BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA

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1 BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA Lug Conte Vncenzo Vvan e la fgura d Torrcell Bollettno dell Unone Matematca Italana, Sere 3, Vol. 7 (1952), n.3, p Zanchell < L utlzzo e la stampa d questo documento dgtale è consentto lberamente per motv d rcerca e studo. Non è consentto l utlzzo dello stesso per motv commercal. Tutte le cope d questo documento devono rportare questo avvertmento. Artcolo dgtalzzato nel quadro del programma bdm (Bbloteca Dgtale Italana d Matematca) SIMAI & UMI

2 Yncënzo Vvan e la " fgura d Torrcell, r Nota d LuG CONTE (a Torno). Sunto. - Come rsulta dalle prme rgfoe della Nota. La lettura d due Note, 1' una del BONFERRONI, nella qale vene dmostrata una proposzone molto pù generale del «teorema d NAPOLEONE», ( ] ) e Taltra del NATUCCI, relatva a lmt tra qual è compresa la somma de segmentl congungent vertc d'un polgono convesso con un punto ad esso nterno, ( 2 ) lanno rchamato alla ma memora alcune rcerche d Y. VIVIAKI rguardant la cosdetta «fgura d TORRECELLI» ( 3 ) ed un classco problema d mnmo: d esse voglo qu dscorrere, sopratutto per la manera elementare e puramente geometrca con cu tal reerche sono condotte dal loro Autore. 1. Fra le note ed aggunte d YINCENZO YIVIAKI al Lbrö 1 d ETJCLIDE, ( 4 ) s legge la seguente proposzone. «In ogn trangolo rettangolo l trangolo equlatero costruto sulv potenusa è uguale ( 5 ) alla somma de trangol equlater costrut su catet*. Perché l lettore non abba a sorrdere come per una dcharazone d ngenuta, deve sapere ( 6 ) che l sedcenne YvAsr, (') C. BONFERRONI, TIn teorema sul trangolo e l teorema d Napoleone, n «Boll. Un. Mat. It.», n. 1, ^*50, pag Per un'al tra dmostrazone dello stesso teorema, ved: G. VAROLI, Dt un teorema sul trangolo, bdem, n. 3-4, 1950, pag ( 2 ) A. NATUCCI, Rela&or permetrche n trangol e polgon, n «Perodco d Matematche», n. 2, 1951 pag ( 3 ) Vene, d solto, cos denomnata la fgura formata da un trangolo e da tre trangol equlater costrut su lat del prmo. ( 4 ) V. VIVIANI, Qunto Lbro degl Element d Euclde^ Frenze, MDCLXX1V, pag ( 5 ) VIVIANI, al par d EUCLIDE, non fa dstnzone fra uguaglanza ed equvalenza. ( 6 ) Le notze storche che seguono sono tratte da una lettera ( ) del VIVIANI, al gesuta ADAMO ADAMANDO, al quale, rchestone, nvava della proposzone enuncata Ie dmostrazon trovate una trentna d' ann prma, e gà a moltssm alt r da tempo c o mune at e.

3 VINCENZO VIVIANI E LA «FIGURA Dl TORRICELLI» B35 nzando lo studo degl Element, senza V auslo d' uu precettore, era rmasto taknente colpto dal teorema d PITAOORA che, gnorando aneora quello che sulle aree de polgon sml s legge nel Lbro VI d EUCLIDE, s era subto domandato se la propretà valda per quadrat non valesse pure per polgon regolar avent l mnmo numero d lat possble. Messos al lavoro, con goa non nferore a quella con cu PITAGORA avrebbe computo la leggendara eeatombe, trovö déla suddetta proposzone due dmostrazon.: nella prma ven provato che complessvamente due trangol equlater costrut su catet equvalgono a quello costruto sull'potenusa; nella seconda, nvece/s procède n manera analoga a quella eucldea, vene coè provato quale parte del trangolo equlatero costruto sulfpotenusa équvale a cascuno de trangol equlater costrut su catet. In seguto, quando aveva gà studato prm quattro Lbr degl Element, medtando sulla fgura che gl era servta per la prma dmostrazone, l No- STRO ne scoprï certe propretà «leva equdem, at sctu non nucunda, quorum nonnulla Tyronbus ( 7 ) tantum Geometrs explcare lbet», alcune delle qual valgono pure se l trangolo non è rettangolo ( 8 ). 2. Prma dmostrazone. Costrut trangol equlater ABC, ABE. BFC sul-. Tpotenusa AC e su catet AB e BC del trangolo rettangolo ABC (fg. 1), s congungano E, F, D rspettvamente con C } A, B ( 9 ) stracc la EG parallela & BC: EG sarà altezza e medana nel trangolo ABE, e d conseguenza ( 7 ) Per questa ragone VIVIAKI s esprme n manera un pö prolssa, anche se classca. ( 8 ) Per le proprété déla «fgura d Torrcell» relatva ad un trangolo qualunque } ved: A. JSTBPPI-MODONA, Sopra una propretà del trangolo, n «Suppl. al Perodco d Matematca», 1905, fase. VI-YIII, pag. 86; A. COLUCCI, Su alcune propretà del trangolo^ bdem, 1915, fase. IX, pag ( 9 ) VIVIANT, dmostra n seguto che queste tre congungent passano per uno stesso punto.

4 336 LUIGI CONTE (1) Pertanto : Analogamente, conducendo FH parallela ad AB, s dmostra che : (2) l Sommando (1) e (2): (3) & Ma è pure: A = &BCB, = AEBFCA. qund la (3) s scrve : (3') = ABCD = AEBFCA. E toglendo da ambo membr dell'ultma eguaglanza l trangolo ABC: (4) ^ACD = ^ABE + ^BCF. Seconda dmostrazone. Condotta T altezza J5G relatva alf pote-

5 VINCEN20 VIVIANI E LA «FIGURA Dl TORRICELLI» 337 nusa AC (fg. 2), dco che : = ^BFC. Infatt, dett 1 ed H punt med d AB e AC, s traccno Ie BH, EI, BB, EC, BH, Cl: rsulteranno BH ed EI rspettvamente parellele a BG e BC. Pertanto : ed è pure onde coè la prma delle (5)* Analogamente s dmostra la seconda delle (5), e qund per somma s ha la (4). 8. Rtornando alla prma dmostrazone, TIVIANI consegue qualche altro rsultato. vcrcoscrtt cerch a tre trangol equlater costrut su lat Fg. 3,

6 338 LUIGI CONTE del trangolo dato (fg. 3), sa I l punto d' ncontro delle congungent AF, CE: a) I segment DB, FA, EG congungent vertc de tre trangol equlater con queïl degl angol del trangolo dato ad ess rspettvamente oppost, sono ugual fra loro, ed ugual a EF congungente vertc de due trangol equlater costrut su catet- Infatt, due trangol CAE< DAB sono sovrapponbl con una rotazone d 60, qund CE = BD. Analogamente AF=DB, onde AF=DB = CE. Ma anche trangol ABF, EBF sono ugual, per avere due lat ugualj ed ugual fra loro ed a Ö d retto gl angol ABF, EBF f scchè EF^AF=DB = CE. b) Le predette tre congungent passano per uno stesso punto I : basterà dmostrare che punt D, I, B sono allneat. Infatt, dall' uguaglanza de trangol ABF, CEB, segue FAB=zCEB. Inoltre = ÏEA H- ÏEB -f- BAE = BEA -+- BAE - retto, onde l cercho crö coscrtto al trangolo equlatero ABC passa per L 2 2 Ma AID == JÖÏÖ = g retto, qund anche AIE ~ g retto = ABE, coè anche l trangolo crcoscrtto "al trangolo ABE passa per I. - ^ 2 ^-^. ' E pure ElB EAB g retto DlC; scchè essendo E, I, C allneat, tal s ar anno pure D, J, B. Da questa propretà segue 1' altra : c) I 'se angol che Ie AF, BD, CE formano n I sono ugual. d) I cerch crcoscrtt a tre trangol equlater ADC, ABE, BCF, passano tutt per I. È stato gà dmostrato che prm due d quest cerch passano per I; analogamente lo s dmostra per l cercho BCF. e) Se tenendo fssa la base AC s fa varare l vertce B del- V angolo retto sul semcercho d dametro AC, l punto I varera sulv arco ACI terza parte del cercho crcoscrtto al trangolo equlatero ADC. f) Se ALC è l trangolo equlatero costrttto su AC nel sempano non contenente D, al varare d B sul semcercho d dametro AC, vertc E, ed F de trangol equlater costrut su catet varano su semcerch d dametr rspettv AL e CL. Infatt, essendo CAL= ÉAE, aggungendo o toglendo seconda le poszon d B V angolo ÉTL, s avrà CAB = LAE, ed due trangol CAB, LAE avendo due lat e 1' angolo compreso ugual^ rsulteranno ugaal, e qutd EL = BC, e AÊt = AB(? = l retto. Analogamente per l vertce F.

7 VINCENZO VIVIANI E LA «FIGURA Dl TORRICELLT» 839 g) II punto I è quello la somma delle cu dstante da vertc del trangolo ABC ed anche da vertc del trangolo DEF è mnma. Infatt, cascuno degl angol AIC, ClIB, BIA, DIF, EI F, EID è «d retto, e qund per la prop. 6 a derappendce alla Dvnazone de Massm e Mnm ( lü ) segue 1' asserto. 4. La proprété contemplata n (g) è caso partcolare d'un problema d mnmo d cu YIVTANI S' era gà occupato. Com' è noto.a lu s deve una dvnazone del Lbro Y delle Conche d APOLLONIO. la quale avrebbe dovuto comprendere tre Lbr ; ma non a'veudo PA. condotto a termne l terzo, ne pubblcö prm due con 1'aggunta d'una Appendce, nella quale fece posto a delle proposzon ( 1] ) o perché non ^del tutto utl a questo progettato terzo Lbro, o perche non aveyano trovato ncondzonata approvazone n coloro a qual Ie aveva mostrate. Tra Ie altre v s legge la generalzzazone d J un problema gà rsoluto da TOBRICELLI, n tre mod dvers, ( 12 ) nel caso d' un trangolo : «dato n un pano tn polgono convesso d n > 3 lat, trovare un punto ad esso nterno tale che sa mnma la somma delle sue dstante da vertc del polgono dato». La dmostrazone che YIVIAWI dede della rsoluzone delp ndcato problema d mnmo, fu rtenuta ngenosam da CHR. HUI- GENS, ( 13 ) nouostante egl trovasse che nella dvnazone vvanea non e fossero «de fort grandes subtltés» : nel paragrafo seguente vedremo n cosa consste questa rconoscuta ngegnostà. 5. YIVIANT fa anztutto un' osservazone prelmnare. Sa dato un polgono regolare P n d n lat e d vertc A', detta cü,-(o) la dstanza che un punto qualunque 0 non esterno a P (n partcolare, l centro del polgono) ha dal lato A t A +1 è! lv ' permetro ' ( 0 ) Y. YIVIANI, De maxms et mnms geometrca dvnato n quntum Ooncorwm Apollon Pergae adhuc desderatum, Florentae, MDCL1X, Lbro II, pag (H) Forse anche a questo terzo Lbro erano destnate alcune queston d massmo che trovamo, n numero d cnque, nel Lbro III della dvnazone vvanea del «De locs solds» d ARISTEO IL VBCCHIO. Per un esame d questo Lbro rmando ad un mo lavoro n corso d stampa n «Archves Internatonales d'hstore des Scences». ( 12 ) E. TORRICELLI, Opere y a cura d Gr. LORIA e G. YASSURA, Yol. I, Parte II, pag ( 13 ) CHR. HUYGENS, Oeuvres complètes, Tome III, pag. 61, ved: lettera del , a Hensns.

8 340 LUIGI CONTE e qund, se 0' è un' altro punto del pano d P, è sèmpre (9) l segno d dsuguaglanza valendo solo se 0' è esterno al polgono. TEOR. I. - La somma déle dstante d } un punto P dat vertc A à" un quaïunque polgono regolare è mnma se quel punto è l centro 0 del polgono. Infatt, conducendo per vertc A { Ie perpendcolar a segment! 0A 9 s ottene un polgono PJ d vertc A/, smle a quello dato e concentrco con esso. Se ora abbassamo da P Ie perpendcolar h su lat d questo nuovo polgono, per la précédente osservazone è OA < I h. Ma essendo Ie perpendcolar mnor déle oblque TEOR. II. - Se da un punto 0 partono n un pano n segmentï j e gl angol AOA v- sono tutt ugual% e sel è un' altro puntoquaïunque dello stesso pano, è (ï) 2 0A t < 2 IA;. Infatt, se ad esempp 0A x è l maggore de segment dat per 0, s stacch sulla semretta 0A x l segmento 0P Y >0A x, e sulle altre semrette per 0 segment 0P= 0P v ; s otterrà un polgono regolare d vertc P {, e qund^ per l teor. précédente, ï OP, tcïlp^l (IA, -H Aft), don de la (11). Infne VIVIANI aggunge che l teor. II vale anche per l trangolo ABC cascuno degl angol del quale sa nferore a 120, dopo aver provato ene, n tale potes, gl arch capac d 120 ' descrtt su lat AB e BC nternamente al trangolo, s segano n un punto nterno al trangolo stesso. E credo s possa concludere, nonostante l poco sereno gudzo d ROBERVAL, ( 14 J che sa davvero genale questa generalzzazone, ottenuta con mezz puramente geometrc, d' un problema venuto d' oltre Alp. ( 14 ) Ved: A. AGOSTINI, Problem d massmo e mnmo nella corrsponden&a d E. TORRICÊLLT, n «Kvsta d Matemaüca déla Unverstà d Parma», 2, 1951, pag