Il problema generale dell elettrostatica

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1 Il poblem genele dell elettosttic Il poblem viene bevemente discsso, senz lcn petes di igoe o di completezz, solo pe intode lcni concetti tili, pe f cpie come si possono isolvee molti poblemi ptici, e pe l inteesse mtemtico Genelit Esso po essee posto nell segente fom: tove il potenzile elettosttico in n pefisst egione spzile, eventlmente infinit, note l distibzione di cic. Ricode che, n volt tovto il potenzile, il cmpo si ottiene dl gdiente. Ricodimo le elzioni pi impotnti: E E E x, y, z x y z L ltim e not come eqzione di Poisson: e n eqzione diffeenzile lle deivte pzili, linee, del II odine, non omogene. E bene note che d ogni dives fnzione densit di cic ρ(x,y,z) coisponde n dives eqzione di Poisson, con n diveso insieme di solzioni: qindi l denominzione Eqzione di Poisson e di ftto geneic. Nelle egioni di spzio in ci ρ =, vle l eqzione omogene not come Eqzione di Lplce. Un modo pe nll igooso, e nzi lqnto disctibile, m eltivmente intitivo, di considee n eq. diffeenzile lle deivte pzili e qello di immginl eqivlente n sistem di infinite (di ftto, n infinit contin) di eq. diffeenzili odinie: in qesto modo islt bbstnz plsibile che l solzione genele di n eq. del II odine dipend d de fnzioni bitie (ossi, d de infinit contine di costnti bitie). Poiche dipende d de fnzioni bitie, nomlmente l solzione genele non e nomlmente di gnde inteesse ptico. Tove n solzione pticole di n eq. diffeenzile lle deivte pzili ichiede che sino specificte le condizioni l contono: fissndo le condizioni l contono l solzione genele si pticolizz d ogni dt sitzione. Esse possono consistee nel de il vloe del potenzile, oppe qello del gdiente di qindi del cmpo elettosttico E, sll fontie dell egione considet. L insieme dell eq. diffeenzile e delle condizioni l contono si chim poblem l contono. Il poblem mtemtico cosi definito e noto come poblem di Cchy; i sottocsi in ci sono dti il potenzile o il cmpo sll fontie sono noti come poblem di Diichlet

2 e poblem di Nemnn; se sono dti potenzile s n pte dell fontie e il cmpo sl esto, il poblem e di tipo misto. Esistenz e nicit Sfotntmente, non esistono metodi di isolzione geneli, pplicbili ttti i tipi di poblemi l contono: nel cso dell eq. di Poisson e di Lplce ci tovimo di fonte poblemi l contono chimti di tipo ellittico, pe i qli si possono tttvi stbilie lcni isltti geneli. Un pimo isltto che si dimost pe i poblemi di tipo ellittico e che le condizioni l contono ppopite sono solo qelle ipotte nei sottocsi citti sop, pche l fontie sll qle sono dti potenzile e/o cmpo consist in n speficie chis (note: l speficie chis po nche tovsi, pzilmente o intemente, ll infinito). In pticole, non sono ccettbili poblemi l contono del tipo detto di Cchy, nelle qli sino specificti sll fontie si il potenzile si il cmpo, pe evidenti gioni fisiche (non si possono fisse indipendentemente potenzile e cmpo s n speficie dt, peche noto l no e noto l lto); ne poblemi del tipo di Diichlet o Nemnn nei qli l fontie si n speficie pet (fisse p.es. il potenzile solo s n pte di speficie chis, senz specificne il vloe sl esto, non fiss nivocmente il potenzile stesso nel esto del volme. Si pensi, pe fisse le idee, n cilindo metllico indefinito, dl qle si stt isolt n fett longitdinle come in fig: Le de pti del cilindo sono isolte: fisse il potenzile dell pim delle de non stbilisce nivocmente il potenzile stesso nell inteno del volme, peche si po vilo semplicemente cmbindo il potenzile dell second). Se viceves il cilindo non e sddiviso, il potenzile del cilindo detemin nivocmente qello dell zon inten.

3 Nei csi citti sop, gli nici di inteesse fisico, vle n secondo isltto genele: n teoem di esistenz e nicit, detto di Cchy-Kowlewsky, stbilisce che, se le condizioni l contono sono fisste d fnzioni nlitiche (essenzilmente: infinitmente deivbili), il poblem mmette sempe solzione e che qest e nic: qindi, se in qlche modo si tov n solzione, qest e l solzione. Un tezo isltto genele pe i poblemi di tipo ellittico omogenei (v. eq. di Lplce) e che le solzioni (chimte fnzioni moniche) hnno popiet di nliticit, e pe esse vle il teoem di mssimo/minimo: gli estemi delle solzioni devono tovsi sll fontie dell egione in ci esse sono definite. In pticole, se n fnzione monic e definit s n egione illimitt e v zeo ll infinito, ess e identicmente nll. L solzione fondmentle dell eqzione di Poisson F le infinite possibili sitzioni, conviene inizilmente considee qell che d logo ll solzione tlvolt chimt l solzione fondmentle dell eq. di Poisson, ossi l solzione coispondente d n densit di cic niti, pntifome, posiziont geneicmente in : (Pe le popiet dell fnzione δ di Dic, v. coso di Metodi) In nlogi con il cso delle eq. diffeenzili odinie, l solzione del poblem non omogeneo e l somm dell solzione del poblem omogeneo ssocito e di n solzione pticole del poblem non omogeneo: om pt om pt Il poblem non omogeneo/omogeneo, come l solito, islt completmente definito solo qndo sono specificte le condizioni l contono.. ) Condizioni l contono ll Nel cso dell solzione fondmentle, le condizioni l contono pi semplici possono essee espesse ichiedendo solo che il potenzile vd zeo distnz ; si tov cosi l solzione pticole pt 4

4 Dimostzione: d d d Teoem dell divegenz: vol.sfeico di ggio R, cchiso d S A ˆ A ˆ A d d d d S S S 4R ˆ d A S se R lim ˆ d R A -4 se R S pt, 4 pt E immedito iconoscee che ess coincide con il potenzile colombino. L solzione fondmentle pe il poblem l contono specificto si tov ggingendo l solzione dell eq. di Lplce ppopit lle condizioni l contono citte pim: 4 In considezione del isltto genele icodto sop, l solzione dell eq. omogene in ttto lo spzio, con l condizione l contono di nde zeo ll infinito, e peo identicmente nll, qindi: b) Condizioni l contono qlsisi om 4 Il poblem l contono bevemente descitto sop islt pticolmente semplice d ttte; in genele, peo, le condizioni l contono possono essee pi complicte. Allo scopo di genelizze il pi possibile il isltto pecedente, islt pticolmente tile intode il concetto di fnzione di Geen pe l eq. di Poisson, che non e lto che l solzione fondmentle di ogni dto poblem l contono: si pl qindi pi coettmente di clsse di fnzioni di Geen. Poiche le condizioni l contono possono

5 essee qelle di Diichlet o qelle di Nemnn, vemo n clsse di fnzioni di Geen pe ognn delle de clssi di poblemi l contono. Qndo l solzione viene cect ll inteno di n egione limitt R, come ccde nomlmente nei csi di inteesse, potemo scivee l fnzione di Geen ppopit lle condizioni l contono, G D,N, come somm dell fnzione di Geen dello spzio libeo, G, e di n fnzione di Geen nell egione limitt, G R : GD, N, G, GR, om D, N, 4 dove l solzione dell eq. omogene e qell dell eq. di Lplce con le condizioni l contono del poblem. E evidente come il poblem di tove l solzione fondmentle dell eq. di Poisson pe ogni dto poblem l contono veng spostto qello di tove l solzione dell eq. di Lplce pe qelle condizioni l contono. Eqzione di Poisson: cso genele Cos ccde nel cso genele, qndo cioe l distibzione di cic e pi genele di qell coispondente n cic pntifome niti? Si po dimoste che in ogni cso l solzione si po scivee come somm di contibti colombini. Se l egione U contenente l cic e limitt, si dimost che l nic solzione e Inftti: R U om D, N, 4 ( ) G, d G, d G, U G, d d 4 de. ispetto, = cost 4 Il poblem genele dell elettosttic viene qindi icondotto l clcolo di n integle di volme e ll solzione di n poblem l contono pe l eq. di Lplce. Nell ptic, si possono inconte csi (poco feqenti, in veit ) in ci e not l densit di cic di volme, e le condizioni l contono sono qelle ll infinito: sebbe p.es. il cso del potenzile elettosttico geneto d n molecol. In qesto cso, compe ovvimente solo il pimo temine. Altentivmente, po cpite il cso (molto pi feqente) in ci si hnno condizioni l contono specificte dl vloe del potenzile s n insieme di speficie condttici, senz che ci si pesenz di ciche di volme. In qesto secondo cso, compe ntlmente solo il secondo temine. In genele, ci snno entmbi i contibti. 4 d OK

6 [ icodto che l pesenz di dielettici in n cmpo esteno compot l pesenz di ciche di polizzzione, che effettivmente si possono itenee loclizzte slle speficie dei dielettici stessi; esse devono venie inclse nell distibzione di cic di volme che contibisce l potenzile. In genele, il poblem genele dell elettosttic in pesenz di dielettici po venie ffontto in divesi modi eqivlenti, si qli non ci soffemimo] Svilppo in seie di mltipoli L integle di volme che compe nell foml dt sop non e, di solito, fcile d clcole: spesso si deve qindi icoee qlche tipo di ppossimzione. Si po ccenne come il poblem poss essee ffontto nel cso, feqente, in ci l distibzione di cic si limitt n zon dl volme finito Se ci si tov nelle condizioni di dove clcole il potenzile in pnti molto distnti dl volme cico, si po svilppe in seie secondo l foml di Newton pe il binomio: = + = + = + = Qindi: = ( ) ( ) ( ( ) ) ρ d d ( ) = πε ρ d = + cosθ + cos θ πε

7 essendo θ l ngolo f i vettoi e. I coefficienti delle potenze cescenti di / sono polinomi nell vibile x = cos θ, noti come polinomi di Legende P n (cos θ). Essendo pe ipotesi l distibzione limitt nello spzio, distnz sfficientemente gnde l sccessione ( /) n tende pe n, e ci si po limite considee solo i pimi temini. Si po qindi scivee compttmente lo svilppo del potenzile in temini dei momenti di mltipolo dell distibzione di cic di volme: d ( ) ( ) ρ d = Pn 4πε n= ( cosθ ) n ( ) = ρ ( ) P ( θ ) d 4πε cos n+ n n = momento di mltipolo di odine n n I pimi momenti di mltipolo sono: ( ) ρ d = q cic totle ρ ( ) ( θ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ θ ρ ˆ ρ ˆ p ˆ P cos d = d = d = mom. di dipolo P cos d = mom. di qdpolo Poblem dell elettosttic in pesenz di condttoi L lto elemento che compe nell solzione del poblem l contono genele e l solzione dell eq. di Lplce coispondente: x y z in pesenz di oppotne condizioni l contono. Come ccennto sop, esse possono consistee nel de il vloe del potenzile, oppe qello del gdiente di qindi del cmpo elettosttico E, sll fontie dell egione considet. Si noti che, in vist dell elzione, vlid ll speficie di ogni condttoe: E n ˆ specifice il cmpo locle si condttoi eqivle specifice l densit di cic locle.

8 ) Sepzione delle vibili L eq. di Lplce e sepbile in divesi sistemi di coodinte: in lte pole, e possibile tove solzioni dell fom,, X ( x) Y ( y) Z( z),,!,, R "! x y z z R Z z Si noti: non ttte le solzioni sono di qesto tipo! Anzi, l insieme delle solzioni vibili septe e n sottoinsieme piccolissimo dell insieme totle. Bst considee il potenzile colombino, che e del tipo indicto in coodinte sfeiche, m non in coodinte ctesine o cilindiche. Tttvi, esiste n insieme (infinito) di solzioni bse del tipo sop descitto, pe ogni tipo di coodinte, tle che qlsisi solzione e espimibile come seie nelle sddette fnzioni bse. Le solzioni vibili septe qindi sono inteessnti; esse si possono tove segendo no schem ingegnoso, che viene qi sommimente indicto pe il cso delle coodinte ctesine. Nell solzione cect, ognn delle te fnzioni X,Y,Z dipende solo d n coodint. Possimo scivee: X Y Z YZ XZ XY x y z x y z Dividendo pe XYZ: X Y Z X x Yy Zz Ognno dei te temini dipende pecio, pe ipotesi, d n sol coodint. Sopendentemente, qesto implic che ogni temine deve essee n costnte. Se qesto semb poco convincente, si povi gione cosi : Il II e il III temine non dipendono d x: qindi l vie di x estno costnti. Siccome l somm dei temini f sempe pe ttti i pnti (x,y,z), nche il I temine deve essee costnte Stesso gionmento pe il II e il III temine.. Qindi possimo scivee:

9 X dx Y dy d X d Y d Z Z dz c c, cc c c In qesto modo, l eq. lle deivte pzili viene idott n sistem di eq. diffeenzili odinie, dipendente d costnti di sepzione (di ci solo indipendenti), il ci significto si compende f poco: in ttt genelit, esse sono costnti complesse, m l lgeb e pi semplice se le si ssme come eli, positive o negtive second dello specifico poblem. Assmendo, titolo di esempio: Si tov: Come si vede: c = α > c c = β > ( ) γ α β = = + < d X X dx x d Y y dy d Z Z dz X x Ae Be Y Y y Ce De x Z z Ee Fe i z i z A,B,C,D,E,F sono costnti bitie nell solzione genele vibili septe Le costnti di sepzione α,β,γ non sono fisste nell solzione genele vibili septe Entmbi gli insiemi di costnti vengono fissti dlle condizioni l contono: si le costnti A,B,C,D,E,F, si le costnti α,β,γ, second dei csi, possono essee definite nivocmente o no. y Pobbilmente, il meccnismo si cpisce meglio ttveso n esempio.

10 z y Un condtt metllic semi-infinit h sezione qdt di lto. Le qtto fcce lteli dell condtt sono potenzile zeo; l fcci qdt ll estemit dell condtt e isolt e mntent potenzile costnte. Tove il potenzile ll inteno dell condtt. y y z z x x# A x x X x Ae Be iy iy Y y Ce De i z i z Z z Ee Fe i i n CD Ce De CD Csin n i i m EF Ee Fe EF n m x n y mz nmx, y, z Knme sin sin x Significto: le solzioni vibili septe costitiscono n insieme doppimente infinito, i ci elementi (disceti) sono etichettti di de nmei intei n,m e dll costnte biti non specifict K nm.

11 Dt l lineit dell eq. di Lplce, ogni combinzione linee di qesti elementi e nch ess solzione dell eqzione con le dte condizioni l contono. Qindi in genele: # # n m x nm n m n y mz x, y, z$$ K e sin sin e n solzione del poblem. Possimo tente di detemine le costnti bitie K nm tmite l condizione l contono nco non st: # # ny mz y z $$ K,, nm sin sin n m Come pocedee? Si s l popiet di otogonlit delle fnzioni sin e cos sll intevllo nitio sin n y sin n y n n dy, m, m n n Moltiplicndo i de membi pe n y m z sin sin : # # $$ n m K nm ny mz sin sin ny mz ny mz sin sin sin sin n y mz n y m z n y m z K sin sin sin sin dydz sin sin dydz # # $$ nm n m n y n y n sin dy cos cos n n n n n n m K n m 4 4 n m n m n m Kn m 6 n m n m Qindi concldimo:

12 # # n m 6 x $$ e n m n y m z x, y, z sin sin n m In vist del teoem di nicit, qest e nche l nic solzione che soddisf eqzione e condizioni l contono. b) Metodo delle immgini Pe cio che igd qest e lte tecniche di solzione, che sono pittosto semplici d compendee, si invi i testi consigliti