotti a rigettare l ipotesi. Così facedo ci assumiamo u rischio, quello che il campioe scelto avesse media x realmete molto lotaa da µ e che la media µ fosse accettabile. Il livello di rischio di predere ua decisioe sbagliata che siamo disposti a correre dipede dalle circostaze. Solitamete si accetta u rischio dell 1% o del 5%. Il rischio di predere la decisioe sbagliata sulla scorta dei dati del campioe è detto 9

10 livello di sigificatività del test. Alcui esempi dovrebbero aiutare a chiarire l approccio al problema. Esempio È stato affermato che il peso medio degli idividui adulti di ua certa azioe è µ = 68.5 kg. Voledo sottoporre questa ipotesi a verifica, si cosidera u campioe casuale di 625 idividui che vegoo pesati. Come esito della misura, si ottiee u valor medio campioario x = 69.1 kg co uo scarto quadratico medio campioario s = 7 kg. Se il livello di sigificatività del test è del 5%, quale sarà la coclusioe? Si rispoda alla stessa domada se il livello di sigificatività del test è dell 1%. Misuriamo la distaza x µ = 0.6 kg della media campioaria dalla stima per µ coteuta ell ipotesi i termii di scarti quadratici medi. Poiché σ x = σ s = 7 25, il umero u di scarti quadratici di cui x si allotaa da µ risolve l equazioe 0.6 = 7 25 u, cioè vale u = Sappiamo che ell itervallo [µ 1.96 s, µ s ] cade il 95% delle medie campioarie. Poiché la media campioaria aalizzata cade fuori da questo itervallo, oi siamo autorizzati a rigettare l ipotesi su µ, assumedoci u rischio del 5%. Se però siamo più coservatori e siamo disposti ad assumerci solo l 1% di rischio di predere la decisioe sbagliata, l esito del test è diverso. Ifatti, x appartiee all itervallo [µ 2.58 s, µ s ] i cui cade il 99% delle medie campioarie. Quidi, l ipotesi su µ è compatibile co il risultato otteuto dal campioe casuale, se il livello di sigificatività è dell 1%, cioè se il rischio che siamo disposti a correre di predere ua decisioe sbagliata è soltato l 1%. Esempio Ua compagia aerea afferma che il peso medio del bagaglio dei passeggeri dei suoi voli di liea è µ = 19.8 kg. Per sottoporre a verifica tale ipotesi si cosidera u campioe casuale di 324 passeggeri da cui emerge il peso medio campioario x = 20.3 kg, co scarto quadratico medio campioario s = 3.6 kg. Quali soo le coclusioi del test al livello di sigificatività dell 1%? Se si suppoe che i valori di x ed s siao stati otteuti da u campioe di 400 passeggeri, come cambiao le coclusioi del test? Nel primo caso abbiamo s = = 0.2 per cui, scrivedo x µ = 0.5 = (0.2)u si vede che u = 2.5: la media campioaria dista da quella coteuta ell ipotesi zero 2.5 scarti quadratici medi e duque è acora itera all itervallo [µ 2.58 s, µ+2.58 s ] etro cui cade il 99% dei dati: l esito del test è che o esistoo elemeti sufficieti per rigettare l ipotesi su µ, al livello di sigificatività richiesto. Quado il campioe è formato da 400 passeggeri abbiamo 10

11 s = = 0.18 che corrispode ad ua distaza tra x e µ pari a 2.78 scarti quadratici medi che fa cadere x fuori dall itervallo [µ 2.58 s, µ+2.58 s ]: la coclusioe del test è il rigetto dell ipotesi formulata su µ, co u margie di rischio dell 1%. Osservazioe Nell esempio precedete erao preseti i due tipi di errore possibili i u test. Quado il campioe era composto da 324 passeggeri, l errore possibile era di rifiutare la media (errore di tipo II) quado questa era attedibile, almeo co i dati i possesso, metre co il campioe di 400 passeggeri l errore possibile era di riteere valida l ipotesi, quado questa si rivelava poco attedibile (errore di tipo I). L esempio ioltre mostra il ruolo giocato dalla gradezza del campioe ell esito del test. Suppoiamo ora che l ipotesi zero da vagliare sia formulata i questi termii: il reddito medio di ua famiglia che abita i ua certa regioe o supera i Euro. Come si vede l ipotesi sulla media è più sfumata rispetto ai casi precedeti i quato si limita ad imporre u limite superiore alla media, o u valore preciso. Se si vuole sottoporre a verifica l ipotesi si può adottare ua procedura simile alla precedete: si cosidera la media otteuta da u campioe sufficietemete ampio e la si cofrota co il limite superiore per µ, Euro. È chiaro che, se x risulta iferiore a Euro o si ha alcu elemeto per rigettare l ipotesi e che i dubbi sulla botà dell ipotesi comiciao ad affiorare quado x supera i Euro. Se il test ha u livello di sigificatività del 5%, si avrao elemeti per rigettare l ipotesi quado x si lascia a siistra almeo il 95% dei dati, il che succede o appea si esce dall itervallo (, µ σ x ]. Similmete, se il test ha u livello di sigificatività dell 1%, l ipotesi diveta rigettabile (co u margie di rischio dell 1%) o appea x esce dall itervallo (, µ+2.33σ x ] etro il quale cade il 99% dei dati. Test come quello i esame, ei quali l ipotesi sulla media è formulata i termii di disuguagliaze uilaterali, soo detti test ad ua coda. Se l ipotesi cotiee u affermazioe etta sulla media, come ei casi esamiati i precedeza, il test è a due code. Fatta questa premessa sull iterpretazioe del test, suppoiamo di esamiare u campioe di 100 famiglie proveieti dalla regioe da studiare e che il reddito medio campioario sia risultato pari a Euro, co uo scarto quadratico medio campioario di 300 Euro. Cosa possiamo cocludere al livello di sigificatività del 5%? E al livello dell 1%? Poiché s = 30, la soluzioe dell equazioe = 30u è u = Duque, la media campioaria dista 1.67 scarti quadratici medi dal massimo valoreµ max = Euro di µ ammesso dall ipotesi ed è così estera all itervallo (, µ σ x ]: al livello del 5% l esito del test 11

12 mi spige a rigettare l ipotesi formulata. Al cotrario, se si vuole adare icotro al rischio di errore dell 1% o possiamo rigettare l ipotesi i quato la media campioaria rietra ell itervallo (, µ σ x ]. Esempio U ricercatore itede saggiare, co livello di sigificatività del 5%, l affermazioe di ua ditta farmaceutica secodo la quale il tempo che itercorre tra l assuzioe di u farmaco e la maifestazioe dei primi effetti è al più di 4 miuti. A questo scopo cosidera u campioe casuale di 100 pazieti e trova che i media il tempo ecessario per riscotrare efficacia el farmaco è x = 4 miuti e 6 secodi, co scarto quadratico medio s = 0.6 miuti. Quali soo le coclusioi del test? Cambia qualcosa se i dati sperimetali hao scarto quadratico medio s = 0.64 miuti? Covertiamo il tempo di reazioe del farmaco i forma decimale osservado che 4 miuti 6 secodi = 4.1 miuti. Si tratta di u test ad ua coda i quato avremo ragioe di dubitare della affermazioe della ditta solo se si misurao, come i questo caso, tempi di reazioe superiori al tetto massimo dichiarato dal produttore. Troviamo allora il valore di u che risolve l equazioe x µ = 0.1 = u s = 0.06u, cioè u = Duque, x si trova a destra di µ, all estero della regioe (, µ σ x ]: al livello di sigificatività richiesto, l ipotesi sulla media è da respigere. Se s = 0.64, il valore di u diveta u = 1.56: al livello di sigificatività richiesto l ipotesi o è rigettabile. I questo esempio si evidezia l importaza dell accuratezza della verifica sperimetale. Lo scarto quadratico medio misura ifatti la dispersioe dei dati attoro al valor medio e, crescedo, idica ua maggiore imprecisioe elle misure. Come si è visto, le coclusioi tratte dall esame dei dati soo state difformi ei due casi. ======================================== I molte circostaze è utile saper stimare idicatori umerici di ua popolazioe diversi dalla media. Ad esempio, si può essere iteressati a stimare la frazioe di macii all itero di ua popolazioe di studeti. Più i geerale, si vuole stimare la frazioe φ di idividui apparteeti ad ua popolazioe che godoo di ua certa proprietà P. La procedura è aaloga a quella seguita per la media. Si estraggoo dei campioi casuali C 1, C 2,...C M, ciascuo formato da idividui, co abbastaza grade. Possiamo calcolare le frazioi f i di idividui apparteeti al campioe C i, (i = 1, 2,..., M) che godoo della proprietà P. Nel loro complesso le frazioi campioarie f i formao u uovo isieme umerico ed ha seso domadarsi 12

13 quale distribuzioe seguao le f i. Vale il seguete teorema, adattameto del toerema cetrale del limite alla uova situazioe. Teorema. Sia data ua popolazioe umerica 2 i cui ua frazioe φ di idividui gode di ua certa proprietà P. Si estraggao dalla popolazioe dei campioi casuali formati ciascuo da idividui, co tale che φ > 5 e (1 φ) > 5. La distribuzioe delle frazioi campioarie tede ad ua distribuzioe gaussiaa di media µ f = φ e scarto quadratico medio σ f = φ(1 φ). Ache ora lo scarto quadratico medio σ f è stimato facedo ricorso alla frazioe φ che i geerale è icogita, trattadosi di u dato che si riferisce f(1 f) alla popolazioe. Come stima di σ f si può adottare σ f =, rimpiazzado φ co la frazioe campioaria f: dal mometo che sia φ che f soo umeri compresi tra 0 ed 1, la preseza del fattore a deomiatore ell espressioe di σ f rede accettabile l approssimazioe adottata. Duque, poiché le frequeze campioarie tedoo a disporsi secodo ua curva gaussiaa, possiamo ripercorrere passo dopo passo le procedure per stimare la media µ co u dato campioario e, preso u campioe casuale soddisfacete alle ipotesi del teorema, associare alla frazioe φ ha u itervallo di cofideza al 95% dato da ed u itervallo di cofideza al 99% dato da f 1.96σ f φ f σ f (1) f 2.58σ f φ f σ f. (2) I test di ipotesi che riguardao frazioi di popolazioe che godoo di ua certa proprietà P si trattao i modo aalogo a quelli già affrotati per le medie, co l avverteza di utilizzare i valori corretti dello scarto quadratico medio. Esempio Si vuole stimare la percetuale φ di iscritti al sidacato tra gli operai di ua certa categoria. Per questo si estrae u campioe casuale formato da 100 iscritti e si riscotra che 79 soo iscritti al sidacato. Determiare gli itervalli di cofideza al 95% ed al 99% per φ. Dal campioe abbiamo la frazioe campioaria f = = 0.79 che possiamo usare come stima per φ al fie di verificare l applicabilità del teorema cetrale 2 Come prima, il teorema vale quado la popolazioe è ifiita oppure è fiita ma il campioameto è fatto co ripetizioi, ammettedo che u idividuo possa etrare i più di u campioe casuale. Se la popolazioe è costituita da u umero N fiito di idividui ed il campioameto o ammette ripetizioe, il teorema vale acora, ma lo scarto quadratico medio σ f diveta σ f = scarti quadratici medi si riduce al crescere di N. φ(1 φ) N N 1 : di uovo, la differeza egli 13

14 del limite: siccome f = 79 > 5 ed (1 f) = 21 > 5, teorema è applicabile. Lo scarto quadratico medio della distribuzioe delle frazioi campioarie è φ(1 φ) σ f = 95% per φ è f(1 f) metre quello (2) al 99% è = 0.04 per cui l itervallo di cofideza (1) al 0.71 φ φ Esempio Ua ditta farmaceutica afferma che u atipiretico di sua produzioe è efficace i almeo il 75% dei casi. Per sottoporre a verifica l affermazioe, si cosidera u campioe di = 600 pazieti cui viee sommiistrato il farmaco e si riscotra l efficacia del farmaco i 420 casi. Se il livello di sigificatività è dell 1%, quali soo le coclusioi del test? Si tratta di u test su u ipotesi riguardate ua frazioe di popolazioe: la proprietà P è quella di avere tratto beeficio dal farmaco. L ipotesi da verificare è duque φ 0.75 ed il test è ad ua coda, i quato seri sospetti sulla validità dell ipotesi sorgerao solo quado la frazioe campioaria di pazieti su cui il farmaco è stato efficace si attesta al di sotto di Si tratta proprio del caso i esame, i quato f = = 0.7 < per procedere, si valuta la distaza di f da φ mi = 0.75, il più piccolo valore di φ che rietra ell ipotesi formulata dalla ditta. Lo scarto quadratico medio, per coereza, è σ f = φ mi (1 φ mi ) = e la distaza u di f da φ mi, misurata i termii di σ f, risolve l equazioe φ f = uσ f e duque vale u = 2.83 > 2.33 : al livello di sigificatività del test, l ipotesi è da respigere. Esercizi vari 1. Si vuole stimare il tempo di fuzioameto medio di u televisore prima che sia ecessaria ua riparazioe. Per questo si cosidera u campioe di = 300 televisori otteedo u tempo medio x = 4800 ore co uo scarto quadratico medio s = 450 ore. Associare u itervallo di cofideza al 95% ed al 99% al tempo medio di fuzioameto dei televisori. 14

15 2. Ua associazioe medica afferma che u farmaco produce migliorameti apprezzabili el 60% dei casi. Per saggiare la plausibilità dell ipotesi al livello del 5% si sottopogoo a trattameto 200 pazieti, riscotrado u migliorameto i 134 casi. Dopo avere specificato se il test deve essere ad ua o due code, dire quali soo le coclusioi che si possoo trarre dal test? 3. Ua ditta che si occupa di meccaica di precisioe afferma di produrre dei pezzi di diametro pari a 40 mm. Da u cotrollo di qualità effettuato su 32 pezzi emerge u diametro medio x = mm co uo scarto quadratico medio s = 0.03 mm. Quali soo le coclusioi del test, se il livello di sigificatività è dell 1%? 4. U cadidato alle elezioi commissioa u sodaggio per stimare la percetuale dei voti a suo favore. A questo scopo si cosidera u campioe casuale di = 500 elettori da cui risulta che 285 elettori soo favorevoli al cadidato. Stimare, co u itervallo di cofideza del 95%, la percetuale di voti del cadidato alle elezioi. Che cosa cambia se il sodaggio viee codotto su u campioe casuale di 5000 elettori e 2850 si dichiarao favorevoli al cadidato? 5. Per stimare l efficacia di u atibiotico si cosidera u campioe casuale di 225 pazieti, riscotrado sesibili migliorameti i 171 casi. Quali soo gli itervalli di cofideza al 95% ed al 99% per l efficacia dell atibiotico? 15