Argomenti trattati (Lez. 7)

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1 Argomenti trattati (Lez. 7) Caratteristiche dinamiche Modello/relazione di riferimento (sistema del secondo ordine) Studio fisico del sistema (variabili, parametri, leggi) Trasformata di Laplace (formalismo) Funzione di trasferimento Studio della funzione di trasferimento (poli, zeri, parametri) Stabilità e risposta del sistema nel dominio del tempo Comportamento in frequenza Sistemi di ordine zero (elettrogoniometro sensitività statica) Sistemi del primo ordine (filtro RC-costante di tempo-guadagno) Sistemi del secondo ordine Lezione 8 1

2 Caratteristiche dinamiche dei trasduttori Sistemi del secondo ordine: - sono descritti da una equazione differenziale del secondo ordine che lega ingresso-uscita (nel dominio del tempo) del tipo: 2 d y( dy( a a1 a0 y( = 2 dt dt bx( 2 t che si può scrivere come: 2 1 d y( 2ξ dy( y( = Kx( ; 2 2 ω dt ω dt n con: K = ω n = ξ = b a 0 a a a 1 0 n 2 2 a a sensitività statica Lezione ); frequenza naturale [rad/s] smorzamento critico []

3 Caratteristiche dinamiche dei trasduttori Sistemi del secondo ordine: - trasformando secondo Laplace con condizioni iniziali nulle troviamo: s ω 2 2 n 2ξ Y( s) ω n G( s) = s Y( s) Y( s) Y( s) X ( s) = s ω 2 2 n = KX ( s); 1 Lezione 8 3 K 2ξ ω che è la FdT caratteristica dei sistemi del secondo ordine. Mettiamo nuovamente in evidenza: - K è ancora la sensitività statica. In dinamica è il guadagno della FdT - ω n, ξ sono i parametri caratteristici del sistema n s da cui:

4 Caratteristiche dinamiche: sommario conclusivo lo studio delle caratteristiche dinamiche di un dispositivo di misura, ne caratterizza l affidabilità per la misura di segnali rapidamente variabili nel tempo (impulso, scalino, segnali periodici) il modello più generale di riferimento è il sistema del secondo ordine al quale si possono ricondurre la maggior parte dei trasduttori in campo biomedico nella caratterizzazione dinamica di un sistema, il primo passo (il più difficile) è la scrittura delle equazioni di stato del sistema in funzione delle variabili di stato per descriverne il comportamento fisico (o elettrico o chimico) in un istante del transitorio dinamico il formalismo della trasformata di Laplace si adotta per trattare semplicemente le equazioni di stato differenziali dei sistemi lo studio della funzione di trasferimento (poli e zeri) permette di caratterizzare, in funzione dei parametri fisici che caratterizzano il sistema, il comportamento dinamico e la stabilità (criterio) Lezione 8 4

5 Caratteristiche dinamiche: sommario conclusivo la caratterizzazione della risposta in frequenza del sistema valuta quanto affidabilmente il dispositivo interpreta (misura) le diverse componenti in frequenza elementari (armoniche) che costituiscono un segnale dinamico complesso lo studio della risposta in frequenza si basa sulla determinazione della risposta del sistema ad ingressi periodici semplici che vengono considerati come armoniche di segnali complessi l insieme (vale il principio della sovrapposizione degli effetti) delle risposte alle armoniche costituisce la risposta complessiva del sistema a segnali complessi il formalismo di Laplace si estende al dominio delle frequenze e consente di verificare le modificazioni che il sistema di misura introduce su ampiezza e fase del segnale in ingresso semplice in funzione della pulsazione angolare (che viene mantenuta) del segnale di ingresso i diagrammi asintotici di Bode rappresentano uno strumento grafico importante per la valutazione della risposta in frequenza Lezione 8 5

6 Riduzione dei disturbi e delle interferenze Lezione 8 6

7 Misure biomediche Disturbi alla misura: Interferenze e Modifiche Interferenze G i Modifiche G m,i Segnale misurato G m,u Segnale Utile G u Lezione 8 7

8 Interferenze e Modifiche Interferenze G i Modifiche G m,i Segnale Utile G m,u G u Segnale misurato Lezione 8 8

9 Interferenze e Modifiche Esempio (ECG) u(: V ECG Flusso del campo magnetico della rete (50-60 Hz) Correnti parassite V cc Z 1 Z 2 Amp diff - V 0 Variabilità impedenze elettrodi (input di modifica) Correnti parassite Lezione 8 9 -V cc Orientamento spira (input di modifica)

10 Interferenze e Modifiche Esempio (ECG) Linea elettrica C 1 C 2 Z 2 Z 1 i 1 i 2 ECG A B Valori verosimili: V A-B =i 1,2 ( Z)=120 µv con i 1-2 =6 na e Z=20kΩ Lezione 8 10

11 Misure biomediche Tecniche di riduzione dei disturbi alla misura 1. Ottimizzazione del progetto del dispositivo e dell interfaccia strumento-organismo biologico 2. Inserimento di dispositivi addizionali e ricorso a tecniche di elaborazione del segnale (filtraggi, compensazioni) Lezione 8 11

12 Riduzione dei disturbi Sensitività intrinseca (design progettuale): - rendere i componenti del sistema sensibili ai soli segnali utili da misurare e quanto più possibile indipendenti dai disturbi G i =0, G m,u =0; V cc Amp -diff V 0 -V cc Lezione 8 12

13 Compensazione del disturbo Tecniche di compensazione quando è noto l effetto del rumore sulla misura (ad esempio conoscendo la sua FdT) è possibile aggiungere componenti che compensino il disturbo D(s) G c G 1 U(s) G u1 G u2 Y(s) Con: G c =-G 1 G u2 Lezione 8 13

14 Misure biomediche Filtraggio - i filtri (analogici e/o digitali) sono strumenti estremamente efficaci per migliorare il rapporto segnale utile-rumore - il loro effetto è quello di separare ed attenuare dal segnale complessivo quelle componenti che si trovino in certe bande di frequenza. In questo senso sono molto selettivi. Requisito fondamentale per l efficacia del filtraggio è la conoscenza del contenuto in frequenza del rumore e la banda di frequenza del rumore sia ben diversa da quella del segnale utile. Questa condizione è spesso non soddisfatta nell ambito di misure in campo biomedico Lezione 8 14

15 Filtraggio Filtro passa-basso - la sua caratteristica è quella di eliminare dal segnale tutte le componenti armoniche al di sopra di una certa frequenza. Un tipico filtro passa-basso analogico è il filtro RC. x( = Ri( y( R dy( i( = C dt dy( x( C x ( = RC y( dt X ( s) = Y ( s) RCs 1 - sistema del primo ordine ha una FdT del tipo: Y ( s) X ( s) 1 = 1 RCs [ ] Y ( jω) X ( jω) - 1 = 1 jωτ (un polo) - y( Lezione 8 15

16 10 0 Filtraggio Filtro passa-basso: Risposta in frequenza Ampiezza - τ=rc=10 - ω=1/τ=0.1 [rad/s] - f c =1/2πτ=0.015 [Hz] Frequenza [rad/s] -20 Fase [ ] Frequenza [rad/s] Lezione 8 16

17 Filtro passa-alto - la sua caratteristica è quella di eliminare dal segnale tutte le componenti armoniche al di sotto di una certa frequenza. Un tipico filtro passa-alto è ancora un filtro RC. y( = Ri( C d( x y)( i( = C dt dx( dy( x( y( = RC RC dt dt RCX ( s) = Y ( s) RCs 1 - sistema del primo ordine, ha una FdT del tipo: Y ( s) X ( s ) RCs = 1 RCs [ ] Filtraggio Y ( jω) X ( jω ) - jωτ = 1 jωτ R - y( (un polo e uno zero) Lezione 8 17

18 Filtraggio Filtro passa-alto: Risposta in frequenza τ=rc=10 - ω=1/τ=0.1 [rad/s] - f c =1/2πτ=0.015 [Hz] Ampiezza Frequenza [rad/s] 80 Fase [ ] Frequenza [rad/s] Lezione 8 18

19 Filtraggio Filtro passa-banda - la sua caratteristica è quella di eliminare dal segnale tutte le componenti armoniche al di fuori di una certa banda di frequenza. Si ottiene ad esempio unendo un filtro passa-alto (H) con un filtro passa-basso (L). Ad esempio: R L C H x( C L R H y( sistema del secondo ordine ha una FdT del tipo: Y ( s) RHCH s Y ( jω) jωτ H = = X ( s) (1 R C s)(1 R C s) X ( jω) (1 jωτ )(1 L L H H Lezione L jωτ H )

20 Filtraggio Filtro passa-banda: Risposta in frequenza τ L =R L C L =10 - ω L =1/τ L =0.1 [rad/s] - τ H =R H C H =0.1 - ω H =1/τ H =10 [rad/s] Ampiezza Frequenza [rad/s] 50 Fase [ ] Frequenza [rad/s] Lezione 8 20

21 Filtraggio Filtri a pendenze maggiori Maggior numero di poli e di zeri. Le pendenze e gli sfasamenti aumentano proporzionalmente. La selettività aumenta. Un filtro del quarto ordine passa-basso ha una pendenza di 20 x 4 = 80 db/decade (6 db/ottava) e uno sfasamento a regime di 4 x 90 = 360 gradi Lezione 8 21

22 Filtri a pendenze maggiori Filtraggio Un filtro di ordine elevato non può essere realizzato semplicemente con una cascata di resistori e condensatori. Più (n) poli reali coincidenti (nel caso del passa-basso) generano un attenuazione di n x 3dB alla frequenza di taglio. Questa viene quindi spostata e la banda di transizione del filtro decade. Anche la linearità in fase ne soffre Banda di transizione -3dB Ampiezza -ndb Lezione 8 Frequenza [rad/s] 22

23 Filtri a pendenze maggiori Filtraggio Esistono varie soluzioni al problema dei filtri di ordine elevato. Ad esempio: Butterworth: Chebicev: Bessel: ottimizza la piattezza in banda (-3db a F ottimizza la banda di transizione ottimizza lo sfasamento (lineare, φ=kω) Utilizzano poli complessi e coniugati ottenuti o con condensatori e induttori, oppure filtri attivi (utilizzanti amplificatori e condensatori). Lezione 8 23

24 Filtri attivi Filtraggio In particolare con i filtri attivi si possono progettare filtri passa banda a ξ variabile, ovvero a smorzamento variabile (si riaffronterà il problema a proposito delle caratteristiche dinamiche dei sistemi) ξ Lezione 8 24