ovvero la DC indesidrata più la componente continua dell onda quadra e tutte le sue armoniche. Da Fourier si pone: a 0 = 2 T

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1 1 Filtro passa banda Il segnale di interesse è una onda quadra da 0 ad A mentre il rumore è composto, oltre che da rumore bianco (equamente distribuito in frequenza), anche da una elevata componente in DC che deve essere eliminata. Lo scopo è di isolare la prima armonica di un segnale ad onda quadra a 0.5Hz completamente immerso dal rumore. Viene quindi utilizzato un filtro passa banda centrato a 0.5Hz. Specifiche che dovrà avere tale filtro: frequenza centrale 0.5Hz soppressione della componente continua attenuazione di un fattore 10 della seconda armonica del segnale (1.5Hz) Il segnale in ingresso, a parte il rumore bianco, è esprimibille con: V DSSC (t) = offset + A square (w t) = offset + a 0 + a n cos (2πn f t) ovvero la DC indesidrata più la componente continua dell onda quadra e tutte le sue armoniche. Da Fourier si pone: n=1 an = 2 T T/2 0 a 0 = 2 T T/2 0 A square (w t) dt A square (w t) cos (2πn f t) dt da cui otteniamo: a 0 = + A 2 a 1 = + 2A π a 2 = 0 a 3 = 2A 3π a 4 = 0 a 5 = + 2A 5π Rispettando la specifica del filtro sulla seconda armonica otterremo in uscita solamente una sinusoide a 0.5Hz (figura 1). La tipologia del filtro è di tipo Sallen-Key a guadagno infinito; esso presenta notevoli vantaggi: ridotto numero di componenti attivi e passivi funzioni di sensitività indipendenti dal fattore di merito Q semplicità di progettazione La generica funzione di un filtro passa banda del 2 ordine è la seguente: N (s) = V 2 (s) V 1 (s) = H0 wn Q s 2 + wn Q s s + w2 n (1) 1

2 Figura 1: Andamento onda quadra per differenti attenuazioni della 2 armonica dove H 0 è il guadagno nella frequenza centrale, w n è la pulsazione centrale e Q = wn Banda è il fattore di merito. In figura 2 è riportata la configurazione circuitale di tale filtro per n=2; la funzione di trasferimento è: R ) 1C 2 ( R 6C R 6C 2 + R 6C 2C 3 N (s) = V 2 (s) V 1 (s) = s ( s s R R 5 ) (2) Ponendo C 2 = C 3 = C e stabilendo i valori di w n, H 0 e Q, i restanti componenti sono così ottenuti: R 1 = Q w n C H 0 R 5 = Q (2Q 2 H 0 ) w n C R 6 = 2Q w n C (3) Con R 5 > 0 H 0 < 2Q 2. Per ridurre il rumore dell intera catena di misura deleghiamo l amplificazione del segnale al blocco più a monte possibile, ovvero l amplificatore a transimpedenza. Quindi si pone H 0 = 1 e w n = 2π 0.5Hz. Da specifiche si deve attenuare la seconda armonica (1.5Hz) di un fattore 10 ovvero -20dB; ponendo Q=1 e considerando la pendenza del filtro pari a 20 db dec si ottiene una attenuazione di -10dB. Se si aumentasse il valore di Q per soddisfare la specifica, si incorrerebbe in valori dei componenti non utilizzabili 1. Per ottenere i -20dB richiesti basta raddoppiare la pendenza del filtro, ovvero si pone un altro filtro identico in cascata al precedente. In figura 3 è riportato l intero filtro con i valori dei componenti calcolati. 1 Nei filtri attivi, a causa delle non infinite impedenze di ingresso degli op-amp è buona norma non utilizzare resistori di valore superiore ai 500kΩ. 2

3 Figura 2: Filtro passa banda Sallen Key G infinito Figura 3: Filtro passa banda completo (n=4) 3

4 Figura 4: Diagramma moduli in db del singolo stadio e degli stadi in cascata. In figura 4 sono riportati i diagrammi dei moduli in db del singolo stadio e degli stadi in cascata. In figura 5è riportato l andamento del ritardo di gruppo del filtro totale; i valori sono inferiori a 1.5s ovvero del tutto trascurabili se paragonati ai tempi di attesa del lock in (>10s). E stata inoltre eseguita una simulazione Monte Carlo selezionando una tolleranza sui componenti pari al 5%, come si vede da grafico di figura 6 le curve si discostano in modo accettabile dalle specifiche rischieste. 1.1 Calcolo funzioni di sensitività Al fine di quantificare l effetto che una variazione dal valore nominale di un componente produce su una caratteristica del filtro 2, è stata calcolata la così detta Funzione di Sensitività (S); indicando con x l elemento circuitale in esame e con y la caratteristica considerata, definiamo: Sx y = y x x y Nel caso in cui y è una funzione razionale, come nel caso della funzione N (s), possiamo far uso della seguente espressione: 2 Come il fattore di merito Q oppure il guadagno. (4) 4

5 Figura 5: Ritardo di gruppo del filtro totale (n=4) 5

6 Figura 6: Simulazione Monte Carlo, diagramma moduli (tolleranza componenti 5%) 6

7 [ S A(s) /B(s) A ] (s) x = x A (s) B (s) B (s) Nota la funzione di sensitività, la variazione normalizzata della caratteristica y può essere ricavata ipotizzanto una variazione per il componente in esame: y y = Sy x x x Invertendo le relazioni 3 e sostituendo i valori nominali dei componenti sono state calcolate le sensitività dei parametri Q, Ho e Wn: 3 S wn R 1 = 0.25 S wn R 5 = 0.25 S Q R 1 = 0.25 S Q R 5 = 0.25 S Q R 6 = 0.5 S Q C 2 = 0 S Q C 3 = 0 S H0 R 1 = 1 S H0 R 6 = 1 S H0 C 2 = 0.5 S H0 C 3 = 0.5 I valori precedenti non superano l unità, ovvero una variazione percentuale di un singolo componente ne comporta una attenuata o al massimo uguale della caratteristica considerata. I segni di tali sensitività sono importanti per la scelta dei componenti che avranno valori commerciali differenti da quelli richiesti. Prima di sceglierne i valori occorre studiare l influenza che il discostamento di tali componenti ha sul modulo e sulla fase di N(s). Per prima cosa si ricavano le espressioni di Sx N(s) utilizzando la relazione 5: (5) S N(s) R 1 = 32250s s s s S N(s) R 6 = 1.013e005s e004s e005s S N(s) R 5 = e4s e005s S N(s) C 2 = 32250s s 32250s s S N(s) C 3 = 50657s s s Adesso sfruttiamo la seguente proprietà valida in regime sinusoidale: S N(iw) x = S N(jw) x N (jw) + j x/x Ovvero la parte reale di Sx N(iw) è pari alla sensitività del modulo della funzione di trasferimento mentre la parte immaginaria è pari alla variazione della fase rispetto al discostamento normalizzato del valore del componente. Anche in questo caso la figura 7 mostra valori di sensitività inferiori all unità fatta eccezione per il componente R 6. Nella tabella 1 sono elencati i componenti teorici e commerciali usati. In figura 8 è visibile il filtro realizzato su millefori. 3 In appendice?? è riportato il codice MatLab appositamente scritto per velocizzare tali operazioni. 7

8 Figura 7: Sensitività di N(s) rispetto ai singoli elementi circuitali. ELEMENTO Teorico Commerciale R kΩ 150kΩ R kΩ 150kΩ R kΩ 330kΩ C 2 2µF 2µF C 3 2µF 2µF Tabella 1: Componenti passa banda secondo ordine 8

9 Figura 8: Filtro passa banda 4 ordine realizzato su millefori 9

10 Figura 9: Andamento ingresso (blu) e uscita (rosso) a 0.5Hz Per mezzo di un oscilloscopio digitale (Picoscope 2000) è stata graficata l ingresso e l uscita del filtro per le frequenze di 0.5Hz e 1.5Hz (figure 9 e 10). In figura 10 le scale dei due segnali sono differenti, si nota come l attenuazione a 1.5Hz è pari a 20db solo se considerata, come da teoria, rispetto al segnale di uscita a 0.5Hz che è leggermente amplificato. Riferimenti bibliografici [1] Larry D.Paarmann Design and analysis of analog filters, editore Kluwer [2] L.P.Huelsman Active and analog filter design, editore McGraw-Hill 10

11 Figura 10: Andamento ingresso (blu) e uscita (rosso) a 1.5Hz 11