Un introduzione alla meccanica quantistica per le secondarie

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1 1 / 51 Un introduzione alla meccanica quantistica per le secondarie Camillo Imbimbo Genova, Gen-Feb, 2016 Progetto Lauree Scientifiche Dipartimento di Fisica dell Università di Genova imbimbo/pls2016/

2 Il programma delle lezioni 2 / 51 Lezione 1: La crisi della fisica classica La stabilità dell atomo L effetto fotoelettrico L effetto Compton Gli spettri atomici Lezione 2: Il dualismo onda-particella L atomo di Bohr La lunghezza d onda di De Broglie La diffrazione delle particelle La regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld Lezione 3: La Meccanica Statistica La distribuzione di Boltzmann Il teorema di equipartizione e i calori specifici La meccanica statistica quantistica Il corpo nero e la catastrofe ultravioletta La distribuzione di Planck

3 Il programma delle lezioni 3 / 51 Lezione 4: Il principio di interderminazione La funzione d onda L equazione di Schrödinger

4 Seconda lezione 4 / 51

5 Le orbite di Bohr 5 / 51 N. Bohr ( ) capì che l ipotesi dei fotoni di Einstein avrebbe spiegato il carattere discreto degli spettri di assorbimento ed emissione dell idrogeno se si fosse ulteriormente postulato che non tutte le orbite degli elettroni sono permesse, ma solo quelle con energie discrete date dalla formula E n = h c R H n 2 n = 1, 2, 3,...

6 Transizioni tra orbite elettroniche 6 / 51 Bohr propose (1913) quindi che il processo di assorbimento od emissione di radiazione elettromagnetica da parte di un elettrone dell atomo di idrogeno corrispondesse alla transizione dell elettrone da un orbita di energia E m ad un altra di energia E n. La conservazione dell energia richiede che l energia elettromagnetica emessa (o assorbita) dall elettrone nella transizione sia E m E n. La relazione di Einstein implica che la frequenza della radiazione emessa (o assorbita) sia ν n,m = E m E n h riproducendo la regola di Rydberg. = c R H ( 1 n 2 1 m 2 )

7 I raggi delle orbite permesse 7 / 51 L ipotesi che le energie permesse degli elettroni fossero discrete spiegava anche la stabilità delle dimensioni dell atomo di idrogeno. La relazione classica E = e2 2 r tra energia e raggio di un orbita circolare determina i raggi discreti delle orbite permesse: r n = 4 π ɛ 0 1 e 2 8 π ɛ 0 h c R H n 2 n = 1, 2, 3,...

8 Il raggio di Bohr 8 / 51 Esiste dunque un orbita di energia più bassa, quella con n = 1 il cui raggio è il più piccolo possibile e 2 r 1 = 1 = 2 4 π ɛ 0 h c R H = π m = = m Questo numero è dell ordine di grandezza corretto per poter accordarsi con i risultati sulle dimensioni dell atomo di idrogeno che si inferiscono dagli esperimenti di diffusione, di chimica etc.

9 Perché quelle orbite? 9 / 51 L ipotesi di Bohr sembrava dunque andare nella giusta direzione. Ma cosa c era di così speciale nelle orbite con energie E n = h c R H n 2? Perché queste erano permesse e non altre? Capire questo era essenziale per poter fare ulteriori progressi: la formula spettroscopica di Rydberg era infatti valida solo per l idrogeno, per atomi diversi si trovavano formule diverse e molto più complicate.

10 Il momento angolare delle orbite permesse La scoperta della regola generale che individuava fra tutte le orbite classiche quelle permesse richiedeva un salto d immaginazione. Un modo di motivare 1 tale salto d immaginazione è quello di calcolare il momento angolare L per le orbite permesse. 1 Questo non è il modo seguito originalmente da Bohr, che si fece guidare da altre considerazioni che discuteremo più avanti. 10 / 51

11 Il momento angolare fondamentale 11 / 51 Dalla relazione L = r m e v = L n = e 2 m e r 4 π ɛ 0, e 2 m e r n = 4 π ɛ 0 = n e2 4 π ɛ 0 me 2 h c R H Il momento angolare delle orbite permesse dell idrogeno è dunque un multiplo intero di un momento angolare fondamentale pari a e2 me 4 π ɛ 0 2 h c R H.

12 Il momento angolare fondamentale 12 / 51 La costante fisica h introdotta da Einstein (e prima ancora, da Planck) aveva pure le dimensioni di un momento angolare. Questo suggerisce di postulare che questi due momenti angolari siano uguali (a meno di un fattore 2 π) : e 2 me = h 4 π ɛ 0 2 h c R H 2 π

13 Una predizione teorica accurata 13 / 51 Questa relazione permette di esprimere la costante di Rydberg in termini di costanti fisiche fondamentali: R H = e 4 (4 π ɛ 0 ) 2 m e 3 c 1 4 π Inserendo i valori numerici di e, m e, c, otteniamo R teorico H = m 1 in eccellente accordo col valore sperimentale osservato R sperim H = m 1!

14 La massa del nucleo 14 / 51 L accordo del modello di Bohr con i dati spettroscopici è in realtà ancora migliore di quanto risulta dall analisi precedente. Nel derivare R H siamo partiti dalle espressioni per L ed E per il moto circolare di una particella di massa m e intorno ad un centro fisso: abbiamo trascurato il fatto che il nucleo ha in realtà una massa M grande rispetto a m e ma non infinita.

15 La massa ridotta È possibile tenere conto della massa finita del nucleo rimpiazzando la massa dell elettrone nelle espressioni per L ed E con la massa ridotta del sistema nucleo+elettrone 2 : µ = m e M m e + M = m 1 e 1 + me M La formula corretta per la costante di Rydberg dell idrogeno pertanto non è la precedente ma piuttosto R H = e 4 (4 π ɛ 0 ) 2 µ 3 c 1 4 π 2 Questo fatto è realisticamente dimostrabile in un corso di meccanica classica di livello liceale. 15 / 51

16 Una predizione teorica spettacolare 16 / 51 Ricordando che mp m e = otteniamo per la massa ridotta elettrone+protone il valore µ = m e me m p m e (1 m e 1 ) = m e (1 m p ) La costante di Rydberg per l idrogeno predetta da Bohr è quindi un po più piccola di quella di un nucleo infinitamente pesante R teo H = m 1 in accordo spettacolare col valore sperimentale osservato R sperim H = m 1!

17 La quantizzazione del momento angolare 17 / 51 Le orbite permesse sono dunque caratterizzate da una condizione molto semplice L n = n n = 1, 2, 3... Questa regola di quantizzazione del momento angolare permette di esprimere lo spettro ed il raggio di un atomo di idrogeno in termini di costanti fondamentali r 1 a Bohr = 4 π ɛ 0 2 m e e 2 E n = e 4 m e n 2 (4 π ɛ 0 ) 2 2 n = 1, 2,...

18 Il principio di corrispondenza 18 / 51 Consideriamo i livelli di Bohr per n grandi. Per n grandi la distanza tra due livelli contigui E n+1 e E n è molto piccola: E n E n = E n+1 E n E n = 2 n + 1 (n + 1) 2 2 n per n 1 Per n grandi quindi lo spettro dei livelli dell atomo diventa in pratica continuo. Il principio di corrispondenza afferma che in questo limite il risultato quantistico deve ridursi a quello classico.

19 Il limite classico 19 / 51 La variazione del raggio dell orbita, nella transizione E n+1 E n è r n r n = r n+1 r n r n 2 n 1 per n 1 La variazione del raggio dell orbita è pertanto per n grandi una frazione molto piccola del raggio stesso. Questo significa che per n grandi l emissione corrispondente alla transizione E n+1 E n corrisponde ad una variazione del raggio del orbita praticamente continua, come ci si aspetta nella descrizione classica di questo processo fisico.

20 Spettro delle transizioni con n grandi 20 / 51 e Ripartiamo da r n = 2 8 π ɛ 0 h c R H n 2, da cui deduciamo n = rn e 2 8 π ɛ 0 h c R H La frequenza della radiazione emessa corrispondente alla transizione E n+1 E n diventa per n 1 ν n+1,n 2 h n E n per n 1 Questa frequenza in funzione del raggio è quindi ν n+1,n 2 rn e 2 8 π ɛ 0 h c R H e 2 8 π ɛ 0 h r n = 2 c R H ( 8 π ɛ0 h c R H ) 3 e r 3 2 n

21 Lo spettro classico Classicamente, una carica che ruota su una orbita circolare con frequenza orbitale ν emette radiazione elettromagnetica con frequenza (che è un multiplo intero di) ν 3 Per un elettrone su una orbita circolare di raggio r ν classica = v 2 π r = ( e 2 ) π ɛ 0 m e 1 2 π 1 r 3 2 Quindi, in accordo col principio di corrispondenza, la frequenza classica ν ha la stessa dipendenza da r è proporzionale a r 3 2 di quella quantistica nel limite n 1. 3 Sulla dimostrabilità di questo fatto nel contesto liceale si rimanda alla discussione precedente. 21 / 51

22 22 / 51 La (probabile) derivazione originale di R H Se richiediamo che il risultato classico coincida esattamente con quello quantistico nel limite di n grandi, dobbiamo equagliare i coefficienti che moltiplicano r 3 2 nelle espressioni classiche e quantistiche, ottenendo da cui 2 c R H ( 8 π ɛ0 h c R H ) 3 e 2 2 h c R H = 1 2 = ( e 2 4 π ɛ 0 m e ) 1 2 m e ( e 2 ) π ɛ π ovvero l espressione per la costante di Rydberg che abbiamo ottenuto imponendo la quantizzazione del momento angolare.

23 La regola di quantizzazione definitiva? 23 / 51 Si trattava di capire, a questo punto, da dove discendesse la misteriosa regola di quantizzazione del momento angolare: se questa potesse a sua volta essere derivata da principi fisici più fondamentali.

24 Problemi per l autovalutazione 24 / Problema: Si applichi la condizione di quantizzazione del momento angolare ad un satellite di massa m = 100 kg orbitante circolarmente intorno alla Terra. Si supponga che il satellite si trovi su un orbita circolare di raggio vicino a quello della Terra R t = 6400 km, con un dato numero intero n. Di quanto varia il raggio dell orbita se il satellite si sposta su una orbita successiva con n = n + 1?

25 Soluzione Problema / 51 La relazione tra velocità e raggio dell orbita: v 2 = G M r ; Regola di quantizzazione momento angolare: m r v = m G M r = n r n = n2 2 G M m 2 n è un numero enorme per r n R t, n 2 G M R t m 2 2 = g m2 R 3 t = n dove g = G M R 2 = 9.8 m sec 2 è l accelerazione di gravità.

26 26 / 51 Se n cambia da n n + n = n + 1, la variazione del raggio è r n = r n+1 r n r n 2 n n 2 G M m 2 = 2 n r n n = 2 r n n m m In altre parole, per un oggetto macroscopico come un satellite, la condizione di quantizzazione di Bohr dà risultati indistinguibili da quelli della fisica classica: i raggi di orbite permesse successive differiscono tra loro per una quantità minuscola e quindi, in pratica, in questi contesti, il raggio può essere considerato come una variabile continua.

27 Problemi per l autovalutazione 27 / Problema. Gli idrogenoidi sono atomi o ioni che hanno un solo elettrone. Si derivino i valori numerici delle constanti di Rydberg predette dal modello di Bohr per gli idrogenoidi seguenti: il deuterio D (un atomo il cui nucleo è composto da un protone ed un neutrone), l elio ionizzato una volta He + e il litio ionizzato due volte Li ++.

28 Soluzione Problema / 51 V (r) = Z e2 1 4 π ɛ 0 r 1 Z 2 e 4 µ n 2 (4 π ɛ 0 ) 2 2 E n = 1 2 per gli idrogenoidi. 1 R(M) = R 1+ m e M gli idrogenoidi. R = ( e 2 4 π ɛ 0 ) π : potenziale per idrogenoidi. Z 2 R(M) h c n 2 R ( 1 m e M n = 1, 2,...: livelli ) : costanti di Rydberg per m e : costante di Rydberg per ioni pesanti. 3 c R D = R(2 m p ) R ( 1 m e 2 m p ) = m 1 R He + = R(4 m p ) R ( 1 m e 4 m p ) = m 1 R Li ++ = R(7 m p ) R ( 1 m e 7 m p ) = m 1

29 Onde corpuscolari e corpuscoli ondulatori 29 / 51 La formula di Einstein E = h ν spiega l effetto fotoelettrico, l effetto Compton ed è alla base del modello atomico di Bohr. Questa formula, che esprime l aspetto corpuscolare delle onde elettromagnetiche, coinvolge la stessa costante di Planck che appare nella regola di quantizzazione di Bohr L = n, che si applica invece alle particelle. Questo suggerì a L. De Broglie che le particelle potessero a loro volta esibire una natura ondulatoria.

30 Applicare la relazione di Einstein alle particelle? 30 / 51 La relazione di Einstein esprime la lunghezza d onda in termini dell energia dei fotoni λ = h c E Questa relazione, valida per i fotoni, coinvolge c e quindi non si presta ad essere direttamente applicata a particelle con massa non nulla che, come gli elettroni negli atomi, possono essere non-relativistiche.

31 La relazione di De Broglie 31 / 51 Possiamo però riscrivere la stessa relazione in termini del momento del fotone p = E c, ottenendo la relazione λ = h p in cui c è sparito! Questa formula, proposta da L. De Broglie nel 1923 è quindi sensata anche per particelle di massa non nulla, per esempio elettroni. Essa è in effetti valida per ogni particella: fotoni, elettroni, protoni,...

32 La lunghezza d onda degli elettroni 32 / 51 In particolare per un elettrone non-relativistico di energia E la lunghezza d onda di De Broglie è λ = h = Å 2 m E E[eV ] La lunghezza d onda di De Broglie associata ad un elettrone di energia E = 100 ev è dunque di circa 1.2 Å: ovvero una lunghezza dello stesso ordine di grandezza di quella dei raggi X. Secondo De Broglie, quindi, la natura ondulatoria degli elettroni con E = 100 ev dovrebbe manifestarsi in contesti sperimentali simili a quelli che danno luogo alla diffrazione dei raggi X.

33 La diffrazione dei raggi X 33 / 51 La diffrazione dei raggi X di lunghezza d onda λ può essere studiata usando reticoli atomici con passo reticolare d dello stesso ordine di grandezza di λ. Figura 1: Diffrazione di Bragg

34 La legge di Bragg 34 / 51 Diffondendo dei raggi X di lunghezza d onda λ su un reticolo cristallino di passo si osservano picchi di diffrazione in corrispondenza di angoli di diffusione determinati dalla legge di Bragg 2 d sin θ = n λ Questi angoli corrispondono a raggi riflessi il cui percorso ottico è un multiplo intero di λ, che quindi interferiscono costruttivamente.

35 L esperimento di Davisson e Germer 35 / 51 Davisson e Germer (1927) eseguirono degli esperimenti di diffrazione su reticoli atomici di cristalli di nichel, usando al posto dei raggi X, elettroni monocromatici, cioè con energia fissata. Per energie degli elettroni tra i 50 ed i 100eV, Davisson e Germer osservarono pattern di diffrazione assolutamente analoghi a quelli dei raggi X. I picchi di diffrazione erano visibili in corrispondenza di angoli di diffusione determinati dalla legge di Bragg con sin θ n = n λ 2 d = n h 2 d 2 m E n = 1, 2,... come predetto dalla relazione di De Broglie.

36 Concetti coinvolti 36 / 51 Interferenza costruttiva e interferenza distruttiva. Diffrazione.

37 Problemi per l autovalutazione 37 / 51 Problema 1. In uno degli esperimenti di Davisson-Germer, gli elettroni erano accelerati da una differenza di potenziale V = 54Volt. Il reticolo di nichel aveva un passo d = 0.92Å. A che angolo θ 1 fu osservato il primo picco di diffusione? Problema 2. Nella stessa serie di esperimenti, Davisson e Germer mantennero fisso θ 1 e aumentarono il potenziale accelerante V : quale sarebbe dovuto essere il successivo valore di V per il quale avrebbero dovuto osservare un nuovo picco di diffrazione?

38 La regola di Bohr rivisitata da De Broglie 38 / 51 La condizione di quantizzazione L = n per l atomo di idrogeno può essere riformulata in termini della lunghezza d onda di De Broglie: Le orbite degli elettroni atomici permesse sono quelle la cui lunghezza dell orbita è pari ad un numero intero di lunghezze d onda di De Broglie Lunghezza dell orbita = n λ n = 1, 2, Verifichiamo che questa regola riproduce effettivamente L = n: 2 π r = n λ = n h p L = r p = n h 2 π = n

39 Particella in una scatola 39 / 51 Il vantaggio della nuova formulazione della regola di quantizzazione è che essa è applicabile a situazioni diverse da quella dell atomo di idrogeno. Si consideri per esempio il caso di una particella di massa m che si muove in una scatola unidimensionale di lunghezza L, con pareti perfettamente riflettenti. Figura 2: Buca uni-dimensionale

40 La quantizzazione degli impulsi in una scatola 40 / 51 La particella si muove all interno della scatola con impulso ±p che cambia di segno ogni volta che la particella urta le pareti della scatola. La lunghezza dell orbita è quindi uguale a 2 L La condizione di quantizzazione nella formulazione di De Broglie implica che h p n = 2 L p n = n h 2 L Pertanto gli impulsi della particella in una scatola sono quantizzati.

41 La quantizzazione delle energie nella scatola 41 / 51 Di conseguenza anche le energie di questo sistema sono quantizzate E n = p2 2 m = h2 n 2 8 m L 2 n = 1, 2,... La conclusione è che l esistenza di livelli energetici discreti non è una prerogativa dell atomo di idrogeno. Anche l energia di una particella in una scatola non assume tutti i valori reali positivi ma solo valori discreti. Si noti che in questo caso la dipendenza da n dei livelli energetici è n 2 e non n 2 come era nel caso dell idrogeno.

42 La necessità di una generalizzazione Benché la nuova formulazione della regola di quantizzazione permette di considerare un sistema fisico diverso dall atomo di idrogeno, è evidente che, in questa forma, la regola si applica ad un numero molto limitato di casi. Poiché λ = h la regola si applica nella forma data solo alle p orbite per le quali il modulo dell impulso è costante. 42 / 51

43 Una particella uni-dimensionale in un potenziale 43 / 51 È naturale chiedersi se e come la regola di quantizzazione si estenda a situazioni in cui il modulo dell impulso vari. Per esempio come si applichi al caso di una particella che si muove in un potenziale unidimensionale E = p2 2 m + V (x) Da questa relazione ricaviamo che, per una energia E fissata, l impulso p(x) è una funzione del punto x in cui si trova la particella p(x) = ± 2 m (E V (x))

44 Una riscrittura apparentemente banale Riscriviamo la regola di De Broglie nel caso in cui p è costante: p Lunghezza dell orbita = n h Dividiamo l orbita in piccoli tratti di lunghezza x, ognuno centrato in un punto x i lungo l orbita, con i = 1, N e N molto grande: Lunghezza dell orbita = i x Quindi la regola di De Broglie si riscrive: p x = n h i 44 / 51

45 La generalizzazione 45 / 51 Questa riscrittura suggerisce però in modo naturale la seguente generalizzazione al caso di p(x) dipendente da x p(x i ) x = n h i Nel limite in cui le lunghezze x sono sempre più piccole la somma diventa un integrale: dx p(x) = n h orbita

46 L integrale lungo l orbita 46 / 51 Dobbiamo precisare come vada inteso l integrale orbita lungo l orbita nella formula precedente. Per capirlo, riconsideriamo di nuovo il caso della particella nella scatola a pareti riflettenti. In questo caso p non è costante ma assume solo due valori: ± p.

47 L integrale lungo l orbita per la particella nella scatola 47 / 51 Possiamo dividere l orbita in due tratti di lunghezza L: il tratto in cui p è positivo e la particella si muove (per esempio) dalla parete di sinistra a quella di destra e quello in cui p è negativo e la particella si muove in senso opposto. La somma nell integrale si riduce quindi a due soli termini p L + ( p )( L) = n h Si osservi il punto importante: per ottenere il risultato corretto quando p è positivo dobbiamo prendere x = L positivo, ma quando p è negativo dobbiamo prendere x = L negativo. In altre parole dobbiamo intendere il prodotto p(x i ) x sempre positivo.

48 La regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld Il modo più elegante di esprimere questa prescrizione è quello di introdurre il vettore d x, definito come il vettore di modulo pari a x e orientato lungo la tangente all orbita. In termini di d x la regola di quantizzazione si scrive orbita p(x) d x = n h n = 1, 2,... Questa formula è nota come regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld 4. 4 Originalmente Bohr aveva ottenuto la sua regola di quantizzazione per sistemi unidimensionali. Sommerfeld estese la regola a sistemi più generali con molti gradi di libertà. 48 / 51

49 L oscillatore armonico 49 / 51 Per esemplificare la regola di Bohr-Sommerfeld la applicheremo al caso di un oscillatore armonico unidimensionale: E = p2 2 m m ω2 x 2 Figura 3: Il potenziale dell oscillatore armonico.

50 L oscillatore armonico classico Classicamente, tutte le energie E > 0 sono permesse. La particella percorre orbite chiuse, la cui ampiezza dipende dall energia E. L orbita di energia E giace sul segmento [ x 0, x 0 ] dove 2 E x 0 = m ω 2 50 / 51

51 L oscillatore armonico quantistico 51 / 51 Le orbite permesse dalla regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld sono quelle per cui 2 m (E 1 2 m ω2 x 2 ) dx = n h orbita Lungo l orbita la particella percorre il tratto da x 0 a x 0 con p positivo ed il tratto da x 0 a x 0 con p negativo. Pertanto n h = dx 2 m E m 2 ω 2 x 2 = = 2 orbita x0 dx x 0 x0 = 2 m ω 2 m E m 2 ω 2 x 2 = x 0 dx x 2 0 x 2

52 I livelli dell oscillatore armonico 52 / 51 L integrale che appare nel membro di destra è l area di un semicerchio di raggio x 0, pari a π 2 x 2 0. Pertanto n h = m ω π x 2 0 = m ω π 2 E m ω 2 In definitiva otteniamo per i livelli energetici permessi di un oscillatore armonico la formula E n = n ω n = 1, 2,... Si noti che la dipendenza da in questo caso è lineare ed i livelli sono equispaziati.

53 La vecchia teoria dei quanti 53 / 51 Quella che abbiamo descritto finora costitutisce, grosso modo, quella che oggi è nota come la vecchia teoria dei quanti. Questa teoria è in realtà una serie di regole ad hoc, che, come abbiamo discusso, hanno avuto un notevole successo predittivo ma che non costitutiscono una teoria logicamente coerente e completa. La sintesi di questa teoria è rappresentata dalla regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld.

54 Un emendamento alla meccanica classica La vecchia teoria dei quanti non abbandona i concetti classici di traiettoria, posizione e momento, equazioni del moto. La regola di BS è pensata come un emendamento aggiuntivo alla meccanica classica: è un principio che seleziona tra tutte le orbite classiche chiuse 5 un sottoinsieme discreto di orbite quantisticamente permesse. La conseguenza più rilevante di questa regola è lo spettro discreto per i valori dell energia, di cui abbiamo dato diversi esempi: i livelli dell atomo di Bohr, i livelli di una particella in una scatola, i livelli dell oscillatore armonico. 5 Si noti che nella teoria di Bohr-Sommerfeld le orbite aperte (infinite) non sono affette da nessuna condizione di quantizzazione. 54 / 51

55 Un dualismo non risolto / 51 Molte domande sono lasciate senza risposta nella vecchia teoria dei quanti. Per esempio, all origine della teoria c è l aspetto corpuscolare della luce catturato dalla relazione di Einstein: ma come si concilia questo con gli aspetti ondulatori della luce che pure sono ben confermati dall esperienza? L altra idea centrale della teoria di BS è quella di un onda associata agli elettroni e alle altre particelle atomiche. Ma cos è esattamente quest onda e come è essa compatibile col fatto, sperimentalmente verificato, che gli elettroni portano energia e momento in forma discreta, ovvero si comportanto come corpuscoli?

56 ...ed alcuni dettagli poco chiari 56 / 51 Nella condizione di quantizzazione di Bohr per le orbite degli idrogenoidi era evidente che il numero intero n dovesse partire da 1. Il valore n = 0 darebbe un valore infinito. D altra parte il valore n = 0 darebbe un risultato accettabile se sostituito nelle formule per i livelli di una particella nella scatola o per quelli di un oscillatore armonico: in ambedue i casi n = 0 corrisponde all orbita classica in cui la particella è ferma con energia nulla. Le orbite con n = 0 sono permesse o no, in questi casi? Esiste un livello di energia nulla per la particella nella scatola o per l oscillatore armonico? La teoria di Bohr-Sommerfeld è vaga su questo punto.

57 La regola di BS è una approssimazione 57 / 51 La risposta a queste domande, come pure la risoluzione del dualismo onda-corpuscolo, verrà dalla teoria quantistica completa. La risposta della teoria quantistica completa sarà, grosso modo, che non esistono, per i due esempi fatti, orbite con energia nulla. Ma all interno della teoria completa il concetto stesso di orbita non sarà più veramente applicabile! La formula di Bohr-Sommerfeld emergerà, nella teoria vera, come una approssimazione valida, di norma, solo quando n è molto grande.

58 I livelli dell oscillatore armonico corretti 58 / 51 Risulterà in particolare che la formula per il livelli dell oscillatore armonico non è esatta! Quella corretta è E n = n ω + 1 ω n = 0, 1, 2,... 2 Questa formula mostra da un lato che non esistono orbite dell oscillatore armonico con energia nulla; dall altro mostra che per n 1 i livelli esatti diventano molto vicini a quelli ottenuti dalla regola di Bohr-Sommerfeld.

59 Una benigna coincidenza? Benché la formula di Bohr-Sommerfeld sia dunque, nella teoria completa, in generale, solo una formula approssimata, i livelli degli idrogenoidi 6 ottenuti dalla regola di BS coincidono esattamente con quelli calcolati con la teoria completa. Considerata l importanza che lo stupefacente accordo tra la formula di Bohr per gli idrogenoidi e le osservazioni sperimentali ha avuto storicamente per l affermarsi della teoria quantistica, si è tentati di dire che esattezza della formula di Bohr-Sommerfeld in questo caso particolare sia stata una benigna ed un po fortunosa casualità. 6 Anche i livelli della particella in una scatola derivati dalla regola di BS sono quelli corretti purché si prenda n / 51

60 Concetti coinvolti 60 / 51 Il moto di una particella uni-dimensionale in un potenziale. Conservazione dell energia. L oscillatore armonico classico.

61 Problemi per l autovalutazione 61 / 51 Problema 1. Si calcolino i livelli energetici di una particella di massa m in un potenziale uni-dimensionale V (x) = σ x Problema 2. Si calcolino i livelli energetici di una particella di massa m che si muove lungo orbite circolari in un potenziale centrale V (r) = σ r.

62 Fine della seconda lezione 62 / 51