GEOMETRIA NELLO SPAZIO

pag. 1 GEOMETRIA NELLO SPAZIO 1. Sintesi geometria piana Il punto, ente privo di dimensioni La retta, ente con una sola dimensione Il piano, ente con due dimensioni a) Punto e retta sul piano Per un punto passano infinite rette per due punti passa una ed una sola retta per tre punti allineati passa una ed una sola retta per tre punti non allineati passano tre rette b) Rette sul piano Due rette sul piano sono parallele se non hanno punti in comune Due rette sul piano sono incidenti se hanno un punto in comune Due rette sul piano sono sovrapposte se hanno almeno due punti in comune. c) Parti di retta Semiretta: ciascuna delle due parti di una retta delimitata da un punto detto origine Segmento: parte di retta delimitata da due punti detti estremi d) Parte di piano Angolo: ciascuna delle due parti di piano delimitata da due semirette aventi l'origine in comune. L'origine in comune è detto vertice, la dimensione è detta ampiezza. Angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso, angolo piatto, angolo giro, angolo concavo, angolo convesso Poligono: parte di piano delimitata da una spezzata chiusa non intrecciata. Ciascun segmento della spezzata è detto lato. La parte di poligono delimitata da due lati consecutivi è un angolo interno. La parte di piano delimitata da un lato e dal prolungamento del suo consecutivo è un angolo esterno. Poligono concavo se ha almeno un angolo concavo

pag. 2 2. Punti, rette, piani nello spazio 2.1.Piani nello spazio I piani si indicano con una lettera dell alfabeto greco. a) Per un punto nello spazio passano infiniti piani b) Per una retta nello spazio passano infiniti piani, fascio di piani c) Per individuare un piano nello spazio è necessario avere: tre punti non allineati una retta e un punto non appartenente ad essa due rette incidenti o due rette parallele 2.2.Punti e piani nello spazio a) Per un punto nello spazio passano infiniti piani. b) Per due punti nello spazio passano infiniti piani. c) Per tre punti non allineati nello spazio passa uno ed un solo piano. d) Per una retta nello spazio passano infiniti piani, fascio di piani 2.3.Rette nello spazio a) Per una retta nello spazio passano infiniti piani. b) Per due rette nello spazio passa uno ed un solo piano. c) Per una retta nello spazio ed un punto ad essa non appartenente passa uno ed un solo piano. d) Due rette nello spazio possono appartenere a piani diversi e si dicono sghembe allo stesso piano e si dicono complanari

pag. 3 e) Due rette complanari possono essere parallele se non hanno punti in comune incidenti se hanno un punto in comune coincidenti se hanno tutti i punti in comune f) Data una retta e un piano, la retta può essere appartenente al piano se tutti i suoi punti appartengono al piano secante al piano se ha un punto in comune con il piano parallela al piano se tutti i suoi punti sono equidistanti dal piano perpendicolare al piano se tutte le rette del piano sono perpendicolari alla retta data N.B. Perché una retta sia perpendicolare ad un piano è sufficiente che due rette del piano siano perpendicolari alla retta data. 2.4. Relazione fra due piani nello spazio a) Due piani nello spazio possono essere: b) incidenti se hanno una retta in comune c) paralleli se non hanno alcun punto in comune d) coincidenti se hanno tutti i punti in comune

pag. 4 2.5.Semipiano Una retta divide un piano a cui essa appartiene in due semipiani. La retta è l origine dei semipiani. Si dice semipiano ciascuna delle due parti di un piano delimitato da una retta, detta origine. 2.6.Angolo diedro a) Diedro o angolo diedro Angolo diedro o diedro: ciascuna delle due parti dello spazio delimitato da due semipiani aventi l'origine in comune: i due semipiani si dicono facce, la retta in comune si dice spigolo. Il diedro è convesso se non contiene il prolungamento delle facce, si dice concavo se contiene il prolungamento delle facce. Sezione normale del diedro: angolo che si ottiene intersecando un diedro con un piano perpendicolare allo suo spigolo. Ampiezza del diedro: è la misura dell'ampiezza della sua sezione normale a) Diedro acuto, retto, ottuso: la sua sezione normale è un angolo acuto, retto o ottuso b) Diedri consecutivi: due diedri aventi una faccia e lo spigolo in comune

pag. 5 c) Diedri adiacenti: due diedri consecutivi che hanno le due facce non comuni opposte. d) Semipiano bisettore: semipiano che uscendo dallo spigolo del diedro lo divide in due diedri congruenti e) Piani perpendicolari: due piani che dividono lo spazio in quattro diedri congruenti ciascuno avente la sezione normale di 90. 2.7. Piani perpendicolari e paralleli Due piani sono perpendicolari se si incontrano formando quattro diedri retti Due piani sono paralleli se non si incontrano. 2.8. Angoloidi L'angoloide la parte di spazio limitata da tre o più angoli piani aventi lo stesso vertice, posti in piani differenti e tali che ognuno dei lati sia comune a due angoli. a) Vertice dell'angoloide: il vertice in comune fra gli angoli b) Facce dell'angoloide: ciascuna angolo c) Spigoli dell'angoloide: ciascun lato in comune fra due facce consecutive d) La somma degli angoli di vertice delle facce è sempre minore di un angolo giro. e) Angoloide convesso è quello che non contiene il prolungamento degli spigoli, concavo quello che contiene il prolungamento degli spigoli.

pag. 6 2.9. Poliedri Un solido è una figura che occupa uno spazio a tre dimensioni: larghezza, profondità e altezza. In un solido l'area della superficie totale è la misura della superficie che lo racchiude, il volume è la misura dello spazio occupato. Il poliedro è un solido la cui superficie è costituita da poligoni situati su piani diversi, ma in modo che ogni lato sia comune a due dei poligoni. Faccia (f) è ogni singolo poligono Spigolo (s) è ciascun lato comune a due facce Vertice (v) è ciascun punto comune con almeno tre facce. In un poliedro si verifica la seguente relazione s + f = v+2 Un poliedro è regolare quando: le facce sono poligoni regolari congruenti fra loro i suoi diedri sono congruenti gli angoloidi sono congruenti Le facce di un poliedro regolare possono essere: max 5 per vertice se triangolari max 3 per vertice se quadrate max 3 per vertice se pentagonali 2.10. Prismi Un prisma è un poliedro con due facce uguali e parallele (basi) mentre le altre facce sono parallelogrammi. Un prisma se ha gli spigoli laterali perpendicolari alle basi e le facce laterali rettangolari si dice prisma retto. Un prisma retto avente come base un poligono regolare è detto regolare.

pag. 7 a) Prisma retto Un Prisma è retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari alla base e le facce laterali sono tutti rettangoli. In un prisma si chiama: altezza (h) la distanza fra le due basi perimetro di base (p) la misura del perimetro di una base superficie di base (S b ) la misura della superficie della base superficie laterale (S l ) la misura della superficie delle facce laterali superficie totale (S t ) l'insieme della superficie laterale e delle due basi volume (V) la misura dello spazio occupato Formule S l = ph S t =S l + 2S b V =S b h altezza

pag. 8 2.11. Parallelepipedo Il parallelepipedo è una prisma che ha per basi due parallelogrammi. Un parallelepipedo è obliquo le sei facce sono parallelogrammi Un parallelepipedo è retto se le facce laterali sono rettangoli Un parallelepipedo retto è rettangolo se le due basi sono rettangoli a) Parallelepipedo rettangolo d = a 2 + b 2 + c 2 S b =ab p=2(a+ b) S l =2c(a+ b) S t =2(ab+ bc+ ac) V =abc In un parallelepipedo rettangolo: le facce che non hanno spigoli in comune sono dette facce opposte gli spigoli o i vertici che non appartengono alla stessa faccia sono detti spigoli o vertici opposti

pag. 9 i segmenti che uniscono due vertici opposti sono dette diagonali del parallelepipedo i tre spigoli aventi in comune un vertice sono dette dimensioni: larghezza, a profondità, b altezza, c d = a 2 + b 2 + c 2 S b =ab p=2(a+ b) S l =2c(a+ b) S t =2(ab+ bc+ ac) V =abc Osservazioni In un parallelepipedo se Raddoppio una dimensione il volume raddoppia, se triplico una dimensione il volume triplica, Raddoppio due dimensioni il volume quadruplica, se triplico due dimensioni il volume aumenta di 9 volte,. Raddoppio le tre dimensioni il volume aumenta di 8 volte, se triplico le tre dimensioni il volume aumenta di 27 volte,.

pag. 10 2.12. Cubo Il cubo è un parallelepipedo avente come facce 6 quadrati. Il cubo ha gli spigoli congruenti Il cubo è un prisma regolare d=l 3 p=4l S b =l 2 S l =4l 2 S t =6l 2 V l =l 3 In un cubo se Raddoppio, triplico,... lo spigolo il volume aumenta 8 volte, 27 volte, Se un parallelepipedo e un cubo sono equivalenti, il cubo ha la superficie totale minore

pag. 11 2.13. Piramide La piramide è un poliedro delimitato da un poligono (base) e da triangoli (facce laterali) aventi un vertice in comune (vertice della piramide). L'altezza di una piramide è la distanza fra il vertice e la base. Piramide retta Una piramide si dice retta se la base è circoscrittibile. In una piramide retta l'altezza è compresa fra il vertice e il centro della circonferenza inscritta alla base. Le facce hanno l'altezza congruente, detta apotema della piramide. La base di una piramide retta può essere qualsiasi triangolo, un rombo, un quadrilatero circoscrittibile (la somma dei lati opposti congruente). Qualsiasi poligono poligono circoscrittibile. Formule di una piramide retta H= raggio o apotema di base (r) VH= altezza (h) 1 VM= apotema (a) S b = pr 2 S l = pa S 2 t = pa 2 + S b V = S h b 3 Piramide regolare Un piramide retta è regolare se ha la base regolare. Una piramide regolare ha le facce congruenti. 1Il volume di una piramide è un terzo del volume di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza.

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pag. 13 2.14. Cilindro Il cilindro retto è il solido che si ottiene facendo ruotare un rettangolo di un giro completo attorno a un suo lato. L'asse del cilindro è la retta che comprende il lato attorno a cui ruota il rettangolo L'altezza del cilindro la distanza fra le due basi Il raggio del cilindro è il raggio della base (l'altro lato del rettangolo) Generatrice è il lato del rettangolo che ruota e che descrive la superficie laterale del cilindro. Il cilindro è equilatero se l'altezza è uguale al diametro ed inscrittibile in un cubo avente lo spigolo uguale al diametro. p= circonferenza (AA') S b = area del cerchio S l = area rettangolo

pag. 14 Formule cilindro retto S b =π r 2 S l = ph=2 πrh S t =S l + 2S b =2 πrh+ 2 π r 2 V =S b h=π r 2 h Formule cilindro equilatero S b =π r 2 S l = ph=2 πr(2r)=4 π r 2 S t =4 π r 2 + 2 π r 2 =6 πr 2 V =πr 2 h=2πr 3 Osservazioni 1. Facendo ruotare un rettangolo o rispetto la base o rispetto l'altezza cambiano il raggio, l'altezza, il perimetro di base, l'area di base, l'area totale e il volume del cilindro non cambia l'area laterale il rapporto fra i volumi è uguale al rapporto fra l'altezza e il raggio (V 1 : V 2 = h : r). Il rapporto fra il volume di un cilindro equilatero e il cubo circoscritto è V ci = π 4 V cu

pag. 15 2.15. Cono Il cono retto è il solido che si ottiene facendo ruotare un triangolo rettangolo di un giro completo attorno a un suo cateto. L'asse del cono è la retta che comprende il cateto attorno a cui ruota il triangolo Il vertice del cono è il vertice dell'angolo acuto sull'asse di rotazione L'altezza del cono è la distanza fra il vertice e la base Il raggio del cono è il raggio della base (l'altro cateto triangolo) L'apotema del cono è l'ipotenusa del triangolo Generatrice è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ruota e che descrive la superficie laterale del cilindro. Il cono è equilatero se l'apotema è uguale al diametro (il triangolo rettangolo è la metà di un triangolo equilatero). p= circonferenza di raggio r o arco di raggio a (l' angolo dell'arco è il doppio dell'angolo del triangolo di vertice V) S l = Superficie del settore circolare Formule cono retto S b =πr 2 S l = pa 2 =πra S t =S l + S b =π ra+ π r 2 =2 π r(a+ r) V = S h b 3 = π r2 h 3

pag. 16 2.16. Sfera La sfera è il solido che si ottiene facendo ruotare un semicerchio di un giro completo attorno a un suo cateto. La superficie sferica è l'insieme dei punti dello spazio equidistanti dal centro della sfera. Formule sfera S=4πr 2 V = 4 3 πr3 N.B. Due solidi sono equivalenti se hanno lo stesso volume Ricorda p s = P V Peso specifico δ= M V Densità (g/cm 3 ; kg/dm 3 ) p= P S b Pressione (atm, g/cm², pascal) Un corpo immerso in un liquido affornda se la sua densità è maggiore di quella del liquido, galleggia se la sua densità è minore di quella del liquido. Se un corpo non affonda, la parte immersa nel liquido è: liquido solido h h= altezza corpo liquido solido x100 valore in percentuale