Cos è un gruppo. A IV) Esiste l elemento inverso di ogni elemento A:

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1 Cos è un gruppo Con gruppo si intende un insieme G di elementi A, B, C,..., tali che possa essere definita un operazione detta moltiplicazione di gruppo che associa un terzo elemento (uno ed uno solo) ad una coppia qualsiasi di elementi ordinati e tali da soddisfare le seguenti proprietà: I) L insieme è chiuso rispetto alla moltiplicazione di gruppo : il prodotto di due elementi è ancora un elemento del gruppo. II) Proprietà associativa: (AB)D = A(BD) III) Esiste l elemento di indentità E: AE = EA = A A IV) Esiste l elemento inverso di ogni elemento A: A 1 A = AA 1 = E N.B Le proprietà elencate non includono la proprietà commutativa, cioè in generale avremo AB BA. Se, per tutti gli elementi del gruppo, vale la proprietà commutativa, allora il gruppo si dice Abeliano. 3 ottobre / 26

2 Inverso di un prodotto Dalle proprietà I IV si ricava immediatamente la definizione di inverso di un elemento prodotto di 2 elementi: sia C = AB per definizione deve essere C 1 (C) 1 = (AB) 1 =? C C 1 = AB(AB) 1 = E che in generale sarà soddisfatta solo se Quindi si avrà C 1 = (AB) 1 = B 1 A 1 C C 1 = A BB }{{} 1 A 1 = AEA 1 = AA 1 = E Si noti la stretta analogia con le proprietà delle matrici (non commutatività del prodotto, elemento inverso di un prodotto,...). 3 ottobre / 26

3 Un esempio di gruppo Prendiamo le sei seguenti matrici 2 2: E = ( ) A = ( ) ( ) 1/2 3/2 C = 3/2 1/2 F = D = B = ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 Si controlla facilmente che esse formano un gruppo, con la moltiplicazione matriciale come prodotto. Ad esempio: AB = D BB = E = B 1 = B 3 ottobre / 26

4 Tavola di moltiplicazione Facendo tutte le possibili moltiplicazioni nel gruppo si può costruire la tavola di moltiplicazione seguente: E A B C D F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B D D C A B F E F F B C A E D La tavola si legge nel seguente modo: (el. riga) (el. colonna)= el. intersezione La tabella di moltiplicazione definisce il gruppo in senso astratto: tutte le proprietà del gruppo possono essere ricavate a partire della tavola di moltiplicazione. 3 ottobre / 26

5 Un altro (?) esempio di gruppo (I) Esaminiamo le operazioni di simmetria che mandano il triangolo equilatero in se stesso: B=σ v' C=σ v'' A=σ v Ci sono 6 operazioni di simmetria: A = σ v, B = σ v, C = σ v (piani di riflessione) D = C 3, C3 2 = C 3 1 (rotazioni in senso orario di 2 3 π e 4 3π nel piano) E (identità) 3 ottobre / 26

6 Un altro (?) esempio di gruppo (II) La moltiplicazione in questo caso consisterà nell applicazione successiva di 2 operazioni di simmetria. Proviamo a fare il prodotto AB (gli operatori si applicano da sinistra). Applichiamo quindi B al triangolo; applico poi A al triangolo risultante: B A D Si mostra che valgono le altre proprietà del gruppo e che la tavola di moltiplicazione è la stessa del gruppo di matrici. Si tratta quindi dello stesso gruppo! 3 ottobre / 26

7 Elementi coniugati e classi (I) Sia il gruppo G di elementi G 1, G 2,..., G n e si consideri l elemento generico G i. Definiamo l elemento coniugato G j i = G j G i G 1 j (G j i G) Si può dimostrare che gli elementi coniugati di G i sono anche coniugati tra di loro. Il set di tutti quegli elementi mutuamente coniugati costituisce una classe. Dalla definizione di coniugato si ricava che una classe è completamente definita quando ne sia specificato uno degli elementi. Ogni gruppo finito può essere suddiviso in classi di elementi coniugati. L elemento identità costituisce una classe da solo (G i EG 1 i = E) ed è l unica classe che è anche un sottogruppo (tutte le altre classi mancano dell elemento identità). 3 ottobre / 26

8 Elementi coniugati e classi (II) Torniamo al nostro esempio. Coniughiamo A, e B, D e F : EAE = A EBE = B EDE = D EFE = F AAA 1 = A ABA 1 = C ADA 1 = F AFA 1 = D BAB 1 = C BBB 1 = B BDB 1 = F BFB 1 = D CAC 1 = B CBC 1 = A CDC 1 = F CFC 1 = D DAD 1 = B DBD 1 = C DDD 1 = D DFD 1 = F FAF 1 = C FBF 1 = A FDF 1 = D FFF 1 = F Quindi A, B, C formano una classe, mentre D ed F ne formano un altra. 3 ottobre / 26

9 Elementi coniugati e classi (III) Siano C α e C β due classi di un gruppo G, definite rispettivamente dal set degli elementi G i G a G 1 i e G i G b G 1 i. Si può mostrare che il set dei prodotti degli elementi di due classi di uno stesso gruppo consiste di classi complete, cioè: 1 Se chiamiamo G g un elemento del set C α C β dei prodotti, l intera classe C γ di cui fa parte G g appartiene al set 2 Tutti gli elementi della classe C γ compaiono nel set C α C β lo stesso numero di volte. Nel nostro esempio: C α = {A, B, C} C β = {D, F } C γ = {E} C α C α = AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC = E, D, F, F, E, D, D, F, E = 3C γ + 3C β C α C β = AD, AF, BD, BF, CD, CF = B, C, C, A, A, B = 2C α C β C β = DD, DF, FD, FF = F, E, E, D = 2C γ + C β 3 ottobre / 26

10 Matrici riducibili e irriducibili (I) Due o più rappresentazioni possono essere utilizzate per costruire una nuova rappresentazione, costituita da una matrice a blocchi, ciascuno dei quali corrisponde ad una delle rappresentazioni stesse, e può essere ripetuto più volte. Γ 1 (G i ) 0 0 Γ(G i ) = 0 Γ 2 (G i ) Γ 2 (G i ) Una tale rappresentazione matriciale artificialmente allargata si dice rappresentazione riducibile e la sua struttura viene indicata fornendo le rappresentazioni in cui può venire risolta e il loro peso, con la notazione Γ = k a k Γ (k) dove è chiaro che k non ha per somma di matrici in senso usuale. 3 ottobre / 26

11 Matrici riducibili e irriducibili (II) Il criterio di riducibilità è quindi il seguente: Se tutti gli elementi di un gruppo formato da matrici possono essere ridotti a matrici a blocchi aventi la stessa struttura con una stessa trasformazione di similarità, tali elementi costituiscono una rappresentazione riducibile. Si ha viceversa il criterio di irriducibilità. Se non esiste alcuna trasformazione di similarità capace di dare a tutti gli elementi di una rappresentazione matriciale una stessa struttura a blocchi, la rappresentazione è irriducibile. 3 ottobre / 26

12 Rappresentazioni costituite da matrici unitarie Si può dimostrare che ogni rappresentazione costituita da matrici con determinanti non nulli è equivalente ad una rappresentazione costituita da matrici unitarie. 3 ottobre / 26

13 Rappresentazione totalsimmetrica del gruppo Per ogni gruppo G, un set di scalari tutti eguali ad 1, soddisfa sempre la regola di moltiplicazione del gruppo stesso; possiamo quindi affermare che esiste sempre una rappresentazione monodimensionale di questo tipo; ovviamente esse è irriducibile. Tale rappresentazione monodimensionale unitaria si chiama rappresentazione totalsimmetrica del gruppo. 3 ottobre / 26

14 Il teorema di ortogonalità generale Se si considerano tutte le rappresentazioni irriducibili unitarie e non equivalenti, di un gruppo G, vale la relazione [Γ (i) (G k ) ] µν [Γ (j) (G k )] αβ = h δ ij δ µα δ νβ l i k dove la somma si estende a tutti gli elementi del gruppo (di ordine h) e l i è la dimensionalità della rappresentazione Γ (i). Adottando la solita notazione A i k = Γ(i) (G k ), il teorema assume la forma k (A i k ) µν(a j k ) αβ = h l i δ ij δ µα δ νβ 3 ottobre / 26

15 Caratteri di una rappresentazione (I) Definiamo il carattere della j esima rappresentazione come set degli h numeri χ j (G i ): χ (j) (G i ) = TrΓ j (G i ) = l j µ [Γ j (G i )] µµ 3 ottobre / 26

16 Caratteri di una rappresentazione (II) Potrà essere usata a questo fine l invarianza della traccia di una matrice alle trasformazioni di similarità: se si considera infatti la matrice A e la sua trasformata di similarità A = U 1 AU, si ha infatti TrA = (A ) µµ = (U 1 AU) µµ = Uµ,ρA 1 ρ,σ U ρ,σ = µ µ µ ρ,σ = A ρ,σ U σ,µ Uµ,ρ 1 = (UU 1 ) σ,ρ = ρ,σ µ ρ,σ ρ,σ ( A ρ,σ δ ρ,σ ) = A ρ,ρ = TrA ρ σ ρ 3 ottobre / 26

17 Prima relazione di ortogonalità tra i caratteri (I) a) Dal teorema di ortogonalità si ottiene (A i k ) µν(a j k ) αβ = h δ ij δ µα δ νβ l i k k (A i k ) µµ(a j k ) αα = h l i δ ij δ µα Sommando rispetto a tutte le coppie di indici µ, α µ,α k (A i k ) µµ(a j k ) αα = (A i k ) µµ (A j k µ }{{} ) αα α = }{{} χ i (Gk ) χ j (G k ) = h δ ij δ µα = h δ ij l i = hδ ij l i l i µ,α 3 ottobre / 26

18 Prima relazione di ortogonalità tra i caratteri (II) b) Possiamo quindi scrivere χ (i) (G k ) χ (j) (G k ) = α k χ (i) (G kα ) χ (j) (G }{{} kα ) = }{{} kα χ (i) (C α) χ (j) (C α) = α N α χ (i) (C α ) χ (j) (C α ) = hδ ij I relazione di ortogonalità tra i caratteri; N α è il numero di elementi G kα appartenenti alla classe C α del gruppo G. 3 ottobre / 26

19 Scomposizione delle Rappresentazioni Riducibile (I) Il carattere di una rappresentazione riducibile Γ (r) è la somma dei caratteri delle rappresentazioni irriducibili Γ (j) che la compongono. Infatti, se portiamo la Γ (r) nella sua forma a blocchi, risulta chiaro che la traccia della matrice è semplicemente la somma delle tracce delle sottomatrici diagonali. Possiamo quindi scrivere χ (r) (G i ) = j a j χ (j) (G i ) dove a j è il numero di volte che Γ (j) compare in Γ (r). Poichè si è visto che le χ (j) (G i ) formano un sistema vettoriale ortogonale, il coefficiente a j potrà essere ricavato dal prodotto scalare χ (r) (G i ) con χ (j) (G i ), che fornirà la proiezione di χ (r) (G i ) sull asse χ (j) (G i ). χ (r) (G i )χ (j) (G i ) = k χ (r) (G i )χ (j) (G i ) = i k a k χ (k) (G i )χ (j) (G i ) a k χ (k) (G i )χ (j) (G i ) = ha j i 3 ottobre / 26

20 Scomposizione delle Rappresentazioni Riducibile (II) a j = h 1 i χ (j) (G i ) χ (r) (G i ) = h 1 α N α χ (j) (C α ) χ (r) (C α ) Il numero di volte che le varie R.I. compaiono in una data rappresentazione riducibile è univocamente determinato dal carattere della R riducibile, quando sia nota la tavola dei caratteri propria del gruppo. 3 ottobre / 26

21 II relazione di ortogonalità tra i caratteri i χ (i) (C α )χ (i) (C β ) = h N α δ αβ Questa ultima equazione è la II relazione di ortogonalità tra i caratteri. 3 ottobre / 26

22 Relazione tra ordine del gruppo (h) e l, la dimensionalità delle R.I. inoltre }{{} h = lj 2 1. j }{{} 3. n R = n c il numero delle RI non equivalenti di un gruppo è uguale al numero delle classi del gruppo stesso. 3 ottobre / 26

23 Tavola dei caratteri (I) È possibile caratterizzare il gruppo fornendo i caratteri di tutte le RI non equivalenti del gruppo. Ciò si può fare in modo conveniente costruendo quella che viene definita la tavola dei caratteri. E A B C ottobre / 26

24 Tavola dei caratteri (II) Tabella : La tavola dei caratteri del gruppo puntuale C 2h. Il trans-dicloroetene è un esempio di molecola C 2h. C 2h Ê Ĉ 2 ι σ h A g r z x 2, y 2, z 2, xy B g R x, R y xz, yz A u z B u x, y 3 ottobre / 26

25 Tavola dei caratteri (III) Tabella : La tavola dei caratteri del gruppo puntuale C 2v. L H 2 O è un esempio di molecola C 2v. C 2v (2mm) E C 2 σ v σ v x 2, y 2, z 2 z A xy R z A xz R y,x B yz R x,y B O O H H H H 3 ottobre / 26

26 Tavola dei caratteri (IV) Tabella : La tavola dei caratteri del gruppo puntuale C 3v. L NH 3 è un esempio di molecola C 3v. C 3v (3m) E 2C 3 3σ v x 2 + y 2, z 2 z A R z A (x 2 y 2 } }, xy) (xy) E (xz, yz) (R x, R y ) y H H N H x 3 ottobre / 26