matematica per le terze e le quarte

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1 lorenzo pantieri matematica per le terze e le quarte degli istituti professionali corso serale e san patrignano

2 Questo lavoro, scrit- to per gli alunni dell Istituto Versari-Macrelli di Cesena, spiega il programma di matematica degli Istituti professionali italiani. Ringrazio i Dirigenti scolastici Lorenza Prati e Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto, e i miei colleghi Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Giuseppe Guarrasi, Gilda Mautone, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Emanuele Parini, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per gli Istituti professionali Copyright c [email protected] Il frontespizio riproduce la litografia Belvedere di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

3 I N D I C E calcolo letterale. Monomi. Polinomi 9. Prodotti notevoli.4 Esercizi 6 equazioni fratte 5. Risoluzione delle equazioni fratte 5. Formule inverse 4. Esercizi 4 scomposizione dei polinomi 5. Raccoglimenti 5. Riconoscimento di prodotti notevoli 55. Trinomio speciale 57.4 MCD e mcm 6.5 Esercizi 6 4 equazioni fratte Risoluzione delle equazioni fratte Formule inverse 8 4. Esercizi 8 5 sistemi lineari 9 5. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili 9 5. Principi di equivalenza 9 5. Risoluzione dei sistemi lineari Problemi che si risolvono con i sistemi Esercizi 07 6 rette nel piano cartesiano 6. Funzioni lineari 6. Appartenenza di un punto a una retta 6. Punti d intersezione con gli assi 6.4 Coefficiente angolare e ordinata all origine Equazione della retta nel piano cartesiano Posizione reciproca di due rette 6.7 Determinare l equazione di una retta Esercizi 8

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5 C A L C O L O L E T T E R A L E Supponiamo che l insegnante chieda agli alunni di scrivere «il doppio della somma di due numeri». Anna chiede «Quali sono i numeri? Se non li conosco non posso soddisfare la richiesta» Bruno scrive: ( + ) Chiara scrive: (a + b) Anna si è posta il problema ma non ha saputo impostarlo; Bruno si è limitato a un caso particolare; Chiara ha espresso con una formula l operazione richiesta. L uso di lettere dell alfabeto per indicare numeri ci permette di generalizzare uno schema di calcolo. Definizione. Un espressione letterale è un espressione in cui compaiono numeri, lettere e operazioni. In un espressione letterale, le lettere indicano numeri qualsiasi. L espressione letterale (a + b), per esempio, traduce una serie di istruzioni che nel linguaggio naturale sono così descritte: «prendi due numeri, sommali e raddoppia il risultato ottenuto». Calcoliamo il valore dell espressione (a + b), sostituendo alla lettera a il numero e alla lettera b il numero : (a + b) = ( + ) = 4 = 8 Se al posto di a e b sostituiamo rispettivamente 4 e 5, il risultato cambia: (a + b) = (4 + 5) = 9 = 8 In un espressione letterale, le lettere rappresentano le variabili che assumono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri. Chiamiamo valore di un espressione letterale il risultato che si ottiene eseguendo le operazioni indicate quando alle lettere sostituiamo dei numeri.

6 calcolo letterale. monomi D ora in poi, quando scriveremo un espressione letterale in cui compare un prodotto tralasceremo il puntino usato fin qui per evidenziare l operazione. Per esempio, anziché (a + b) scriveremo semplicemente (a + b). Definizione. Un espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Per esempio, sono monomi: 4ab a b mentre a b a/b non sono monomi, perché contengono anche somme, sottrazioni e divisioni. Gli elementi di un monomio sono fattori, perché sono termini di un prodotto, ma possono comparire anche potenze: infatti la potenza è un prodotto di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi: in un monomio gli esponenti delle lettere devono essere numeri naturali. Per esempio, non è un monomio. Definizione. Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico per potenze letterali con basi diverse. Per esempio, il monomio a ba non è scritto in forma normale: tra i suoi fattori vi sono numeri diversi ( e ) e le potenze letterali hanno basi ripetute (la a compare due volte). Se moltiplichiamo tra loro i fattori numerici ed eseguiamo il prodotto delle potenze con la stessa base (sommando i relativi esponenti) otteniamo che è in forma normale. a ba = ( )a + b = 6a b Definizione 4. Dato un monomio ridotto in forma normale, il suo fattore numerico si chiama coefficiente, mentre il complesso delle sue lettere si dice

7 . monomi Tabella : Coefficiente, parte letterale e grado di un monomio Monomio Coefficiente Parte Grado Grado Grado letterale complessivo rispetto ad a rispetto a b a a 0 a b a b ab ab parte letterale. Se il coefficiente è, lo si sottintende. Per esempio, si scrive ab al posto di ab. Definizione 5. Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale. Quando il monomio è ridotto in forma normale, l esponente di una sua lettera è il grado del monomio rispetto a quella lettera. Per esempio, il monomio a b ha grado complessivo, ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale ( + = ). Rispetto alla lettera a è di secondo grado, mentre rispetto alla lettera b è di primo grado. La tabella riporta alcuni monomi con i rispettivi coefficienti, le parti letterali e i gradi. Se in un monomio ogni lettera ha esponente 0, il monomio (di grado 0) rimane solamente con il suo coefficiente e quindi è equiparabile a un numero razionale: per esempio, a 0 b 0 =. Definizione 6. Se il coefficiente del monomio è zero, il monomio si dice nullo e si indica semplicemente con 0. Definizione 7. Due o più monomi che hanno la stessa parte letterale si dicono simili. Per esempio, il monomio a b è simile a 4a b e anche a a b, ma non a ab : l ultimo monomio, infatti, ha le stesse lettere degli altri, ma elevate a esponenti diversi. Definizione 8. Due monomi simili che hanno coefficienti opposti si dicono opposti. Per esempio: i monomi e sono opposti, perché sono simili e hanno coefficienti opposti

8 4 calcolo letterale i monomi e sono simili, ma non sono opposti, perché i loro coefficienti, pur avendo segni diversi, non sono opposti Il monomio nullo si considera simile a qualunque altro monomio. Valore di un monomio Poiché un monomio è un espressione letterale, possiamo calcolarne il valore quando alle sue lettere sostituiamo numeri. Esercizio. Calcola il valore del monomio a b quando a = e b =. Soluzione. Sostituendo i valori assegnati otteniamo a b = = = 6 Esercizio. Calcola il valore del monomio precedente se a = e b =. Soluzione. a b = = 4 = Molte formule di geometria sono scritte sotto forma di monomi: per esempio, l area del rettangolo è bh, l area del quadrato è l, il perimetro del quadrato è 4l, il volume del cubo l, e così via. Queste formule assumono un valore preciso quando alle lettere sostituiamo numeri che rappresentano le misure della figura considerata. Operazioni con i monomi Somma La somma di due monomi simili è un monomio simile agli addendi, che ha come coefficiente la somma dei coefficienti. Esercizio. Calcola ab + 4ab. Soluzione. Poiché i due addendi sono monomi simili, la somma è ancora un monomio ed è simile ai singoli addendi: Differenza ab + 4ab = ( + 4)ab = 6ab Per sottrarre due monomi simili si aggiunge al primo l opposto del secondo.

9 . monomi 5 Esercizio 4. Calcola ab 4ab. Soluzione. ab 4ab = ab + ( 4ab) = ( 4)ab = ab Possiamo unificare le due operazioni di somma e differenza di monomi simili in un unica operazione che chiamiamo somma algebrica di monomi. La somma algebrica di due monomi simili è un monomio simile agli addendi che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. Esercizio 5. Calcola + 4. Soluzione. + 4 = ( + 4) = Esercizio 6. Calcola la somma a + b + a. Soluzione. I monomi non sono tutti tra loro simili; lo sono però il primo e il terzo. Riscriviamo la somma precedente sommando il primo e il terzo monomio: a + b + a = ( + )a + b = 5a + b L espressione così ottenuta è la somma richiesta. Il procedimento che abbiamo seguito per determinare il risultato dalla somma precedente è chiamato riduzione dei termini simili. In definitiva, l operazione di somma tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili. In caso contrario, la somma viene effettuata riducendo i monomi simili e lasciando indicata la somma tra gli altri monomi. Prodotto Il prodotto di due monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi, e la parte letterale formata da tutte le lettere che compaiono nei monomi, considerate una sola volta e con esponente uguale alla somma degli esponenti che quella lettera ha nei monomi.

10 6 calcolo letterale Esercizio 7. Calcola ab ab c. Soluzione. ab ab c = ( )a + b + c = 6a b c Quoziente Il quoziente di due monomi, di cui il secondo non nullo, è il monomio che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti dei monomi e la parte letterale formata da tutte le lettere che compaiono nei monomi, ciascuna con esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui quella lettera compare nel dividendo e nel divisore. Se per una o più lettere questa differenza è negativa, il quoziente non è un monomio, ma una frazione algebrica. In altre parole, il quoziente fra due monomi è un monomio solo se ogni lettera del dividendo ha esponente maggiore o uguale all esponente con cui compare nel divisore. Esercizio 8. Calcola 6ab c : ab. Soluzione. 6ab c : ab = (6 : )a b c = b c Esercizio 9. Calcola 6 :. Soluzione. 6 : = (6 : ) = che non è un monomio, ma una frazione algebrica. Potenza La potenza n-esima di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza n-esima del coefficiente del monomio dato e la parte letterale formata da tutte le lettere che hanno per esponente il prodotto del proprio esponente per n. Esercizio 0. Calcola (a b). Soluzione. (a b) = a b = 9a 4 b

11 . monomi 7 Espressioni con i monomi Esercizio. Calcola ( ) 4 ab ab a b : ] 9 a4 b. Soluzione. ( ) 4 ab ab a b : ] 9 a4 b = 4 a b 4 7 a6 b 6 : ] 9 a4 b = ( 4 a b 4 = ( 4 a b = 4 a b 4 6 a b 4 = )a b 4 ] 7 : 9 ] )a b 4 ( 4 ) a b 4 = 6 a b 4 = a b 4 Esercizio. Calcola (a b) : a b + (a) ( b). Soluzione. (a b) : a b + (a) ( b) = 9a 4 b : a b ab = ab ab = ab Massimo comune divisore e minimo comune multiplo Massimo Comune Divisore Il MCD di un gruppo di monomi è il monomio che ha: per coefficiente il MCD dei coefficienti dei monomi se questi sono numeri interi (se non sono interi, si prende ) la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l esponente minore con cui compare

12 8 calcolo letterale Esercizio. Calcola MCD(6a b, 4abc). Soluzione. Per prima cosa calcoliamo il MCD tra i coefficienti 6 e 4, che è. Per ottenere la parte letterale si prendono tutte le lettere comuni, ciascuna con l esponente minore con cui compare: ab. In conclusione, il MCD è ab. ( ) Esercizio 4. Calcola MCD, y. Soluzione. I coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi, quindi si prende come coefficiente del MCD Per ottenere la parte letterale si prendono tutte le lettere comuni, ciascuna con l esponente minore con cui compare: In conclusione, il MCD è. Minimo comune multiplo Il mcm di un gruppo di monomi è il monomio che ha: per coefficiente numerico il mcm dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi (se non sono interi si prende ) la parte letterale formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l esponente maggiore con cui compare Esercizio 5. Calcola mcm(6a b, 4abc). Soluzione. Per prima cosa calcoliamo il mcm tra i coefficienti 6 e 4, che è. Per ottenere la parte letterale si prendono tutte le lettere comuni e non comuni, ciascuna con l esponente maggiore con cui compare: a bc. In definitiva, il mcm è a bc.

13 . polinomi 9 ( ) Esercizio 6. Calcola mcm, y. Soluzione. I coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi, quindi si prende come coefficiente del mcm Per ottenere la parte letterale si prendono tutte le lettere comuni e non comuni, ciascuna con l esponente maggiore con cui compare: y In conclusione, il mcm è y.. polinomi Definizione 9. Un polinomio è la somma algebrica di più monomi. Per esempio, sono polinomi: a b a + b + c Se fra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice ridotto in forma normale; se invece ci sono dei termini simili, possiamo sempre ridurre il polinomio sommandoli. Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado 0, che viene chiamato termine noto. Per esempio, il polinomio ridotto in forma normale diventa a + b + a + b + 4 a + b + 4 Il termine noto è 4. Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, quindi un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è la somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio. Per esempio: + è un binomio è un trinomio è un quadrinomio

14 0 calcolo letterale Definizione 0. Due polinomi si dicono opposti se sono formati da termini opposti Per esempio, i polinomi a b e a + b sono opposti. Definizione. Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Quando il polinomio è ridotto in forma normale, si chiama grado del polinomio rispetto a una lettera l esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio. Un polinomio di grado zero si dice costante, un polinomio di grado uno si dice lineare, un polinomio di grado due si dice quadratico, un polinomio di grado tre si dice cubico. La tabella riporta alcuni polinomi con i rispettivi gradi. Tabella : Grado di un polinomio Polinomio Grado Grado Grado complessivo rispetto ad a rispetto a b ab + a + a b + ab + a b + ab 4 Definizione. Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera, quando i suoi termini sono ordinati in modo tale che gli esponenti di quella lettera decrescono (crescono) leggendo il polinomio da sinistra verso destra. Per esempio: il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera il polinomio a + a b + ab + b è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a e secondo le potenze crescenti della lettera b Valore di un polinomio Poiché un polinomio è un espressione letterale, possiamo calcolarne il valore quando alle sue lettere sostituiamo numeri.

15 . polinomi Esercizio 7. Calcola il valore del polinomio y quando = e y =. Soluzione. Sostituendo i valori assegnati otteniamo y = = 9 = 8 Esercizio 8. Calcola il valore del polinomio precedente se = e y =. Soluzione. y = = 9 = 8 Operazioni con i polinomi Somma algebrica di polinomi La somma algebrica di due polinomi è il polinomio che si ottiene sommando tutti i termini dei polinomi addendi. Esercizio 9. Calcola (a + b + ) + (a b ). Soluzione. Eliminiamo le parentesi e sommiamo i monomi simili: (a + b + ) + (a b ) = a + b + + a b = (a + a) + ( ) = a + Esercizio 0. Calcola ( 4y) ( + y ). Soluzione. ( 4y) ( + y ) = 4y y + = 6y + Prodotto di un monomio per un polinomio Il prodotto di un monomio per un polinomio è il polinomio che ha come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio dato.

16 calcolo letterale Esercizio. Calcola a (a + b + ). Soluzione. a (a + b + ) = a a + a b + a = 6a + ab + a Prodotto di polinomi Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio. Esercizio. Calcola (a + b)( + y). Soluzione. (a + b)( + y) = a( + y) + b( + y) = a + ay + b + by Esercizio. Calcola ( + )( + ). Soluzione. ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) = = Quoziente fra un polinomio e un monomio Il quoziente fra un polinomio (detto dividendo) e un monomio non nullo (detto divisore) è il polinomio che si ottiene dividendo ogni termine del polinomio per il monomio. La divisione tra un polinomio e un monomio non nullo non è sempre possibile: perché lo sia, bisogna che ogni termine del polinomio sia divisibile per il monomio, ovvero bisogna che ogni termine del polinomio dividendo contenga tutte le lettere che figurano nel monomio divisore e che ciascuna di esse sia elevata a un esponente maggiore o uguale a quello che figura nel divisore. Esercizio 4. Calcola (8a b 4a + a) : (a). Soluzione. (8a b 4a + a) : (a) = (8a b : a) + ( 4a : a) + (a : a) = 4a b a +

17 . prodotti notevoli Esercizio 5. Calcola ( + ) :. Soluzione. Il polinomio non è divisibile per il monomio perché il termine noto del dividendo non è divisibile per. Quindi la divisione va espressa nel modo seguente: + che non è un monomio ma una frazione algebrica. Espressioni con i polinomi Vediamo ora qualche esempio di espressione con i polinomi che contiene le operazioni che abbiamo studiato. Esercizio 6. Calcola l espressione (a + b)(a b) a(a + b)] : ( b). Soluzione. (a + b)(a b) a(a + b)] : ( b) = a ab + ab b a ab] : ( b) = ab b ] : ( b) = a + b Esercizio 7. Calcola l espressione ( ) a b + ] 6 a4 b : (a b). Soluzione. ( ) a b + ] 6 a4 b : (a b) = 4 a4 b + ] 6 a4 b : (a b) ( = 4 + ) a 4 b : (a b) 6 = + a4 b : (a b) = 5 a4 b = 5 4 ab. prodotti notevoli Un prodotto notevole è una formula che consente di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all applicazione diretta delle regole del calcolo letterale.

18 4 calcolo letterale a a b ab ab b Figura : Interpretazione geometrica della formula (a + b) = a + ab + b Quadrato di un binomio Consideriamo il binomio a + b ed eleviamolo al quadrato: (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ba + b = a + ab + b Senza eseguire i passaggi intermedi si ha (a + b) = a + ab + b Si può dare un interpretazione geometrica della formula precedente. Prendiamo due segmenti consecutivi di lunghezza a e b, ottenendo così un segmento di lunghezza a + b. Costruiamo il quadrato di lato a + b, che avrà area (a + b) e scomponiamolo come nella figura. Il quadrato di lato a + b è composto da due quadrati di area rispettivamente a e b e da due rettangoli di area ab. Di conseguenza l area del quadrato è uguale a (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b Se il binomio presenta una sottrazione, allora il suo quadrato è (a b) = (a b)(a b) = a ab ba + b = a ab + b In generale, si può dire quindi che il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato del primo termine, il doppio del prodotto fra i due termini e il quadrato del secondo termine. Le formule precedenti valgono anche se al posto di a e b ci sono dei monomi o dei polinomi. Per esempio: ( + y) = () + ()(y) + (y) = 9 + y + 4y Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza Si consideri il seguente prodotto: (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b

19 . prodotti notevoli 5 Senza eseguire i passaggi intermedi si ha (a + b)(a b) = a b Quindi il prodotto della somma fra due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine. La formula precedente vale anche se al posto di a e b ci sono dei monomi o dei polinomi. Per esempio: ( + y)( y) = () (y) = 9 4y Esercizio 8. Senza utilizzare la calcolatrice, calcola il prodotto 8. Soluzione. 8 = (0 )(0 + ) = 0 = = 896 Espressioni con i prodotti notevoli Esercizio 9. Calcola l espressione ( + ) ( + )( ) + ( + ). Soluzione. ( + ) ( + )( ) + ( + ) = + + (4 ) + + = = Esercizio 0. Calcola l espressione (a + b)(a b) (a b). Soluzione. (a + b)(a b) (a b) = a 4ab + ab 6b (a 4ab + 4b ) = a 4ab + ab 6b a + 4ab 4b = a + ab 0b

20 6 calcolo letterale.4 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Individua tra le espressioni letterali di seguito elencate, quelle che sono monomi. a. + y b. 4 ab c. / d. / Vero o falso? a. Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. V F b. Se due monomi hanno lo stesso grado, allora sono simili. V F c. Se due monomi sono simili, allora hanno lo stesso grado. V F d. Il valore del monomio a è negativo per qualunque a diverso da zero. V F e. Il valore del monomio a è negativo per qualunque a diverso da zero. V F f. Il monomio b 6 è il cubo di b. V F g. L espressione ab è un monomio. V F h. Il valore del monomio ab è zero per a = e b =. V F Calcola il prodotto dei seguenti monomi. 6 ] 4 4a b 8ab] 5 ab bc 6ab c ] 6 y 9y] 7 ( ab) (+ac) 6a bc ] 8 a( ab)( 4a b ) 4a 4 b ] 9 a ] 9 b ab Calcola le potenze indicate ab 9 0 b 4 ab a 7 8 ab ab 5 6 a b 0 ab 4 affermazioni vere e 4 false] 4 7 a b 8 ab ] 5 ab ] a b ] 4 a b ] 4 a b ] a b 4 5 ( a b 4 c) 9a 6 b 8 c ] 6 (a b ) 8 a 4 b 6]

21 .4 esercizi 7 7 ( ab c ) 8a b 6 c 9] 8 (ab c ) 4a b 6 c 4] 9 0 ( ) 4 ] a bc 5 6 a8 b 4 c 0 ( abc ) 8 a b c 6 ] 4 ( ) ] y 64 y ( ) ] 8 y 7 y 6 ( ) 4 ] 6 ab a4 b 4 ( ) ] 94 a5 a0 Calcola i seguenti quozienti: 5 6 : ] 6 4a 4 b : a b a ] 7 6a b c : ab abc] 8 5a b 4 : 5a b 5ab ] 9 a b c : ab a c ] 0 9a b : a ab] 5 a b : 0 ] a b ab : ab ] ] a5 b c : a b 4 a b c ] 6 5 a4 b c 7 : 0 a b 7 a c 5 a b 4 c : 5 ab 9a c ] ] 9 7 y : 4 y Calcola la somma algebrica dei seguenti monomi ] 8 a + a 5a 6a] 9 5a b a b a b ] 40 a b a b a b ] 4 y y + y 0] 4 y y + 7y 4y y ] 4 y + y y ] 44 ab 5ab 8ab] 45 5ab ab ab] 46 y + y 0] 47 7y y 5y ] 48 y 4y y ] 49 y 4y + y y ] ] 5 a + a ] 5 a 5 4 a b a b 4 ] a b ] 0 54 ( ) ab ab 5 ] ab 55 9 y ( y) 7 ] y 56 y y y y ] y + y y ] ( ) ( ) a + a a a a] 4 a a ] 8 a a a a + 4 a ] 5 a 60 a a ( 4 b 4 b ) ] 76 a a

22 8 calcolo letterale Svolgi le seguenti espressioni tra monomi. ( )( ) 6 a a a + a + (a a) (a ) ] 5 a a 4 a 6 ( + ) 6 ( 8 ) 5 ] 0 4 ( 64 ) ( ) 4 4 a b : ab + a 56 ] a ( 65 a ) ( ) 4 a : a a 8 ] a ( )( + ) ] 77 ( ) + ( ) ] 68 (y ) y ( y + y 4y ) + (y + ) y y ] 69 ( ab 4 c ) ] 4 a b 5 c (bc) 4 a b 8 c 4 ( ) ab a b ( ) 7 7 a b ab ] 5 a5 b 7 6 a( 4ab ) 5 b( ab) 5ab ( 45 ) ] 5 ab ( a) 0 a b bc 7 y (8bc) ( 4 ) ] ( 5 c y 7 ) ] 0 y 0 bc ( ) y 5 y 4 : y y ]( ) ( + ) ] y 4 y 74 5a + { 4 a a ] } a + (a a) + 0,5a a 4 ] a { ( a 75 a a a )]} ( )( ) + a + a a a 76 Vero o falso? a. La differenza tra due monomi opposti è il monomio nullo. V F b. Il quoziente di due monomi simili è il quoziente dei loro coefficienti. V F c. La somma di due monomi è un monomio. V F d. Il prodotto di due monomi è un monomio. V F e. L opposto di un monomio ha sempre il coefficiente negativo. V F f. a b c è un multiplo di abc. V F 0]

23 .4 esercizi 9 g. y è un divisore di. V F h. a è divisore di 4ab. V F i. Il mcm fra monomi è divisibile per tutti i monomi dati. V F j. Il MCD fra monomi è multiplo di almeno un monomio dato. V F 5 affermazioni vere e 5 false] Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di monomi , 4 ] 78 4, 4] 79 9a b a b 4 c a 6 b c a b, 6a 6 b 4 c ] 80 a b 7 a b a b c a b, a b c ] 8 abc a c ab a, a b c ] 8 y 4 y y y, y ] 8 5a b c 5a c 0abc 5ac, 50a b c ] 84 4a b 5 c 7a 5 bc a bc 4 7a bc, 4a 5 b 5 c 4] 85 a4 b c a7 b 6 7 c a b 4 c a b c, a 7 b 6 c 7] 86 a bc 5 ab c 4 a b 6 c abc, a b 6 c 5] 87 Dati i monomi y e z : a. calcola il loro MCD b. calcola il loro mcm c. verifica che il loro prodotto è uguale al prodotto fra il loro mcm e il loro MCD d. verifica che il loro MCD è uguale al quoziente fra il loro prodotto e il loro mcm Riduci a forma normale i seguenti polinomi ] 89 a b b + a + b a b] ] Calcola il valore dei seguenti polinomi. 9 a + b + 7a 5a + b] 9 4a + b a + 5b a + 8b] 9 a a + a a + a ] 94 + per = 0] 95 + per = 0 ] 96 per = 7] 97 + per = ]

24 0 calcolo letterale 98 4a a + per a = 6] per = 4 0] Calcola le seguenti somme di polinomi. 00 a + b b a] 0 a + b b a b] 0 a + b ( b) a + b] 0 a (b b) a + b] 04 a + b + (a + b) 5a + b] 05 a + b + (a + b) + a 6a + b] 06 a + b ( a b) 5a + b] 07 a b ( b a) 4a] 08 (a + ) (a ) 4] 09 a b 4b a + a b 9b] Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio. 0 a(a + b) a + ab ] a(a b) a ab ] a(a a) a a ] a(a b + ) a ab + a ] 4 ab(a b ab ) a b a b ab ] 5 b(a b ab ) a b ab b ] Calcola le seguenti divisioni tra polinomi e monomi. 6 ( y + 8y ) : (y) + 4y] 7 (a + a) : a a + ] 8 (a a) : ( a) a] ( 9 a ) : a ] 4 ( 0 a ) : 4 4 a ] 8 Calcola i seguenti prodotti di polinomi. 6 ( + )( + ) 7 ( )( + + ) 8 (a b)(a + ab + b ) 9 (a + b)(a ab + b ) 0 (a )(a )(a ) (a ) : ( ) a a : a 4 4a 4] ] a (a a) : a a ] 4 (a + a a) : a a + a ] 5 (8a + 4a a) : a 4a + a ] + ] ] a b ] a + b ] a 6a + a 6 ] Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi. (a b) (4b + a ) (a b)] 9b] (a 5b) (b + 4a ) (a b)] 9b 8b] ( )( + ) (6 + + ) + ( ) 9 ] 4 ( + ) + ( ) ( ) ( + )( ) 5] ( ) ( 5 5 ( + ) 4 )( + ) ( ) 5 4 ]

25 .4 esercizi 6 ab(a b ) + b( a )(a b) b (a b) ( 7 a ) a ( a)a + a (a + a + )] a b ab + a b ] a4 a + a ] a 8 ( ) ( ) + 5( + ) ( + ) 7 4 4] 9 ( )( 4 + ) ( + + ) ( ) ] 40 Quali dei seguenti polinomi sono quadrati di binomi? a. a + 4ab + 4b b. a ab b b d e. a 6a + 9 g. a 4 + a + h. i. + + k. a + ab + b quadrati di binomi] c. 9a 5ab + f. a + a + 9 j. + 4 Completa in modo da formare un quadrato di binomio. a y c. a b4 e g. 4a 4ab +... b d f. + 4y... h Svolgi i seguenti quadrati di binomi. 4 ( + ) + + ] 4 ( + ) ] 44 ( ) ] 45 ( ) ] 46 ( + y) + y + y ] 47 ( y) y + y ] 48 ( + y) 4 + 4y + y ] 49 ( + y) + 4y + 4y ] 50 ( a + b) a ab + b ] 5 ( a + ) a 6a + 9 ] 5 (a + b) 4a + ab + 9b ] 5 (a b) 4a ab + 9b ] Svolgi i seguenti quadrati di binomi. ( + ) + + ] 4 ( ) + ] 4 ( ) 9 + ] ( a + ) b 4 a + ab + 9 ] 4 b ( a + ) 4 5 b 9 a ab + 9 ] 5 b ( a ) b 4 a ab + 4 ] 9 b Calcola le seguenti espressioni contenenti quadrati di binomi. 60 (a ) (a + ) 4a] 6 (a b) (a b) b a ]

26 calcolo letterale 6 (a b) (a + b) a 4ab 5b ] 6 ( + 5) ( 5) 64 ( + ) 6( + ) ( ) ( 40] ] ) ] 8 66 ( ) ( + ) 4 8 ] 67 Calcola le seguenti somme per differenze. a. ( )( + ) b. (a + )(a ) c. (b )(b + ) d. (a + b)(a b) ] a ] b 4 ] 4a b ] e. (a + b)(a b) f. (a + b)(a b) g. (a 5b)(a + 5b) h. ( + )( ) a 4b ] 4a 9b ] 9a 5b ] 4 9 ] Calcola le seguenti somme per differenze. ( + )( ) ] 4 ( )( + ) 4 ] ( )( ) ] a + b a b 4 a b ( a + b )( a b ) a ] 4 b 9 Svolgi le seguenti espressioni con prodotti notevoli. 7 ( + ) ( ) 4] 7 ( + ) + ( ) + ] 74 ( )( + )] 4 + ] 75 ( + )( ) + ( + ) + 4 ] 76 (a + b)(a b) + b a ] 77 (a b) + (a + b)(b a) b ab ] Svolgi le seguenti espressioni con prodotti notevoli. 78 (a b) + (a + b)(a b) (a + b)(b a) 7a b ab ] 79 ( ) + ( + )( ) ( + )( ) ( + ) 5] 80 ( ( ) + ) 4 ( 4 ) 0] 8 ( ) ] ( + ) + 6( )( + ) ] ( )( ) 8 a b a + b ( ) 5 (a b) + a b + 4 ] ab ( ) ( ) ( 8 ( + ) + + )( + ) + ( + 5) ] ( 84 ) ( + + ) ( ( + ) 4 )( + 4 ) ]

27 .4 esercizi ( )( ) ( + + ) ( + ) ( 4)( + 4) + ( ) ( ( ) + 5 )( + ) ] 4 47 ] 8 87 Indica la risposta corretta. a. Una sola delle seguenti affermazioni è vera, quale? A la somma di due monomi è sempre un monomio B C la somma di due binomi non può essere mai un monomio il prodotto di due monomi è sempre un monomio D b. L espressione dati due monomi non nulli, ciascuno dei due è sempre divisibile per l altro ( ) a b (8ab )] : (a b ) è uguale a A ab B ab C a b D a b c. Qual è il valore assunto dal polinomio per =? A 5 B 7 C 5 D 0 d. Quale dei seguenti trinomi non è il quadrato di un binomio? A B a 6a + 9 C t 0t + 5 D 4a 6a + 9 e. È dato il polinomio P() = + 6. Quale dei seguenti è uno zero del polinomio (ovvero un numero che sostituito alla annulla il polinomio)? A B C D f. L area di un quadrato è espressa dal monomio 5a 4. Quale dei seguenti monomi esprime il perimetro del quadrato? A 0a B 0a C 0a D 0a 4 g. Le lunghezze dei lati di un rettangolo sono espresse dai due monomi e. Quale dei seguenti monomi esprime l area del rettangolo? A 5 B 6 C 5 D 6 h. Quale dei seguenti monomi corrisponde all espressione «il doppio del quadrato del triplo di»?

28 4 calcolo letterale A B 8 C D 8 i. Qual è il risultato del prodotto ( a)( + a)? A 9a B 6a + 9a C 6a 9a D + 9a j. Qual è il risultato del prodotto ( a)( + a)? A 9a B 6a + 9a C 6a 9a D + 9a 88 Indica la risposta corretta. Una risposta A, due B, due C e cinque D] a. Paolo ha nel portafoglio euro; Giovanni ha nel portafoglio euro in più del doppio di quelli che ha Paolo. Quale delle seguenti espressioni rappresenta la somma, in euro, che hanno complessivamente nei portafogli i due amici? A + B + C ( + ) D + b. Qual è il risultato dell espressione «moltiplica la somma di con per la differenza tra e, quindi eleva al quadrato il risultato ottenuto»? A B C D c. Paolo ha sul conto corrente la somma di euro. Paolo preleva inizialmente la metà della somma che possiede, quindi versa un terzo di quanto gli è rimasto sul conto. Quale delle seguenti espressioni indica il saldo finale, in euro, del conto di Paolo? A B C 4 D 4 d. Qual è il risultato dell espressione (t + ) (t )(t + )? A 4t B 4t + C 4 + t D 4t e. In un triangolo rettangolo un cateto supera il doppio dell altro di 6 cm. Indicando con a la misura il centimetri del cateto minore, quale tra le seguenti espressioni rappresenta l area del triangolo, in centimetri quadrati? A (a + 6) B a + a C a + a D a + 6a f. Quale delle seguenti affermazioni è vera per ogni intero positivo n?

29 .4 esercizi 5 A 5n + è dispari C 5n + 5n è pari B n + è dispari D n + n è dispari g. Quale dei seguenti monomi è il doppio del prodotto del quadrato di a per il cubo di a? A a 7 B 64a 7 C a D 64a h. Quale delle seguenti espressioni rappresenta un numero intero dispari, qualunque sia il numero naturale n? A 4n B n C 4n D n + i. L espressione ( + y) + ( y) + ( + y)( y) è uguale a: A 6 + 7y B 6 7y C 6 + 7y D 6 7y j. La somma di tre numeri naturali consecutivi è: A mai divisibile per B divisibile per solo se tutti e tre i numeri sono divisibili per C divisibile per solo se almeno due dei tre numeri sono divisibili per D sempre divisibile per Una risposta A, quattro B, tre C e due D] 89 Indica la risposta corretta. a. Quale delle seguenti uguaglianze è vera per ogni a R? A (a )( a + ) = a B (a )( a) = (a ) C (a ) = a a + 4 D ( a + ) = a 6a + 9 b. Lo stipendio mensile di un venditore è di 00 euro più il 0% dell incasso mensile. Se S rappresenta il suo stipendio mensile e V l incasso mensile, quale delle seguenti formule esprime S in funzione di V? A S = ,0V B S = (00 + V) 0 C S = ,V D S = (00 + V) 00 c. Quale delle seguenti uguaglianze si può descrivere con la frase «sottraendo 5 dal quadrato di un numero, si ottiene il cubo della somma tra lo stesso numero e 5»?

30 6 calcolo letterale A ( 5) = + 5 B ( 5) = + 5 C 5 = + 5 D 5 = ( + 5) d. La base maggiore di un trapezio è cm in più della base minore, mentre l altezza è uguale al doppio della base minore. Detta la misura, in cm, della base minore, quale delle seguenti espressioni rappresenta l area del trapezio in cm? A B + C D + e. Quale delle seguenti espressioni rappresenta un numero intero che è contemporaneamente un cubo e un quadrato, qualsiasi siano i numeri interi a e b? A 5a 4 b 9 B a 4 b 6 C 64a b 6 D 8a 8 b 6 f. Quale delle seguenti proposizioni descrive l espressione letterale A Il reciproco della somma dei cubi di a e di b a + b? B C D Il reciproco del cubo della somma di a e di b Il cubo della somma dei reciproci di a e di b La somma dei cubi dei reciproci di a e di b g. In una gara di velocità, Mario ha percorso metri in t secondi e Andrea ha percorso i 7/9 dei metri percorsi da Mario nella metà del tempo. Se entrambi hanno mantenuto una velocità costante, chi dei due è più veloce? A Andrea B C D Mario Hanno mantenuto la stessa velocità Le informazioni non sono sufficienti per rispondere h. Quale espressione algebrica corrisponde alla proposizione «moltiplicare il quadrato della somma di due numeri per la differenza dei quadrati dei due numeri»? A ( + y )( y) B ( + y) ( y ) C ( + y )( y ) D ( + y) ( y) Due risposte A, tre B, due C e una D] 90 Il rettangolo ABCD nella figura seguente è l unione di quattro rettangoli congruenti. La misura del segmento DE è uguale ad a.

31 .4 esercizi 7 E D a C A B Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. I dati non bastano per esprimere il perimetro di ABCD in funzione di a. V F b. L area del rettangolo ABCD è uguale a a. V F c. Se la lunghezza di DE triplica, anche il perimetro di ABCD triplica. V F d. Se la lunghezza di DE triplica, anche l area di ABCD triplica. V F e. Se la lunghezza di DE aumenta di, l area di ABCD aumenta di 4a +. V F affermazioni vere e false] 9 Il rettangolo ABCD rappresentato nella figura seguente è stato suddiviso in cinque quadrati. La misura, in centimetri, del lato dei due quadrati più piccoli è. D C 4 5 A B a. Esprimi il perimetro e l area del rettangolo ABCD in funzione di. b. Se la misura del lato dei due quadrati più piccoli viene dimezzata, come variano il perimetro e l area del rettangolo ABCD? Perimetro = 6, area = 40 ;, 0 ] 9 Considera il poligono rappresentato nella figura a.

32 8 calcolo letterale (a) (b) Figura a. Esprimi in funzione di il perimetro e l area del poligono. Supposto che le misure dei lati orizzontali raddoppino, come indicato nella figura b, rispondi ai seguenti quesiti: b. stabilisci di quanto aumenta il perimetro del primo poligono; c. stabilisci di quanto aumenta l area del primo poligono. Perimetro =, area = 6 ; 6; 6 ] 9 Esprimi l area della figura seguente tramite un polinomio in forma normale nella variabile. + 5/ + ] C + A + B 94 Nella figura seguente l area del rettangolo A B C D è 0a, mentre la differenza tra l area del rettangolo e quella del quadrato ABCD è 5 4 a. D C D C A B A B Determina il perimetro del quadrato. 0a]

33 .4 esercizi 9 95 Sia >. Esprimi l area della figura seguente tramite un polinomio in forma normale nella variabile ] Siano > 0 e y > 0. Considera i poligoni rappresentati nella figura seguente. + y + y + y y + y y + y + y + y (a) (b) Figura Esprimi i loro perimetri e le loro aree tramite polinomi in forma normale. Verifica che hanno perimetri diversi ma sono tra loro equivalenti. Perimetri: 8 + 0y e 8 + 8y, aree: = ( + y) ] 97 Sia >. Esprimi l area della figura seguente tramite un polinomio in forma normale nella variabile. 4 ]

34 0 calcolo letterale 98 Esprimi le aree delle parti colorate nelle figure seguenti tramite polinomi in forma normale ; ] Un campo di forma rettangolare (figura 4a) ha area di 50 m e perimetro di 75 m. L agricoltore proprietario del campo compra una striscia di terreno di m di larghezza, che circonda tutto il contorno del campo. Qual è l area del campo così ampliato? 6 m ] (a) Figura 4 (b) 00 Un campo di forma rettangolare (figura 4b) ha perimetro uguale a 00 m. L agricoltore proprietario del campo compra una striscia di terreno di m di larghezza, che circonda tutto il contorno del campo. Di quanto aumenta l area del campo? 66 m ] 0 In un triangolo isoscele la base misura a e i lati obliqui 5 a. a. Determina il perimetro del triangolo. b. Stabilisci di quanto aumenta il perimetro se la base aumenta di a e ciascun lato obliquo aumenta di a. 7 a; 4 ] a

35 .4 esercizi 0 I lati di un triangolo ABC misurano a, 4a e 6a. Considera il triangolo A B C che si ottiene aumentando i lati del triangolo originario, rispettivamente, di a, a, 4 a. Qual ] è la misura del lato del quadrato che ha lo stesso perimetro del triangolo A B C? 8 a 0 Un rettangolo ha base e altezza che misurano rispettivamente a e b. a. Esprimi in funzione di a e di b il perimetro e l area del rettangolo e stabilisci se le espressioni ottenute sono monomi. b. Se la base aumenta di a e l altezza diminuisce di b, l area del rettangolo aumenta, diminuisce o resta invariata? c. Se la base aumenta di a e l altezza diminuisce di b, l area del rettangolo aumenta, diminuisce o resta invariata? Perimetro = 4a + 6b, Area = 6ab; resta invariata; diminuisce] 04 Siano a > 0 e b > 0. Un quadrato ha area uguale a a 6 b. Determina: a. il perimetro del quadrato; b. il volume del cubo il cui spigolo ha misura uguale a quella del lato del quadrato. 4a b; a 9 b ] 05 Siano a > 0 e b > 0. Due quadrati hanno aree espresse rispettivamente dai ] monomi 9a 6 b 8 e 8a 4 b. Determina il rapporto tra i loro perimetri. ab 06 Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano a e 4a. Un altro triangolo rettangolo ha i cateti che misurano il triplo dei corrispondenti cateti del primo triangolo. Calcola: a. la differenza tra l area del secondo triangolo e quella del primo; b. la differenza tra il perimetro del secondo triangolo e quello del primo (suggerimento: ricorda il teorema di Pitagora). 48a ; 4a ] 07 Luisa ha anni; Anna ha 0 anni meno di Luisa e Maria ha il doppio degli anni che Anna aveva anni fa. Qual è la somma delle età (attuali) delle tre amiche? 4 4] 08 Considera un rombo le cui diagonali misurano 8a e 6a. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. Raddoppiando entrambe le diagonali, l area raddoppia. V F b. Raddoppiando entrambe le diagonali, il perimetro raddoppia. V F c. Raddoppiando la misura della diagonale minore e dimezzando quella della diagonale maggiore, l area resta invariata. V F d. Aumentando di a la la misura della diagonale maggiore e diminuen-

36 calcolo letterale do di a la misura della diagonale minore, l area resta invariata. V F e. Aumentando di a la la misura della diagonale minore e diminuendo di a la misura della diagonale maggiore, l area resta invariata. V F affermazioni vere e false] 09 Paolo possiede il triplo dei libri che possiede Anna, che a sua volta ne possiede la metà di quelli posseduti da Barbara e Monica insieme. a. Indicati con e y, rispettivamente, i libri posseduti dal Barbara e Monica, determina l espressione che esprime i libri posseduti complessivamente dai quattro amici. Si tratta di un monomio? b. Supponendo ulteriormente che Monica possieda il doppio dei libri di Barbara e indicando con il numero dei libri di Barbara, determina l espressione che esprime i libri posseduti complessivamente dai quattro amici. Si tratta di un monomio? + y; 9] 0 Marco ha in tasca il doppio della cifra di Paolo, che possiede euro in meno di quanto possiede Luigi. Esprimi la somma che possiedono complessivamente i tre amici, in funzione di quanto possiede Luigi. Se Luigi ha euro, i tre amici hanno 4 9 euro] Andrea compra in una cartoleria penne, ciascuna al prezzo di p euro. Dopo un mese il prezzo di ciascuna penna diminuisce di / del prezzo originario. Andrea allora approfitta dello sconto e compra un numero di penne uguale al triplo di quante ne aveva comprate il mese precedente. Spende meno, di più o la stessa cifra del mese precedente? Di più, precisamente il doppio del mese precedente] I / dei ragazzi e i /4 delle ragazze hanno superato un esame. Sapendo che i ragazzi iscritti all esame sono il triplo delle ragazze, abbiamo informazioni sufficienti per calcolare la percentuale del gruppo che ha superato l esame? 68,75%] Il prezzo di un capo di abbigliamento viene prima scontato del 0% e poi ribassato ancora del 0%. Alla fine, di quanto risulta scontato il prezzo rispetto al prezzo originario? 9%] Svolgi le seguenti espressioni tra monomi. 4 (5 )( ) + 0 5] : ( 5 4 ) ] 5 ( 6a )( a 4 ) + ( a ) ] : ( 5a) a 5 ] 6 { ( ) 4 : ( ) ] 4 ( 8 ) } : ( 6 0 ) 4 ] 7 ( 6t 4 4t 4 ) : ( 5t ) ] : ( t ) ] 8 (4a 5 ) : (6a ) + ( a 6 ) : ( a ) ] 64a 6 ] 9 ( t )(t) ( t )( t ) ] : ( t 4 ) 8t 8 ] 0 ( a b ) + ( a ) ( 7b 6 ) 9a 4 b 6] ( y )( 4 y ) ( 5 y )( y ) ] 8 5 y ]

37 .4 esercizi 4 ( ) y : ( 49 ) ( y + ) ] y : ( y) 4 y ( 8a 4 b ) : (4a) : b + ( a b) ] : (a b) 8a b 6] ( )( 4 ) ] : 6( ) ] ( 4 ) 4 ] 5 ( ab) ] : ( 8a ) + ( 4a 6 b 7 ) : (a 6 b 5 ) + b 0] 6 ( 5 ) ( ) 4 : ( 8 4 ) : + ( ) 5] 6 0 ] 7 ( ) ( a) ( b) + 4 a b : ( ) a4 b + 8 a 4a 9b ] 8 ( a ) ( a)( a ) ] 7a ] 9 ( ) ( ) ( 4 ) ] : ( ) 4 ] 0 ( a) ] : (8a 4 ) + ( a ) (+5a) ] : (a ) a ] (a ) 4 : ( 8a 7 ) + ( a) 5] ( a 5 ) a 0 ] ( u v) : ( 4uv) + ( 4u 5 v 6 ) : (u 5 v 4 ) +,5u u v ] ( ) a6 : ( 94 ) ( a4 + ) ] ( a) + ( a ) 9 5a 6 ] 4 ( 00m 7 ) : ( 0m ) : ( m ) ] ( m) ( m) m 4 ] ( 5 ) yz : ( ) ] yz 4 : ( yz) + (5 8 ) : ( 6 ) ] ( 6 ) y : ( 8 ) y + ( ) ( ) ] : ( 6 ) ] ( a + ) a : ( ) 5 ( y ) 4 y + (7 y 6 ) : ( 4 ) a b + 0,a b : ( a )] ( a : a + ) ] 7 a 6 a ( )] y : ( 4 y ) 4 5 ] y 5 ( ) 5 a b + ( b) (b 4 ) ] : (b 5 ) 40 ( a) a( a) + 4b( b) + ( b) + ( 4b 5 ) : ( b ) 4 { ( y z 4 : )] ( 4 y z ) } y z : ( y 4 z) 4 ( ab) ( a) ab + 4 a ( a b ) (a 6 b 6 ) : (ab ) b ] 0a + 8b ] ] z4 9a 5 b ]

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39 E Q U A Z I O N I F R AT T E Definizione. Un equazione in cui compare l incognita a denominatore si chiama fratta o frazionaria. In questo capitolo affrontiamo quelle equazioni fratte che, svolgendo i calcoli, si riconducono a equazioni lineari. Per risolvere un equazione di questo tipo si procede come segue: si scompongono i denominatori in fattori si determina il minimo comune multiplo dei denominatori si impongono le condizioni di esistenza, escludendo i valori che annullano i denominatori si svolgono i calcoli si moltiplicano entrambi i membri dell equazione per il minimo comune multiplo si ottiene un equazione lineare, che verrà risolta normalmente si eliminano le eventuali soluzioni escluse dalle condizioni di esistenza Vediamo come funziona il procedimento attraverso qualche esempio.. risoluzione delle equazioni fratte Esercizio. Risolvi l equazione + + =. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + + = ( )( + )

40 6 equazioni fratte Il mcm dei denominatori è( )( + ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) + ( ) ( )( + ) = ( )( + ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: + + = = = = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S = Esercizio. Risolvi l equazione = 5. Soluzione. I denominatori sono irriducibili. Il mcm dei denominatori è ( + ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) ( + ) = 5( + ) ( + ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: = = 6 = 4 = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S =

41 . risoluzione delle equazioni fratte 7 Esercizio. Risolvi l equazione + + = 4 4. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + + = 4 ( + )( ) Il mcm dei denominatori è ( + )( ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( ) + ( + ) ( + )( ) = 4 ( + )( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: + + = 4 = = 4 = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l insieme soluzione è: S = Esercizio 4. Risolvi l equazione + 6 = +. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + ( ) = ( )( ) Il mcm dei denominatori è ( )( ).

42 8 equazioni fratte Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( ) + ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: ( ) + ( ) = ( ) = 6 + = 6 9 = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l insieme soluzione è: S = Esercizio 5. Risolvi l equazione + = Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + = 5 ( + )( ) Il mcm dei denominatori è ( + )( ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) ( + )( ) = 5 ( + )( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: = 5 = 0 = 0 L equazione è indeterminata: ciò significa che ogni numero che verifica le condizioni di esistenza è soluzione dell equazione. L insieme soluzione è allora: S = R \ {, }

43 . risoluzione delle equazioni fratte 9 Esercizio 6. Risolvi l equazione =. Soluzione. Scomponiamo in fattori i denominatori e al secondo membro scriviamo come ( ): ( ) ( ) =. Il mcm dei denominatori è ( ). Imponiamo le condizioni di esistenza: 0 Svolgiamo i calcoli: ( ) ( ) ( ) = ( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: = + = = = = = = Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza; la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { S = } Esercizio 7. Risolvi l equazione + =. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: ( ) ( ) = Il mcm dei denominatori è mcm = ( ).

44 40 equazioni fratte Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( ) ( ) ( ) = ( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: ( ) = ( ) = + = 4 + = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S = Esercizio 8. Risolvi l equazione = +. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: ( ) + ( )( + ) = + Il mcm dei denominatori è mcm = ( ) ( + ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) + ( ) ( ) ( + ) = ( ) ( ) ( + ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: ( + ) + ( ) = ( ) = + + = = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S =

45 . formule inverse 4. formule inverse Le formule di geometria, di fisica e di matematica finanziaria si possono vedere come equazioni letterali, in cui le varie grandezze sono indicate con lettere. I due principi di equivalenza delle equazioni permettono di ricavare le cosiddette formule inverse, ossia di risolvere un equazione letterale rispetto a una qualsiasi delle lettere che vi compaiono. Esercizio 9. L area del triangolo è data dalla formula A = b h dove b è la base e h l altezza. Determina il valore di h in funzione di A e b. Soluzione. L equazione è risolta rispetto all incognita A: se sono noti i valori di b e di h si può trovare il valore di A. Ora, noti A e b, vogliamo h. Moltiplichiamo per i membri dell equazione data: A = b h = A = b h Dividiamo per b entrambi i membri e scambiamo primo e secondo membro: A b = b h b = h = A b Esercizio 40. Un corpo in una posizione s 0, viaggiando alla velocità costante v, raggiunge dopo un intervallo di tempo t la posizione s. In formule: s = s 0 + v t Calcola v supponendo note le altre grandezze. Soluzione. Sottraiamo s 0 a entrambi i membri della formula data: s s 0 = s 0 + v t s 0 = s s 0 = v t Dividiamo entrambi i membri per t e scambiamo primo e secondo membro: s s 0 t = v t t = v = s s 0 t

46 4 equazioni fratte Esercizio 4. Depositando un capitale C per un periodo di t anni a un tasso di interesse annuo i, si ha diritto al montante M. In formule: Calcola i note le altre grandezze. M = C( + it) Soluzione. Dividiamo per C i membri dell equazione data, poi sottraiamo a entrambi i membri e dividiamoli per t: M C = + it = M C = it = Leggiamo la formula da destra verso sinistra: i = ( ) M C t ( ) M C = ( ) M t C = t M C = M C C tc t = i. esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Risolvi le seguenti equazioni fratte. + = ] + ] = + = 0 0] 4 4 = 0 impossibile] 5 + = 0] 6 = ] 7 4 = 5 ] = = 0 = + 4 = + = + impossibile] impossibile] ] impossibile] ] + = ] = ] 9

47 . esercizi = = = + + = 0 + = = = = = ] ] ] ] impossibile] ] 5 5 = 0 impossibile] ] 4 ] ] = = = 0 + ( ) = = ] ] 6 ] ] 4 ] + = impossibile] + = ] = 5 ] = 0 8] + 4 = 0 ] 7 + = 6 = ] ] = + impossibile] + + = impossibile] ( + 7) = + 4 0] = ] = 4 ] + = 5 = = = ( 4) = + ( ) + ] 9 ] ] ] 8 0] = ] + + = 0 5 = ] 5 + 0] 5 = 4] + = + = = = + = + = = + + = 0 0] ] 4 impossibile] ] 0] 0] ] ]

48 44 equazioni fratte = 4 6 impossibile] + = impossibile] + = 4 impossibile] = ] = ] 8 + = ] = = = = = = (5 + ) = = = + 8 impossibile] impossibile] ] + ] ] 9] + = 6 ] 5 + = = 0 + = = = + Risolvi le seguenti equazioni fratte = 6 + ] ] ] 5 0] ] 5 ] ] 7 5] = = + + = 5 + = = = = ( 7) = = = ( 5 = ] 0] impossibile] 5] ] ] ] 4 ] 4 impossibile] ) ] = = 0 = + + = 4 + ( ) ( + ) = + = + = = = ] ] 5 ] ] ] ] 5 ] ] 4 ] 4] impossibile]

49 0 + + = = =. esercizi 45 ] impossibile] ( ) ] + = + impossibile] = R \ {, 0 }] ( ) ( : ) = 5] + + = impossibile] ( ) : ( ) + 5 = = = ] 5 ] 4 { R \ }], + = + impossibile] = 0 impossibile] = impossibile] = 7 + impossibile] ( + ) = 6 9 0] = impossibile] + + = impossibile] = 5 ] = + R \ { ± }] = impossibile] 4 + = 4 + impossibile] + + = impossibile]

50 46 equazioni fratte = = + R \ { 0, ± }] 4 = impossibile] { R \ 0, ± }] 8 5 = = = + + = = = + + = = = ( ) + = ( ) ( ) ( + ) + + = ( ) = 8 = = 4 5 ] 7 67 impossibile] impossibile] 8] impossibile] impossibile] ] impossibile] impossibile] ] 5 ] ] ] 4 ] 4 40 L interesse I maturato da un capitale C, al tasso di interesse annuo i, per un numero di anni t, è: I = C i t a. Ricava le formule per calcolare C, i e t. b. Se il capitale è 000 e, il tasso di interesse % e il tempo è di 6 anni, calcola I. C = I it, i = I Ct, t = I ] Ci ; I = 60 e

51 . esercizi 47 4 Conversione da gradi Celsius C a gradi Fahrenheit F: a. Ricava la formula per calcolare F. C = 5(F ) 9 b. Calcola il valore di C quando F vale 04 e il valore di F quando C vale 5. F = 9C5 + ; C = 40, F = 59 ] 4 Superficie S di un trapezio di base maggiore B, base minore b, altezza h: S = (B + b) h a. Ricava le formule per calcolare B, b e h. b. Se la base maggiore è cm, la base minore 8 cm, la superficie 60 cm, calcola l altezza del trapezio. B = S h b, b = S h B, h = S ] B + b ; 6 cm 4 Velocità v nel moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v 0, accelerazione costante a dopo un tempo t: v = v 0 + a t a. Ricava le formule per calcolare v 0, a e t. b. Se un corpo è passato in 0 secondi dalla velocità 0 m/s alla velocità 0 m/s, qual è stata la sua accelerazione? v 0 = v at, a = v v 0, t = v v ] 0 t a ; m/s 44 Legge di Gay-Lussac per i gas: Ricava le formule per calcolare V 0 e T. 45 Equazione di stato dei gas perfetti: Ricava le formule per calcolare V e T. 46 Rendimento del ciclo di Carnot: V = V 0 ( + α T) pv = nrt V 0 = V + αt, T = V V ] 0 V 0 α V = nrt p, T = pv ] nr Ricava le formule per calcolare T e T. η = T T T = T ( η), T = T ] η 47 Indica la risposta corretta. a. Quali sono le condizioni di esistenza dell equazione = 0?

52 48 equazioni fratte A 0 B 0, C 0, ± D ± b. Qual è l insieme soluzione dell equazione 4 = 4? A { } B { } C { 4 } D c. L equazione = + 5 : A ha come soluzione = 4 B ha come soluzione = 5 C D è impossibile è indeterminata d. La somma tra il reciproco di un numero e il reciproco del doppio del numero è uguale a. Qual è il numero? A B C 5 D 7 e. In base alle leggi della fisica, due resistenze R e R, poste in parallelo, equivalgono a un unica resistenza R tale che: R = R + R Quale delle seguenti formule esprime R in funzione di R e R? A R = R + R B R = R R R C R = R D R = R R R + R R + R R + R f. Un auto percorre 80 km nello stesso tempo in cui un autobus ne percorre 00. Supponendo che le velocità dell auto e dell autobus siano costanti e che la velocità dell auto sia di 0 km/h superiore a quella dell autobus, qual è la velocità di quest ultimo? A 75 km/h B 80 km/h C 85 km/h D 90 km/h g. Un azienda stima che dopo giorni di campagna pubblicitaria la percentuale di consumatori che conoscerà un nuovo prodotto in fase di lancio è espressa dalla legge p() = 80. Per esempio, dopo 0 giorni è p(0) = 40, quindi l azienda stima + 0 che il 40% dei consumatori sarà a conoscenza del prodotto. Secondo le stime dell azienda, quanti giorni saranno necessari perché il prodotto sia conosciuto dal 0% dei consumatori? A 8 B 0 C D 4 h. In una classe gli studenti italiani sono 4 in più di quelli stranieri. Il rapporto tra il numero degli studenti stranieri e il numero di quelli italiani è /. Quanti sono gli studenti stranieri?

53 . esercizi 49 A 7 B 8 C 9 D 0 i. Il rapporto tra il precedente e il successivo di un numero naturale n è uguale a /. Quanto vale n? A 5 B 6 C 7 D 8 j. I grafici nella figura seguente permettono di interpretare graficamente una delle seguenti equazioni; quale? A = B = C = y D = Tre risposte A, quattro B, due C e una D] 48 Indica la risposta corretta. a. Le condizioni di esistenza dell equazione + + = + 5? A e 5 C e 5 B e 5 D e 5 b. L insieme soluzione dell equazione = 0 è A B { 0 } C { } D { } c. L equazione ( ) + ( ) = è verificata se: A = 0 B = C = 5 D = 5 d. L insieme soluzione dell equazione + = è A B { } C { 5 } D { 5 } e. L insieme soluzione dell equazione + = 4 + è A B { } C { }

54 50 equazioni fratte D { } f. L insieme soluzione dell equazione A { } 7 B { } 7 4( ) + 4 = C { 7 è } D { 7 } g. L insieme soluzione dell equazione + + = 4 è A B { 0 } C { } D { } h. L insieme soluzione dell equazione A { } 5 B { } 5 i. L insieme soluzione dell equazione A { 5 } B { 5 } C + 6 = è { } 5 C + = { 5 j. L insieme soluzione dell equazione + + = 0 è { } { A B } { } 7 C 7 7 è } D D D { 5 } { } 5 { 7 } Due risposte A, due B, due C e quattro D]

55 S C O M P O S I Z I O N E D E I P O L I N O M I Definizione 4. Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente scomponibile, allora la scomposizione è in fattori irriducibili. Per esempio: perché sappiamo che ( + )( ) = 9 allora una scomposizione del binomio 9 è ( + )( ) perché sappiamo che ( + )( + ) = allora una scomposizione del trinomio è ( + )( + ) Polinomi come 9 e si dicono riducibili. Ci sono invece altri polinomi che non si possono scomporre, come per esempio + 9; questi polinomi si dicono irriducibili. Definizione 5. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Le regole per eseguire la scomposizione non sono del tutto nuove perché in molti casi si tratta di leggere da destra verso sinistra le formule già note sul prodotto di polinomi e sui prodotti notevoli.. raccoglimenti Raccoglimento totale Per eseguire il raccoglimento a fattor comune (o raccoglimento totale) di un polinomio P si procede come segue: si calcola il MCD fra i monomi di P

56 5 scomposizione dei polinomi si scrive P come prodotto del MCD trovato per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei monomi di P per tale MCD Per esempio: a + ay = a( + y) 6a + 4ab = a(a + b) Un raccoglimento di questo genere si può fare anche quando il fattore comune, anziché essere un monomio, è un polinomio. Per esempio, nel polinomio (a ) + y(a ) si può raccogliere il binomio (a ), ottenendo (a ) + y(a ) = (a )( + y) Dopo un raccoglimento a fattor comune, il numero di termini che si trovano all interno delle parentesi deve essere uguale al numero dei termini del polinomio. Per esempio: } + {{ + } = ( } + {{ + } ) tre termini tre termini Esercizio 4. Scomponi (a + b) y(a + b) + (a + b). Soluzione. Il fattore comune è (a + b), quindi (a + b) y(a + b) + (a + b) = (a + b)( y + ) Esercizio 4. Scomponi (a ) + y(a ) + ( a). Soluzione. I primi due addendi hanno (a ) come fattore comune, ma nel terzo troviamo ( a). Conviene allora evidenziare dapprima il segno nell ultima parentesi: (a ) + y(a ) + ( a) = (a ) + y(a ) (a ) Il fattore comune è a. Raccogliendolo otteniamo: (a )( + y )

57 . raccoglimenti 5 Raccoglimento parziale Talvolta non esiste un fattore comune a tutti i termini da poter raccogliere, ma capita che ci siano dei fattori comuni solo a qualche termine. Per esempio, nel polinomio a }{{ + b } + ay + by }{{} i primi due termini hanno in comune il fattore, mentre gli ultimi due hanno in comune il fattore y. Possiamo allora eseguire dei raccoglimenti parziali mettendo in evidenza questi fattori comuni parziali: (a + b) + y(a + b) Quella che abbiamo ottenuto non è ancora una scomposizione del polinomio di partenza perché abbiamo una somma, ma ci siamo messi nelle condizioni di poter effettuare un raccoglimento totale, visto che (a + b) è un fattore comune ai due addendi. Eseguendo il raccoglimento atteniamo (a + b)( + y) che è la scomposizione cercata. Questo procedimento è applicabile tutte le volte che è possibile un successivo raccoglimento totale; non serve invece se non si riesce a mettere in evidenza un fattore comune. Esercizio 44. Scomponi y a + ay. Soluzione. Si può eseguire un raccoglimento parziale: y a + ay = ( y) a( y) = ( y)( a) }{{}}{{} Esercizio 45. Scomponi y a + az. Soluzione. Proviamo a eseguire un raccoglimento parziale: y a + az }{{}}{{} = ( y) a( z) Questa volta il raccoglimento, anche se eseguito correttamente, non è di alcuna utilità perché non ha messo in evidenza un fattore comune. Per scomporre il polinomio, sempre che sia possibile, occorre procedere per altra via.

58 54 scomposizione dei polinomi Esercizio 46. Scomponi a + ay + + y. Soluzione. Il raccoglimento parziale si può fare in diversi modi. Possiamo raccogliere a fra i primi due monomi e fra gli ultimi due: a + ay + + y = a( + y) + ( + y) = ( + y)(a + ) }{{}}{{} Oppure possiamo raccogliere fra il primo e il terzo monomio, e y fra il secondo e il quarto: }{{} a +ay + }{{} +y = (a + ) + y(a + ) = (a + )( + y) Le due scomposizioni, ovviamente, coincidono. Talvolta si usa una combinazione tra il raccoglimento totale e quello parziale, come nell esempio seguente. Esercizio 47. Scomponi a + b + 4ay + 4by. Soluzione. Mettiamo in evidenza il fattore per tutto il polinomio: (a + b + ay + by) Raccogliamo fra i primi due termini all interno della parentesi e y fra gli ultimi due: (a }{{ + b } + ay + by }{{} ) = (a + b) + y(a + b) ] = (a + b)( + y) ] In definitiva, la scomposizione del polinomio è (a + b)( + y) in cui abbiamo eliminato le parentesi quadre perché superflue.

59 . riconoscimento di prodotti notevoli 55 Esercizio 48. Scomponi a + ay + az + b + by + bz. Soluzione. Non c è alcun fattore comune a tutto il polinomio. Proviamo a mettere in evidenza per gruppi di termini, evidenziando a tra i primi tre termini e b tra gli ultimi tre: a + ay + az + b + by + bz = a( + y + z) + b( + y + z) = ( + y + z)(a + b) }{{}}{{} Gli esempi precedenti ci permettono di fare alcune considerazioni sui modi di raccoglimento totale e parziale. Innanzitutto occorre verificare se c è la possibilità di un raccoglimento totale. Se il polinomio ottenuto dopo il raccoglimento lo permette, bisogna raccogliere parzialmente per gruppi di monomi di uguale numerosità: a due a due, a tre a tre, e così via. La scelta dei termini fra cui raccogliere a fattor parziale non segue regole precise se non quella di cercare di arrivare alla possibilità di un successivo raccoglimento totale; sarà l esperienza via via maturata a guidarti nelle scelte. Può capitare che un raccoglimento parziale fatto in un certo modo non permetta di fare la scomposizione; prima di abbandonare questo metodo conviene tuttavia provare a eseguire raccoglimenti in un altro modo.. riconoscimento di prodotti notevoli Le formule che abbiamo imparato sui prodotti notevoli si possono anche leggere da destra verso sinistra per individuare i polinomi da cui provengono tali espressioni e rendere quindi possibile la loro scomposizione. Quadrato di un binomio Ricordiamo le formule: a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) Se un polinomio è costituito da tre addendi, due dei quali sono quadrati di monomi o di altri polinomi, è quindi possibile che tale trinomio sia il quadrato di un binomio. Per stabilirlo bisogna verificare che il terzo termine sia proprio il doppio prodotto delle basi considerate. Se il doppio prodotto ha segno +, interporremo il segno + fra le basi, se ha segno interporremo il segno.

60 56 scomposizione dei polinomi Esercizio 49. Scomponi Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di e di, e il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi ( = 6) Quindi possiamo scrivere: () () = ( + ) Esercizio 50. Scomponi +. Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di e di, e il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, quindi: + = ( ) Esercizio 5. Scomponi 9a ab + 4b. Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di a e di b, e il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, quindi: 9a ab + 4b = (a b) Differenza di quadrati Ricordiamo la formula: a b = (a + b)(a b) Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi che sono dei quadrati, per scomporlo basta quindi individuare le basi dei due quadrati e scrivere il prodotto della loro somma per la loro differenza.

61 . trinomio speciale 57 Esercizio 5. Scomponi 9 6. Soluzione. I due termini sono i quadrati rispettivamente di e di () 4 Quindi: 9 6 = ( + 4)( 4) Esercizio 5. Scomponi (a ) b. Soluzione. Il due termini sono i quadrati rispettivamente di a e di b, quindi: (a ) b = (a ) + b] (a ) b] = (a + b)(a b). trinomio speciale Supponiamo di dover scomporre il trinomio di secondo grado Per scomporlo bisogna cercare i due numeri interi che hanno per somma il coefficiente del termine di primo grado (cioè 5) e per prodotto il termine noto (cioè 6). Questi due numeri sono e. Allora si può scrivere: = ( + )( + ) che è la scomposizione cercata. Questa procedura si può applicare a tutti i polinomi di secondo grado della forma + s + p tali che il coefficiente del termine di secondo grado è uguale a il coefficiente del termine di primo grado s e il termine noto p sono numeri interi s si può esprimere come somma di due numeri interi a e b (s = a + b)

62 58 scomposizione dei polinomi p è uguale al prodotto degli stessi due numeri a e b (p = a b) Un trinomio di questo tipo si dice trinomio speciale (o caratteristico). Per scomporlo basta individuare i due numeri interi a e b tali che s = a + b e p = a b, e scrivere che: + s + p = + (a + b) + a b = ( + a)( + b) Per cercare i due numeri a e b conviene partire dal loro prodotto (il termine noto del trinomio), scrivere tutte le coppie di numeri interi che danno quel prodotto e cercare fra queste coppie quella che ha per somma il coefficiente del termine di primo grado. Esercizio 54. Scomponi Soluzione. In questo caso s = 6 e p = 8. A meno del segno, il termine noto 8 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 8 4 Poiché il prodotto è positivo, i numeri cercati sono concordi; poiché la somma è positiva, questi numeri sono entrambi positivi. I numeri cercati sono quindi e 4 (s = a + b = + 4 = 6, p = a b = 4 = 8). Quindi il trinomio si scompone in: = ( + )( + 4) Esercizio 55. Scomponi Soluzione. In questo caso s = 5 e p = 6. A meno del segno, il termine noto 6 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 6 Poiché il prodotto è positivo, i numeri cercati sono concordi; poiché la somma è negativa, questi numeri sono entrambi negativi. I numeri cercati sono quindi e, per cui: = ( )( )

63 . trinomio speciale 59 Esercizio 56. Scomponi + 0. Soluzione. In questo caso s = e p = 0. A meno del segno, il termine noto 0 si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: 0 5 Poiché il prodotto è negativo, i numeri cercati sono discordi; poiché la somma è positiva, il valore assoluto del numero positivo è più grande del valore assoluto del numero negativo. I numeri cercati sono quindi e 5, per cui: + 0 = ( )( + 5) Esercizio 57. Scomponi. Soluzione. In questo caso s = e p =. A meno del segno, il termine noto si può scrivere come prodotto di due numeri interi solo come: Poiché il prodotto è negativo, i numeri cercati sono discordi; poiché la somma è negativa, il valore assoluto del numero negativo è più grande del valore assoluto del numero positivo. I numeri cercati sono quindi e. Quindi il trinomio si scompone in: = ( )( + ) Esercizio 58. Scomponi + +. Soluzione. In questo caso s = p =. Poiché non esistono due numeri interi che soddisfano le condizioni richieste, il trinomio non è un trinomio speciale. In effetti, si dimostra che il trinomio è irriducibile. Trinomi riconducibili a trinomi speciali In alcuni casi si può applicare il metodo per scomporre un trinomio speciale anche quando il trinomio non è di secondo grado.

64 60 scomposizione dei polinomi Esercizio 59. Scomponi Soluzione. Facciamo la sostituzione = t Il polinomio P assegnato diventa t 5t + 4 che è un trinomio speciale: t 5t + 4 = (t 4)(t ) Ritorniamo all incognita ponendo t = : P() = ( 4)( ) I polinomi 4 e sono entrambi differenze di quadrati: P() = ( 4) ( ) = ( )( + )( )( + ) che è la scomposizione cercata. Esercizio 60. Scomponi = 0. Soluzione. Con la sostituzione = t il polinomio P assegnato diventa t 0t + 9 che è un trinomio speciale: t 0t + 9 = (t 9)(t ) Ritorniamo all incognita ponendo t = : P() = ( 9)( ) I polinomi 9 e sono entrambi differenze di quadrati: P() = ( 9) ( ) = ( )( + )( )( + ) che è la scomposizione cercata.

65 .4 mcd e mcm 6 Esercizio 6. Scomponi Soluzione. Con la sostituzione = t il polinomio P assegnato diventa che è un trinomio speciale: t + 5t + 6 t + 5t + 6 = (t + )(t + ) Ritorniamo all incognita ponendo t = : P() = ( + )( + ) che non è ulteriormente scomponibile, per cui quella appena scritta è la scomposizione cercata. sintesi sulla scomposizione Quando si deve scomporre un polinomio bisogna guardare bene la sua forma per capire quale, fra i metodi che abbiamo visto, è il più adatto. In generale, conviene seguire una procedura di questo tipo: si verifica se si può eseguire un raccoglimento totale si verifica se si può eseguire un raccoglimento parziale si verifica se il polinomio è lo sviluppo di un prodotto notevole (quadrato di un binomio se ha tre termini o differenza di quadrati se ne ha due) si verifica se il polinomio è un trinomio speciale si usa una combinazione dei metodi precedenti.4 mcd e mcm Quando eseguiamo la divisione tra due numeri interi a e b, diciamo che a è divisibile per b (o che a è multiplo di b) se esiste un intero q tale che a = qb. I numeri a, b e q si dicono rispettivamente dividendo, divisore e quoziente. Allo stesso modo, dati i polinomi A() e B(), diremo che A() è divisibile per B() (o che A è multiplo di B) se esiste un polinomio Q() tale che A() =

66 6 scomposizione dei polinomi Q()B(). I polinomi A(), B() e Q() si dicono rispettivamente dividendo, divisore e quoziente. Se due o più polinomi hanno uno stesso polinomio divisore, si dice che esso è un divisore comune a tali polinomi. Fra tutti i divisori comuni a due o più polinomi si chiama massimo comun divisore (MCD) quello di grado più grande. Definizione 6. Il massimo comune divisore di due polinomi A e B, indicato con MCD(A, B), è il polinomio di grado più grande fra tutti i divisori comuni ad A e B. Per determinare il MCD fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori irriducibili si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l esponente più piccolo con cui compaiono Se un polinomio è divisibile per altri polinomi, si dice che esso è multiplo comune a tali polinomi. Due o più polinomi possono avere infiniti multipli comuni; quello di grado più piccolo si chiama minimo comune multiplo (mcm). Definizione 7. Il minimo comune multiplo di due polinomi A e B, indicato con mcm(a, B), è il polinomio di grado più piccolo tra tutti i multipli comuni diversi da zero di A e di B. Per determinare il mcm fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori irriducibili si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l esponente più grande con cui compaiono Esercizio 6. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi: Soluzione. Scomponiamo in fattori i due polinomi: 4 4 = 4( ) = 4( + )( ) = 6( + + ) = 6( + ) Allora: MCD = ( + ) mcm = ( + ) ( )

67 .5 esercizi 6 Esercizio 6. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi: 8a + 6ab + 8b 4a 4 4a b a + ab Soluzione. Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 8a + 6ab + 8b = 8(a + ab + b ) = 8(a + b) 4a 4 4a b = 4a (a b ) = 4a (a b)(a + b) a + ab = a(a + b) Allora: MCD = 4(a + b) mcm = 4a (a + b) (a b) Definizione 8. Due polinomi A e B si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni, a parte le costanti. Per esempio: e 4 sono primi tra loro, perché non hanno divisori comuni, essendo = ( + )( ) 4 = ( + )( ) 9 e non sono primi tra loro, perché hanno come divisore comune: 9 = ( + )( ) = ( ).5 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Scomponi in fattori raccogliendo a fattor comune. y + 6 ( + y)] b + b b(b + ) ] y y y( 4y)] 4 a ( a) ] 5 9a 6a a (a ) ] ( )] 7 8 y y 6y( y) ] 8 4 y (4y ) ]

68 64 scomposizione dei polinomi 9 5 (5 ) ] 0 ( )( + )] a + (a + )] a b 4a b a b(b ) ] a 4 a a a (a + a + ) ] 4 a( + y) b( + y) ( + y)(a b)] 5 ( y) y(y ) (y + )( y)] Scomponi in fattori con il raccoglimento parziale. 6 y + a ay ( y)(a + )] 7 a 6a + (a + )( )] 8 a + b ay by (a + b)( y)] 9 a 9a + ( )(a )] 0 a + a + b + b ( + )(a + b)] a 4a + ( )(a )] + ( )( + ) ] + ( )( + ) ] ( + )( + ) ] 5 b b y + y ( y)(b + ) ] 6 a + a + a + (a + )(a + ) ] 7 a + a a (a + )(a )] 8 b b + by y (b )(b + y)] 9 a a + 8b 4ab ( a)(a + 4b)] ( + )( + ) ] + 9 ( )( + ) ] Scomponi in fattori raccogliendo prima a fattor comune e poi parziale. + ( )( + ) ] a 7 + 4a a 5 8a a(a 4 + 4)(a ) ] 4 y + y + y + y y( + )( + ) ] 5 b + b y b by b( + y)(b )] 6 b b by + b y b(b )( + y)] ( + )( + 6) ] 8 + a a ( + )( a)] 9 b + 4b a 4a ( + )(b a)] ( )( + ) ] ( + )( ) ] ( )( + ) ] Scomponi in fattori riconoscendo il quadrato di un binomio. 4 a a y 6y t + 8t a 6a + (a ) ] ( + ) ] (y ) ] (4t + ) ] ( + ) ] (a ) ] a + ab + b a4 4a + 9 ( ) ] ( ) ] a + b ( + ) ] ( ) ] a

69 .5 esercizi 65 ( ) ] y + y ( + y) ] 55 a 4 + 6a + a a (a + 6) ] 56 6y + 9y ( y) ] ( + 5) ] ( 5) ] a b 4 + 0ab (0 + ab ) ] ( 60 9 a + ) ] ab + b a + b 6 5a 0a + (5a ) ] 6 a ab + b (a b) ] ( + ) ] 64 y y + 8 y y( y) ] Scomponi i seguenti polinomi come differenza di quadrati. 65 a 5b (a + 5b)(a 5b)] 66 6 y (4 y)(4 + y)] (5 )(5 + )] 68 4a 4 9b (a b)(a + b) ] 69 6y ( 4y)( + 4y)] y 9(4 y)(4 + y)] 7 6a 4 8b (4a 9b)(4a + 9b) ] 7 a b 4 c (ab c)(ab + c) ] y 4 ( y )( + y ) ] 74 + a (a )(a + )] a ( 75 4 y a 9 y )( a + y )] 76 a 50 (a 5)(a + 5)] 77 4a + b (b a)(b + a)] 78 a b (7 ab )(7 + ab ) ] 79 a 4 6 (a )(a + )(a + 4) ] 80 6a 9b (4a b)(4a + b)] ( )( + )] ( )( )] a 9b (a + b)(a b)] ( )( )] a 4 a 4 a (5 4)(5 + 4)] 86 4 y 8 ( y )( + y )( + y 4 ) ] 87 (a ) b (a b)(a + b)] Scomponi in fattori i seguenti trinomi speciali ( 9)( + 4)] ( 6)( )] 90 + ( )( )] ( + )( + 4)] ( + )( + 4)] 9 ( )( + )] ( + )( + 6)] ( )( )] ( 9)( + )] ( 4)( )] ( 4)( )] 99 4 ( 4)( + )] ( )( + 7)] ( )( + 6)] 0 + ( )( )] ( )( + 5)] ( + )( + )] ( 5)( + 7)] ( 4)( + 9)] ( + )( + 7)] ( 6)( 4)] ( 4)( + 5)]

70 66 scomposizione dei polinomi ( 5)( + 9)] 4 ( 7)( + )] + 4 ( )( + 7)] 0 + ( 7)( )] Scomponi in fattori i seguenti polinomi con i metodi che conosci. 4 4 y 4 + y ( )(4 y)] ( )( )] 6 6 4y + 4y 6( y) ] 7 8a 6a b a(9 4ab)(9 + 4ab)] ( 9)( + 5)] 9 y 5y 4y y(y 8)(y + )] 0 a + 4a + 4a a(a + ) ] 8ab a a(b a)(b + a)] + ( ) ] a 4 + b 4 a b (a b) (a + b) ] 4 + ( 8)( 4)] ( 5)( )] ( )( )] 7 4a + 4a + (a + ) ] 8 4 y 4y + (y ) ] ( + )( + )( )] 0 a + 6a + 9 (a + ) ] y 6y 4y( 4y)] a ay a( y)( + y)] 7t 8 7(t )(t + )] ( + ) ] 5 5y 4 0y + (5y ) ] 6 a + a + 6 (a + 6) ] y 4 5 ( y )( + y ) ] Scomponi in fattori i seguenti polinomi con i metodi che conosci. 6 ay + a y 8 + 0y + 5y ( + 5y) ] ( 4)( + 0)] ( 9)( + )] 4 a + b ay by (a + b)( y)] 4 a + 4ay + 4ay a( + y) ] 4 6 y y + 6y 6y( y) ] ( 4)( + 7)] ( 4)( + 6)] 46 8a 4 b b b(a b)(a + b) ] ( 5)( 4)] 48 a 50ab a(4 5b)(4 + 5b)] 49 4y y + 9 (y ) ] ( + 9)( 5)] 5 a + 8ay + 8ay a( + y) ] 5 a + ay + ay a( + y) ] 5 a + 4a (a 4)(a + 8)] 54 9y + 6y + (y + ) ] 55 9a 9 9(a )(a + )] ( )( + 0)] 57 0 ( 6)( + 5)] ( + )( + 5)] ( + )( + 8)] ( + )( + 6)] ( 4)( )] (a )(y ) ] 6 5a( + y) ( + y) ( + y)(5a )] 64 y 6y ay + a (y )(y a) ] 65 ( ) a ( ) ( )( a ] 66 ( + y) y ( + y)( + y + 5)]

71 .5 esercizi b + b y + a + ay 68 b b y + a ay ( + y)(a + b ) ] ( y)(b + a) ] 69 a + b + a b (a + b + )( )] 70 a a b ab + b (a b )(a b) ] 7 0 5y + 6y (5 6)( y) ] 7 a 5 6ab 4 a(a b)(a + b)(a + 4b ) ] 7 6y 4 z 4 (y z)(y + z)(4y + z ) ] 74 a 8 b 8 (a b)(a + b)(a + b )(a 4 + b 4 ) ] 75 a + a 4a 4 (a + )(a )(a + )] 76 6a a 9a 6 (a )(a + )(a + )] 77 a + b ay by (a + b)( y)] 78 4a + 8a a (a + )(a )(a + )] ( )( + ) ] 80 8a 4 64a b a (9a 8b)(9a + 8b) ] 8 + ( )( + )( + )] 8 5 7y 4 ( y )( + y ) ] 8 6ab + aby y (ab )( + y)] 84 8a 4 b 4 (a b)(a + b)(9a + b ) ] 85 a + a a (a + )( a ) ] 86 6a 5 4ab 4 6a(a b )(a + b ) ] ( )( + )( + 4)] 88 50a 4 b b b (5a )(5a + ) ] 89 6ab 49a b ab(6 7ab)(6 + 7ab)] 90 a b 5b + a 5 (a 5)(a + 5)(b + )] 9 a 8 (a )(a + )(a + )(a 4 + ) ] 9 50a b 8a 5 a (5b a)(5b + a) ] Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di polinomi. 9 a + 5a + 5 a + 6a + 9 a +, 5(a + ) ] 94 a b ab a a b a b, a(a b)(a + b)] 95 b + a b a b 4a, (b a)(b + a)] 96 a 9 a a a + a, a(a )(a + )] 97 + y + y y ( + y) ( y) + y, ( y)( + y) ] 98 a a 9 a + a 6, (a )(a )(a + )] 99 +, ( ) ( + ) ]

72 68 scomposizione dei polinomi 00 +, ( )( )] 0 a b + a + ab b, (a )(a + )(b + )] 0 4 9, ( )( + )] 0 a a + a a + a a, (a ) (a ) ] 04, ( )] 05 a a a + a a, a(a )(a + )] , ( )( )( + )] , ( ) ( + ) ] 08 Indica la risposta corretta. a. Quale dei seguenti polinomi è scomposto in fattori? A a + ay B ( ) C ( ) D a(a ) + a b. Il polinomio 0a 4 0a non è divisibile per uno dei seguenti monomi; quale? A a B 5a C 0a D 6a 4 c. Quale dei seguenti polinomi è irriducibile? A 4 B + 4 C D d. Quale dei seguenti trinomi si scompone in ( + 7)( )? A 5 4 B C D e. Quale delle seguenti è la scomposizione del binomio + y? A ( + y)( y) B (y )(y + ) C ( + y)( y) D ( + y)( y) f. L espressione è uguale a: A 508 B 509 C 50 D 5 g. Quale dei seguenti è un fattore del polinomio a + a + a +? A a + B a + C a + 4 D a + 5 h. Se è uno zero del polinomio P(), allora nella scomposizione di P() compare certamente il fattore:

73 .5 esercizi 69 A B + C 9 D + 9 i. Quale delle seguenti è la scomposizione in fattori dell espressione che corrisponde alla seguente descrizione verbale: «sottrai dal numero 7 il triplo del quadrato di»? A ( )( + ) B ( 9)( + 9) C ( + )( ) D ( )( + ) j. Sia a > 0. L area di un quadrato è data dall espressione 00a + 40a + 4. Quale dei seguenti binomi esprime la lunghezza del lato del quadrato? A 0a + B a + 0 C 0a + 4 D 4a + 0 Due risposte A, tre B, una C e quattro D] 09 Indica la risposta corretta. a. Quale dei seguenti trinomi non è il quadrato di un binomio? A B C D b. Quale dei seguenti polinomi è il quadrato di un binomio? A B + + C D c. Per quale dei seguenti polinomi = non è uno zero? A B C 8 D d. Qual è la scomposizione del trinomio 7 + 0? A ( + )( + 5) B ( + )( 5) C ( )( + 5) D ( )( 5) e. Un polinomio A() di grado 0 è divisibile per un polinomio B() di grado 5. Qual è il grado per polinomio quoziente? A B 5 C 0 D 50 f. Quale delle seguenti è la scomposizione in fattori dell espressione che corrisponde alla seguente descrizione verbale: «aggiungi 6 al quadrato di, quindi sottrai dalla somma ottenuta il doppio del quadruplo di»? A ( 4)( ) B ( + 4) C ( )( + 4) D ( 4)

74 70 scomposizione dei polinomi g. Qual è il quoziente della divisione di (a + ) per a +? A 4a + 6a + 9 B 4a + 6a 9 C 4a + a + 9 D 4a 6a + 9 h. Quale dei seguenti polinomi si scompone in (a + )(a )? A a a + a B a + a a + C a + a + a + D a a a + i. Qual è la scomposizione in fattori dell espressione ( + ) ( + )( )? A ( + )( 4) B ( )( 4) C ( )( + 4) D ( + )(4 ) j. Sia > 0. Un rettangolo ha area uguale a e la lunghezza della base è 5. Qual è il perimetro del rettangolo? A B C D Indica la risposta corretta. Una risposta A, due B, due C e cinque D] a. Qual è la scomposizione del trinomio y + y? A ( + y) B ( y) C ( y) D ( y) b. Il polinomio 6 si scompone in: A ( + 7)( + 8) B ( + 7)( 9) C ( 7)( 9) D ( + 5)( 9) c. Il polinomio (a )y + a si scompone in: A (a + )(y + ) B (a + )(y ) C (a )(y + ) D (a )(y ) d. Il polinomio (a ) (a ) + si scompone in: A (a ) B (a + ) C (a ) D (a + ) e. Il polinomio 5 si scompone in: A ( + 5)( + ) B ( + 5)( ) C ( 5)( + ) D ( 5)( )

75 .5 esercizi 7 f. Il polinomio 4a a + 6ab b si scompone in: A (a + )(a + b) B (a + )(a b) C (a )(a + b) D (a )(a b) g. Qual è la scomposizione del binomio 5 4y? A (5 + y)(5 + y) B ( 5y)(5 + y) C (5 y)(5 + y) D (5 y)(5 y) h. Il polinomio 6 y si scompone in: A ( y + )( y ) B ( y + ) C ( y ) D (y )(y + ) i. Il polinomio 4 si scompone in: A ( + )( + )( ) B ( + ) ( + )( ) C ( + ) D ( + ) ( ) j. Il polinomio 4a + 9 a si scompone in: A (a ) B (a + ) C (a )(a + ) D (a ) Tre risposte A, una B, cinque C e una D] Indica la risposta corretta. a. Il polinomio 4 0 si scompone in: A ( + 5)( + 4) B ( + 5)( 4) C ( 5)( + 4) D ( 5)( 4) b. Il polinomio a + b ay by + a + b si scompone in: A (a + b)( + y + ) B (a + b)( y + ) C (a b)( + y + ) D (a b)( y + ) c. Il polinomio si scompone in:

76 7 scomposizione dei polinomi A (5 + 4) B (5 4) C (5 + 4)(5 4) D (4 5) d. Il polinomio a 4a + a si scompone in: A a(a ) B a(a + ) C a(a ) D (a + )(a ) e. Il polinomio a + a + si scompone in: A (a + 4)(a + 8) B (a + 4)(a 8) C (a 4)(a + 8) D (a 4)(a 8) f. Il polinomio 5 6 si scompone in: A ( + )( + 6) B ( + )( 6) C ( )( + 6) D ( )( 6) g. Il polinomio a 4 + 7a + si scompone in: A (a + )(a + 4) B (a + )(a 4) C (a )(a + 4) D (a )(a 4) h. Il polinomio + si scompone in: A ( + )( ) B ( )( + ) C ( )( ) D ( ) i. Il polinomio 8 si scompone in: A ( + )( + 4) B ( )( + 4) C ( + )( 4) D ( )( 4) j. Il polinomio 4 si scompone in: A ( + )( + ) B ( + )( ) C ( ) D ( + )( ) Indica la risposta corretta. a. Il polinomio si scompone in: Tre risposte A, quattro B, due C e una D] A ( + 5)( + 9) B ( + 5)( 9) C ( 5)( + 9) D ( 5)( 9)

77 .5 esercizi 7 b. Il polinomio a + a si scompone in: A (a + ) B (a ) C (a + ) D (a ) c. Il polinomio ( ) 4( ) si scompone in: A ( + )( + 7) B ( + )( 7) C ( )( + 7) D ( )( 7) d. Il polinomio 4(a 5b) a si scompone in: A (a + 0b)(a + 0b) B (a + 0b)(a 0b) C (a 0b)(a + 0b) D (a 0b)(a 0b) e. Una sola di queste frasi definisce il massimo comune divisore tra più polinomi. Quale? A È il polinomio di grado maggiore tra quelli che dividono i polinomi dati B C D È il polinomio maggiore tra quelli che dividono i polinomi dati È il polinomio di grado maggiore tra quelli divisibili per i polinomi dati È il polinomio maggiore tra quelli divisibili per i polinomi dati f. Determina il massimo comune divisore tra i polinomi a ab a + a b ab b a b + b ab A B ab a b C ab(a b) (a + b) D ab(a b ) g. Determina il minimo comune multiplo tra i polinomi a ab a + a b ab b a b + b ab A B ab a b C ab(a b) (a + b) D ab(a b ) h. Determina il massimo comune divisore tra i polinomi 4a b + 8a b 4 6a + b 8ay 6by 8a 5 + a 4 b + a b A 4a b (a + b) ( y) B (a + b) C (a + b) D (a b)

78 74 scomposizione dei polinomi i. Determina il minimo comune multiplo tra i polinomi + y + y y y + y A y C ( y) ( + y) B y D ( + y) ( y) j. Il polinomio 7 + si scompone in: A ( + )( + 4) B ( + )( 4) C ( )( + 4) D ( )( 4) Una risposta A, una B, tre C e cinque D]

79 4 E Q U A Z I O N I F R AT T E Definizione 9. Un equazione in cui compare l incognita a denominatore si chiama fratta o frazionaria. In questo capitolo affrontiamo quelle equazioni fratte che, svolgendo i calcoli, si riconducono a equazioni lineari. Per risolvere un equazione di questo tipo si procede come segue: si scompongono i denominatori in fattori si determina il minimo comune multiplo dei denominatori si impongono le condizioni di esistenza, escludendo i valori che annullano i denominatori si svolgono i calcoli si moltiplicano entrambi i membri dell equazione per il minimo comune multiplo si ottiene un equazione lineare, che verrà risolta normalmente si eliminano le eventuali soluzioni escluse dalle condizioni di esistenza Vediamo come funziona il procedimento attraverso qualche esempio. 4. risoluzione delle equazioni fratte Esercizio 64. Risolvi l equazione + + =. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + + = ( )( + )

80 76 equazioni fratte Il mcm dei denominatori è( )( + ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) + ( ) ( )( + ) = ( )( + ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: + + = = = = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S = Esercizio 65. Risolvi l equazione = 5. Soluzione. I denominatori sono irriducibili. Il mcm dei denominatori è ( + ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) ( + ) = 5( + ) ( + ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: = = 6 = 4 = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S =

81 4. risoluzione delle equazioni fratte 77 Esercizio 66. Risolvi l equazione + + = 4 4. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + + = 4 ( + )( ) Il mcm dei denominatori è ( + )( ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( ) + ( + ) ( + )( ) = 4 ( + )( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: + + = 4 = = 4 = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l insieme soluzione è: S = Esercizio 67. Risolvi l equazione + 6 = +. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + ( ) = ( )( ) Il mcm dei denominatori è ( )( ).

82 78 equazioni fratte Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( ) + ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: ( ) + ( ) = ( ) = 6 + = 6 9 = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l insieme soluzione è: S = Esercizio 68. Risolvi l equazione + = Soluzione. Scomponiamo i denominatori: + = 5 ( + )( ) Il mcm dei denominatori è ( + )( ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) ( + )( ) = 5 ( + )( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: = 5 = 0 = 0 L equazione è indeterminata: ciò significa che ogni numero che verifica le condizioni di esistenza è soluzione dell equazione. L insieme soluzione è allora: S = R \ {, }

83 4. risoluzione delle equazioni fratte 79 Esercizio 69. Risolvi l equazione =. Soluzione. Scomponiamo in fattori i denominatori e al secondo membro scriviamo come ( ): ( ) ( ) =. Il mcm dei denominatori è ( ). Imponiamo le condizioni di esistenza: 0 Svolgiamo i calcoli: ( ) ( ) ( ) = ( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: = + = = = = = = Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza; la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { S = } Esercizio 70. Risolvi l equazione + =. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: ( ) ( ) = Il mcm dei denominatori è mcm = ( ).

84 80 equazioni fratte Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( ) ( ) ( ) = ( ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: ( ) = ( ) = + = 4 + = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S = Esercizio 7. Risolvi l equazione = +. Soluzione. Scomponiamo i denominatori: ( ) + ( )( + ) = + Il mcm dei denominatori è mcm = ( ) ( + ). Imponiamo le condizioni di esistenza: Svolgiamo i calcoli: ( + ) + ( ) ( ) ( + ) = ( ) ( ) ( + ) Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste: ( + ) + ( ) = ( ) = + + = = = Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e l insieme soluzione è: { } S =

85 4. formule inverse 8 4. formule inverse Le formule di geometria, di fisica e di matematica finanziaria si possono vedere come equazioni letterali, in cui le varie grandezze sono indicate con lettere. I due principi di equivalenza delle equazioni permettono di ricavare le cosiddette formule inverse, ossia di risolvere un equazione letterale rispetto a una qualsiasi delle lettere che vi compaiono. Esercizio 7. L area del triangolo è data dalla formula A = b h dove b è la base e h l altezza. Determina il valore di h in funzione di A e b. Soluzione. L equazione è risolta rispetto all incognita A: se sono noti i valori di b e di h si può trovare il valore di A. Ora, noti A e b, vogliamo h. Moltiplichiamo per i membri dell equazione data: A = b h = A = b h Dividiamo per b entrambi i membri e scambiamo primo e secondo membro: A b = b h b = h = A b Esercizio 7. Un corpo in una posizione s 0, viaggiando alla velocità costante v, raggiunge dopo un intervallo di tempo t la posizione s. In formule: s = s 0 + v t Calcola v supponendo note le altre grandezze. Soluzione. Sottraiamo s 0 a entrambi i membri della formula data: s s 0 = s 0 + v t s 0 = s s 0 = v t Dividiamo entrambi i membri per t e scambiamo primo e secondo membro: s s 0 t = v t t = v = s s 0 t

86 8 equazioni fratte Esercizio 74. Depositando un capitale C per un periodo di t anni a un tasso di interesse annuo i, si ha diritto al montante M. In formule: Calcola i note le altre grandezze. M = C( + it) Soluzione. Dividiamo per C i membri dell equazione data, poi sottraiamo a entrambi i membri e dividiamoli per t: M C = + it = M C = it = Leggiamo la formula da destra verso sinistra: i = ( ) M C t ( ) M C = ( ) M t C = t M C = M C C tc t = i 4. esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Risolvi le seguenti equazioni fratte. + = ] + ] = + = 0 0] 4 4 = 0 impossibile] 5 + = 0] 6 = ] 7 4 = 5 ] = = 0 = + 4 = + = + impossibile] impossibile] ] impossibile] ] + = ] = ] 9

87 4. esercizi = = = + + = 0 + = = = = = ] ] ] ] impossibile] ] 5 5 = 0 impossibile] ] 4 ] ] = = = 0 + ( ) = = ] ] 6 ] ] 4 ] + = impossibile] + = ] = 5 ] = 0 8] + 4 = 0 ] 7 + = 6 = ] ] = + impossibile] + + = impossibile] ( + 7) = + 4 0] = ] = 4 ] + = 5 = = = ( 4) = + ( ) + ] 9 ] ] ] 8 0] = ] + + = 0 5 = ] 5 + 0] 5 = 4] + = + = = = + = + = = + + = 0 0] ] 4 impossibile] ] 0] 0] ] ]

88 84 equazioni fratte = 4 6 impossibile] + = impossibile] + = 4 impossibile] = ] = ] 8 + = ] = = = = = = (5 + ) = = = + 8 impossibile] impossibile] ] + ] ] 9] + = 6 ] 5 + = = 0 + = = = + Risolvi le seguenti equazioni fratte = 6 + ] ] ] 5 0] ] 5 ] ] 7 5] = = + + = 5 + = = = = ( 7) = = = ( 5 = ] 0] impossibile] 5] ] ] ] 4 ] 4 impossibile] ) ] = = 0 = + + = 4 + ( ) ( + ) = + = + = = = ] ] 5 ] ] ] ] 5 ] ] 4 ] 4] impossibile]

89 0 + + = = = 4. esercizi 85 ] impossibile] ( ) ] + = + impossibile] = R \ {, 0 }] ( ) ( : ) = 5] + + = impossibile] ( ) : ( ) + 5 = = = ] 5 ] 4 { R \ }], + = + impossibile] = 0 impossibile] = impossibile] = 7 + impossibile] ( + ) = 6 9 0] = impossibile] + + = impossibile] = 5 ] = + R \ { ± }] = impossibile] 4 + = 4 + impossibile] + + = impossibile]

90 86 equazioni fratte = = + R \ { 0, ± }] 4 = impossibile] { R \ 0, ± }] 8 5 = = = + + = = = + + = = = ( ) + = ( ) ( ) ( + ) + + = ( ) = 8 = = 4 5 ] 7 67 impossibile] impossibile] 8] impossibile] impossibile] ] impossibile] impossibile] ] 5 ] ] ] 4 ] 4 40 L interesse I maturato da un capitale C, al tasso di interesse annuo i, per un numero di anni t, è: I = C i t a. Ricava le formule per calcolare C, i e t. b. Se il capitale è 000 e, il tasso di interesse % e il tempo è di 6 anni, calcola I. C = I it, i = I Ct, t = I ] Ci ; I = 60 e

91 4. esercizi 87 4 Conversione da gradi Celsius C a gradi Fahrenheit F: a. Ricava la formula per calcolare F. C = 5(F ) 9 b. Calcola il valore di C quando F vale 04 e il valore di F quando C vale 5. F = 9C5 + ; C = 40, F = 59 ] 4 Superficie S di un trapezio di base maggiore B, base minore b, altezza h: S = (B + b) h a. Ricava le formule per calcolare B, b e h. b. Se la base maggiore è cm, la base minore 8 cm, la superficie 60 cm, calcola l altezza del trapezio. B = S h b, b = S h B, h = S ] B + b ; 6 cm 4 Velocità v nel moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v 0, accelerazione costante a dopo un tempo t: v = v 0 + a t a. Ricava le formule per calcolare v 0, a e t. b. Se un corpo è passato in 0 secondi dalla velocità 0 m/s alla velocità 0 m/s, qual è stata la sua accelerazione? v 0 = v at, a = v v 0, t = v v ] 0 t a ; m/s 44 Legge di Gay-Lussac per i gas: Ricava le formule per calcolare V 0 e T. 45 Equazione di stato dei gas perfetti: Ricava le formule per calcolare V e T. 46 Rendimento del ciclo di Carnot: V = V 0 ( + α T) pv = nrt V 0 = V + αt, T = V V ] 0 V 0 α V = nrt p, T = pv ] nr Ricava le formule per calcolare T e T. η = T T T = T ( η), T = T ] η 47 Indica la risposta corretta. a. Quali sono le condizioni di esistenza dell equazione = 0?

92 88 equazioni fratte A 0 B 0, C 0, ± D ± b. Qual è l insieme soluzione dell equazione 4 = 4? A { } B { } C { 4 } D c. L equazione = + 5 : A ha come soluzione = 4 B ha come soluzione = 5 C D è impossibile è indeterminata d. La somma tra il reciproco di un numero e il reciproco del doppio del numero è uguale a. Qual è il numero? A B C 5 D 7 e. In base alle leggi della fisica, due resistenze R e R, poste in parallelo, equivalgono a un unica resistenza R tale che: R = R + R Quale delle seguenti formule esprime R in funzione di R e R? A R = R + R B R = R R R C R = R D R = R R R + R R + R R + R f. Un auto percorre 80 km nello stesso tempo in cui un autobus ne percorre 00. Supponendo che le velocità dell auto e dell autobus siano costanti e che la velocità dell auto sia di 0 km/h superiore a quella dell autobus, qual è la velocità di quest ultimo? A 75 km/h B 80 km/h C 85 km/h D 90 km/h g. Un azienda stima che dopo giorni di campagna pubblicitaria la percentuale di consumatori che conoscerà un nuovo prodotto in fase di lancio è espressa dalla legge p() = 80. Per esempio, dopo 0 giorni è p(0) = 40, quindi l azienda stima + 0 che il 40% dei consumatori sarà a conoscenza del prodotto. Secondo le stime dell azienda, quanti giorni saranno necessari perché il prodotto sia conosciuto dal 0% dei consumatori? A 8 B 0 C D 4 h. In una classe gli studenti italiani sono 4 in più di quelli stranieri. Il rapporto tra il numero degli studenti stranieri e il numero di quelli italiani è /. Quanti sono gli studenti stranieri?

93 4. esercizi 89 A 7 B 8 C 9 D 0 i. Il rapporto tra il precedente e il successivo di un numero naturale n è uguale a /. Quanto vale n? A 5 B 6 C 7 D 8 j. I grafici nella figura seguente permettono di interpretare graficamente una delle seguenti equazioni; quale? A = B = C = y D = Tre risposte A, quattro B, due C e una D] 48 Indica la risposta corretta. a. Le condizioni di esistenza dell equazione + + = + 5? A e 5 C e 5 B e 5 D e 5 b. L insieme soluzione dell equazione = 0 è A B { 0 } C { } D { } c. L equazione ( ) + ( ) = è verificata se: A = 0 B = C = 5 D = 5 d. L insieme soluzione dell equazione + = è A B { } C { 5 } D { 5 } e. L insieme soluzione dell equazione + = 4 + è A B { } C { }

94 90 equazioni fratte D { } f. L insieme soluzione dell equazione A { } 7 B { } 7 4( ) + 4 = C { 7 è } D { 7 } g. L insieme soluzione dell equazione + + = 4 è A B { 0 } C { } D { } h. L insieme soluzione dell equazione A { } 5 B { } 5 i. L insieme soluzione dell equazione A { 5 } B { 5 } C + 6 = è { } 5 C + = { 5 j. L insieme soluzione dell equazione + + = 0 è { } { A B } { } 7 C 7 7 è } D D D { 5 } { } 5 { 7 } Due risposte A, due B, due C e quattro D]

95 5 S I S T E M I L I N E A R I Un equazione del tipo + y = ha come soluzioni tutte le coppie (, y) che la soddisfano. soluzioni: Per esempio, sono (, 0), perché + 0 = (, ), perché + = (, ), perché + = (0, ), perché 0 + = Non è difficile intuire che le coppie soluzione sono infinite: se infatti riscriviamo l equazione nella forma y =, basta assegnare a un valore qualsiasi e a y l opposto di questo valore aumentato di per avere una coppia soluzione. Se però consideriamo anche l equazione y = fra le infinite soluzioni della prima e le infinite soluzioni di quest ultima può darsi che ce ne sia qualcuna in comune. In effetti, la coppia (, ) le soddisfa entrambe: prima equazione: + y = = + = seconda equazione: y = = = Definizione 0. Si definisce sistema di equazioni l insieme di due o più equazioni che devono essere verificate contemporaneamente. L insieme soluzione S di un sistema è formato dalle soluzioni che verificano tutte le equazioni contemporaneamente. Per indicare un sistema si scrivono le sue equazioni all interno di una parentesi graffa aperta. Il sistema delle due equazioni dell esempio precedente si rappresenta così: { + y = y = e una soluzione è data dalla coppia ordinata (, ).

96 9 sistemi lineari Definizione. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni. Un sistema di primo grado si dice lineare. Per esempio: il sistema { + y = y = è lineare perché entrambe le equazioni sono lineari il sistema { y = y = è di grado perché la prima equazione ha grado, mentre la seconda ha grado il sistema { + y = y = è di grado 4 perché entrambe le equazioni sono di secondo grado 5. sistemi determinati, indeterminati, impossibili Ci sono sistemi che hanno un numero finito di soluzioni. Un esempio è il sistema presentato all inizio del capitolo che, come avremo modo di vedere, è verificato solo dalla coppia (, ). Invece un sistema come { + y = + y = non ha soluzione, perché + y non può essere uguale contemporaneamente a e a, mentre il sistema { + y = + y = 6 ha infinite soluzioni, perché le due equazioni sono equivalenti (se dividi per la seconda equazione ottieni la prima), per cui tutte le infinite coppie che soddisfano la prima equazione soddisfano anche la seconda. Analogamente a quanto abbiamo fatto per le equazioni, diciamo allora che un sistema è: determinato se ha un numero finito di soluzioni impossibile se non ha soluzioni indeterminato se ha infinite soluzioni

97 5. principi di equivalenza 9 5. principi di equivalenza Definizione. Diciamo che due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per risolvere un sistema si cerca di passare a un altro a esso equivalente ma di forma più semplice. Per fare ciò ci vengono in aiuto due principi di equivalenza. Principio (Primo principio di equivalenza). Se in un sistema si sostituisce a un incognita la sua espressione ricavata da un altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Principio (Secondo principio di equivalenza). Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni e si sostituisce a una di esse l equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Consideriamo per esempio il sistema { + y = y = e ricaviamo l espressione dell incognita y dalla prima equazione: y = Per il primo principio possiamo sostituire questa espressione al posto di y nella seconda equazione. Il sistema che si ottiene dalla prima equazione riscritta nella forma y = e dalla seconda dopo la sostituzione è: { y = ( ) = e, per il primo principio, possiamo dire che questo sistema è equivalente a quello dato. Consideriamo sempre il sistema { + y = y = Se sommiamo membro a membro le due equazioni otteniamo: ( + y) + ( y) = +

98 94 sistemi lineari Associamo ora all equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema, per esempio la prima: { + y = ( + y) + ( y) = + Per il secondo principio, il sistema ottenuto ha le stesse soluzioni di quello dato. Il secondo principio permette anche di sottrarre membro a membro le due equazioni: infatti ciò equivale a cambiare i segni di una delle due equazioni e poi a sommarle. 5. risoluzione dei sistemi lineari In questo paragrafo ci occupiamo della risoluzione dei sistemi lineari, in cui tutte le equazioni sono lineari. In particolare, affrontiamo la risoluzione dei sistemi di due equazioni in due incognite. La forma tipica di un sistema di questo tipo, che si dice forma normale, è la seguente: { a + by = c d + ey = f con a, b, c, d, e, f numeri non tutti contemporaneamente nulli. Un sistema lineare, se è determinato, ha sempre una sola soluzione. Trovarla significa individuare, se esiste, la coppia ordinata di numeri (, y) che soddisfa il sistema. Possiamo quindi ritenere di averlo risolto se, applicando i principi di equivalenza, riusciamo a trasformare le sue equazioni fino ad arrivare a scrivere { = k y = h In questo caso diciamo che la coppia soluzione è (k, h). Vediamo ora i principali metodi di risoluzione mediante alcuni esempi. Metodo di sostituzione Questo metodo è conseguenza diretta dell applicazione del primo principio. Esercizio 75. Risolvi il sistema { + y = con il metodo di sostituzione. y = Soluzione.

99 5. risoluzione dei sistemi lineari 95 Ricaviamo l espressione di oppure di y da una delle due equazioni. Per esempio, ricaviamo y dalla prima equazione: { y = y = Applichiamo il primo principio: { y = ( ) = Il vantaggio che deriva dall applicazione di questo principio è evidente: la seconda equazione contiene ora la sola incognita e si può risolvere rispetto a questa variabile. Svolgiamo i calcoli e risolviamo l equazione in : { y = + = = { y = = 4 = { y = = Applichiamo ancora il primo principio sostituendo l espressione trovata alla nella prima equazione: { { y = y = = = = Abbiamo così trovato la soluzione del sistema. L insieme S delle soluzioni è quindi S = { (, ) } Esercizio 76. Risolvi il sistema { y = 0 + y = 4 con il metodo di sostituzione. Soluzione. La cosa più conveniente è ricavare la variabile dalla prima equazione e sostituire la sua espressione nella seconda: { = y + y = 4 = { = y y + y = 4 = { = y 4y = 4 = { = y y = Sostituiamo il risultato trovato alla y nella prima equazione: { = y = L insieme delle soluzioni è dunque = { = y = S = { (, ) }

100 96 sistemi lineari Metodo di riduzione Questo metodo consiste nel sommare (o sottrarre) opportunamente le due equazioni, applicando il secondo principio, in modo da eliminare una delle variabili da ciascuna equazione. Esercizio 77. Risolvi il sistema { + y = con il metodo di riduzione. y = Soluzione. Eliminiamo la variabile y sommando membro a membro le due equazioni: ( + y) + ( y) = + = + y + y = 4 = = 4 = = Associamo ora all equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema, per esempio la prima: { + y = = Per completare la risoluzione del sistema procediamo per sostituzione, sostituendo il valore di trovato nella prima equazione e risolviamo: { + y = = = { y = = = { y = = = S = { (, ) } Esercizio 78. Risolvi il sistema { y = 0 + y = 4 con il metodo di riduzione. Soluzione. Eliminiamo la variabile sottraendo membro a membro le due equazioni: ( y) ( + y) = 0 4 = y y = 4 = 4y = 4 = y = da cui { = y y = = { = y = = { = y = = S = { (, ) } Metodo del confronto Questo metodo è un applicazione del primo principio di equivalenza.

101 5. risoluzione dei sistemi lineari 97 Esercizio 79. Risolvi il sistema { + y = con il metodo del confronto. y = Soluzione. Ricaviamo l espressione della stessa variabile, la o la y, in entrambe le equazioni. Per esempio ricaviamo l espressione di : { = y = + y Confrontiamo le due espressioni di trovate: y = + y Quella ottenuta è un equazione in una sola incognita. Risolviamola: y = = y = Associamo ora all equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema, per esempio la prima: { + y = y = Per completare la risoluzione del sistema procediamo per sostituzione, sostituendo il valore di y trovato nella prima equazione e risolviamo: { + y = y = = { + = y = = { = y = = S = { (, ) } Esercizio 80. Risolvi il sistema { y = 0 + y = 4 con il metodo del confronto. Soluzione. La cosa più conveniente è ricavare la variabile da entrambe le equazioni; { = y = 4 y Confrontiamo le due espressioni di trovate: y = 4 y = 4y = 4 = y = da cui { = y y = = { = y = = { = y = = S = { (, ) }

102 98 sistemi lineari Metodo di Cramer Il metodo di Cramer (dal nome del matematico svizzero Gabriel Cramer) permette di risolvere un qualunque sistema lineare in modo meccanico. Per usare questo metodo, il sistema deve essere scritto nella sua forma normale. { a + by = c d + ey = f In questo caso, i coefficienti delle variabili si possono raggruppare in una tabella bidimensionale in questo modo: ] a b d dove nella prima colonna abbiamo messo i coefficienti della variabile e nella seconda i coefficienti della variabile y. A una tabella di questo tipo si dà il nome di matrice, e poiché essa possiede due righe e due colonne si parla di matrice quadrata di ordine due. In una matrice di questo tipo si individuano due diagonali: quella dei termini a ed e è la diagonale principale, mentre quella dei termini b e d è la diagonale secondaria. A ogni matrice quadrata come questa si può associare un numero che si chiama determinante, indicato con = a b d e, che si calcola facendo il prodotto dei termini sulla diagonale principale e sottraendogli il prodotto dei termini sulla diagonale secondaria: = a b d e = ae bd Consideriamo ora la matrice che otteniamo da quella dei coefficienti sostituendo la prima colonna, quella dei coefficienti di, con la colonna dei termini noti delle equazioni del sistema: ] c b Il suo determinante, che indichiamo con, è dato da: = c b f e = ce bf f Infine consideriamo la matrice che otteniamo da quella dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti delle due equazioni del sistema: a ] c d f Il suo determinante, che indichiamo con y, è dato da: y = a c d f = af cd e e

103 5. risoluzione dei sistemi lineari 99 Si può dimostrare che: se 0, il sistema è determinato e la sua soluzione è la coppia = = y che corrisponde a se = 0, il sistema non è determinato ed è: indeterminato se = 0 e y = 0 impossibile se 0 oppure y 0 ce bf = ae bd af cd = ae bd (, y ) : Il metodo di Cramer, in quanto segue uno schema preciso, si presta bene alla costruzione di algoritmi per risolvere sistemi lineari in modo automatico, con strumenti informatici. { + y = Esercizio 8. Risolvi il sistema con il metodo di Cramer. y = Soluzione. Calcoliamo i tre determinanti: determinante della matrice dei coefficienti: = = ( ) = = e poiché 0 il sistema è determinato. determinante della matrice che si ottiene da quella dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti di con quella dei termini noti: = = ( ) = = 4 determinante della matrice che si ottiene da quella dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti: y = = = = Il sistema ha quindi soluzione: = = 4 = = y = = = S = { (, ) }

104 00 sistemi lineari Esercizio 8. Risolvi il sistema { y = 0 + y = 4 con il metodo di Cramer. Soluzione. Calcoliamo i tre determinanti: = = ( ) = + = 4 e poiché 0 il sistema è determinato = 0 4 = 0 ( ) 4 = 0 + = y = 0 4 = 4 0 = 4 0 = 4 Il sistema ha quindi soluzione: = = 4 = = y = 4 4 = = S = { (, ) } Esercizio 8. Risolvi il sistema { + y = con il metodo di Cramer. + 4y = Soluzione. = 4 = 4 4 = 0 Questa volta = 0, quindi il sistema non è determinato. Per decidere se è indeterminato o impossibile calcoliamo : se troviamo che = 0 dobbiamo calcolare anche y; se troviamo che 0 possiamo subito concludere che il sistema è impossibile: = 4 = 4 = Il sistema è quindi impossibile.

105 5. risoluzione dei sistemi lineari 0 Esercizio 84. Risolvi il sistema { + y = 4 + y = Soluzione. = 4 = 4 4 = 0 Il sistema non è determinato. Calcoliamo e, se è uguale a zero, calcoliamo anche y: = = = 0 y = 4 = 4 4 = 0 Essendo = 0 e = y = 0, il sistema è indeterminato. Metodo grafico Oltre ai metodi algebrici visti fin qui, per risolvere un sistema lineare si può adottare anche il metodo grafico, meno pratico, ma utile per capire cosa rappresenta un sistema lineare. Introduciamo alcuni concetti, che riprenderemo nella classe terza. Funzioni Definizione. Dati due insiemi A e B, una funzione f di dominio A e codominio B è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Una funzione specifica in che modo gli elementi del primo insieme, che vengono di solito indicati con, sono legati a quelli del secondo, che vengono di solito indicati con y. Se A e B sono insiemi numerici, spesso la funzione che associa gli A agli y B si esprime mediante un espressione di tipo matematico. Per esempio, per indicare che l elemento y è il doppio dell elemento diminuito di 4 si scrive y = 4. Funzioni lineari Una funzione si dice lineare se è definita da un equazione del tipo: y = m + q Il grafico di una funzione lineare è una retta. Per disegnarla basta determinare alcuni suoi punti (in linea di principio ne bastano due, poiché una retta è univocamente individuata da due suoi punti) e tracciare la retta che passa per essi.

106 0 sistemi lineari y y = (a) Grafico (b) Alcuni valori Figura 5: La funzione y = 4 Esercizio 85. Traccia per punti il grafico della funzione y = 4. Soluzione. Per determinare alcuni punti del grafico della funzione diamo dei valori a scelta alla variabile e calcoliamo i corrispondenti valori di y. Per esempio, sostituendo al posto di nell equazione y = 4 otteniamo: y = 4 = Attribuendo a i valori, 0,, e otteniamo la tabella 0b. Rappresentando i punti corrispondenti e congiungendoli otteniamo la retta che costituisce il grafico di y = 4 (figura 0a). Esercizio 86. Traccia per punti il grafico della funzione y = +. Soluzione. La figura mostra il grafico della funzione. Posizione reciproca di due rette Sappiamo dalla geometria euclidea che due rette r e s del piano possono essere: incidenti, se hanno in comune uno e un solo punto parallele distinte, se non hanno punti d intersezione

107 5. risoluzione dei sistemi lineari 0 4 y (a) Grafico y = (b) Alcuni valori Figura 6: La funzione y = + coincidenti Dal punto di vista della geometria analitica, date due rette di equazioni assegnate, per discutere la loro posizione reciproca si considera il sistema delle loro equazioni: se il sistema è determinato le due rette sono incidenti e le coordinate del loro punto d intersezione sono date dalla soluzione del sistema se il sistema è impossibile le due rette sono parallele distinte se il sistema è indeterminato le due rette sono coincidenti Per risolvere graficamente un sistema si tracciano, nel piano cartesiano, le due rette che rappresentano le equazioni del sistema. Sistemi determinati Mostriamo con un esempio che, se il sistema è determinato, le due rette si incontrano in un punto, le cui coordinate costituiscono l unica soluzione del sistema. Esercizio 87. Risolvi graficamente il sistema { y = 4 y = + Soluzione. Le due rette sono incidenti e P(, 0) è il loro punto di intersezione (figura 7). Sistemi impossibili Vediamo un esempio di sistema impossibile.

108 04 sistemi lineari y y = 4 P y = + Figura 7: Le rette sono incidenti e P(, 0) è il loro punto di intersezione { y = 4 Esercizio 88. Risolvi graficamente il sistema y = y y = y = 4 Figura 8: Le rette sono parallele distinte e il sistema è impossibile Soluzione. Le rette sono parallele distinte e il sistema è impossibile (figura 8). Sistemi indeterminati Vediamo un esempio di sistema indeterminato. Esercizio 89. Risolvi graficamente il sistema { y = 4 y = 4 Soluzione. Le rette sono coincidenti e il sistema è indeterminato (figura 9).

109 5.4 problemi che si risolvono con i sistemi 05 y y = 4 Figura 9: Le rette sono coincidenti e il sistema è indeterminato 5.4 problemi che si risolvono con i sistemi Sappiamo che le equazioni servono, fra l altro, a risolvere problemi. Ci sono problemi che si possono risolvere con un equazione in una sola incognita, ma ci sono anche problemi in cui si hanno due o più incognite. È importante capire che il numero di equazioni che formalizzano il problema deve essere pari al numero di incognite, altrimenti il problema non è, in genere, determinato. Valgono le considerazioni fatte a proposito della risoluzione dei problemi. È quindi indispensabile: individuare con precisione l obiettivo del problema scrivere in modo completo i dati individuare il campo di variabilità delle incognite e, una volta trovati i loro valori, stabilirne l accettabilità Esercizio 90. Un tappezziere deve ricoprire una parete rettangolare con della carta da parati che costa 5 e al metro quadrato. Il committente gli comunica che il doppio di una dimensione è uguale al triplo dell altra e che il perimetro della figura è lungo 0 m. Qual è l importo della spesa del materiale che il tappezziere deve inserire nel preventivo? Soluzione. Per calcolare il costo del materiale dobbiamo conoscere la misura dell area del rettangolo e quindi dobbiamo determinare le lunghezze dei lati > 0 e y > 0. La prima informazione ci dice che: = y

110 06 sistemi lineari La seconda ci dice che: ( + y) = 0 = + y = 0 Poiché siamo riusciti a scrivere due equazioni, pari al numero di incognite che abbiamo posto, possiamo formalizzare il problema con il sistema { = y + y = 0 Risolvendolo si ottiene: { = (0 ) = y = 0 { = 0 y = 0 = { 5 = 0 y = 0 = { = 6 y = 4 Poiché questi due valori soddisfano le limitazioni > 0 e y > 0, possiamo dire che i lati del rettangolo sono di 6 m e 4 m. L area cercata è quindi (6 4) m e il costo del materiale è 4 5 e = 840 e. Esercizio 9. Il sig. Rossi ha due appezzamenti di terreno che complessivamente hanno una superficie di m. Il Comune gli fa sapere che, per far passare dei cavi elettrici ad alta tensione, deve espropriare il % della superficie del primo terreno e il % della superficie del secondo, per un totale di 000 m. Quali sono le superfici di ciascuno dei due terreni rimaste di proprietà? Soluzione. Riscriviamo i dati in modo schematico: superficie complessiva dei due terreni: m parte espropriata del primo terreno: % parte espropriata del secondo terreno: % superficie totale espropriata: 000 m L obiettivo del problema è determinare le superfici rimaste al sig. Rossi di ciascuno dei due appezzamenti. Poiché non sappiamo qual è la superficie iniziale dei due terreni e i dati sull esproprio si riferiscono a esse, conviene indicare con e y tali superfici. Essendo misure di aree, deve essere > 0 e y > 0. Avendo introdotto due incognite dobbiamo trovare due equazioni in queste incognite da scrivere in un sistema. La prima informazione ci permette di scrivere la prima equazione: + y =

111 5.5 esercizi 07 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è /00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi la seconda equazione è: y = 000 che, moltiplicando per 00 possiamo scrivere nella forma + y = Il sistema che è modello del problema è dunque il seguente: { + y = y = Risolvendolo si ottiene: { = y ( y) + y = = { = y y = = { = y = Le superfici iniziali dei due terreni sono quindi m e m, per cui: la parte rimasta del primo terreno è il (00 )% = 98% della superficie iniziale, cioè m = 4 00 m la parte rimasta del secondo terreno è il (00 )% = 97% della superficie iniziale, cioè m = 9700 m 5.5 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione. { = + y = (, 0)] { y = + y = (0, )] { y = y + = 0 (, )] 4 { + y = + y = (, )]

112 08 sistemi lineari 5 { + y = 4 y = 7 (4, 5)] 8 { = + y = (, )] 6 { + y = 4y = impossibile] 9 { = + y = (, )] 7 { y = 0 + y = (, )] 0 { y = + + y + 4 = 0 (7, 6)] Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione. { + y = 0 + y = 0 (0, 0)] 6 { + y = y = (, )] { + y = y = (0, )] 7 { + y = y = impossibile] { + y = 0 y = (, )] 8 { y = 4 4 y = 8 indeterminato] 4 { 5y + = + y + 4 = 0 (, )] 9 { 5 + y = y = (0, )] 5 { + y = 5 y = 7 (, )] 0 { + y = 6 + 4y = 8 (0, )] Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto. { + y = 5 + y = 0 (, )] 6 { y + 5 = 0 y + = 0 (, )] { y = y = impossibile] 7 { + y 7 = 0 y = 0 (5, )] { = y y = + (0, )] 8 { + y 4 = 0 y + + = 0 impossibile] 4 { + y = y = 5 (, )] 9 { + y = 5 y = (, )] 5 { + y = y = (0, )] 0 { 4y = 4 + y = 7 (, 5)] Risolvi i seguenti sistemi con la regola di Cramer. { y = y = { + y = y = (, 0)] (, 5 )] 5 6 { 0 0y = + y = 0 { y + = y = 0 ( 0, 7 )] 0 ( 4, )] 6 4 { + y = + y = { 6 y = 5 + y = 0 (, 0)] ( )], 7 8 { + y = + 4y = { + y = y = 8 impossibile] indeterminato]

113 5.5 esercizi 09 9 { 4y = 0 + 7y = 9 (, )] 40 { 5 y = 7 5y = (, 4)] Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che preferisci. 4 { y = 4 + 8y = (, 0)] 56 { + y = 0 y = 5 (, )] { y = 4y = 5 { y = 6y = y = y = 5 { y = + y = = y + + y = { = + y y = { + y = y = { + y = y = { y = + y = { y = 5 y = 5 y = y = 4 y + = 0 9y 6 = 0 y + = y y + = 0 5y + = + 0y = 0 impossibile] (, )] impossibile] impossibile] indeterminato] (, )] (, 0)] (, )] (, )] (, )] ( )], 0 indeterminato] ( 0, 54)] impossibile] { + y = 6 y = + y + = 0 + y = { y = y = 0 + y = + y = y = y = 5 { + y = y + 6 = 0 y = + y = y = y = + 4y = 0 6 y 4 = 0 { y = 4y 6 = { y = 6 9y = 6 + 4y = (, )] (, )] (, )] (, )] ( )], impossibile] (, 0 )] impossibile] (, 4)] indeterminato] indeterminato] + y + = ( 4, )] 6

114 0 sistemi lineari y = 5y = 6y + 4 y + = 0 y + = 0 ( 66, )] ( 5, )] y y = + y = y 4 y = 4 { + y = y = 0 = y 4 (, )] ( )], 0 ( )], Risolvi i seguenti esercizi. 74 La somma di due numeri razionali è 6 e il doppio del primo aumentato di 4 uguaglia la differenza tra 5 e il doppio del secondo. Stabilisci, dopo aver formalizzato il problema con un sistema lineare, se è possibile determinare i due numeri. impossibile] 75 Trova due numeri sapendo che la loro somma è 7 e la loro differenza è 5., 6] 76 Il doppio della somma di due numeri è uguale al secondo numero aumentato del triplo del primo, inoltre aumentando il primo numero di si ottiene il doppio del secondo diminuito di 6. 8, 8] 77 Trova due numeri la cui somma è 57 e di cui si sa che il doppio del primo diminuito della metà del secondo è 49., 6] 78 Vero o falso? a. Le soluzioni di un sistema lineare sono le soluzioni comuni a tutte le sue equazioni. V F b. Le soluzioni di un sistema lineare in due incognite sono costituite da coppie di numeri. V F c. Se si moltiplicano le equazioni di un sistema per, anche la soluzione risulta moltiplicata per. V F d. Un sistema di quarto grado è sempre composto da due equazioni di secondo grado. V F e. Due sistemi sono equivalenti se e solo se hanno le stesse soluzioni. V F f. Nel metodo di sostituzione si ricava sempre l incognita dalla prima equazione. V F g. Un sistema è impossibile se non ha soluzioni. V F h. Un sistema lineare è determinato quando ha una sola soluzione. V F i. Se un sistema è impossibile, allora tutte le sue equazioni sono impossibili. V F j. Se un sistema è lineare, allora tutte le sue equazioni sono lineari. V F 5 affermazioni vere e 5 false] 79 Vero o falso?

115 5.5 esercizi a. Il metodo di sostituzione non si può applicare se i termini noti delle equazioni del sistema lineare sono nulli. V F b. Il determinante di una matrice è nullo solo se una riga (o una colonna) ha tutti gli elementi nulli. V F c. Per risolvere un sistema lineare con il metodo del confronto si ricava la stessa incognita da tutte le equazioni. V F d. Dato un sistema lineare in forma normale, se il rapporto fra i coefficienti di è uguale al rapporto fra i coefficienti di y, allora il determinante è nullo. V F e. Se il determinante di un sistema lineare è nullo, allora il sistema non è determinato. V F f. Se il determinante di un sistema lineare è diverso da zero e y è uguale a zero, allora y = 0. V F g. Nel metodo di sostituzione si deve sostituire l espressione trovata per una delle incognite da una delle equazioni, nell altra equazione, al posto della stessa incognita. V F h. Quando si risolve un sistema lineare con il metodo di sostituzione si ottiene un sistema a esso equivalente. V F i. Uno dei passaggi che occorre compiere quando si risolve un sistema lineare con il metodo di sostituzione è trasformare una delle equazioni in una a essa equivalente. V F j. Si può applicare il metodo del confronto solo quando le incognite hanno coefficiente unitario. V F 7 affermazioni vere e false] 80 Indica la risposta corretta. a. Quale tra le seguenti coppie di numeri non è soluzione dell equazione y + 4 = 0? A (0, ) B (, 5 ) b. Individua la soluzione del sistema lineare { + y 5 = 0 C (, ) D ( ), A (, ) B y + = 0 ( ) (, C 0, 5 ) D (, 0) c. Una fra le seguenti affermazioni, riferite al sistema è falsa. Quale? { 4y = 0 y =

116 sistemi lineari A i termini noti sono e C ha come soluzione (, ) B è lineare D (0, ) non è soluzione d. Siano dati i seguenti due sistemi { + y = 5 { y = + y = + y = Allora: A i sistemi sono entrambi lineari B C D il primo sistema è lineare, mentre il secondo è di terzo grado il primo sistema è di terzo grado, mentre il secondo è lineare i sistemi sono entrambi di terzo grado e. Sia dato il sistema { + y = y = Se lo si vuole risolvere con il metodo di sostituzione, dal punto di vista del calcolo è più semplice: A ricavare dalla prima equazione C ricavare y dalla prima equazione B ricavare dalla seconda equazione D ricavare y dalla seconda equazione f. Il sistema { y ( + 5y) = 5 = + 5y rappresenta il secondo passaggio della risoluzione di un sistema con il metodo di sostituzione. La soluzione del sistema è: A (4, ) B (4, ) C ( 4, ) D ( 4, ) g. Dato il sistema { + y = y = sui due sistemi seguenti si può affermare che: { = 4 y = { y = 4 y = A B sono entrambi equivalenti al sistema dato solo il primo è equivalente al sistema dato

117 5.5 esercizi C D solo il secondo è equivalente al sistema dato nessuno dei due è equivalente al sistema dato h. Il sistema y = 4 y = è stato ottenuto da uno solo dei seguenti sistemi. Quale? A { + 4y + = 0 5 7y + 9 = 0 C { + 4y = 0 5 7y 9 = 0 B { + 4y + = 0 5 7y 9 = 0 D { 4y + = y 9 = 0 i. È dato il sistema { 4 y = y + 4 = 0 Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? A Il sistema non ha soluzioni C il sistema ha infinite soluzioni B (/, 0) è una soluzione del sistema D (0, /) non è soluzione del sistema j. Dato il sistema { 5y = + y = i fattori per cui moltiplicare le due equazioni, affinché i coefficienti della y siano opposti, sono: A 0 per entrambe le equazioni B C D per la prima equazione e 5 per la seconda 5 per la prima equazione e 0 per la seconda per la prima equazione e 5 per la seconda Tre risposte A, quattro B, una C e due D] 8 Indica la risposta corretta. a. Dato il sistema { 5y = 4 + y = 5 il determinante y è

118 4 sistemi lineari A 5 4 B 4 5 C 5 4 D 5 5 b. Dato il sistema { + 7y = y = 5 per ricavare l incognita applicando il metodo di riduzione, si può: A moltiplicare la prima equazione per e la seconda per 7 e poi sottrarre la seconda equazione dalla prima B moltiplicare la prima equazione per 7 e la seconda per e poi sommare le due equazioni C moltiplicare la prima equazione per e la seconda per 7 e poi sommare le due equazioni D moltiplicare la prima equazione per e la seconda per 7 e poi sottrarre la seconda equazione dalla prima c. Dato il sistema { + y = 5 y = quale fra le seguenti affermazioni è falsa? A Se si applica il metodo di sostituzione si ottiene il sistema { y = 5 (5 ) = B { = 6 Se si applica il metodo di riduzione si ottiene il sistema y = { = 5 y C Se si applica il metodo del confronto si ottiene il sistema = + y 5 5 D Se si applica il metodo di Cramer si ottiene = y = d. Il sistema = y 4 = y 4 è equivalente a uno e uno solo dei seguenti sistemi. Quale? A { 4 + y = 4 y = C { 4 + y = 4 + y = B { 4 y = 4 y = D { 4 + y = 4 y =

119 5.5 esercizi 5 e. Individua i metodi di risoluzione che sono stati applicati al sistema { + y = 5 y = per ottenere rispettivamente { y = 5 (5 ) = { + y = 5 = 6 A B C D in entrambi sostituzione nel primo riduzione, nel secondo sostituzione nel primo sostituzione, nel secondo riduzione nel primo riduzione, nel secondo confronto f. Individua la soluzione del sistema { + y = 5 y = 7 A (, ) B (, ) C (4, ) D (, 4) g. Quale delle seguenti equazioni deve essere sostituita ai puntini nel sistema { 5y = in modo che il suo determinante sia uguale a? A + 6y = 0 B + 6y = C 6y = D 6y = Una risposta A, due B, una C e tre D] 8 Indica la risposta corretta. a. Quale fra i seguenti sistemi lineari è ridotto in forma normale? A { 5 y = y = C { + y + = 0 y + = 0 B { 4 y = 5 + 7y = D { + y = ( ) + y = b. Consideriamo un equazione lineare in due incognite e l equazione che si ottiene moltiplicando entrambi i suoi membri per uno stesso numero k 0. Quante soluzioni ha il sistema costituito da queste due equazioni?

120 6 sistemi lineari A nessuna B una C due D infinite c. Una sola fra le seguenti equazioni, posta a sistema con l equazione y + = 0, rende il sistema impossibile. Quale? A 9 6y = 0 C + y = 0 B y + = 0 D + y + = 0 d. Il valore del determinante: 5 è: A B 7 C 7 D e. Dati i sistemi { y = 4y = si può affermare che: A sono entrambi indeterminati { y = y = B C D il primo è impossibile e il secondo è indeterminato il primo è impossibile e il secondo è determinato il primo è indeterminato e il secondo è determinato f. Individua fra i valori indicati quello che rende il seguente sistema impossibile: { a + y = y = 5 A a = 4 B a = C a = D a = 4 g. Quale fra i seguenti sistemi è indeterminato? A { y = 4y = 0 B { + y = + y = C { + 5y = 0 + 0y = D { + 5y = 5y = h. Quale delle seguenti tabelle esprime una relazione lineare tra le due variabili e y? y y y y A 0 0 B C D i. Quale dei seguenti sistemi formalizza il seguente problema: «la somma di con il doppio di y è 0 e la differenza tra il triplo di e il doppio di y è 5»?

121 5.5 esercizi 7 A { + y = 0 y = 5 C { + y = 0 y = 5 B { + y = 0 y = 5 D { + y = 0 y = 5 j. Quale dei seguenti sistemi costituisce il modello algebrico del seguente problema: «sono stati venduti in tutto 000 biglietti per le rappresentazioni teatrali che si terranno sabato e domenica; il numero dei biglietti venduti per il sabato supera di 50 il doppio dei biglietti venduti per la domenica»? A { + y = 000 = 50 + y C { + y = 000 = 50 + y B { = y + y = 50 D { = y = 50 + y Due risposte A, quattro B, tre C e una D] 8 Indica la risposta corretta. { a 9y = a. Il sistema è determinato se e solo se: + y = A a 4 B a C a D a b. Quale dei seguenti sistemi traduce il problema seguente? «Il perimetro di un rettangolo misura 50 cm. Sapendo che la differenza tra la base e l altezza è 5 cm, quanto misurano i lati del rettangolo?» A { + y = 50 y = 5 C { + y = 50 y = 5 B { + y = 50 y = 5 D { + y = 50 = 5y c. Per quale valore del parametro k il sistema { ky = k 6 + y = 5 non è determinato? A k = B k = 5 C k = 5 D k = { + y = d. Quanto vale il determinante della matrice dei coefficienti del sistema y =? A B C D e. Se si applica il metodo del confronto { rispetto all incognita, quale delle seguenti è 4y = 4 l equazione che risolve il sistema y =?

122 8 sistemi lineari A 5y = 7 B 4y + 4 = y + C 4y 4 = y + D 4y + 4 = y f. Quale delle seguenti sostituzioni è corretta per risolvere il sistema { y = + y =? A y = B y = C y = D = y g. Quale dei seguenti sistemi è determinato? A { 5y = 6 6 0y = C { 5y = 6 + 5y = 6 B { 5y = 6 6 0y = 6 D { 5y = 6 5y = 6 { ky = h. Quale valore non deve assumere il parametro k affinché il sistema + y = 0 sia determinato? A k = B k = C k = 9 D k = 0 i. Affermare che due sistemi sono equivalenti significa che: A hanno lo stesso grado C hanno gli stessi coefficienti B si risolvono nello stesso modo D hanno le stesse soluzioni j. Quale dei seguenti è un sistema lineare di due equazioni in due incognite? A { y = : y = B { y = + y = C { = y = z D { = y y = 84 Indica la risposta corretta. Una risposta A, tre B, due C e quattro D] a. Un sistema lineare si dice determinato: A quando ha una sola soluzione C quando ha almeno una soluzione B quando ha una coppia di soluzioni D in nessuno dei casi precedenti { 7 6y = b. Il sistema ha soluzione + 6y = 8 ( ) 5 A 6, B (, 8) C (, 5 ) 6 D (, 5 ) 6

123 5.5 esercizi 9 c. Un sistema si dice impossibile quando: A è molto difficile da risolvere C non ha soluzioni B ha più di due incognite D ha infinite soluzioni d. Le soluzioni di un equazione lineare in due incognite del tipo a + by + c = 0 sono: A tutti gli infiniti numeri reali C certe coppie di numeri reali B tutte le coppie di numeri reali D nessuna delle risposte precedenti e. Quale dei seguenti sistemi è di terzo grado? A { y = + y = B { + y = + y = C { = y + y = D { + y = + y = { + ky = 0 f. Quanto deve valere k affinché la matrice dei coefficienti del sistema (k + )y = k abbia il determinante nullo? A k = B k = 0 C k = D k = g. Quale delle seguenti equazioni è equivalente all equazione y = y + 6? A = 6 B + 4y = 6 C 4y = 6 D 4y 6 = h. Due numeri hanno somma uguale a 0 e differenza uguale a 6; allora il loro prodotto è: A 8 B 6 C 48 D 64 i. Individua la soluzione del sistema { 4 y = y = A (, ) B (, ) C (, ) D (, ) j. Individua la soluzione del sistema { + 6y = 4 y =

124 0 sistemi lineari A (, ) B (, ) C (, ) D (, ) Due risposte A, tre B, tre C e due D]

125 6 R E T T E N E L P I A N O C A R T E S I A N O 6. funzioni lineari Una funzione si dice lineare se è definita da un equazione del tipo: y = m + q Il grafico di una funzione lineare è una retta. Per disegnarla basta determinare alcuni suoi punti (in linea di principio ne bastano due, poiché una retta è univocamente individuata da due suoi punti) e tracciare la retta che passa per essi. Esercizio 9. Traccia per punti il grafico della funzione y = +. Soluzione. Per determinare alcuni punti del grafico della funzione diamo dei valori a scelta alla variabile e calcoliamo i corrispondenti valori di y. Per esempio, sostituendo al posto di nell equazione y = + otteniamo: y = + = Attribuendo a i valori,,, 0,, e otteniamo la tabella 0b. Rappresentando i punti corrispondenti e congiungendoli otteniamo la retta che costituisce il grafico di y = + (figura 0a). 4 y (a) Grafico y = (b) Alcuni valori Figura 0: La funzione y = +

126 rette nel piano cartesiano 6 y (a) Grafico y = (b) Alcuni valori Figura : La funzione y = + 4. Esercizio 9. Traccia per punti il grafico della funzione y = + 4. Soluzione. La figura mostra il grafico della funzione. 6. appartenenza di un punto a una retta Data una retta r e un punto P del piano cartesiano chiediamoci se P appartiene o no a r: il punto appartiene alla retta se le sue coordinate ne verificano l equazione, mentre non appartiene alla retta se le sue coordinate non ne verificano l equazione. Esercizio 94. Data la retta r di equazione y = + 4, stabilisci se i punti P = (, ) e Q = (, 5) appartengono o no alla retta. Soluzione. Sostituendo le coordinate del punto P nell equazione della retta otteniamo: = + 4 che è vero. Dunque P appartiene alla retta. Sostituendo le coordinate del punto Q nell equazione della retta otteniamo: 5 = + 4 che è falso. Dunque Q non appartiene alla retta. Vedi la figura.

127 6. punti d intersezione con gli assi 6 y 5 Q 4 P 4 Figura : Appartenenza di un punto a una retta 6. punti d intersezione con gli assi Spesso si è interessati a determinare i punti d intersezione del grafico di una funzione lineare con gli assi cartesiani. I punti dell asse hanno ordinata uguale a 0. Quindi, per determinare l ascissa del punto d intersezione del grafico di y = m + q con l asse, basta risolvere il sistema { y = m + q y = 0 ovvero basta porre y = 0 nell equazione y = m + q e risolvere l equazione ottenuta. I punti dell asse y hanno ascissa uguale a 0. Quindi, per determinare l ordinata del punto d intersezione del grafico di y = m + q con l asse y, basta risolvere il sistema { y = m + q = 0 ovvero basta porre = 0 nell equazione y = m + q. Esercizio 95. Traccia il grafico della funzione lineare y = 4, dopo avere determinato i suoi punti d intersezione con gli assi cartesiani. Soluzione. Per determinare l ascissa del punto d intersezione del grafico con l asse poniamo y = 0 nell equazione y = 4. Otteniamo l equazione: 4 = 0 = = 4 = =

128 4 rette nel piano cartesiano y Figura : La funzione y = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto A(, 0). Per determinare l ordinata del punto d intersezione del grafico con l asse y poniamo = 0 nell equazione y = 4. Abbiamo: y = 0 4 = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse y nel punto B(0, 4). Il grafico di y = 4 è la retta passante per A e B (figura ). 6.4 coefficiente angolare e ordinata all origine Nell equazione y = m + q, il coefficiente m si chiama coefficiente angolare e il coefficiente q ordinata all origine. Per esempio, nella retta di equazione: y = + il coefficiente angolare è e l ordinata all origine è. Significato del coefficiente m Il coefficiente angolare m dà informazioni sull inclinazione rispetto all asse della retta che costituisce il grafico della funzione: per questo motivo m viene anche chiamato pendenza della retta. Se m > 0, la retta grafico di y = m + q forma con l asse un angolo acuto; percorrendo la retta da sinistra verso destra, si sale; si dice che il grafico della retta è crescente (figura 4a).

129 6.4 coefficiente angolare e ordinata all origine 5 y = m + q y y y = m + q m > 0 angolo acuto m < 0 angolo ottuso (a) (b) y m = m = m = m = y m = m = y = y = y = y = y = y = y = m + q m = 0 (c) y (d) y m non è definito (e) (f) Figura 4: Significato del coefficiente m

130 6 rette nel piano cartesiano Se m < 0, la retta grafico di y = m + q forma con l asse un angolo ottuso; percorrendo la retta da sinistra verso destra, si scende: si dice che il grafico della retta è decrescente (figura 4b). Se m > 0, al crescere di m le rette grafico di y = m + q formano con l asse angoli acuti di ampiezza via via maggiore; in altre parole, al crescere di m si ottengono rette sempre più ripide (figura 4c). Se m < 0, al crescere del valore assoluto di m le rette grafico di y = m + q formano con l asse angoli ottusi di ampiezza via via minore; in altre parole, al crescere del valore assoluto di m si ottengono rette sempre più ripide (figura 4d). Se m = 0 il grafico di y = m + q è una retta orizzontale, ovvero parallela all asse (figura 4e). Una retta verticale non è il grafico di una funzione. Il coefficiente angolare di una retta verticale non è definito (figura 4f). Significato del coefficiente q Il termine q è l ordinata del punto d intersezione del grafico di y = m + q con l asse y: infatti, ponendo = 0 nell equazione y = m + q, otteniamo y = q (figura 5). y q y = m + q Figura 5: Significato del coefficiente q

131 6.5 equazione della retta nel piano cartesiano equazione della retta nel piano cartesiano Nel paragrafo precedente abbiamo impiegato il piano cartesiano come ambiente per tracciare il grafico di una funzione lineare. In questo paragrafo, invece, adotteremo il punto di vista tipico della geometria analitica: quello di caratterizzare gli oggetti geometrici dal punto di vista algebrico. Sappiamo già che un punto si può identificare con una coppia ordinata di numeri reali; ora vogliamo caratterizzare, dal punto di vista algebrico, una retta. Più precisamente, cercheremo di determinare l equazione di una generica retta, cioè di scrivere un equazione che sia soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti della retta. Iniziamo dai casi più semplici. Rette orizzontali e verticali Supponiamo che r sia una retta orizzontale, ovvero parallela all asse. I punti appartenenti alla retta r sono caratterizzati dall avere tutti la stessa ordinata, che indicheremo con h: perciò l equazione della retta r è y = h. Per esempio, le rette y = y y = y (a) Retta di equazione y = (b) Retta di equazione y = = 4 y = y 4 (c) Retta di equazione = 4 (d) Retta di equazione = Figura 6: Rette parallele agli assi cartesiani

132 8 rette nel piano cartesiano y = 0 y = 0 y (a) L asse ha equazione y = 0 (b) L asse y ha equazione = 0 Figura 7: Assi cartesiani disegnate nelle figure 6a e 6b hanno equazioni y = e y =. Consideriamo ora una retta s verticale, ovvero parallela all asse y. I punti della retta sono caratterizzati dall avere tutti la stessa ascissa, che indicheremo con k: l equazione della retta è perciò = k. Per esempio, le rette disegnate nelle figure 6c e 6d hanno equazioni = 4 e =. Assi cartesiani La figura 7 mostra due casi particolari di rette orizzontali e verticali: l asse, di equazione y = 0, e l asse y, di equazione = 0. Rette passanti per l origine Una retta passante per l origine, diversa dall asse y, ha equazione del tipo y = m, dove m è un numero reale. Per esempio, la retta disegnata nella figura 8 passa per l origine e per il punto P(, ). L equazione della retta è y =. y = y P Figura 8: Una retta passante per l origine

133 6.5 equazione della retta nel piano cartesiano 9 y = y y = y (a) La bisettrice del primo e del terzo quadrante ha equazione y = (b) La bisettrice del secondo e del quarto quadrante ha equazione y = Figura 9: Bisettrici Bisettrici La figura 9 mostra due casi particolari di rette passanti per l origine: la bisettrice del primo e terzo quadrante e la bisettrice de secondo e quarto quadrante. Retta generica Proposizione. Ogni retta non verticale ha equazione y = m + q, dove m e q sono numeri reali. L equazione y = m + q comprende, come casi particolari, le equazioni delle rette orizzontali (che si ottengono quando m = 0) e le equazioni delle rette passanti per l origine (che si ottengono quando q = 0). Restano escluse solo le rette verticali. Quindi, data una retta nel piano cartesiano, ci sono due possibilità: o la retta è verticale, e quindi la sua equazione è = k, oppure la sua equazione è y = m + q. Riepilogo La figura 0 riassume i risultati fin qui ottenuti, evidenziando le equazioni dei vari tipi di retta. Ogni retta non verticale, avendo equazione y = m + q, è il grafico di una funzione lineare; al contrario, le rette verticali non sono il grafico di una funzione perché a un solo valore di corrispondono infiniti valori di y (ciò comporta che per queste rette il coefficiente angolare non è definito).

134 0 rette nel piano cartesiano y = h y = k y (a) Retta orizzontale; l equazione della retta è y = h; il coefficiente angolare è m = 0 (b) Retta verticale; l equazione della retta è = k; il coefficiente angolare non è definito y = m y y = m + q y (c) Retta passante per l origine, diversa dall asse y: l equazione della retta è y = m (d) Retta generica non verticale: l equazione della retta è y = m + q Figura 0: Riassunto dei vari tipi di retta

135 6.6 posizione reciproca di due rette y y = + y = P Figura : Le rette sono incidenti e P(, ) è il loro punto di intersezione 6.6 posizione reciproca di due rette Sappiamo dalla geometria euclidea che due rette r e s del piano possono essere: incidenti, se hanno in comune uno e un solo punto parallele distinte, se non hanno punti d intersezione coincidenti Dal punto di vista della geometria analitica, date due rette di equazioni assegnate, per discutere la loro posizione reciproca si considera il sistema delle loro equazioni: se il sistema è determinato le due rette sono incidenti e le coordinate del loro punto d intersezione sono date dalla soluzione del sistema se il sistema è impossibile le due rette sono parallele distinte se il sistema è indeterminato le due rette sono coincidenti Esercizio 96. Date le rette r, di equazione y =, e s, di equazione y = +, stabilisci se sono incidenti, parallele distinte oppure coincidenti; se sono incidenti, determina le coordinate del loro punto d intersezione. Soluzione. Risolviamo il sistema delle equazioni delle rette assegnate. { y = da cui { = + y = + = { = y = + y = + = { = y = + Le rette sono incidenti e P(, ) è il loro punto di intersezione (figura ). = { = y =

136 rette nel piano cartesiano y y y = m = y = + 4 m = y = + m = y = m = (a) Le rette sono parallele (b) Le rette non sono parallele Figura : Parallelismo Rette parallele La prossima proposizione permette di stabilire se due rette non verticali sono parallele senza risolvere il sistema delle loro equazioni. Proposizione. Due rette non verticali, di equazioni y = m + q e y = m + q, sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. La condizione di parallelismo è quindi: m = m Esercizio 97. Stabilisci se le rette y = e y = + 4 sono parallele. Soluzione. Le rette di equazione y = e y = + 4 hanno entrambe coefficiente angolare uguale a, quindi sono parallele (figura a). Esercizio 98. Stabilisci se le rette y = + e y = sono parallele. Soluzione. La retta di equazione y = + ha coefficiente angolare uguale a, mentre la retta di equazione y = ha coefficiente angolare uguale a. Dal momento che le due rette hanno coefficienti angolari diversi, possiamo concludere che non sono parallele (figura b).

137 6.6 posizione reciproca di due rette Rette perpendicolari Dopo aver stabilito la condizione di parallelismo tra due rette nel piano cartesiano, poniamoci il problema di stabilire quale condizione algebrica traduce la loro perpendicolarità. La condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due rette non parallele agli assi è espressa dal prossima proposizione che ci limitiamo a enunciare. Proposizione. Due rette non parallele agli assi, di equazioni y = m + q e y = m + q, sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno prodotto. La condizione di perpendicolarità è quindi m m = Dalla relazione m m = si ricava che m = m Quindi se una retta ha coefficiente angolare m, con m 0, una retta a essa perpendicolare ha coefficiente angolare uguale a /m, cioè all opposto del reciproco (ossia all antireciproco) di m. Esercizio 99. Le rette y = 4 e y = + sono perpendicolari? 4 Soluzione. I coefficienti angolari delle due rette sono m = 4 m = /4 Poiché m m = 4 4 = le due rette non sono perpendicolari (figura a). Esercizio 00. Le rette y = + e y = sono perpendicolari? Soluzione. I coefficienti angolari delle due rette sono m = m = / Poiché m m = = le due rette sono perpendicolari (figura b).

138 4 rette nel piano cartesiano y y = 4 m = 4 y = + m = y y = 4 + m = 4 y = m = (a) Le rette non sono perpendicolari (b) Le rette sono perpendicolari Figura : Perpendicolarità 6.7 determinare l equazione di una retta Sappiamo dalla geometria euclidea che una retta è univocamente individuata quando se ne conoscono un punto e la direzione, oppure due punti. Trasferendoci nell ambito della geometria analitica, scaturiscono i due seguenti problemi: determinare l equazione di una retta passante per un punto P(a, b) e di coefficiente angolare m assegnato (il coefficiente angolare individua la direzione della retta); determinare l equazione di una retta passante per due punti assegnati. Retta passante per un punto e di coefficiente angolare assegnato La retta passante per un punto P( 0, y 0 ) e di assegnato coefficiente angolare ha equazione y y 0 = m( 0 ) () Retta passante per un punto e parallela a una retta data Esercizio 0. Determina l equazione della retta passante per P(, ) e parallela alla retta r di equazione y = 4. Soluzione. Il coefficiente angolare di r è. La retta passante per P(, ) e parallela a r non è altro che la retta passante per P e di coefficiente angolare uguale a. In base alla formula la sua equazione è (figura 4a): y = ( ) = y = +

139 6.7 determinare l equazione di una retta 5 y y P r P r (a) Retta passante per un punto e parallela a una retta data (b) Retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data Figura 4: Retta passante per un punto e di direzione assegnata Retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data Esercizio 0. Determina l equazione della retta passante per P(, ) e perpendicolare alla retta r di equazione y = 4. Soluzione. Il coefficiente angolare della retta r è ; quindi una retta perpendicolare a r deve avere coefficiente angolare /. La retta cercata è allora quella passante per P(, ) e di coefficiente angolare /. In base alla formula la sua equazione è (figura 4b): y = ( ) = y = + 7 Retta passante per due punti Occupiamoci ora del secondo problema che avevamo introdotto all inizio di questo paragrafo: scrivere l equazione della retta passante per due punti A(, y ) e B(, y ) assegnati. Si dimostra anzitutto la seguente proposizione. Proposizione 4. Il coefficiente angolare m della retta passante per A(, y ) e B(, y ), con, è uguale al rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di A e di B; in simboli: Questo rapporto è detto rapporto incrementale. m = y y ()

140 6 rette nel piano cartesiano La figura 5 riporta l interpretazione grafica della formula : il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la variazione subita dalle ordinate e la variazione subita dalle ascisse nel passaggio da un punto di ascissa minore a un punto di ascissa maggiore. La variazione può essere un aumento (come nel caso in figura) o una diminuzione (nel caso di una retta che forma con l asse un angolo ottuso). y y y m = y y A(, y ) incremento delle ascisse: B(, y ) incremento delle ordinate: y y Figura 5: Il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la variazione subita dalle ordinate e la corrispondente variazione delle ascisse Ora possiamo risolvere il problema da cui siamo partiti, cioè scrivere l equazione della retta passante per due punti A(, y ) e B(, y ): se =, la retta AB è verticale, quindi la sua equazione è = ; se, il coefficiente angolare m della retta AB si determina con la formula, e l equazione della retta AB si ottiene scrivendo l equazione della retta passante per A (o per B), di coefficiente angolare m. Esercizio 0. Scrivi l equazione della retta passante per A(, ) e B(, 4) Soluzione. La retta AB non è verticale perché A B. Calcoliamo anzitutto il coefficiente angolare m della retta AB. m = y B y A B A = 4 ( ) = 4 Allora l equazione della retta AB si trova scrivendo l equazione della retta passante per A o per B e di coefficiente angolare /4. Per esempio utilizziamo il

141 6.7 determinare l equazione di una retta 7 y = y B(, 4) = y A(, 4) A(, ) 4 B(, ) (a) (b) Figura 6: Retta passante per due punti punto B. L equazione della retta passante per B(, 4) e di coefficiente angolare /4 è (figura 6a): y 4 = 4 ( ) = y = Esercizio 04. Scrivi l equazione della retta passante per A(, 4) e B(, ) Soluzione. I due punti A e B hanno la stessa ascissa, quindi la retta AB è verticale (figura 6b). La sua equazione è ovviamente =. Asse di un segmento Le nozioni apprese in questo paragrafo ci permettono di affrontare un altro problema: determinare l equazione dell asse di un segmento AB, note le coordinate di A e di B. Il problema si risolve ricordando che l asse di AB è la retta passante per il punto medio di AB e perpendicolare ad AB. Esercizio 05. Determina l equazione dell asse del segmento AB, estremi A(, ) e B(5, 7). di Soluzione. Il punto medio di AB è ( A + M = B, y ) ( A + y B + 5 =, + 7 ) = (, 4)

142 8 rette nel piano cartesiano y B(5, 7) asse di AB M A(, ) Figura 7: Asse di un segmento Il coefficiente angolare della retta AB è: m = y B y A B A = 7 5 ( ) = 6 8 = 4 quindi una retta a essa perpendicolare (quale è l asse) deve avere coefficiente angolare uguale a 4/. L asse di AB è la retta passante per M(, 4) e di coefficiente angolare 4/ (figura 7), quindi ha equazione: y 4 = 4 ( ) = y = esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Vero o falso? a. I punti A(0, ), B(4, 4), C(6, 0) e D(, ) sono i vertici di un quadrato. V F b. Non esiste il coefficiente angolare della retta di equazione y =. V F c. La retta di equazione y = + forma con l asse un angolo acuto. V F d. La retta di equazione y = + interseca l asse in (, 0). V F e. La retta di equazione y = 4 interseca l asse y in (0, ). V F

143 6.8 esercizi 9 f. Il punto P(, ) appartiene alla retta di equazione y =. V F g. La retta passante per A(0, 8) e B(, 7) è parallela alla retta y = +. V F h. Le rette di equazioni y = e y = / non sono perpendicolari. V F 5 affermazioni vere e false] Date le seguenti rette, individua il coefficiente angolare m e il termine noto q: a. y = b. y = + c. y = d. y = e. y = f. y = Le rette disegnate nella figura seguente hanno le seguenti equazioni: a. y = + b. y = c. y = d. y = + Associa a ciascuna retta la sua equazione. y y y y (a) (b) (c) (d) 4 Le rette disegnate nella figura seguente hanno le seguenti equazioni: a. y = b. y = c. y = + d. y = Associa a ciascuna retta la sua equazione. y y y y (a) (b) (c) (d) 5 Una funzione lineare è definita da un equazione il cui termine noto è. Quali sono le coordinate del punto in cui il grafico della funzione interseca l asse y? 6 Una funzione lineare è definita da un equazione il cui coefficiente angolare è. L angolo che la retta forma con l asse è acuto o ottuso?

144 40 rette nel piano cartesiano 7 Ciascuna delle rette disegnate nella figura seguente è il grafico di una funzione lineare, di equazione y = m + q. Per ciascun grafico poni una crocetta sulle caselle che esprimono i segni di m e q. y y y y m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 Traccia i grafici delle seguenti funzioni lineari, dopo aver determinato le coordinate di almeno quattro punti. 8 y = 4 y = + 0 y = 6 y = + 9 y = 5 y = 5 y = 7 y = 4 0 y = 4 6 y = y = 8 y = 4 + y = y = + y = 9 y = y = y = + 4 y = + 0 y = 4 y = + 9 y = 5 y = y = 4 Traccia il grafico delle seguenti funzioni lineari, dopo aver trovato i loro punti d intersezione con gli assi (nelle risposte sono indicate solo le intersezioni con gli assi). y = (0, ), ( )], 0 6 y = + (0, ), ( 4, 0)] y = + (0, ), (, 0)] 4 y = + (0, ), (, 0)] 5 y = (0, ), (, 0)] 7 y = (0, ), (, 0)] 8 y = ( )] 9 (0, + ),, 0 9 Vero o falso? a. Ogni retta del piano cartesiano ha un equazione del tipo y = m + q. V F b. Il coefficiente angolare della retta y = è zero. V F c. Ogni retta verticale ha equazione del tipo = k, dove k è un numero reale. V F d. Una retta di equazione y = m + q è parallela all asse se e solo se m = 0. V F e. Il coefficiente angolare di ogni retta verticale è zero. V F affermazioni vere e false] 40 Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono formate da rette parallele distinte, incidenti o coincidenti.

145 6.8 esercizi 4 a. = = b. y = y = d. y = y = + e. y = y = + c. y = = y f. y = 0 y = ] Due coppie di rette parallele e distinte, tre coppie di rette incidenti e una coppia di rette coincidenti 4 Ciascuna delle rette disegnate nella figura seguente ha una delle equazioni: a. = b. y = c. y = d. y = Associa a ogni grafico la sua equazione. y y y y (a) (b) (c) (d) 4 Completa la seguente tabella, sull esempio della prima riga. Equazioni delle rette Coefficienti angolari Le rette sono parallele? m m y = + y = + Sì No y = + y = Sì No y = 0,5 + y = 0,5 Sì No y = 4 + y = 0,5 + Sì No y = + y = + Sì No 4 Completa la seguente tabella, sull esempio della prima riga. Equazioni delle rette Coefficienti angolari Le rette sono perpendicolari? m m y = + y = + Sì No y = + y = + Sì No y = + y = Sì No y = 0,5 + y = 0,5 + Sì No y = 4 + y = 0,5 + Sì No

146 4 rette nel piano cartesiano 44 Determina il coefficiente angolare delle rette disegnate nella figura seguente. y y y y (a) (b) (c) (d) 45 Indica la risposta corretta. a. Quale delle seguenti è l equazione della retta passante per P(, ) e parallela alla retta di equazione y =? A y = 5 B y = 5 + C y = + 5 D y = b. Quale delle seguenti è l equazione della retta passante per P(, ) e perpendicolare alla retta di equazione y =? A y = 5 B y = 5 C y = + 5 D y = + 5 c. Quale delle seguenti formule fornisce il coefficiente angolare della retta passante per A(, 4) e B(5, 7)? A m AB = B m AB = C m AB = D m AB = d. Quale delle seguenti è l equazione della retta passante per A(, 0) e B(0, )? A y = B y = + C y = + D y = e. Quale delle seguenti è l equazione di una retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante? A y = B y = + C y = D y = + Una risposta A, due B, una C e una D] 46 Scrivi l equazione della retta passante per P e parallela alla retta r. a. P(, ) r: y = y = + ] b. P(, ) r: y = + y = ] c. P(, ) r: y = y = + ] d. P(, ) r: y = y = + 5] 47 Scrivi l equazione della retta passante per P e perpendicolare alla retta r.

147 6.8 esercizi 4 a. P(, ) r: y = + y = ] c. P(, ) r: y = + y = 5 ] b. P(, ) r: y = + y = + ] d. P(, ) r: y = + y = 4 + 5] 4 48 Disegna la retta che passa per A e per B e trova, se c è, il suo coefficiente angolare. a. A( 4, 0) B(0, 4) ] b. A(, 0) B(4, ) /7] c. A(, 0) B(6, ) /] d. A( 5, 4) B(0, 4) 0] e. A( 6, ) B(9, 0) /5] f. A(7, 0) B(7, 8) non è definito] 49 Scrivi le equazioni delle rette passanti per A e per B. a. A(, 0) B(, 4) y = + ] ( b. A 0, ) B(, 0) y = ] 4 d. A(0, ) B(4, 0) y = 4 + ] e. A(, 4) B(, 4) y = 4] c. A(, ) B(, ) = ] f. A(, 6) B(4, 0) y = + 8] 50 Ciascuna delle seguenti figure rappresenta un sistema di due equazioni in due incognite. Per ciascuna figura scrivi un sistema che è rappresentato dalle rette raffigurate (un quadretto corrisponde all unità). y y y y (a) (b) (c) (d) 5 Determina l asse del segmento AB. a. A(, ) B(, 5) y = + 4] b. A(, 0) B(, ) y = + ] c. A(0, ) B(, 0) y = /] d. A(, ) B(, ) y = /] 5 Determina la retta passante per P(4, 4) e parallela alla retta r: y = 4 e la retta passante per P e perpendicolare alla retta r e disegnale nel piano cartesiano. 5 Disegna il triangolo di vertici A(, ), B(0, ) e C(, 4). Verifica che il triangolo è rettangolo, nei seguenti due modi: a. mostrando che è soddisfatto il teorema di Pitagora b. mostrando, mediante i coefficienti angolari, che i due lati sono perpendicolari

148 44 rette nel piano cartesiano 54 Considera i punti A(0, 4), B(, 0), C(, 5) e D(0, ). Verifica che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma nei seguenti tre modi: a. mostrando che i lati opposti sono congruenti b. mostrando che i lati opposti sono paralleli c. mostrando che i punti medi delle diagonali coincidono Determina poi la misura del perimetro e dell area di ABCD e il punto d intersezione ( E delle diagonali. perimetro = 0, area = 5, E =, )] 55 Indica la risposta corretta. a. Il grafico nella figura seguente è quello della retta di equazione: A y = + B y = + C y = y D y = b. La retta di equazione y = 4 A ha coefficiente angolare uguale a 4 C è parallela alla retta y = 4 B interseca l asse nel punto (, 0) D interseca l asse y nel punto (0, ) c. Quale delle seguenti coppie di rette è costituita da due rette che non sono né parallele né perpendicolari? A y = y = + B y = y = + C y = + y = + D y = + y = + d. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A Ogni retta è il grafico di una funzione lineare. B C D Ogni funzione lineare ha come grafico una retta. Ogni retta del piano cartesiano ha equazione y = m + q Le rette orizzontali non sono i grafici di funzioni lineari. e. Le due rette di equazioni y = e y = + 4:

149 6.8 esercizi 45 A sono parallele C sono perpendicolari B hanno in comune il punto (, ) D nessuna delle precedenti f. Sono dati i punti A(0, ) e B(, 0). La retta AB: A passa per il punto (, ) C è parallela alla retta y = B è parallela alla retta y = + D nessuna delle precedenti g. La retta passante per A(0, ) e parallela alla retta y = 4 è: A y = + B y = + C y = D y = h. La retta passante per A(0, ) e perpendicolare alla retta y = 4 è: A y = + B y = + C y = D y = i. Quali sono le coordinate del punto di intersezione delle rette y = + 5 e y =? A (, ) B (, ) C (, ) D (, ) { y = m + q j. Se m 0, il sistema y = 0 A è determinato C è indeterminato B è impossibile D nessuna delle precedenti 56 Indica la risposta corretta. Due risposte A, cinque B, una C e due D] a. Che cosa rappresenta nel piano cartesiano l equazione =? A una retta orizzontale C un punto sull asse B una retta verticale D un punto sull asse y b. Quanto vale la distanza tra i punti (, ) e (, 5)? A B C 4 D 5 c. Quale fra le seguenti rappresenta una funzione sempre decrescente il cui grafico non passa per l origine?

150 46 rette nel piano cartesiano A y = B y = C y = 5 D 6 d. Per quale valore di a la retta y = a a è parallela alla retta y = +? A a = 4 B a = C a = D a = 4 e. Tre vertici di un rettangolo hanno coordinate (, ), (0, 4), (66, 66). Quali sono le coordinate del quarto vertice? A (0, ) B ( 6, 70) C (64, 64) D (64, 68) f. Quale delle seguenti coppie ordinate è soluzione dell equazione 4y = 5? A (7, 4) B ( 7, 4) C (7, 4) D ( 7, 4) g. Quale dei seguenti sistemi è stato rappresentato graficamente nella figura? A { y = + y = y B C D { y = + y = { + y = y = { y = + y = h. Nel piano cartesiano, la soluzione del sistema A il punto di coordinate (, ) C { + y = 0 y = rappresenta due retta non parallele B due rette parallele e distinte D il punto di coordinate (, ) i. Quale delle seguenti descrizioni corrisponde all interpretazione grafica di un sistema di due equazioni lineari in due incognite privo di soluzioni? Le equazioni rappresentano due rette A incidenti e perpendicolari C parallele e distinte B incidenti, ma non perpendicolari D coincidenti j. Se due rette si intersecano in un punto, il sistema costituito dalle loro equazioni è:

151 6.8 esercizi 47 A indeterminato C impossibile B determinato D nessuna delle precedenti Tre risposte A, tre B, una C e tre D] 57 Vero o falso? a. L equazione = 0 rappresenta l asse delle ascisse. V F b. Ogni retta passante per l origine ha equazione y = m. V F c. Il coefficiente angolare dell asse è nullo. V F d. Se k = 0, la retta di equazione y = k + è parallela all asse. V F e. Il coefficiente angolare di una retta parallela all asse è zero. V F f. Il coefficiente angolare di una retta dipende dai punti scelti per calcolarlo. V F g. Si può calcolare il coefficiente angolare di una qualsiasi retta del piano. V F h. Due rette qualsiasi hanno sempre coefficiente angolare diverso. V F i. Il coefficiente angolare di una retta verticale vale 0. V F j. Il coefficiente angolare di una retta parallela all asse non è definito. V F affermazioni vere e 7 false] 58 Vero o falso? a. Le rette di equazione = e y = sono fra loro perpendicolari. V F b. Le rette di equazione y = + e y = + sono parallele. V F c. Le rette y = e y = (k ) sono parallele per k =. V F d. La retta di equazione = passa per A(, 0) e per B(5, ). V F e. Per i punti A(, ) e B(, ) passa una sola retta. V F f. La distanza di un punto dall asse y è l ordinata del punto. V F g. Le rette y = e y = sono perpendicolari. V F 4 affermazioni vere e false] 59 Vero o falso?

152 48 rette nel piano cartesiano a. Tutti i punti della bisettrice del primo e del terzo quadrante hanno l ascissa uguale all ordinata. V F b. Se i punti A e B hanno la stessa ordinata y 0, la retta AB ha equazione y = y 0. V F c. I coefficienti angolari di due rette perpendicolari (non parallele agli assi) sono uno il reciproco dell altro. V F d. L asse del segmento di estremi A( 7, ) e B(, ) è una retta verticale. V F e. L equazione = k, dove k è un numero reale, rappresenta una retta verticale. V F f. Due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. V F g. Il coefficiente angolare di ogni retta perpendicolare alla retta y = / è. V F h. Il coefficiente angolare di una retta passante per l origine esprime il rapporto fra l ascissa e l ordinata di un qualsiasi punto della retta. V F i. Se il coefficiente angolare di una retta passante per l origine è negativo, allora la retta appartiene al secondo e al quarto quadrante. V F j. L equazione y = h rappresenta una retta verticale. V F 6 affermazioni vere e 4 false] 60 Indica la risposta corretta. a. Il punto P(, ) appartiene a una fra le seguenti rette. Quale? A y = B y = C y = / D y = / b. Uno fra i seguenti punti non appartiene alla retta di equazione y =. Quale? A (0, 0) B (, ) C ( π, π) D (, ) c. Il coefficiente angolare della retta di equazione y = / è: A B / C / D / d. Quale fra le seguenti equazioni rappresenta una retta parallela all asse? A y = B = C y = D y = e. Una sola fra le seguenti equazioni non è quella di una retta parallela agli assi cartesiani. Quale? A = B y = C y = D = 0 f. Il coefficiente angolare della retta passante per A(, ) e B(, ) è:

153 6.8 esercizi 49 A B C 0 D g. Considera la retta r di equazione y =. Quale fra le seguenti rette è parallela a r? A y = B y = 4 C y = D y = Indica la risposta corretta. Una risposta A, una B, tre C e due D] a. Le seguenti rette sono tutte perpendicolari alla retta di equazione y = +, tranne una. Quale? A y = + B y = C y = D y = b. La retta che passa per i punti P(, ) e Q(, 5) ha equazione: A y = + B y = C y = + D y = c. Il coefficiente angolare di una retta vale /. Fra le seguenti coppie di punti, quale appartiene a tale retta? A A(5, 4) e B(, 5) B C(4, 5) e D(5, ) C E(0, ) e F(, 7) D G(, ) e H(4, 4) d. Per quali valori di k la retta passante per i punti A(0, ) e B(, k ) è parallela all asse? A per nessun valore di k C per k = B per k D per k = e. La retta di equazione y = k è perpendicolare alla retta di equazione y = per: A k = 0 B k = / C k = / D ogni k 0 f. Se a = b = c = 0, l equazione a + by + c = 0 rappresenta: A un punto C una retta B nessun ente geometrico D un piano g. L equazione della retta passante per il punto (, 0) e parallela alla retta di equazione y = è:

154 50 rette nel piano cartesiano A y = 4 B y = + 4 C y = D = h. L equazione della retta passante per i punti A(, ) e B(, 5) è: A y = B y = + C y = D y = + i. L asse del segmento di estremi P(, 4) e Q(4, ) ha equazione: A y = B y = C y = + 4 D y = j. Considera il triangolo ABC di vertici A(0, ), B(, 0) e C(, 0). Della retta di equazione y = fa parte: A il lato AB B il lato BC C il lato AC D l altezza AH 6 Indica la risposta corretta. Tre risposte A, una B, tre C e tre D] a. Quale tra le seguenti è l equazione della retta rappresentata in figura? A y = + y B y = C y = D = b. Considera le rette a: y = +, b: y = +, c: y =. Puoi affermare che: A a e b sono parallele C b e c sono parallele B a e c sono perpendicolari D b e c sono perpendicolari c. Quale delle seguenti rette è verticale? A y = + B y = 5 C = 7 D y = 0 d. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è falsa: A le rette verticali hanno coefficiente angolare uguale a 0 B a rette orizzontali hanno coefficiente angolare uguale a 0 C le rette passanti per l origine hanno equazione con termine noto uguale a 0 D le rette non passanti per l origine hanno il termine noto diverso da zero.

155 6.8 esercizi 5 e. Quale delle seguenti affermazioni è errata? Il coefficiente angolare di una retta... A parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante è uguale a B perpendicolare all asse delle ordinate è uguale a 0 C parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante è uguale a D passante per l origine delle coordinate è sempre uguale a f. Quale tra le seguenti è l equazione di una retta? A y = B + y = C y = / D = 0 g. Considera la retta di equazione y =. Una delle sue rette parallele ha equazione: A = B y = + C y = D y = Una risposta A, una B, tre C e due D] 6 Indica la risposta corretta. a. Quale tra queste rette è parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante? A y = 8 B y = C y = / D y = b. Individua tra le seguenti la retta perpendicolare all asse y. A = B y = 4 C y = D y = c. Quale tra le seguenti è l equazione di una retta che interseca l asse y nel punto di ordinata 5? A y = 5 B y = 5 C y = + 5 D = 5 d. Considera la retta di equazione y = +. Una delle sue rette perpendicolari ha equazione: A y = B y = + C y = / D y = / + e. Individua tra le seguenti la retta parallela all asse. A y = B = C y = / D y = f. Individua tra le seguenti rette l asse y.

156 5 rette nel piano cartesiano A y = B y = C = 0 D y = 0 g. Qual è l equazione della retta orizzontale che passa per il punto P = (, 5)? A y = 5/ B y = 5 C = D y = h. Qual è l equazione della retta passante per l origine e per il punto P = (, 5)? A y = 5/ B y = 5 C = D y = i. Qual è il punto di intersezione fra le rette y = + e y = + 4? A (0, 4) B (, 5) C (, 8) D (, 6) j. Quale delle seguenti rette passa per i punti A = (, 0) e B = (, )? A y = B y = C y = D = 4 Due risposte A, tre B, tre C e due D]