DIFFRAZIONE DI ONDE NEI CRISTALLI

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1 DIFFRAZIONE DI ONDE NEI CRISTALLI Quando in cristallo si propaga un onda con λ a,b,c si verifica diffrazione dal suo studio è possibile ottenere informazioni su: Simmetria del cristallo (tipo di reticolo) Parametri reticolari Struttura della cella elementare (posizioni atomi) Diffrazione di raggi X (von Laue e Bragg, ) Diffrazione di elettroni (Davisson e Germer, 197) Diffrazione di neutroni (Shull, anni 50) A secondo della natura dell onda cambiano i centri di scattering all interno del cristallo: Elettroni per diffrazione di raggi X Elettroni e nuclei per diffrazione di fasci elettronici Nuclei per diffrazione di fasci neutronici

2 Se consideriamo un fotone: hc E fotone = hν = = pc λ A λ Raggi x E 10KeV

3 Se consideriamo particelle massive :

4 Diffrazione: interferenza fra onde diffuse elasticamente k r k O ρ r P

5 Per raggi X i centri di scattering sono gli elettroni, mentre il contributo dei nuclei è trascurabile Se consideriamo una carica e di carica m accelerata da un campo elettrico E: ee = ma a = D altra parte l elettrodinamica classica ci dice che la potenza media irradiata dalla carica accelerata è (formula di Larmor o di Lienard): ee m a 3 e 1 < P>= 3 c m 4 5 m M m I - Onda diffusa ha la stessa frequenza di quella incidente - Ampiezza dell onda diffusa dall elettrone è data da: Formula di Thomson Scattering elastico classico

6 Nel caso in cui l onda incidente sia costituita da un fascio di neutroni: l interazione avviene quasi esclusivamente con i nuclei. In realtà esiste una debole interazione fra i momenti magnetici di spin dei neutroni e degli elettroni, che tuttavia è significativa solo per solidi ferromagnetici o antiferromagnetici Nel caso in cui l onda incidente sia costituita da un fascio di elettroni: L interazione avviene sia con i nuclei che con gli elettroni del cristallo e lo scattering è con il potenziale elettrostatico del cristallo Ricordiamo che per onde materiali, l intensità è il numero di partic. che attraversano l unità di superficie nell unità di tempo.

7 S R ρ r α 0 r // φ ' φ R k O ρ ρ φ ' D θ φ B DBP triangolo quasi isoscele (DP-BP) << r r α θ R P φ arcos( rˆ kˆ ) φ ' arcos( Rˆ kˆ ) arcos( ˆ ρ Rˆ ) α arcos( rˆ Rˆ ) r R ρ cosθ DP BP = OP - OB

8 F ampiezza in P dell onda diffusa ik ρ ikr e F = F0 e A( φ) r ik ρ ik( R ρcos θ) ikr ik ρ ikρcosθ e e e e e F = F0A( φ) = F0A( φ) R ρcosθ R ρ cosθ 1 R e ikr ( ˆ ˆ ) F F0 A( ) e ik ρ e ik ρ ρ φ R cos R ρ θ cosθ = ˆ ρ R ˆ Definendo: k ' krˆ R 1 e ikr ik ρ ik ' ρ F = F0 A( φ) e e R

9 e ikr ik ρ ik ' ρ F = F0 A( φ) e e R k k ' k ikr e F = F0 A( φ) e R φ φ' arcos( Rˆ kˆ) = arcos( rˆ kˆ') i k ρ k k ' φ k Questa è l ampiezza dell onda diffusa in P da un unico centro di scattering posto in ρ ρ 0 ma in un cristallo ho più centri di scattering equivalenti per simmetria

10 ρ = ρ + nτ + n τ + nτ = ρ + nt n

11 ρ 0 e ρ Ogni punto 0 della cella elementare produce un contributo iρ k questo contributo va sommato a quelli derivanti da altri punti connessi a 0 da una traslazione τ n 1 : e iρ k it k 0 n = n e it k n e = 1 k = G h

12 Legge di Laue della diffrazione reticolare k = G h Itot = II 1 I3 I N n= 1 q n N 1 q = 1 q

13 f( x) con x sin N x sin x τ k altezza picchi principali N Area picchi principali N (4π/N) N Posizione picchi principali= 0 +πn

14 k = G

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16 Connessione fra legge di Laue e legge di Bragg φ = θ dsinθ = nλ sinθ = λ n d π ksin θ = k = n= G d π π sinθ = n λ d

17 dsinθ = nλ 0 per θ = 90 d nλ = λ max = d n =1 per n 1 λ sottomultiple di λ max e diffrazione di ordine n

18 Condizione di Laue Condizione di Bragg d sin θ = π k = G = n G0 = n d d sinθ λ = n nλ Al crescere di G crescere di n diminuire λ dimiunisce I λ d λ d

19 Fattore di struttura Contributo del singolo centro di scattering ikr e F = F0 A( φ) e R i k ρ 0 cos t( φ, R) tot N N ikr ikr N e i k ρ e n, i 0 ( φ) 0 ( φ) n= 1i Ω n= 1i Ω R R n= 1i Ω F = F = F A e = F A e ρ0 O ni, ni, c c c k R P Ω cell 0 n( ρ ) e d i k ρ i k ρ 0 ρ0 densità di centri di scattering

20 n 0 I F C(, R) e n( ) e d tot N i k ρ i k ρ = tot = φ ρ0 ρ0 n= 1 Ω cell C( φ, R) cos t( φ, R) tot N i k ρ = tot = 0 0 Ω n= 1 I F C R n e d e 0 n ( φ, ) ( ρ ) ρ cell = i k ρ C( φ, R) n( ρ ) e dρ I I I Ω cell i k ρ

21 I 1 τ1 k sin N 1 τ1 k sin limn I = πnδ( τ k) limn I 0 per τ k = 0 + π n k = G limn I = πnδ( k G) 1 1 1

22 i k ρ I C( φ, R) n( ρ ) e dρ I I I tot = Ω cell i k ρ 3 Itot = C R n 0 e d 0 N1NN3 k G 0 ( φ, ) ( ρ ) ρ ( π) δ( ) Ω cell N iρ G 3 Itot = C R n 0 e d 0 N k G 0 ( φ, ) ( ρ ) ρ ( π) δ( ) Ω cell Ω cell n e d G iρ G ( ρ ) ρ ζ( ) Fattore di struttura

23 3 I = ( π) N C( φ, R) ζ( G) δ( k G) tot k = G La condizione di Laue,, rappresenta quindi solo una condizione necessaria ma non sufficiente perché ζ ( G) 0 I tot 0 occorre anche che: N base n( ρ ) = n ( ρ ρj ) 0 j 0 j= 1

24 Nbase iρ0 G iρ0 G ζ ( G) n( ρ ) e dρ n ( ρ ρ ) e dρ = Ω N cell base j= 1 Ω 0 0 j 0 j 0 j= 1 Ω iρ j G iρ G e n ( ρ) e d ρ = f ( G ) Fattore di forma atomico j cell j cell ρ ρ ρ 0 j ρ0 = ρ + ρj dρ = d ρ Nbase iρ j G Se atomi nella base sono uguali ζ ( G) e fj ( G) j= 1 Nbase iρ j G Fattore geometrico ζ ( G) f( G) e f( G) S( G) ai struttura SG ( ) j= 1 0

25 id A G ζ ( G) = f ( G) e + f ( G) e A idb G B d A = d B

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27 In conclusione: k = G π ksin θ = k = n= G d Consentono di determinare il reticolo reciproco e la distanza fra piani reticolari Nbase iρ0 G iρ0 G ζ ( G) n( ρ ) e dρ n ( ρ ρ ) e dρ = Ω cell Nbase iρ j G ζ ( G) e fj ( G) j= j 0 j 0 j= 1 Ω cell Consentono di ottenere informazioni sulla posizione e caratteristiche dei centri di scattering all interno di una cella elementare Nbase i ρ j G ζ ( G) f( G) e f( G) S( G) j= 1

28 Effetto termico di vibrazione e fattore di Debye-Waller L effetto delle vibrazioni atomiche all interno di un cristallo è quello di ridurre l intensità diffratta di un fattore, detto fattore di Debye-Waller che dipende in maniera esponenzialmente decrescente da T e G DW ktg B 3M I = e ω M = massa totale degli atomi all interno della cella ω = frequenza media di vibrazione degli atomi

29 rt () = ρ + u () t ρ Oscillatori armonici indipendenti

30 per ( ) ( ) k // zˆ u k = u k = u k = k u = u 3 k z z z K arm < u >= kt Mω B m 1 1 < u > k < u > k 6 3 I = e = e

31 B I k = I I = I e 3Mω ( ) 0 DW 0 ktg

32 CONDIZIONI SPERIMENTALI PER LA DIFFRAZIONE CONDIZIONI SPERIMENTALI PER LA DIFFRAZIONE Solo se la superficie della sfera contiene i vertici di vettori del reticolo reciproco è possibile la diffrazione Costruzione di Ewald E sempre possibile verificare la condizione di Laue ruotando il centro della sfera attorno ad O, ossia ruotando il cristallo, oppure variando λ

33 METODO DI LAUE

34 METODO DEL CRISTALLO ROTANTE G = k = k sinθ G k

35 METODO DELLE POLVERI o di DEBYE - SCHERRER