Esercizi. u 2 + v 2. v 2 =

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1 a. tatone corso di matematica applicata SV EX Esercizi. [Halmos p. 6] Sia U l insieme delle coppie ordinate di nmeri reali in ci siano definite le segenti leggi di composizione v U + v = α R U + v v 2 = + v + v 2 α α = α = L elemento netro rispetto alla addizione sia o = mentre l elemento opposto sia tale che U = = L insieme U rislta essere no spazio vettoriale? Perché? 2. [Halmos p. 7] Sia C 3 lo spazio vettoriale delle terne ordinate di nmeri complessi e V n so sottoinsieme costitito dai vettori tali che abbiano na delle segenti proprietà In qali casi V è n sottospazio? 3 a R b = c = oppre = d + = e + = 3. Si consideri na famiglia di vettori in no spazio vettoriale U. Dimostrare che se tale famiglia comprende il vettore nllo allora essa è costitita da vettori dipendenti. 4. [Greb p. 4] Sia U no spazio vettoriale e sia {b b 2...b p } na famiglia di vettori indipendenti. Dimostrare che se n vettore b i viene sostitito con il vettore b i + αb j i j α R la famiglia così ottenta rislta ancora costitita da vettori indipendenti. DISAT Università dell Aqila 6/5/992:83

2 a. tatone corso di matematica applicata SV EX 2 5. [Greb p. 5] Qali delle segenti famiglie di vettori in R 4 sono costitite da vettori indipendenti? a 2 b c /4 /2 /2 d /2 /4 Estendere le famiglie di vettori indipendenti sino a costrire na base. 6. [Greb p. 5] Si consideri lo spazio vettoriale C 3. I vettori i i 2 +i sono indipendenti? Esprimere i vettori 2 3 i i i come combinazioni lineari dei precedenti. 7. [Bowen & Wang p. 44] Sia U no spazio vettoriale definito sl campo dei nmeri complessi. Si consideri l insieme U U e si definiscano in tale insieme l addizione e la moltiplicazione per no scalare nel segente modo { } + {v v 2 } = { + v + v 2 } λ + iµ{ } = {λ µ µ + λ } dove λ µ R. Dimostrare che U U rislta essere no spazio vettoriale sl campo dei nmeri complessi. 8. [Bowen & Wang p. 55] Si consideri no spazio vettoriale U e na base {b b 2 b 3 } in esso. Sia U sia il sottospazio generato dal vettore := b 2 + b 3 DISAT Università dell Aqila 6/5/992:83

3 a. tatone corso di matematica applicata SV EX 3 e V il sottospazio generato dai vettori v := b + b 3 v 2 := b + b 2 + b 3 a Dimostrare che U =U V b trovare n altro sottospazio W tale che U =U W 9. [Greb p. 48] Descrivere gli spazi im M ekerm delle trasformazioni lineari M : R 4 R 4 definite nel modo segente 4 M a = + 3 M b = M c = per ogni R 4. Qali sono le matrici di tali trasformazioni nella base standard?. [Greb p. 49] Descrivere gli spazi im M e kerm delle trasformazioni lineari M : R 4 R 5 definite nel modo segente 5 + M a = 3 4 M b = M c = per ogni R 4. Qali sono le matrici di tali trasformazioni nelle basi standard?. Descrivere gli spazi im M e kerm della trasformazione lineare M : R 2 R 2 la ci matrice nella base standard è Ripetere con la matrice della trasformazione M 2 := M M. 2. Sia {b b 2 b 3 } na base di no spazio vettoriale U. Si consideri il sottospazio V generato dal vettore v := b + b 2 e il sottospazio W generato dai vettori w := b + b 3 w 2 := b 3 DISAT Università dell Aqila 6/5/992:83

4 a. tatone corso di matematica applicata SV EX 4 a Verificare che U =V W; b calcolare la matrice nella base {b b 2 b 3 } della proiezione P tale che im P =Ve ker P = W si calcoli prima la matrice di P nella base {v w w 2 }. 3. Assegnata na base {b b 2 } in no spazio vettoriale U e il prodotto interno tale che b b =4 b b 2 = b 2 b 2 =2 a calcolare v con = b +2b 2 b costrire n vettore ortogonale a b ; c costrire na base ortonormale. v = b + b 2 4. In no spazio vettoriale U dotato di prodotto interno sia assegnata la base ortonormale {b b 2 b 3 }. Indicando con U il sottospazio generato dal vettore := b 2 + b 3 a determinare na base del sottospazio U ; b calcolare la matrice della proiezione P tale che im P =UkerP =U. 5. Assegnata la trasformazione lineare A : U Vla ci matrice nelle basi {b b 2 b 3 } di U e {d d 2 d 3 d 4 } di V sia descrivere ker A eima. Assmendo poi che gli spazi U e V siano dotati di prodotto interno e che le basi {b b 2 b 3 } di U e {d d 2 d 3 d 4 } di V siano ortonormali determinare la matrice della trasformazione A. Descrivere infine i sottospazi ker A eima e verificare le proprietà im A =kera im A =kera U =ima ker A V =ima ker A 6. In no spazio vettoriale U sia assegnata la base {b b 2 b 3 } e l endomorfismo A la ci matrice sia DISAT Università dell Aqila 6/5/992:83

5 a. tatone corso di matematica applicata SV EX 5 Verificare che il sottospazio U generato dai vettori := b v := b 2 + b 3 è invariante rispetto ad A. Calcolare poi la matrice di A nella base { v w} con w U. In particolare si consideri il vettore w := b b 2 b 3 e si dimostri che anche il sottospazio da esso generato è invariante rispetto ad A. 7. Descrivere gli atospazi degli endomorfismi di no spazio vettoriale U le ci matrici in na base {b b 2 }siano [Bowen & Wang p. 45] Descrivere gli atospazi dell endomorfismo A : U Ula ci matrice in na base ortonormale {b b 2 }sia 2 2 Esprimere poi la matrice di A come combinazione lineare delle matrici delle proiezioni ortogonali sgli atospazi decomposizione spettrale di A. 9. [Bowen & Wang p. 45] Si consideri l endomorfismo A : U Ula ci matrice in na base ortonormale {b b 2 b 3 }sia Trovare na base ortonormale rispetto alla qale la matrice di A sia diagonale. 2. Sia A : U Un atomorfismo e U λ n so atospazio. Si dimostri che U λ è anche n atospazio di A. 2. [Bowen & Wang p. 45] Si consideri l endomorfismo A : U Utale che indicando con {b b 2 b 3 } na base ortonormale sia Ab =2 2b 2b 2 Ab 2 = Ab 3 = b b b 2 2 Calcolare gli endomorfismi R e U della decomposizione polare di A. DISAT Università dell Aqila 6/5/992:83