Alcune considerazioni sul principio dell effetto giroscopico. Un applicazione al caso di due solidi mutuamente vincolati (**)

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1 Rendiconti Accademia Nazionale delle Scienze detta dei XL Memorie di Matematica e Applicazioni 118 o (2000), Vol XXIV, fasc 1, pagg GIOVANNI MATARAZZO - LAURA BUONANNO MARIA RENNA (*) Alcune considerazioni sul principio dell effetto giroscopico Un applicazione al caso di due solidi mutuamente vincolati (**) SUNTO Dopo alcune considerazioni di carattere generale, si prova che il principio dell effetto giroscopico è applicabile al problema di due solidi mutuamente vincolati non rigidamente connessi Some remarks on the principle of gyroscopic effect An application to two mutually constrained rigid bodies ABSTRACT After some general remarks we prove that the principle of gyroscopic effect is applicable to the problem of two mutually rigid bodies not rigidly connected Le notevoli difficoltà analitiche del sistema differenziale che caratterizza il moto di un corpo rigido hanno indotto diversi studiosi a indagare sulla possibilità di sostituire a quel sistema di equazioni uno più semplice con il quale ottenere in via di approssimazione la descrizione del moto o, almeno, la sua geometria, ovverossia la successione delle sue posizioni nello spazio Fondamentali sono a tal fine i lavori di A Signorini [2], F Stoppelli [3]-[4]-[5], S Rionero [1] e di altri autori Il risultato si ottiene con il cosidetto «Principio dell effetto giroscopico» Il presente lavoro ha due scopi principali Il primo è quello di stabilire alcune proprietà generali necessarie e sufficienti a cui deve soddisfare la sollecitazione esterna affinché il principio sussista, il secondo è l applicazione al problema del moto del sistema costituito da due solidi mutuamente vincolati Va avvertito che questa seconda parte tocca questioni ben diverse da quelle studiate dallo stesso Stoppelli [5] (*) Indirizzo degli Autori: Dipartimento di Ingegneria dell Informazione e Matematica Applicata, Università di Salerno, via Ponte Don Melillo I Fisciano (Sa) (**) Memoria presentata il 2 ottobre 2000 da Giuseppe Grioli, uno dei XL

2 PREMESSE CONSIDERAZIONI GENERALI SUL PRINCIPIO DELL EFFETTO GIROSCOPICO Sia S un corpo rigido con un punto fisso O, Tf (O, i 1, i 2, i 3 ) la terna principale d inerzia di origine O (si esclude che S abbia in O struttura giroscopica) e W, c, u gli angoli di Eulero (di rotazione propria, di precessione e di nutazione) della T rispetto alla terna fissa (inerziale) T f (O, c 1, c 2, c 3 ) Siano, inoltre, A i i momenti principali d inerzia di S rispetto ad O e p i le componenti della velocità angolare v nel moto rispetto alla T Detta s la matrice d inerzia, risulta s rr 4A r, s rs 40 se rcs e, come è ben noto, detto K 0 il momento delle quantità di moto rispetto ad O e M 0 (e) il momento risultante delle forze esterne rispetto ad O si ha (1) K 0 4sv, dk 0 dt 4M 0 (e) Si può sempre porre (2) M 0 (e) 4OQ3F Si supponga che l asse Oi 3 sia di massimo o minimo momento d inerzia Detto Q 8 la proiezione di Q sull asse Oi 3 e posto (3) / p 3 *4yp A 3 p 3 M 3 W z t40 M 0 *4OQ 83F il principio di approssimazione dell effetto giroscopico consiste nel sostituire all equazione vettoriale (1, 2) quella più semplice (4) A 3 p 3 * di 3 dt 4M 0*4OQQi 3 i 3 3F, con l avvertenza che ciò è valido se e solo se le coordinate di Q rispetto agli assi solidali e le componenti di F rispetto a quelli fissi non dipendono dall angolo di rotazione propria W pur potendo dipendere da c, u e dall atto di moto p 1, p 2, p 3, t [1] Inoltre, va tenuto presente che in generale la (4) approssima (nel senso precisato nella teoria del principio dell effetto giroscopico) soltanto l aspetto geometrico del movimento Si ponga (5) OQ4x l i l, F4b i c i La condizione di validità del principio consiste pertanto nella circostanza che il momento sollecitante M 0 (e) sia esprimibile nella forma (6) M 0 (e) 4x l i l 3F4x l i l 3b i c i, con le x l, b i indipendenti da W

3 239 Denotando con R4R(W, c, u) la rotazione che muta la T nella T risulterà (7) e, di conseguenza, (8) i l 4R sl c s, M r 4M (e) 0 Qi r 4e rsm x s b i R im, / M r *4e r3m x 3 b i R im, pur di indicare con e rsm il tensore di Ricci dello spazio euclideo tridimensionale È conveniente distinguere due casi: a) M (e) 3 40 (9) In tal caso F è incidente all asse Oi 3 e si può assumere x 1 4x 2 40 Ne segue M 1 (e) 4M 1 *42x 3 b i R i2, M 2 (e) 4M 2 *4x 3 b i R i1, M 3 (e) 4M 3 *40 b) M 3 (e) c0 In tal caso F non è incidente all asse Oi 3 e x 1 2 1x 2 2 c0 Sussistono di conseguenza le (8,1) in tutta generalità, mentre è (10) M 1 *42x 3 b i R i2, M 2 *4x 3 b i R i1, M 3 *40 Si riconosce, pertanto che nei due casi a), b) l equazione (4) dà luogo formalmente alle medesime due equazioni scalari (11) A 3 p 3 * p 2 42x 3 b i R i2, A 3 p 3 * p 1 42x 3 b i R i1 a parte la differenza, nei due casi, dell espressione p 3 * (che nel caso M (e) 3 40 coincide con p 3 (0)) Vale la pena di osservare che dall uguaglianza M 3 (12) W 42b i(r i1 x 1 1R i2 x 2 ) 4FQ (x 3 i 3 2OQ) si riconosce, che, pur di assumere la terna fissa coincidente con la posizione iniziale di quella solidale, si ha, più semplicemente, u M 3 (13) 42(b 1 x 1 1b 2 x 2 ) t40 W v0 con evidenti semplificazioni algoritmiche 2 - APPLICAZIONE AL CASO DI DUE SOLIDI MUTUAMENTE VINCOLATI Sia S 8 un giroscopio di massa m 8 soggetto al vincolo di avere l asse giroscopico fisso sull asse Oi 3 del solido S precedentemente considerato Sia O, i8 1, i8 2, i8 3 una terna

4 240 T 8 principale di S 8 relativa al punto O È evidentemente i8 3 4i 3 e, detti A i 8 i momenti centrali d inerzia di S 8, si ha A 1 84A 2 8 Detto a(t) il parametro che caratterizza la rotazione di S 8 sull asse Oi 3 e v8 la sua velocità angolare assoluta (cioé nel moto di S 8 rispetto alla terna fissa T già introdotta), risulta (14) v84v91ȧi 3 ove si indichi con v9f (p 1 9, p 2 9, p 3 9), la velocità assoluta di S, anziché con v come prima si è fatto Sia, inoltre, v8qi8 l 4p l 8 Sia G 8 il baricentro di S 8, v G 8 la sua velocità assoluta e l la sua distanza da O Denotando con A i 9 i momenti principali d inerzia di S anziché con A i, come prima si è fatto, i momenti della quantità di moto K 0 9, K 0 8, di S e S 8 sono rispettivamente, K 0 94A l 9 p l 9 i l, K 0 84A l 8 p l 8 i l 81m8OG 83v G 8 4A 1 8(v82p 3 8 i 3 )1A 3 8 p 3 8 i 3 1m 8 l / 2 i 3 3 (v93i 3 ) 4 4A 1 8 v91[a 3 8(p 3 91ȧ)2A 1 8 p 3 9] i 3 1m 8 l 2 [v92p 3 9 i 3 ] Per il seguito si denoteranno con M9 0, M8 0 i momenti risultanti rispetto ad O delle forze attive rispettivamente agenti su S e S 8 e con M9 0 (v), M8 0 (v) quelli delle reazioni vincolari, osservando che, ritenendo i vincoli privi di attrito, risulta (15) M 8 3 (v) 4M8 0 (v) Qi8 3 40, M9 0 (v) 42M8 0 (v) In base a quanto detto e tenuto conto di (15) le equazioni dinamiche che regolano il moto assoluto di S e S 8 sono rispettivamente (16) dk 0 9 dt 4!l A l 9(ṗ l 9 i l 1v93i l p l 9) 4M9 0 2M8 0 (v) (17) dk 0 8 dt 4A 1 8v 91[A 3 8(ṗ 3 91ȧ )2A 1 8ṗ 3 9] i 3 1 [A 3 8(p 3 91ȧ)2A 1 8 p 3 9] v93i 3 1 1m 8 l 2 [ (ṗ 1 92p 2 9 p 3 9) i 1 1 (ṗ 2 91p 1 9 p 3 9) i 2 ] 4M8 0 1M8 0 (v) Dalle (16), (17), per proiezione sugli assi della T ed eliminazione di M8 0 (v), si deducono le equazioni: (18) ` / ` (A 1 91A 1 8) ṗ 1 91[A 3 92A 2 91A 3 82A 1 82m 8 l 2 ] p 2 9 p A 3 8ȧp 2 91m 8 l 2 ṗ 1 94M 8 1 1M 9 1 4M 1 (A 2 91A 1 8) ṗ 2 91[A 1 92A 3 91A 1 82A 3 81m 8 l 2 ] p 1 9 p A 3 8ȧp 1 91m 8 l 2 ṗ 2 94M 8 2 1M 9 2 4M 2

5 241 (19) A 3 9ṗ 3 91(A 2 92A 1 9) p 1 9 p 2 94M 9 3 mentre, proiettando la (17) sull asse Oi 3, si trova (20) A 3 8(ṗ 3 91ȧ ) 4M 8 3 Se si pone (21) B4M 8 3 dt4a 3 8(p 3 91ȧ), e (22) A 1 4A 1 91A 1 81m 8 l 2, A 2 4A 2 91A 1 81m 8 l 2, A 3 4A 3 91A 3 8 le equazioni (18), (19) assumono l aspetto (23) / A 1 ṗ 1 91(A 3 92A 2 ) p 2 9 p 3 94M 1 2Bp 2 9 A 2 ṗ 2 91(A 1 2A 3 9) p 1 9 p 3 94M 2 1Bp 1 9 A 3 9ṗ 3 91(A 2 2A 1 ) p 1 9 p 2 94M 9 3 l e q u a l i e s p r i m o n o l a d i n a m i c a d i u n c o r p o r i g i d o c o n u n p u n t o f i s s o O i cu i m o - m e n t i p r i n c i p a l i d i n e r z i a s o n o A 1, A 2, A 3 9 Ad es s o è ap p l i c a b i l e q u a n t o d e t t o n e l - l a s e z i o n e 1 Alle (23) va associata l equazione (20) Nel caso che a(t) sia assegnata essa serve per determinare M 3 8 in base a (20) Se, invece, è noto M 3 8 ma non la a(t), la (20) fa sistema con le (23) ma il problema riesce piuttosto complesso Per quanto detto nella sezione precedente, si conclude che condizione necessaria e sufficiente per l applicazione del principio dell effetto giroscopico al solido S [cioé al sistema (23)] è che esistano tre funzioni b i indipendenti dall angolo di rotazione propria W soddisfacenti alle equazioni (24) / b i (x 2 R i3 2x 3 R i2 ) 4M 1 2Bp 2 9 b i (x 3 R i1 2x 1 R i3 ) 4M 2 1Bp 1 9 b i (x 1 R i2 2x 2 R i1 ) 4M 3 9, tenendo presente che neppure le tre quantità x i possono dipendere da W Naturalmente, nel caso che a(t) sia assegnata nelle (24), in accordo con la (21), va posto (25) B4A 3 8(p 3 91ȧ)

6 242 REFERENCES [1] S RIONERO, Sul principio dell effetto giroscopico nel caso di forze dipendenti dall atto di moto, Ricerche Mat (1959), [2] F SIGNORINI, Complementi alla dinamica dei giroscopi e equazioni del problema completo della balistica esterna, Atti dell Accademia Nazionale dei Lincei, serie VIII, vol 1, Memorie [3] F STOPPELLI, Sul principio dell effetto giroscopico, Giorn Mat Battaglini (4), 4 (1951), [4] F STOPPELLI, Sui fenomeni giroscopici in un solido qualsiasi, Rend Sem Mat Univ Padova, 21 (1952), [5] F STOPPELLI, Un osservazione sull applicabilità del principio dell effetto giroscopico ai sistemi di solidi mutuamente vincolati, Ricerche di Matematica, vol I (1952), Direttore responsabile: Prof A BALLIO - Autorizz Trib di Roma n 7269 dell «Monograf» - Via Collamarini, 5 - Bologna