Cenni storici sulle equazioni di 3 e 4 grado e la loro geometria

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Anno accademico 2007/2008 Relazione nale di Francesca Pampaloni Cenni storici sulle euazioni di e 4 grado e la loro geometria Relatore: Giorgio Ottaviani

2 Introduzione Nella prima parte di uesto lavoro abbiamo approfondito la risoluzione delle euazioni di e 4 grado dal punto di vista storico. La scoperta delle formule risolutive, avvenuta in Italia nel tardo Rinascimento, è infatti ricca di colpi di scena e dà luogo a una lettura appassionante. In una seconda parte interpretiamo il discriminante dell'euazione di grado come hessiano: uesto punto di vista permette di discutere le euazioni di grado a livello geometrico. Accenniamo inne a uesta discussione anche nel caso delle euazioni di 2 grado e ciò può dare degli spunti didattici interessanti. 1 La formula risolutiva di Tartaglia Consideriamo un'euazione di grado, del tipo (l'euazione generale x + px + = 0 (1) ax + bx 2 + cx + d = 0 può essere sempre ridotta a uesta forma tramite la sostituzione x = y b a ; infatti, sostituendo, si ottiene: y + ( c a b2 a 2 ) y + ( 2b 27a bc a 2 + d a ) = 0). p Esiste una formula risolutiva che ci permette di calcolarne le soluzioni: x = 2 + ( p ) + ( 2 )2 2 + ( p ) + ( 2 )2. Dietro uesta formula si cela una storia piuttosto singolare i cui principali protagonisti sono Tartaglia ( ca.) e Cardano ( ). Questo metodo di risoluzione, infatti, fu scoperto più volte, a causa del fatto che nel XVI secolo, uando si giungeva a una scoperta, si preferiva non dionderla e tenerla segreta, per poi utilizzarla in occasione di ualche sda. Così il primo a scoprirla fu Scipione Dal Ferro ( ), che però non pubblicò i suoi risultati; successivamente anche Tartaglia giunse a tale scoperta, ma anch'egli preferì non rivelarla, almeno per il momento. In uanto a Cardano, dopo lunghe preghiere, egli riuscì a farsi rivelare da Tartaglia tale formula, a patto di non dionderla. In seguito, però, uando venne a sapere della soluzione di Dal Ferro, Cardano si sentì libero dal giuramento fatto e nel 1545 pubblicò tale formula nell'ars Magna, dando inizio a una lunga discussione fra lui e Tartaglia e allo stesso tempo, però, rendendo noto a tutti il metodo di risoluzione delle euazioni di grado. Questi sono i celebri versi con cui Tartaglia comunicò la regola di risoluzione a Cardano ([Ma1] pag.24-25): 1

3 Quando che 'l cubo con le cose appresso x + px = se agguaglia a ualche numero discreto = trovan dui altri dierenti in esso. u v = Da poi terrai uesto per consueto che il lor produtto sempre sia eguale uv = al terzo cubo delle cose neto. = ( p ) El residuo poi suo generale delli lor lati cubi ben sottratti u v = varrà la tua cosa principale. = x... Questi trovai, et non con passi tardi nel mille cinuecente, uattro e trenta con fondamenti ben saldi e gagliardi nella città dal mare intorno centa. Venezia In altre parole per risolvere l'euazione (1) si cercano due numeri u e v tali che { u v = Tale sistema dà come soluzione: u = v = uv = ( p ). 2 ± ( p ) + ( 2 )2 2 ± ( p ) + ( 2 )2. Osservazioni 1.1. Il segno della radice uadrata è ininuente sulla soluzione nale. Se infatti faccio passare sotto radice il segno ottengo: x = u v = 2 ± D + 2 D, con D = ( p ) + ( 2 )2, e uindi che si scelga un segno o un altro si scambiano soltanto i 2 addendi e il risultato rimane inalterato. Restringendosi uindi al caso +, x = u v = 2 + ( p ) + ( 2 )2 2 + ( p ) + ( 2 )2 è la soluzione cercata e infatti, sviluppando, si ottiene x = ( u v) = u v uv ( u v) = px, p x ossia x + px + = 0, che è l'euazione da cui eravamo partiti. Vale dunue il seguente teorema: Teorema 1.1. Se ( p ) + ( 2 )2 0, allora x = 2 + ( p ) + ( 2 )2 2 + ( p ) + ( 2 )2 è soluzione dell'euazione iniziale. 2

4 Osservazioni 1.2. Non in tutti i casi, però, uesta formula mi è di grande aiuto: talvolta mi restituisce la soluzione in una forma troppo complicata, altre volte mi restituisce valori apparentemente complessi uando invece le soluzioni dell'euazione sono tutte reali. ESEMPI: x + x 4 = 0 dà come soluzione x = , che però è solo una forma complicata per esprimere la soluzione x = 1; se considero l'euazione (x+)(x 2)(x 1) = x 7x+6 = 0 la soluzione che ottengo in risposta è x = + 10i + 10i, da cui è dicile vericare che rappresenta almeno una delle soluzioni conosciute (-, 2, 1). Se analizziamo il graco della funzione y = x + px + al variare di p e possiamo fare le seguenti osservazioni. Lemma 1.2. L'euazione x + px + = 0 ha 2 soluzioni reali coincidenti = ( p ) + ( 2 )2 = 0. Dimostrazione. ( ) Supponiamo di avere 2 soluzioni reali coincidenti: dunue l'euazione ha una radice multipla. Se uesta radice è a, allora la terza radice è 2a, dato che la somma delle tre radici (che euivale al coeciente del termine di secondo grado) ui è 0. In particolare a 0, altrimenti siamo nel caso in cui le soluzioni coincidono e sono tutte uguali a 0. Dunue x + px + = (x a) 2 (x + 2a) = x a 2 = 27 a a6 4 = 0. p x + 2a e uindi

5 ( ) Viceversa, se = 0, allora ( p ) = ( 2 )2, da cui p 0. Ponendo a := 2, otteniamo = 2a e p = ( 2 )2 = a 2, e dunue x + px + = x a 2 x + 2a = (x a) 2 (x + 2a) = 0 che ha una radice multipla in a. Consideriamo ora l'euazione generale x + px + = 0 nel caso in cui p < 0 e 0 (uando p > 0 la funzione è crescente, l'euazione ha una sola radice reale e in uesto caso > 0). Dai graci possiamo vedere che esistono 2 valori (r 1 e r 2 ) tali che x + px + = r i con i {1, 2} abbia una radice multipla. Se r 1 e r 2 hanno lo stesso segno (r 1 r 2 > 0), allora l'euazione x + px + = 0 ha una sola radice reale, se invece hanno segno opposto l'euazione ha radici reali. In accordo con il lemma 1.2, l'euazione x + px + = r i ha 2 soluzioni coincidenti ( p ) + ( ri 2 )2 = 0 e dunue r i = ± 4( p ), da cui 4( p ). Quindi r 1 r 2 = 2 ( 4( p ) ) = 4(( p ) + ( 2 )2 ) = 4. r i = ± Dunue vale il seguente teorema: Teorema 1.. L'euazione x + px + = 0 ha 1 sola radice reale se > 0; radici reali se 0, distinte se < 0; 2 radici reali coincidenti se = 0. Osservazioni 1.. Se l'euazione x + px + = 0 ha una sola radice reale o 2 radici reali coincidenti, allora la soluzione data dalla formula risolutiva è ben denita come dierenza di 2 radici cubiche di numeri reali ( 0). Se l'euazione ha radici reali distinte, invece, dalla formula ottengo una dierenza di radici cubiche di numeri complessi ( < 0). In ogni caso comunue la formula risolutiva, come dierenza di 2 radici cubiche, mi restituisce 9 valori (le possibili combinazioni delle soluzioni della prima radice con le soluzioni della seconda) di cui però solo soddisfano l'euazione iniziale. Per determinare uesti ultimi si sfrutta il fatto che u e v non sono indipendenti in uesto modo: x = u v p = u v v = p u x = u p u. 2 La formula di Ferrari per le euazioni di 4 grado Le euazioni di 4 grado si trovano per la prima volta risolte nell'ars Magna di Cardano e uesta risoluzione, dovuta a Ludovico Ferrari ( ), rappresenta uno dei grandi risultati di uest'importante opera matematica. Questa è l'osservazione che Cardano fa prima di introdurre uesto nuovo argomento ([Ma2] pag.0): La sesta cosa da notare [è] che non appena l'uomo sarà giunto a conoscere i 4

6 Capitoli sino a uelli relativi al cubo, [...], allora ne ha uanto basta per ogni caso algebrico, poiché sino al cubo si trova gradazione in natura: infatti vi sono linee, superci e corpi: e le linee corrispondono alle incognite lineari; le super- ci ai uadrati; i corpi ai cubi. Se pertanto avremo fornito su ueste notizie sucienti, sarà noto ciò che è necessario; in verità ciò che aggiungeremo al di là [di uesti gradi], è per diletto [...] e non per compimento di ciò che può trarsi da [tale] studio. Tali Capitoli successivi non esistono veramente in sé ma solo per accidente, se anche ve ne siano [formule] generali. Da ueste parole si vede bene che le euazioni di 4 grado non vengono considerate una naturale e autentica estensione di uelle di terzo, bensì ualcosa di accidentale, un'acrobazia intellettuale al di fuori però della realtà e dell'uso consentito e utile dell'algebra. E uesto nonostante che numerosi problemi portassero a tali euazioni. Tutto ciò ben mostra la mentalità geometrica del tempo. D'altra parte, arontando le euazioni di 4 grado, la geometria non può pienamente spiegare tutti i vari passaggi algebrici e fu enorme lo sforzo di Cardano nel tentativo di geometrizzare, uanto più possibile, alcuni di essi, nonostante il ragionamento di Ferrari fosse fuori da una piena corrispondenza geometrica. Qui di seguito sono mostrati i passaggi che portarono Ferrari alla scoperta di una formula generale per la risoluzione di euazioni di 4 grado. Prima di tutto, considerando l'euazione generica x 4 + bx + cx 2 + dx + e = 0, (2) trasportiamo gli ultimi termini a destra e completiamo il uadrato dei primi 2: (x bx)2 = ( 1 4 b2 c)x 2 dx e. Ricaviamo ora da uesta un'euazione in cui anche il 2 membro è un uadrato perfetto, aggiungendo (x bx)y y2 ad ogni membro: (x bx y)2 = ( 1 4 b2 c + y) x 2 + ( 1 by d) } 2 {{} r s x y2 e t } {{ } := rx 2 +sx+t = (mx+n) 2 e imponendo: = r 2mn = s s 2 = 4rt. n 2 = t m 2 E' da notare che vale anche che se s 2 = 4rt allora è il uadrato di una funzione lineare di x: r = 0 s = 0 = t, cost. e dunue è un uadrato r 0 = ( rx + 1 s 2 r ) 2. 5

7 Applichiamo ora uesto risultato (s 2 = 4rt) al 2 membro dell'euazione ottenuta al passo precedente: s 2 = ( 1 2 by d)2 = 1 4 b2 y 2 + d 2 bdy 4rt = 4( 1 4 b2 c + y)( 1 4 y2 e) = 1 4 b2 y 2 cy 2 + y b 2 e + 4ce 4ye da cui, imponendo s 2 = 4rt, si ottiene la seguente euazione di grado in y, detta cubica risolvente: y cy 2 + (bd 4e)y + 4ce b 2 e d 2 = 0. In uesto modo da un'euazione di 4 grado ci siamo ricondotti a una di. Siano ora y 1, y 2, y le soluzioni di uesta euazione cubica. Se y 1 è radice di tale euazione, allora dovranno valere le seguenti relazioni: x bx y 1 = ±(mx + n) x 2 + ( 1 2 b m)x y 1 n = 0 oppure x 2 + ( 1 2 b + m)x y 1 + n = 0. Siano x 1 e x 2 le radici della prima di ueste euazioni uadratiche e x e x 4 le radici della seconda. Allora x 1, x 2, x e x 4 sono le radici dell'euazione iniziale (2). Per uanto riportato sopra devono valere anche ueste relazioni: x 1 x 2 = 1 2 y 1 n x 1 x 2 + x x 4 = y 1. x x 4 = 1 2 y 1 + n Se invece di y 1 consideriamo un'altra delle radici della cubica risolvente (y 2 o y ), otteniamo 2 euazioni uadratiche diverse dalle precedenti che ci permettono di trovare altre 2 relazioni fra le x i e le y j (per i {1, 2,, 4} e j {1, 2, }). Questo è il sistema che lega le radici della cubica risolvente a uelle dell'euazione iniziale: y 1 = x 1 x 2 + x x 4 y 2 = x 1 x + x 2 x 4 y = x 1 x 4 + x 2 x. Quanto ai discriminanti dell'euazione uartica iniziale e della cubica risolvente uesti coincidono. Infatti entrambi sono deniti come prodotti dei uadrati delle dierenze delle radici dell'euazione e per le relazioni sopra scritte otteniamo: y 1 y 2 = (x 1 x 4 )(x 2 x ) y 1 y = (x 1 x )(x 2 x 4 ) e dunue: y 2 y = (x 1 x 2 )(x x 4 ) = (y 1 y 2 ) 2 (y 1 y ) 2 (y 2 y ) 2 = (x 1 x 4 ) 2 (x 2 x ) 2 (x 1 x ) 2 (x 2 x 4 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 (x x 4 ) 2 = 4. 6

8 Approccio trigonometrico Per estrarre tutte le possibili radici di un numero di grado n conviene ricorrere alla trigonometria e, in particolare, ci è molto utile la formula di De Moivre: n r(cos θ + i sin θ) = ( n r cos( θ + 2kπ n ) + i sin( θ + 2kπ ) ) n con k {0, 1, 2,..., n 1}. Nel caso n = con uesta, infatti, possiamo calcolarci facilmente le radici cubiche dell'unità (1, ω 1 = e 2π i, ω 2 = e 4π i ) e poi, dato un numero ualsiasi N di cui vogliamo calcolarci tutte le radici cubiche, allora i valori che risolvono il nostro problema sono: N, ω1 N e ω 2 N. La trigonometria comunue può essere usata per la risoluzione di euazioni cubiche anche senza tale formula sfruttando uest'identità: sin(θ) = sin θ 4 sin θ sin θ = 4 sin θ 1 4 sin(θ). Teorema.1. Data l'euazione x + px + = 0, se p = 4 allora x = sin ( 1 arcsin(4)) è soluzione dell'euazione. In generale, applicando la sostituzione x = 4p y ci si riconduce al caso precedente ottenendo la soluzione ( ) x = 4p sin 1 9 arcsin( 4p 4p 2 ). Dimostrazione. Se p = 4 l'euazione è x 4 x + = 0. Ponendo x = sin ( 1 arcsin(4)) nell'euazione si ottiene: ( ) 1 sin arcsin(4) ( ) 1 4 sin arcsin(4) + = 0. θ θ 1 4 sin(θ) Infatti θ = ( 1 arcsin(4)) = = 1 4 sin(θ). In generale, applicando la sostituzione x = ay e dividendo per a si ottiene: y + p a y + 2 a = 0. Ponendo ora p a = 2 4 ( a = 4p ), per uanto detto ( ) 1 nel caso precedente si trova la soluzione y = sin arcsin( 4 ( ), da cui: 4p ) x = ay = ( ) 4p sin 1 9 arcsin( 4p 4p 2 ). Osservazioni.1. Anché la formula appena esposta possa essere ben denita dovranno valere tali relazioni: p < 0 (anché 4p sia un numero reale); 9 4p 4p 2 1 (come argomento della funzione arcsin) p 4 4p p 0. 7

9 Vediamo inoltre che tale formula è applicabile esattamente nei casi dove l'altra ci restituisce valori apparentemente complessi, più dicili da interpretare, ossia uando < 0. Questa proprietà risultò essere fondamentale per i matematici del XVI-XVII secolo, fra cui Viète ( ) a cui dobbiamo la formula trigonometrica appena esposta, generalmente restii ad accettare gli stravaganti numeri proposti da Bombelli ( ), i numeri immaginari: essa permetteva infatti di risolvere il cosiddetto caso irriducibile, ossia il caso in cui < 0, senza dover ricorrere ad essi. Teorema.2. Se sono rispettate le relazioni dell'osservazione, allora la formula denita nel teorema.1 dà come risultato le soluzioni reali dell'euazione. Infatti, ponendo arcsin( 9 4p 4p 2 ) = α, le soluzioni sono date da: x = 4p ( ) 1 sin (α + 2kπ) per k = 0, 1, 2. 4 Il discriminante come Hessiano Consideriamo una generica forma cubica binaria (un polinomio omogeneo di grado in 2 variabili) f(x, y) = ax + bx 2 y + cxy 2 + dy e calcoliamoci il suo hessiano: H f = 6ax + 6by 6bx + 6cy 6bx + 6cy 6cx + 6dy = 6 ( (ax + by)(cx + dy) (bx + cy) 2) = 6 (ac b 2 ) x 2 + (ad bc) xy + (bd c 2 ) r 2s t y 2 = 6h h := rx 2 + 2sxy + ty 2. Applicando ad f una ualunue trasformazione lineare di determinante si ottiene: F = Aξ + Bξ 2 η + Cξη 2 + Dη con H F = 6 (AC B 2 ) ξ 2 + (AD BC) ξη + (BD C 2 ) R Ma l'hessiano di f è un covariante di indice 2 su f, cioè h(r, S, T, ξ, η) = 2 h(r, s, t, x, y), e uindi 2S T η 2 = 6h(R, S, T, ξ, η). H F = 6h(R, S, T, ξ, η) = 6 2 h(r, s, t, x, y) = 6 ( 2 rx sxy + 2 ty 2 ) forma uadratica binaria e, poiché il discriminante di una forma uadratica binaria è un invariante di indice 2, RT S 2 = 2 ( 2 r 2 t ( 2 s) 2) = 6 (rt s 2 ) e dunue rt s 2 è un invariante di indice 6 su f e 4(rt s 2 ) = (ad bc) 2 4(ac b 2 )(bd c 2 ) 8

10 è il discriminante di f. Se infatti consideriamo una generica euazione cubica ax + bx 2 + cx + d = ax + b x2 + c x + d = 0 e la riduciamo alla forma x + px + = 0, come visto in precedenza abbiamo: p = c a b2 a 2 = 2b 27a bc a + d 2 a. Se consideriamo ora la rispettiva forma cubica binaria e ci calcoliamo il discriminante otteniamo: = ( p ) + ( 2 )2 = a ( b2 c 2 + 4ac + 27a 2 d 2 + 4b d 18abcd). Applicando ora la sostituzione e svolgendo ualche calcolo si ottiene: { b b c c (ad bc) 2 4(ac b 2 )(bd c 2 ) che uindi prova che uesta è un'altra forma per esprimere il discriminante di f. Dal legame fra l'hessiano e il discriminante di f appena trovato si deduce che: Teorema 4.1. L'invariante rt s 2 = 0 f( x y, 1) = 0 ha una radice multipla, ossia f(x, y) è divisibile dal uadrato di una funzione lineare in x e y. Riguardo all'applicazione di uesti risultati per la risoluzione di euazioni cubiche è importante il seguente teorema: Teorema 4.2. Ogni forma cubica binaria f può essere trasformata in X +Y se il suo discriminante è diverso da 0 e dove X e Y sono i fattori dell'hessiano H di f; X 2 Y se H = X 2 a meno di scalari e il suo discriminante è 0; X se H = 0. Dimostrazione. Dato V spazio vettoriale di dimensione 2 denito sul campo K, allora il gruppo GL 2 K delle trasformazioni lineari agisce sull'insieme Sym V dei polinomi omogenei di terzo grado deniti su V. 9

11 Dato che anche il centro di GL 2 K agisce su Sym V per moltiplicazione di uno scalare, allora il gruppo uoziente P GL 2 K = agisce sullo spazio GL2K Z(GL 2K) proiettivo P(Sym V ) P. Quest'azione conserva il sottoinsieme C P dei cubi, la cubica gobba. Inoltre ci sono esattamente orbite: l'insieme C dei cubi, il luogo Σ dei prodotti di uadrati per fattori lineari del tipo v 2 w, con v e w linearmente indipendenti, e inne l'insieme Φ di prodotti di fattori linearmente indipendenti a 2 a 2. Dunue - se f ha una soluzione tripla ci si riconduce al caso X e H f = 0; - se f ha una soluzione doppia e una distinta siamo nel caso X 2 Y : H f = 4X 2, il discriminante di H f è 0 e uesta è proprio l'euazione di Σ; - se f ha soluzioni distinte ci si riduce alla forma X + Y : H f = 6XY con discriminante 0. Dunue, per risolvere un'euazione cubica c(z) = 0 priva di radici multiple, si riduce la forma cubica f(x, y) = y c( x y ) alla forma Aξ + Dη, dove ξ ed η sono i fattori dell'hessiano di f. 5 La soluzione geometrica delle euazioni di 2 e grado L'euazione x 2 + px + = 0 è un'euazione uadratica nella variabile x i cui coecienti sono i parametri p e. Questo però è un punto di vista: infatti posso anche vederla come un'euazione lineare nelle variabili p e con coecienti dipendenti dal parametro x. Un'euazione lineare del tipo = xp x 2 descrive una ualsiasi retta non verticale (e uindi una famiglia di rette) nel piano (p, ) la cui pendenza dipende dal parametro x. Per ogni x si ha una retta diversa, ad ogni retta non verticale nel piano (p, ) corrisponde uno specico x. 10

12 Come si vede dal graco, uesta famiglia di rette determina una curva inviluppo, cioè tangente in ogni suo punto una delle rette. Per determinare l'espressione di tale curva basta risolvere il seguente sistema: { { x 2 + px + = 0 p = 2x 2x + p = 0 = x 2 da cui, eliminando la x, si ricava l'espressione cartesiana = p2 4 che ci dice che la curva è una parabola. Questa curva può essere usata per risolvere l'euazione x 2 +px+ = 0 gracamente. Prima di tutto dimostriamo che, data una ualsiasi retta nel piano (p, ), il punto in cui uesta è tangente alla parabola corrisponde a un'euazione con radice doppia. L'espressione (x x 1 )(x t) = x 2 (x 1 + t) x+ tx 1 = 0 al variare del parametro t, p uindi di p e, mi dà tutte le euazioni di grado 2 che hanno almeno una radice uguale a x 1 : { p = x1 t = x = tx 1 p x Se adesso poniamo t = x 1, cioè consideriamo l'euazione che ha x 1 come radice doppia, dal sistema otteniamo: { p = 2x1 = x 2 1 che è anche un punto della parabola: dunue tale punto è in comune fra la retta e l'inviluppo ed è uindi il punto di tangenza; inoltre, poiché il valore x 1 è generico, tutti i punti che rappresentano euazioni con radice doppia si trovano sulla curva inviluppo. Consideriamo ora una generica euazione x 2 +px+ = 0. A uesta è associato il punto (p, ) nel piano (p, ). Se adesso da uesto punto tracciamo, se possibile, le tangenti alla curva, ueste corrispondono a determinati valori di x. Tali valori sono le soluzioni reali dell'euazione considerata. Possiamo fare uindi la seguente osservazione: Osservazioni 5.1. Il numero di radici reali distinte dell'euazione x 2 + px + = 0 corrisponde al numero di rette nel piano (p, ) passanti per il punto (p, ) e tangenti la curva inviluppo. 11

13 Sempre dal graco nel piano (p, ) possiamo notare che: per i punti che si trovano al di sotto della parabola esistono 2 rette tangenti; per i punti che si trovano al di sopra della parabola non esiste alcuna retta tangente la parabola; per i punti che appartengono alla parabola stessa esiste un'unica tangente. In tal caso le 2 radici dell'euazione associata coincidono. Una semplice euazione uadratica, probabilmente, non necessita di uesto relativamente complicato trattamento, ma consideriamo ora la più interessante euazione cubica x + px + = 0. Sebbene uest'euazione possa esser risolta anche esplicitamente con radicali, come si è visto prima, le formule per risolverla non sono molto semplici e, in alcune situazioni, troppo complicate. Proviamo invece a trattare anche ueste euazioni come una famiglia di rette nel piano (p, ). Dal graco si vede l'andamento di tali rette e la curva inviluppo che determinano, una cubica cuspidata. Per determinare l'espressione di tale curva procediamo analogamente a prima: { { x + px + = 0 p = x 2 x 2 + p = 0 = 2x da cui ( p ) + ( 2 )2 = 0, ossia = 0, dove è il discriminante introdotto nel 1. Come prima, mostriamo che, data una ualsiasi retta nel piano (p, ), il punto in cui uesta è tangente alla curva corrisponde a un'euazione con radice multipla. Consideriamo la retta x 1 + px 1 + = 0, dove x 1 è generico. Al variare dei parametri p e, essa rappresenta tutte le euazioni del tipo x + px + = 0 con almeno una radice uguale a x 1. Calcoliamoci ora l'intersezione con la curva: { x 1 + px 1 + = 0 4p p + 27(p 2 x 2 = x px 4 1) = 0. 12

14 Se ora proviamo a dividere uesto polinomio per (p + x 2 1) otteniamo: 4p + 27(p 2 x x px 4 1) = (p + x 2 1) 2 (4p + x 2 1) e dunue per p = x 2 1 ( = 2x 1 ) la retta ha un doppio punto in comune con la cubica cuspidata, il punto di tangenza. Tale punto corrisponde all'euazione per cui x 1 è radice doppia: se infatti andiamo a sostituire p e nell'espressione della retta generica si ottiene: x + ( x 2 1)x + 2x 1 = 0 (x x 1 ) 2 (x + 2x 1 ) = 0. Quindi i punti di tangenza fra le rette e la curva corrispondono a euazioni con radici multiple. Se consideriamo ora una ualsiasi euazione cubica x + px + = 0 a uesta è associato il punto (p, ) nel piano (p, ). Se adesso da uesto punto tracciamo le tangenti alla curva ueste corrispondono a determinati valori di x. Tali valori sono le soluzioni reali dell'euazione considerata. Analogamente a prima anche ui dal graco possiamo notare che: per i punti che si trovano a sinistra della curva inviluppo esistono rette tangenti la curva e dunue l'euazione associata ha radici reali distinte. Siamo infatti nel caso in cui 4p 27 < < 4p 27 e dunue < 0; per i punti che si trovano a destra della curva inviluppo esiste una sola retta tangente e in uesto caso l'euazione associata ha una sola radice reale. Per uesti punti vale infatti la relazione >, da cui > 0; 4p 27 per i punti che appartengono alla curva stessa esistono 2 rette tangenti. Siamo infatti nel caso in cui l'euazione associata ha una radice multipla e = 0; per il punto di cuspide della curva, inne, le radici coincidono e sono tutte uguali a 0. 1

15 Riferimenti bibliograci [Bo] U. Bottazzini, La grande arte: l'algebra del Rinascimento, in Storia della Scienza, UTET, Torino, [Di] L.Dickson, Algebraic Theories, Dover, rst edition [FT] D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus, AMS, [Ha] J. Harris, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, [Ma1] S. Maracchia, Da Cardano a Galois, Feltrinelli, [Ma2] S. Maracchia, Storia dell'algebra, Liguori, Napoli,