I numeri e la loro rappresentazione, le frazioni

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1 I numeri e la loro rappresentazione, le frazioni Saeli Donato 26 marzo 2015

2 Al mondo ci sono tre tipi di persone: quelle che sanno contare e quelle che non sanno contare. Ian Stewart

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4 Nell osso sono state intagliate 55 tacche, a gruppi di 5. Le prime 25 tacche sono separate dalle altre da una tacca di lunghezza doppia.

5 Nell osso sono state intagliate 55 tacche, a gruppi di 5. Le prime 25 tacche sono separate dalle altre da una tacca di lunghezza doppia. Anche se non sappiamo in che modo siano state prodotte queste tacche, la spiegazione più plausibile è che un uomo preistorico l abbia fatto deliberatamente. Forse stava registrando il numero di un insieme, probabilmente di pelli, o di familiari, o di giorni trascorsi da un determinato evento. È ragionevole supporre che egli facesse una tacca per ogni oggetto appartenente all insieme che stava considerando.

6 Le donne porgevano un pezzo di legno, lungo una ventina di centimetri, segnato da tratti di lima. Ogni pezzo era diverso, alcuni ricavati da rami, altri quadrati e piallati. Il fornaio ne aveva il duplicato infilati in una cinghia di cuoio. Egli cercava il nome segnato in cima ai suoi legni, lo confrontava con quello del cliente; le tacche corrispondevano esattamente. Allora si poteva saldare il conto del pane preso a credito. Così accadeva ancora nel 1869 in Francia dalle parti di Saint-Étienne,...

7 Le donne porgevano un pezzo di legno, lungo una ventina di centimetri, segnato da tratti di lima. Ogni pezzo era diverso, alcuni ricavati da rami, altri quadrati e piallati. Il fornaio ne aveva il duplicato infilati in una cinghia di cuoio. Egli cercava il nome segnato in cima ai suoi legni, lo confrontava con quello del cliente; le tacche corrispondevano esattamente. Allora si poteva saldare il conto del pane preso a credito. Così accadeva ancora nel 1869 in Francia dalle parti di Saint-Étienne,... Incidere tacche, che si trattasse di ossa ritrovate in caverne del paleolitico, di bastoncini di fornai francesi o degli stocks della Corte dello Scacchiere inglese, è stato per decine di migliaia di anni il modo di tenere i conti, finché nell Ottocento un incendio epocale ha ridotto in Cenere, insieme agli stocks, l intero Parlamento inglese. [Bo, 27]

8 S. Kubrick 2001: Odissea nello spazio

9 I sistemi posizionali più quotati base cifre denominazione 2 0, 1 binario 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ottale 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 decimale 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E duodecimale 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f esadecimale Nella tabella seguente i primi 16 numeri naturali vengono rappresentati in tutti questi sistemi.

10 v binario ottale decimale duodecimale esadecimale X a E b c d e f

11 Esempio Consideriamo la sequenza di cifre in base 12. In questo sistema, le posizioni successive rappresentano potenze di 12; così = = = La base usata nella rappresentazione di un numero viene specificata con un indice; conveniamo di omettere l indicazione della base nel caso di rappresentazioni decimali.

12 Esempio Consideriamo la sequenza di cifre in base 12. In questo sistema, le posizioni successive rappresentano potenze di 12; così = = = Per rappresentare questo stesso numero in base 16 eseguiamone la divisione euclidea per 16; otteniamo 1743 = Dividiamo ora 108 per 16, abbiamo 108 = , finalmente impiegando questa relazione nella precedente 1743 = 16 ( ) + 15 = = 6cf 16. La base usata nella rappresentazione di un numero viene specificata con un indice; conveniamo di omettere l indicazione della base nel caso di rappresentazioni decimali.

13 Esempio Consideriamo la sequenza di cifre in base 12. In questo sistema, le posizioni successive rappresentano potenze di 12; così = = = Per rappresentare questo stesso numero in base 16 eseguiamone la divisione euclidea per 16; otteniamo 1743 = Dividiamo ora 108 per 16, abbiamo 108 = , finalmente impiegando questa relazione nella precedente 1743 = 16 ( ) + 15 = = 6cf 16. Rappresentiamo ora lo stesso numero in base 8. È: 1743 = , 217 = , 27 = ; pertanto 1743 = La base usata nella rappresentazione di un numero viene specificata con un indice; conveniamo di omettere l indicazione della base nel caso di rappresentazioni decimali.

14 Rappresentiamo infine ancora lo stesso numero in base 2. Abbiamo: 1743 = , 871 = , 435 = , 217 = , 108 = , 54 = , 27 = , 13 = , 6 = , 3 = ; dunque 1743 =

15 Senza parole r 3 {}}{ }{{} 6 ottale 3 1 {}}{{}}{ binario 1} 1{{ 0 0} c esadecimale 7 {}}{ }{{} f

16 Operazioni Quale che che sia la base le operazioni si effettuano come nel sistema decimale, ma...

17 Operazioni Quale che che sia la base le operazioni si effettuano come nel sistema decimale, ma... occorre imparare le tabelle.

18 Operazioni Quale che che sia la base le operazioni si effettuano come nel sistema decimale, ma... occorre imparare le tabelle. In binario tutto è relativamente facile, basta solo ricordare che fa (Ma forse anche che = 100 2, = , = ,...)

19 Operazioni Quale che che sia la base le operazioni si effettuano come nel sistema decimale, ma... occorre imparare le tabelle. In binario tutto è relativamente facile, basta solo ricordare che fa (Ma forse anche che = 100 2, = , = ,...) Sommiamo = 245 e = 316, abbiamo: = I puntini sulle cifre del primo addendo indicano il riporto di 1.

20 La moltiplicazione è più laboriosa a causa dei riporti, anche a più cifre, nell addizione dei prodotti parziali: =

21 Tavola pitagorica in ottale:

22 Tavola pitagorica in ottale: Moltiplichiamo = 245 per = 316 : =

23 Tabella di moltiplicazione in base sedici: a b c d e f a c e a 1c 1e c f b 1e a 2d 4 8 c c c c 5 a f e d c b 6 c e 24 2a c e 54 5a 7 e 15 1c 23 2a f 46 4d 54 5b b 24 2d 36 3f a 63 6c 75 7e 87 a 14 1e c a 64 6e c 96 b c d e f 9a a5 c c c c a8 b4 d 1a e 5b f 9c a9 b6 c3 e 1c 2a e 8c 9a a8 b6 c4 d2 f 1e 2d 3c 4b 5a a5 b4 c3 d2 e1

24 La medesima moltiplicazione eseguita in base 16 f 5 13c = b7c 2d f f 5 12e6c 16

25 La medesima moltiplicazione eseguita in base 16 ed infine, in base 10 f 5 13c = b7c 2d f f 5 12e6c =

26 Ufficialmente, il primo ad esporre una trattazione sistematica dei sistemi di numerazione posizionali fu il matematico tedesco G. W. Leibniz; anche se l inglese T. Harriot ne aveva discusso e scritto oltre mezzo secolo prima, ma senza pubblicare.

27 Ufficialmente, il primo ad esporre una trattazione sistematica dei sistemi di numerazione posizionali fu il matematico tedesco G. W. Leibniz; anche se l inglese T. Harriot ne aveva discusso e scritto oltre mezzo secolo prima, ma senza pubblicare. Leibniz, filosofo e teologo oltre che matematico, era affascinato dal sistema binario; il fatto che nel sistema binaro tutti i numeri possono essere rappresentati mediante due soli simboli gli richiamava la creazione dell universo, tratto dal nulla (0) per opera di Dio (1). [BJB, ]

28 Ufficialmente, il primo ad esporre una trattazione sistematica dei sistemi di numerazione posizionali fu il matematico tedesco G. W. Leibniz; anche se l inglese T. Harriot ne aveva discusso e scritto oltre mezzo secolo prima, ma senza pubblicare. Leibniz, filosofo e teologo oltre che matematico, era affascinato dal sistema binario; il fatto che nel sistema binaro tutti i numeri possono essere rappresentati mediante due soli simboli gli richiamava la creazione dell universo, tratto dal nulla (0) per opera di Dio (1). [BJB, ] La possibilità di rapppresentare ogni numero con soli due simboli ha però un costo: la lunghezza della rappresentazione. Infatti una cifra binaria (bit) ha capacità di esprimere solo la minima quantità possibile di informazione.

29 Sistema babilonese sessagesimale posizionale (incompleto)

30 Sistema Maya ventesimale posizionale (incompleto)

31 Frazioni Aritmetica bizzarra No Giacomo, non puoi fare così disse il maestro indicando il quaderno di Giacomo, su cui lo scolaro aveva scritto = Scusi, sgnor maestro disse Giacomo. Che c è di sbagliato? L ho controllato con la calcolatrice e sembra che vada bene. Be, Giacomo, il risultato è giusto, direi ammise il maestro. Anche se probabilmente dovresti semplificare in modo da ottenere 2/5, che è ridotto ai minimi termini. Quello che è sbagliato è.... [St, 173]

32 Sappiamo bene che il prodotto della frazione a b per la frazione c a c è la frazione d b d ; ma perché è questa la definizione di moltiplicazione tra frazioni e non magari la ricetta proposta da Giacomo?

33 Sappiamo bene che il prodotto della frazione a b per la frazione c a c è la frazione d b d ; ma perché è questa la definizione di moltiplicazione tra frazioni e non magari la ricetta proposta da Giacomo? Un occhiata ai due disegni che seguono dovrebbe persuaderci che la definizione usuale corrisponde ai fatti.

34 = = Il quadrato è l unità e ogni rettangolino è 1/35 dell unità. [Va, 15]

35 = = (2+ 5 = 6 ) ( 3+ 2 ) 7 5 = = 68 7 = 95 7

36 Per addizionare (spesso) occorre (almeno) moltiplicare: Esempio: a b + c d := a d + b c b d = = = =

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38 Altro esempio: oppure = = = , = = = = ; in ogni caso = = 5 6.

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40 In fondo all aula si sentì la voce sommessa di Giacomo: Maestro, la sua formula per sommare è troppo complicata, non potrebbe bastare a b + c d = a + c b + d? Così sarebbe simile a quella del prodotto (che finalmente ho capito).

41 [Bo] Bottazzini U. - Numeri - Raccontare la matematica - Intersezioni - il Mulino - Bologna [BJB] Bunt L.N.H., Jones P.S., Bedient J.D. - Le radici storiche delle matematiche elementari - Zanichelli - Bologna [St] Stewart I. - La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart - Codice edizioni - Torino [Va] Valenti D. - Frazioni e numeri razionali - Treccani Scuola - lezioni matematica/frazioni/frazioni Presenta1.pdf