GEOMETRIA NOTE DEL CORSO A.A. 2014/15

Transcript

1 GEOMETRIA NOTE DEL CORSO A.A. 2014/15 Nicola Ciccoli Contents 1 Preliminari Insiemi e applicazioni Gli insiemi e le loro operazioni Applicazioni Gruppi, anelli, campi Il campo dei numeri complessi Algebra delle matrici Esercizi di riepilogo Sistemi lineari - prima parte 25 3 Spazi vettoriali 27 1

2

3 1 Preliminari 1.1 Insiemi e applicazioni Gli insiemi e le loro operazioni Tutta la matematica moderna è scritta nel linguaggio della teoria degli insiemi. Da un punto di vista ingenuo un insieme è definito da una legge che ci permette di distinguere se certi elementi appartengono o meno all insieme. Ad esempio l insieme dei numeri interi minori di 5 è un insieme ben definito (mentre non è ben definito l insieme delle persone belle perchè la bellezza non è un dato oggettivo). In realtà, come dimostrato da Bertand Russell con i suoi famosi paradossi, tale teoria ingenua è contraddittoria. Esiste una ben più complessa teoria assiomatica degli insiemi che risolve queste contraddizioni. Non avremo però bisogno di usarla nel seguito del corso e quindi ci baseremo sulla precedente definizione ingenua di insieme. L appartenenza di un elemento ad un insieme verrà indicata con la notazione di Peano: se l elemento a appartiene all insieme A scriveremo a A, se non vi appartiene a A. Un insieme particolare è l insieme vuoto, cioè per definizione l insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con. Attenzione a distinguere tale insieme dall insieme che contiene il numero intero 0 che si indica con {0} (e diversamente dal precedente contiene, appunto, un elemento). Il numero di elementi di un insieme si dice la sua cardinalità. L insieme vuoto ha cardinalità zero. Definizione Dati due insiemi A e B diremo che B è un 3 Data la difficoltà, con i primi computer, di distinguere il numero 0 dalla lettera O era invalsa l abitudine di indicare lo zero, appunto con l ambiguo simbolo. Oggi che l uso di font di qualità permette di evitare agevolmente questo problema non è più necessaria tale accortezza, che è anzi fonte di errori.

4 1. Preliminari sottoinsieme di A e scriveremo B A se ogni elemento di B è anche elemento di A. Esempio L insieme dei numeri pari è un sottoinsieme dell insieme dei numeri interi. 2. L insieme dei numeri divisibili per 3 non è un sottoinsieme dell insieme dei numeri divisibili per 2. Osservazione Se B A e A B allora A = B. 2. Si assume per convenzione che A per ogni insieme A. 3. A A. 4. Se C B e B A allora C A. Esercizio Elencare tutti i sottoinsiemi di un insieme di 3 elementi. Soluzione Poniamo A = {1, 2, 3}. E utile considerare i sottoinsiemi in base al numero di elementi che contengono. Esiste un solo sottoinsieme con 0 elementi ed è l insieme. I sottoinsiemi con 1 solo elemento sono {1}, {2}, {3}. I sottoinsiemi con due elementi sono {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} (si noti che l ordine degli elementi non conta). Infine non bisogna dimenticare l insieme A stesso, che come tutti gli insiemi è sottoinsieme di sè stesso. Esercizio proposto: quanti sottoinsiemi ha un insieme di n elementi? Definiamo ora alcune operazioni fra insiemi. Definizione Dati due insiemi A e B: 4 1. si dice unione degli insiemi A e B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono ad A oppure a B; 2. si dice intersezione degli insiemi A e B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B;

5 1.1. Insiemi e applicazioni 3. si dice prodotto cartesiano degli insiemi A e B e si indica con A B l insieme delle coppie ordinate (a, b) in cui a A e b B. Si osservi che fra l unione e l intersezione di insiemi risultano le seguenti relazioni di inclusione: A B A, A B B, A A B, B A B. Da ciò segue facilmente che se B A allora A B = B e A B = A. L unione e la intersezione di insiemi si possono rappresentare visivamente tramite i cosiddetti diagrammi di Venn: Intersezione di insiemi A B A B Unione di insiemi A B A B Esercizio Si esplicitino l unione, l intersezione ed il prodotto cartesiano delle seguenti coppie di insiemi: 1. Siano A = {x R : x 1 } e B = { 2}; 2. Siano A = {1, 2, 5, 7} e B = {2, 3, 4, 5}; 3. Siano A = {x Q : x 2 } e B = {x Q : x 2 }; 4. Siano A = {x R : 3x + 2 = 1 } e B = {x R : x 2 1 }; 5. Siano A = {x R : x 1 } e B = {x R : x > 1 }; 5

6 1. Preliminari 6. Siano A = {x Z : x 3 } e B = {x R : x 6 }; Definizione Si dice differenza insiemistica tra due insiemi A e B l insieme A \ B = {x A x B} e si dice differenza simmetrica tra due insiemi l insieme A B = (A \ B) (B \ A) Anche in questo caso se ne può dare una rappresentazione tramite diagrammi di Venn. Differenza A \ B A B Differenza simmetrica A B A B Applicazioni Definizione (Imprecisa) Si dice applicazione fra gli insiemi A e B una legge f che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. L insieme A si dice dominio dell applicazione e l insieme B si dice codominio. 6

7 1.1. Insiemi e applicazioni Definizione (Precisa) Si dice applicazione f : A B un sottoinsieme F di A B tale che per ogni elemento a A esiste uno ed un solo elemento (a, b) F. 1 Esercizio Si dica quali fra le seguenti leggi sono applicazioni e quali no: 1. Sia A = {uomini} e B = R +. La legge che associa ad ogni uomo la sua altezza in centimetri. 2. Siano A = {giornidelmese}, B = R +. La legge che associa al giorno del mese il prezzo della benzina in quel giorno. Esempio Dato un insieme qualunque A l applicazione id A : A A, id A (a) = a è detta funzione identica dell insieme A. Definizione Due applicazioni f : A B e g : A B sono uguali se e solo se f(a) = g(a) per ogni a A. Osserva che due applicazioni che differiscano per il dominio od il codominio vengono automaticamente considerate diverse. Definizione Un applicazione f : A B si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio; in formule se f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2, a 1, a 2 A. Esempio L applicazione f : N N, f(n) = 2n è iniettiva. Infatti se f(n 1 ) = f(n 2 ) allora 2n 1 = 2n 2 e pertanto n 1 = n L applicazione f : R R, f(x) = x 2 non è iniettiva. Infatti f(1) = f( 1) = 1. Si osservi che cambiando dominio un applicazione descritta dalla stessa legge matematica può diventare iniettiva oppure no. F. 1 Si tratta, in sostanza, di identificare una applicazione f con il suo grafico 7

8 1. Preliminari Definizione Sia data un applicazione f : A B. L insieme degli elementi del codominio che sono immagine di un elemento del dominio si dice immagine di f e si indica con Im f. L applicazione si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, cioè se Im f = B. Definizione Un applicazione si dice biettiva o biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva. In un applicazione biunivoca ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio. Ad esempio è facile provare che la funzione identica è sempre biettiva. Esercizio Si dica quali se le seguenti applicazioni sono iniettive, suriettive, biettive: 1. Sia f : R R, f(x) = 2x Sia f : Q R, f(x) = x Sia f : N Z, f(x) = x. 4. Sia f : Z R, f(x) = 3x. 5. Sia f : R Z, f(x) = Sia f : R R, f(x) = senx. 7. Sia f : R + R, f(x) = logx. 8. Sia f : R R, f(x) = e x. 1.2 Gruppi, anelli, campi Come prima cosa richiamiamo alcune semplici proprietà delle operazioni fra numeri. Esistono vari insiemi numerici che avete sin qui incontrato nei vostri studi. Con N indicheremo l insieme dei numeri naturali, ovvero dei numeri 8 0, 1,..., n,... ;

9 1.2. Gruppi, anelli, campi con Z (numeri interi) indicheremo l insieme ottenuto dall insieme dei numeri naturali aggiungendo ad essi tutti i negativi di numeri naturali e dunque l insieme dei numeri 0, ±1, ±2,.... Ancora più grande è l insieme dei numeri razionali Q ottenuto aggiungendo all insieme dei numeri interi tutti i possibili rapporti fra due numeri interi (con denominatore non nullo!), ovvero le frazioni 0, ±1, ± 1 2, ±1 3, ±2 5, Tali numeri corrispondono, come ricorderete, ai decimali periodici. Non tutti i numeri decimali sono però periodici; altrimenti detto esistono dei numeri non esprimibili come rapporto di interi, quali, ad esempio, π, 2, 3. Quando ai numeri decimali periodici si aggiungono i numeri decimali non periodici si ottiene l insieme dei cosiddetti numeri reali che indicheremo con R. Vedremo fra poco che il processo di estensione non è ancora finito potendo ai reali aggiungere anche i numeri immaginari ed ottenere il caso dei numeri complessi. Ci interessa ora richiamare quelle che sono le principali proprietà delle operazioni di somma e prodotto in questi insiemi numerici. Concentriamoci anzitutto sull insieme dei numeri naturali. Le seguenti proprietà dovrebbero essere note a tutti: 1. associatività di somma e prodotto: (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a, b, c R 2. commutatività di somma e prodotto: a + b = b + a ab = ba a, b R 3. esistenza dell elemento neutro per la somma: a + 0 = 0 + a = a a R 9

10 1. Preliminari 4. esistenza dell elemento neutro per il prodotto a1 = 1a = a a R. 5. distributività della somma rispetto al prodotto a(b + c) = ab + ac a, b, c R. Un operazione è una legge con cui ad una coppia di elementi di un insieme facciamo corrispondere un altro elemento dello stesso insieme. Da un punto di vista più formale possiamo allora dare la seguente definizione: Definizione Un operazione interna binaria sull insieme A è una applicazione del prodotto cartesiano A A (l insieme delle coppie ordinate di elementi di A) a valori in A, (a, b) a b. Tale operazione si dice associativa se (a b) c = a (b c) per ogni a, b, c A. Si dice commutativa se a b = b a per ogni a, b A. Un elemento e A si dice neutro per l operazione se a e = e a = a qualunque sia a A. Qualora sull insieme A sia definita anche una seconda operazione si dice che è distributiva rispetto a se a (b c) = a b a c a, b, c A. Osservazioni: 1. L elemento neutro se esiste è unico. Supponiamo, infatti, che esistano due elementi neutri e 1 ed e 2 : allora e 1 e 2 = e 1 perchè e 2 è neutro e e 1 e 2 = e 2 perchè e 1 è neutro. Dunque e 1 = e Le proprietà di un operazione dipendono anche dall insieme su cui essa è definita. Ad esempio passando dall insieme dei naturali all insieme degli interi si ottiene una nuova proprietà per l operazione di somma ovvero l esistenza di un elemento inverso (opposto) per la somma: per ogni a Z esiste un elemento a Z tale che a + ( a) = 0. 10

11 1.2. Gruppi, anelli, campi E chiaro che in maniera analoga a quanto appena fatto è possibile definire in astratto la proprietà di esistenza di un elemento inverso rispetto ad una operazione in un insieme qualunque. Definizione Sia A un insieme con un operazione dotata di elemento neutro e. Si dice che un elemento a A è invertibile per se esiste un elemento b A tale che ab = e = ba. In tal caso si dirà anche che a ammette un inverso rispetto a e b si dirà l inverso di a e si indicherà con a 1. Osservazioni: 1. L inverso di un elemento a se esiste è unico. Infatti se b e c sono inversi di a risulta c = cab = b. 2. La notazione a 1 non indica un elevamento a potenza, è solo un simbolo formale. 3. Vedremo più avanti esempi di operazioni per cui non tutti gli elementi sono invertibili. Definizione Un insieme A con un operazione che sia associativa, dotata di un elemento neutro e e tale che ogni elemento di A abbia un inverso rispetto a si dice un gruppo. Se l operazione è anche commutativa si parla di gruppo abeliano. L insieme dei numeri interi con l operazione di somma è dunque un gruppo abeliano. E naturale chiedersi se sia un gruppo anche rispetto al prodotto. Ciò equivale a chiedere se dato n Z esiste m Z tale che nm = 1 Se n = 0 un tale m non può esistere. Se n 0 deve essere m = 1 e dunque m non è un numero intero n (a meno che non sia n = ±1). La richiesta dell esistenza di un numero inverso per il prodotto porta naturalmente alla costruzione dell insieme dei numeri razionali. Definizione Un insieme A su cui siano definite due operazioni e tali che: 1. A sia un gruppo abeliano per, con elemento neutro 0; 11

12 1. Preliminari 2. sia distributiva rispetto a ; 3. A \ {0} sia un gruppo rispetto a con elemento neutro 1; si dice un campo. L elemento neutro della somma si dice zero del campo e l elemento neutro del prodotto si dice unità del campo. L insieme dei numeri razionali e l insieme dei numeri reali sono esempi di campi. L insieme dei numeri interi non è un campo. Esercizio L operazione di unione di insiemi è associativa? E commutativa? Ammette elemento neutro? Esistono elementi invertibili per questa operazione? 2. Stesse domanda per l operazione di intersezione. Vale una proprietà di distributività fra le due? 3. Sia F(R; R) l insieme delle funzioni di dominio e codominio R. Definiamo su questo insieme l operazione di somma: f + g : R R; (f + g)(x) = f(x) + g(x) e l operazione di prodotto: fg : R R; (fg)(x) = f(x)g(x) Di quali proprietà godono tali operazioni? 1.3 Il campo dei numeri complessi Vogliamo ora costruire un campo sull insieme delle coppie di numeri reali che chiameremo campo dei complessi. Indichiamo con R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali: R 2 = {(a, b) a, b R} e definiamo su questo insieme le due seguenti operazioni 12 (x, y) + (x 1, y 1 ) = (x + x 1, y + y 1 ) (1.1) (x, y)(x 1, y 1 ) = (xx 1 yy 1, xy 1 + x 1 y). (1.2)

13 1.3. Il campo dei numeri complessi Proposizione Rispetto a queste due operazioni l insieme R 2 è un campo con zero 0 = (0, 0) e con unità 1 = (1, 0). Dim. La dimostrazione delle proprietà della somma viene lasciata come esercizio. Vediamo le proprietà del prodotto; iniziamo con l associatività: (x, y) ((x 1, y 1 )(x 2, y 2 )) = (x, y)(x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (x(x 1 x 2 y 1 y 2 ) y(x 1 y 2 + x 2 y 1 ), x(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + y(x 1 x 2 y 1 y 2 )) = ((xx 1 yy 1 )x 2 (xy 1 + yx 1 )y 2, (xx 1 yy 1 )y 2 + (xy 1 + yx 1 )x 2 ) (xx 1 yy 1, xy 1 + yx 1 )(x 2, y 2 ) = ((x, y)(x 1, y 1 )) (x 2, y 2 ) Dimostriamo la commutatività: Proseguiamo con l elemento neutro: (x, y)(1, 0) = (1x 0y, 1y + 0x) = (x, y) e non è necessaria provare l altra identità in virtù della commutatività. Proviamo infine la distibutività. (x, y)((x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )) = (x, y)(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x(x 1 + x 2 ) y(y 1 + y 2 ), x(y 1 + y 2 ) + y(x 1 + x 2 )) = (xx 1 yy 1 + xx 2 yy 2, xy 1 + yx 1 + xy 2 + yx 2 ) = (xx 1 yy 1, xy 1 + yx 1 ) + (xx 2 + yy 2, xy 2 + yx 2 ) = (x, y)(x 1, y 1 ) + (x, y)(x 2, y 2 ) L insieme R 2 con la struttura di campo appena definita si dice campo dei numeri complessi e si indica anche con C. Una delle caratteristiche importanti del campo dei numeri complessi è legata al fatto che è possibile vedere ogni numero reale come un particolare numero complesso tramite l identificazione R a (a, 0) C. Questa è una buona identificazione perchè preserva le operazioni dei numeri reali, cioè (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) 13

14 1. Preliminari e dunque possiamo indifferentemente calcolare somme e prodotti di numeri reali o dei numeri complessi a cui essi sono identificati ottenendo lo stesso risultato. A questa proprietà i matematici si riferiscono dicendo che esiste una immersione dei reali nei complessi. Indichiamo ora con ı il numero complesso (0, 1). E facile allora dimostrare la seguente proprietà algebrica di ı: i 2 = ( 1, 0) = 1. Il numero complesso ı si dice unità immaginaria. Dato un qualunque numero complesso (a, b) si ha (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) ovvero, identificando i numeri reali con le coppie (a, 0) e usando l unità immaginaria, (a, b) = a + ib.questa notazione è particolarmente comoda perchè permette di fare somme e prodotti di numeri complessi semplicemente ricordando le operazioni fra numeri reali ed il fatto che ı 2 = 1; infatti (a, b)(c, d) = (a + ib)(c + id) = ac + i 2 (bd) + iad + ibc = (ac bd) + i(ad + bc) = (ac bd, ad + bc). Infine questa notazione permette di introdurre una operazione tra numeri complessi particolarmente utile nell uso, il cosiddetto coniugio. Definizione Dato un numero complesso z = a + ib si dice coniugato di z il numero complesso z = a ib. Si osservi allora che il prodotto zz è sempre un numero reale positivo (la cui radice quadrata indicheremo con z e chiameremo modulo del numero complesso). Infatti: zz = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 Un applicazione di questa osservazione si ha per scrivere quelle frazioni che hanno numeri complessi al denominatore nella forma a + ib. Praticamente si procede come segue: i = 2 5i (2 + 5i)(2 5i) = 2 5i 13 = 2 13 i 5 13

15 1.3. Il campo dei numeri complessi Come ultimo aspetto della teoria dei numeri complessi vogliamo ora parlare della loro rappresentazione trigonometrica. Si tratta, sostanzialmente, di usare le cosiddette coordinate polari nella rappresentazione dei numeri complessi non nulli, identificati a punti del piano reale diversi dall origine. Le coordinate polari sono le coordinate che ad un punto del piano diverso dall origine fanno corrispondere la sua distanza dalla origine ρ (un numero reale positivo) e l angolo θ compreso fra la semiretta dell asse delle ascisse e la semiretta uscente dall origine e passante per il punto in questione. In formule, ad un punto di coordinate (a, b) (0, 0) vengono date le coordinate polari ρ R +, θ [0, 2π[ tali che { a = ρ cos θ b = ρ sin θ Con tali coordinate si ha che z = ρ(cos θ + ı sin θ) e pertanto z = ρ(cos θ ı sin θ). Dunque z z = ρ è proprio il modulo del numero complesso. L angolo θ si dice invece argomento del numero complesso z. Presi ora due numeri complessi z 1, z 2 di moduli rispettivi ρ 1 e ρ 2 e argomenti rispettivi θ 1 e θ 2 si ha: z 1 z 2 = ρ 1 (cos θ 1 + ı sin θ 1 )ρ 2 (cos θ 2 + ı sin θ 2 ) = ρ 1 ρ 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + ı (cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )] = ρ 1 ρ 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + ı sin(θ 1 + θ 2 )) dove nell ultimo passaggio abbiamo usato le formule di addizione per seno e coseno. Possiamo dunque dire che moltiplicando due numeri complessi i loro moduli si moltiplicano mentre i loro argomenti si sommano. Ciò permette anzitutto di osservare che il sottoinsieme costituito dai numeri complessi di modulo uno è chiuso rispetto al prodotto, vale a dire che il prodotto di due numeri complessi di modulo uno è ancora un numero complesso di modulo uno, e permette di dare una formula particolarmente conveniente per le potenze di un numero complesso non nullo (formula di De Moivre): z n = ρ n (cos nθ + ı sin nθ). 15

16 1. Preliminari 1.4 Algebra delle matrici Sia K un campo qualunque (indicheremo con + la sua operazione abeliana e con la giustapposizione l altra operazione) e siano n e m due interi fissati. Chiameremo matrice con m righe e n colonne (o matrice m n) una tabella rettangolare di elementi di K a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a m1 a m2... a mn (1.3) L insieme di tali matrici si indica con M m n (K). Scriveremo anche A = (a ij ) per indicare tale matrice. La i esima riga della matrice A è la matrice 1 n A (i) = (a i1 a i2... a in ) e si dice anche essere un vettore riga. Allo stesso modo la j esima colonna è la matrice n 1 a 1j A (j) a 2j =. a mj e si dice anche essere un vettore colonna. Fissato un elemento a ij di una matrice si dice che i è il suo indice di riga e j il suo indice di colonna. Una matrice con uguale numero di righe e di colonne si dice una matrice quadrata. In tal caso il numero di righe si dice anche ordine della matrice. Le matrici sono spesso utili per riassumere informazioni numeriche da associare a coppie di indici che parametrizzano insiemi diversi. Possiamo ad esempio pensare di riassumere in una matrice il modo in cui un contadino utilizza i suoi prodotti Facendo corrispondere agli indici di colonna da 1 a 4 rispettivamente olive, grano, pomodori e fieno e agli indici di riga da 1 a 3 rispettivamente l utilizzo per consumo familiare, le vendite al mercato del 16

17 1.4. Algebra delle matrici paese e le vendite ad una industria di trasformazione, posto di aver fissato l unità di misura in quintali, possiamo dire che la matrice ci dice che il contadino usa in casa 10 chili di olive, che vende al mercato cinque chili di fieno, ecc.... Vedremo in quali e quanti modi le matrici si possono utilizzare sia per risolvere problemi di algebra (sistemi di equazioni lineari), sia per studiare le proprietà di oggetti geometrici (incidenza di rette e piani nello spazio, coniche, ecc...). Questi utilizzi dipendono anzitutto dal fatto che con le matrici, così come con i numeri, si possono effettuare varie operazioni algebriche. Definiamo anzitutto la somma di matrici: date due matrici con uguale numero di righe e colonne e con elementi in uno stesso campo K, A = (a ij ) e B = (b ij ) la matrice A + B è la matrice che si ottiene sommando gli elementi con uguale indice A + B = (a ij + b ij ). Questo in parte spiega anche perchè richiediamo matrici i cui elementi appartengano ad un campo: vogliamo poter sommare gli elementi. Esempio: = E importante sapere quali sono le proprietà di questa operazione: non differiscono dalle proprietà della somma di numeri reali. Proposizione La somma di matrici m n ad elementi in un campo K è un operazione associativa, commutativa, avente per elemento neutro la matrice con tutti gli elementi nulli; rispetto a tale operazione ogni matrice ha un inverso (opposto). In altri termini l insieme M m n (K) è un gruppo abeliano rispetto alla somma. 17

18 1. Preliminari Dim. 1. Associatività: (A + B) + C = ((a ij ) + (b ij )) + ((c ij ) = ((a ij + b ij ) + c ij ) = (a ij + (b ij + c ij )) = ((a ij )+((b ij )+(c ij )) = A + (B + C). 2. Commutatività A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = (b ij ) + (a ij ) = B + A. 3. Indichiamo con (0) la matrice i cui elementi son tutti nulli. Allora A + (0) = (a ij ) + (0) = (a ij + 0) = (a ij ) = A. L altra uguaglianza segue dalla commutatività appena provata. 4. Data la matrice A consideriamo la matrice A = ( a ij ). Allora A + ( A) = (a ij ) + ( a ij ) = (a ij a ij ) = (0). L operazione di prodotto tra matrici è leggermente più complicata da definire (per togliere subito ogni dubbio NON è l operazione data dalla moltiplicazione degli elementi con uguale indice di riga e colonna) e non gode di tutte le proprietà del prodotto tra numeri. Anzi... La prima peculiarità sta nel fatto che per poter moltiplicare due matrici il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice. Siano allora A una matrice m n e B una matrice n r, entrambe con elementi in uno stesso campo K. Il prodotto di A e B è la matrice con m righe e r colonne il cui elemento di posto i, j è dato da: c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj. k=1 Anche in questo caso facciamo osservare che è stato importante prendere gli elementi della matrice in un campo K perchè per poter definire l operazione prodotto righe per colonne è necessario poter sommare e moltiplicare questi elementi. Facciamo un esempio di calcolo del prodotto: 18 ( ) ( ) = ( ).

19 1.4. Algebra delle matrici La prima differenza che salta all occhio è il fatto che il prodotto di matrici non è commutativo. Per un motivo molto importante: date due matrici A e B può capitare che si possa fare il prodotto AB ma non si possa fare il prodotto BA. Quando le matrici sono quadrate di uguale ordine è possibile fare entrambi i prodotti. Ma anche in questo caso non è garantito che sia AB = BA come mostra il seguente esempio: A = ( ) B = ( ) 0 1 AB = 0 0 ( ) 0 0 BA =. 0 0 ( Questo esempio mostra un altro comportamento strano: può capitare che due matrici non nulle abbiano prodotto uguale a zero (sono i cosiddetti divisori di zero). Parliamo anche delle proprietà della operazione di prodotto tra matrici. Le principali sono riassunte nella seguente proposizione che non dimostreremo. Proposizione Il prodotto tra matrici è associativo. La somma di matrici è distributiva rispetto al prodotto. Il prodotto di una matrice a destra o a sinistra per una matrice (con opportuno numero di righe o colonne) i cui elementi siano tutti nulli è una matrice con elementi tutti nulli. Occupiamoci, infine, del problema dell esistenza di un elemento neutro e della invertibilità rispetto al prodotto, quantomeno per quel che riguarda le matrici quadrate. Proposizione La matrice I n = ) 19

20 1. Preliminari detta matrice identica di ordine n, è l elemento neutro rispetto al prodotto di matrici quadrate di ordine n. Dim. Dobbiamo dimostrare che per ogni matrice A quadrata di ordine n, si ha AI n = I n A = A. Osserviamo che la matrice identità si può anche scrivere come quella matrice che ha elementi b ij con b ij = 0 se i j e b ij = 1 se i = j. Allora, usando la formula per il prodotto righe per colonne, l elemento di posto i, j della matrice AI n è dato da: n c ij = a ik b kj = a ij 1 k=1 e dunque AI n = A. Allo stesso modo si prova l uguaglianza opposta. Stabilita l esistenza dell elemento neutro per la moltiplicazione di matrici quadrate di ordine n ci si può chiedere se data una matrice A M n n (K) esiste il suo inverso rispetto al prodotto. Applicando la definizione a questo caso si può dare la seguente definizione. Definizione Una matrice A M n (K) si dice invertibile se esiste una matrice B M n n (K) tale che AB = I n = BA Se questo succede si dice che B è l inversa di A e si indica B = A 1. Per convincersi del fatto che non tutte le matrici sono invertibili osserviamo che se abbiamo una coppia di matrici quadrate M e N non nulle tali che MN = 0 allora M non può essere invertibili. Se lo fosse, infatti, avremmo M 1 MN = M 1 0 = 0, ma anche M 1 MN = I n N = N contraddicendo l ipotesi che N sia non nulla. Siccome esempi di matrici non nulle con prodotto nullo esistono, allora esistono anche esempi di matrici non invertibili. 20

21 1.4. Algebra delle matrici D altra parte esistono anche esempi di matrici invertibili. Sia ad esempio data la matrice α α 2 0 D = α n Una matrice di questo tipo si dice matrice diagonale. Allora, con un po di pazienza, si può dimostrare che tale matrice è invertibile ed ha inversa α D 1 0 α2 1 0 = αn Esercizi di riepilogo 1. Siano A, B due insiemi. Definiamo A\B = {x A x B}. Dimostrare che A (B \ C) = (A B) \ (A C). 2. Sia X un insieme fissato e siano A, B X. Il complementare di B in X è l insieme B c = X \ B. Dimostrare le seguenti uguaglianza (leggi di de Morgan): (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 3. Semplificare le seguenti formule: a) (5 + 3i)(2 7i); b) (4 3i) 2 ; 1 c) ; 3 2i d) 2 7i; 5+3i e) i 3, i 4 ; f) (1 + 2i) 3 ; 21

22 1. Preliminari 4. Dati i numeri complessi z = 2 3i e w = 4+5i scrivere nella forma a + bi i numeri complessi z + w, zw, z/w, z, w. 5. Calcolare la somma di matrici ( ) ( ). 6. Date le matrici A = ( ) ( 1 2 3, B = ), C = calcolare (A + B)C; spiegare perchè non è possibile calcolare AB + C, (A + C)B e dire se è possibile calcolare BCA. 7. Sia f : R R espressa da un polinomio di secondo grado f(x) = ax 2 + bx + c. Dire se esistono valori di a, b, c, per cui f è iniettiva o per cui f è suriettiva Date le matrici 2 1 A = calcolare AB e BA., B = ( ) 9. Calcolare il prodotto di matrici (1, 7, 3, 4) Data la matrice A = ( calcolare le sue potenze A 2 e A 3. ) 22

23 1.4. Algebra delle matrici 11. Una matrice A M n n (K) si dice nilpotente se esiste n N tale che A N = 0. Dare esempi di matrici nilpotenti di ordine 2 e Una matrice A = (a ij ) M n n (K) si dice triangolare superiore (risp. triangolare inferiore) se a ij = 0 per ogni i > j (resp. per ogni i < j. Se in una matrice triangolare superiore (risp. inferiore) anche gli elementi diagonali a ii sono tutti nulli si parla di matrice strettamente triangolare superiore. Dimostrare che la somma ed il prodotto di matrici triangolari superiori (risp. di matrici triangolari inferiori) è ancora una matrice triangolare superiore (risp. triangolare inferiore). 23