Fisica Generale B 4. Corrente Elettrica http://campus.cib.unibo.it/2474/ March 21, 2017
Corrente Elettrica bbiamo visto che in condizioni statiche (equilibrio) il campo elettrico E all interno di un conduttore è sempre nullo: ltrimenti gli elettroni di conduzione si muoverebbero, accelerati dal campo, per cui le condizioni non sarebbero più statiche. Se invece tra due punti e B di un conduttore esiste una differenza di potenziale allora il conduttore non è più all equilibrio: Gli elettroni di conduzione (nel caso di un conduttore metallico) si mettono in moto e il conduttore risulta percorso da una corrente elettrica. E = V = V x î = ΔV Δx î = = V V B l F = Eq î = V V B l î E S v e B ȷ e l V > V B 2
Conduttori Elettrolitici e Conduttori Metallici Un conduttore elettrolitico è costituito tipicamente da un sale (p. es. NaCl, cloruro di sodio, sale da cucina) in soluzione acquosa. In un conduttore elettrolitico sono presenti cariche elettriche mobili (ioni) sia negativi, sia positivi (p. es., Na e Cl ). In un conduttore metallico le uniche cariche elettriche mobili sono gli elettroni di conduzione (e ) di carica negativa. E Cl Na ȷ E ȷ e 3
Modello di Drude-Lorentz Se ΔV è costante, cioè se E è costante, e dunque anche la forza esercitata sugli elettroni è costante, ci aspetteremmo che fosse costante l accelerazione degli elettroni, per il II Principio della Dinamica. Invece si trova che: v e E, a e E Come può accadere? Si può spiegare (modello di Drude-Lorentz) considerando gli elettroni come cariche libere (gas) nel reticolo cristallino, soggette al campo elettrico e interagenti con gli ioni del reticolo. 4
Modello di Drude-Lorentz (II) Nell intervallo di tempo che intercorre tra due urti successivi, un elettrone di conduzione si muove effettivamente di moto uniformemente accelerato, con accelerazione: a e = q e m e E in accordo con il II Principio della Dinamica. Nell urto contro uno ione del reticolo l elettrone è soggetto, oltre che al campo elettrico, a una forza d urto: l elettrone cede una parte della propria energia allo ione del reticolo: L elettrone rallenta; Lo ione colpito aumenta l ampiezza della propria vibrazione (gli ioni del reticolo vibrano sempre a T > 0 K). 5
Modello di Drude-Lorentz (III) Se p(t) dt è la probabilità di avere un urto nell intervallo di tempo [t, t dt] dopo l urto precedente, allora il tempo medio che intercorre tra due urti è: τ = t = 0 t p( t)dt Tra un urto e il successivo la velocità cresce con il tempo come (moto uniformemente accelerato): v e = q e E t m e La velocità media di un elettrone sarà perciò: v e = v ( e t) p( t)dt = 0 0 q e E m e t p( t)dt 6
Modello di Drude-Lorentz (IV) Da questa espressione si ottiene: q v e = e E t p( t)dt = q E e m e m t p( t)dt e 0 0 v e = q E e τ E m e = q E e τ m e τ = t = 0 t p( t)dt Questo spiega perché vi sia proporzionalità tra campo elettrico e velocità e non tra campo elettrico e accelerazione. 7
Modello di Drude-Lorentz (V) Si ricordi che v è la velocità media di deriva degli elettroni, con la stessa direzione e verso opposto al campo elettrico. Gli elettroni possiedono anche una velocità di agitazione termica, presente anche in assenza di campo elettrico, il cui valore medio è nullo essendo casuale la sua direzione. La velocità di agitazione termica è tipicamente molto maggiore della velocità media di deriva: Per una corrente di 1 che percorre un filo di 4 mm 2, la velocità di deriva è dell ordine di v 1 mm/s, mentre la velocità di agitazione termica a temperatura ambiente è dell ordine di 100 km/s. 8
Intensità di Corrente Presa una sezione S del conduttore, si definisce intensità di corrente la carica elettrica che attraversa la sezione nell unità di tempo: i = dq e dt Nel Sistema Internazionale l intensità di corrente elettrica si misura in mpère (simbolo: ) e la sua è una dimensione primitiva del Sistema Internazionale. E S v e B ȷ e l V > V B 9
Intensità di Corrente (II) L mpère viene definito come l intensità di corrente elettrica che, fluendo in 2 conduttori rettilinei, paralleli, indefinitamente lunghi, di sezione circolare trascurabile, posti alla distanza di un metro, determina fra di essi una forza magnetica di 2 10 7 N per metro di conduttore. E S v e B ȷ e l V > V B 10
Densità di Corrente Si definisce densità di corrente la carica elettrica che attraversa l unità di superficie nell unità di tempo: j = i S = 1 dq e S dt Mentre l intensità di corrente si riferisce all intera sezione di un conduttore, la densità di corrente è definita punto per punto. La densità di corrente si può definire vettorialmente, prendendo direzione uguale e verso opposto alla forza che agisce su di un elettrone che si trovi in quel punto. E S v e B ȷ e l V > V B 11
Densità di Corrente (II) Data una superficie (in generale aperta) S, l intensità di corrente attraverso di essa risulta perciò: i = S ȷ i ˆn ds = φ S ȷ ( ) livello microscopico si ha: ȷ = N e q ve e dove N e è il numero di elettroni (portatori di carica) per unità di volume. E S v e B ȷ e l V > V B 12
Densità di Corrente (III) Infatti la carica che nell intervallo di tempo Δt attraversa la superficie ΔS è quella contenuta nel volume ΔV = ΔS v e Δt, di base ΔS e altezza v e Δt. Il numero di elettroni contenuto in tale volume è: ΔN = N e ΔV = N e ΔS v e Δt t = t 0 La carica elettrica contenuta in tale volume è: ΔQ = ΔN q e = N e q e ΔS v e Pertanto la carica elettrica che nell unità di tempo attraversa l unità di superficie è: j = ΔQ Δt ΔS = N e q e v e Δt t = t 0 Δt v e v e Δt ΔS ΔS v e v e Δt 13
Legge di Ohm Dall espressione trovata per la velocità di deriva degli elettroni e dalla definizione di densità di corrente si ha: ȷ = N e q ve e v e = q E e q ȷ = N τ e q e E 2 q e τ = N e m m e τ e m E e e ȷ = σ E E = ρ (legge di Ohm forma locale) ȷ dove σ (conduttività) e ρ = 1/σ (resistività) sono caratteristiche del materiale (non dipendono da forma e dimensioni del conduttore). 2 q σ = N e e τ m e ρ = m e N e q 2 e τ E S v e B ȷ e l V > V B 14
Legge di Ohm (II) Per un conduttore esteso filiforme si ha: j = E ρ E = ΔV i = js = E ρ S = ΔV lρ S = ΔV lρ l S Definita resistenza la quantità: R = lρ S Si ha: ΔV = Ri (legge di Ohm forma integrale) E S v e B ȷ e l V > V B 15
Legge di Ohm (III) Nel Sistema Internazionale la resistenza si misura in Ohm (simbolo: Ω): 1Ω = 1V 1 e le dimensioni sono: R = V I = ML2 T 3 I 1 I = ML 2 T 3 I 2 Per quanto riguarda la resistività, si ha: ρ = RS l ρ = R L 2 L = RL = ML 3 T 3 I 2 per cui le unità di misura sono gli Ohm-metri (Ωm). 16
Legge di Ohm (IV) Materiale Resistività ρ [Ωm] argento 1.59 10 8 rame 1.70 10 8 ferro 10 7 carbone 6-8 10 5 acqua di mare 0.2 acqua distillata 2.6 10 5 legno 10 8-10 11 vetro 10 10-10 14 17
Resistori Nei circuiti elettronici si utilizzano molto spesso dispositivi a due fili, detti resistori, aventi una certa resistenza elettrica (dall ordine del decimo di Ω all ordine del MΩ) ben calibrata (2-10% di tolleranza). Essi sono costituiti da un conduttore (molto spesso si tratta di carbone) di resistività nota e lunghezza e sezione tali da ottenere la resistenza voluta. R 18
Collegamento in Serie di Resistori Collegando in serie 2 resistori essi saranno entrambi percorsi dalla medesima intensità di corrente i. pplicando a essi la legge di Ohm si ha: V V M = R 1 i V M V B = R 2 i V V B = ( R 1 R 2 )i V V B = ( V V ) M ( V M V ) B = R 1 i R 2 i Il sistema formato da 2 resistori in serie è equivalente a un unico resistore. Infatti, posto: R 1 M i R tot = R 1 R 2 R 2 Per esso vale la legge di Ohm: V V B = R tot i B 19
Collegamento in Parallelo di Resistori Collegando in parallelo 2 resistori essi saranno entrambi sottoposti alla medesima differenza di potenziale ΔV = V B V. pplicando a essi la legge di Ohm si ha: i 1 = V V B R 1 i 2 = V V B R 2 i = i 1 i 2 = V V B R 1 V V B R 2 ( ) = V V B 1 R 1 1 R 2 i 1 i i 2 V V B = 1 1 i R 1 R 2 R 1 1 R 2 B 20
Collegamento in Parallelo di Resistori (II) Il sistema formato da 2 resistori in parallelo è equivalente a un unico resistore. Infatti, posto: 1 R tot = 1 R 1 1 R 2 R tot = R 1 R 2 R 1 R 2 Per esso vale la legge di Ohm: V V B = R tot i i i 1 i 2 R 1 R 2 B 21
Legge di Joule Quando una corrente i scorre lungo un conduttore filiforme, la carica che attraversa la sezione del conduttore nel tempo dt è: dq = idt Il lavoro compiuto dal campo elettrico nello spostamento della carica dq dal punto al punto B (o della carica dq dal punto B al punto ) è uguale alla variazione dell energia potenziale della carica dq: de = dq ΔV: dl = de = ΔV dq = ΔV idt = ( Ri)idt = Ri 2 dt E S v e B ȷ e dl = v e dt V > V B 22
Legge di Joule (II) La potenza (energia per unità di tempo) spesa dal campo elettrico per fare scorrere la corrente i da a B sarà perciò: P = dl dt = Ri2 dt dt P = Ri 2 = Ri 2 (legge di Joule) Tale potenza è persa negli urti degli elettroni contro gli ioni del reticolo, che in questo modo aumentano la propria energia vibrazionale. Conseguentemente a tali urti il reticolo aumenta la propria energia interna e la propria temperatura. Si tratta perciò di potenza E dissipata in calore S v e (riscaldamento del ȷ conduttore, effetto Joule). B e V > V B 23
Legge di Joule (III) Utilizzando la legge di Ohm si può scrivere la potenza dissipata anche in altre forme: P = Ri 2 i = ΔV R P = iδv ( P = ΔV ) 2 R P = Ri ΔV R = iδv P = R ΔV 2 R ( = ΔV ) 2 R E S v e B ȷ e V > V B 24
Legge di Joule (IV) La legge di Joule si può scrivere anche in forma locale. Lavoro compiuto da E su elettroni nel volume dv nel tempo dt : E S v e B ȷ e V > V B 25
Legge di Joule (V) Le lampadine a incandescenza funzionano proprio per effetto Joule: Una corrente scorre attraverso un filamento sottile di tungsteno aumentandone la temperatura fino a renderlo incandescente. ltre applicazioni dell effetto Joule sono la stufa elettrica, il fornello elettrico, il ferro da stiro, l asciugacapelli, il tostapane, il fusibile, ecc. 26
Superconduttori bbiamo visto che un materiale conduttore è caratterizzato dalla propria resistività che è sempre maggiore di zero. Esistono tuttavia materiali, detti superconduttori, i quali a temperature molto basse: 1-30 K per i cosiddetti superconduttori a bassa temperatura; 70-140 K per i cosiddetti superconduttori ad alta temperatura. Mostrano una resistività nulla, a causa di un effetto di meccanica quantistica nell interazione elettrone-reticolo. 10 ρ[ Ωm] YBa 2Cu3O7 5 0 0 100 T [ K] 27
Generatori Elettrici Per ottenere il passaggio di una corrente elettrica attraverso un conduttore è necessario mantenere una differenza di potenziale ai suoi estremi. Tale risultato si ottiene facendo uso di opportune macchine elettriche, dette generatori elettrici (pile, accumulatori, dinamo, alternatori, macchine elettrostatiche, ecc.). Poiché il campo elettrico è conservativo: "" E idp = 0 # l E non può compiere lavoro e non può far circolare le cariche nel circuito (si osservi che nel generatore i ha il verso opposto a E). i V 1 E i V2 2 G i E V V 1 i 28
Generatori Elettrici (II) Segue che nel generatore ci debbono essere forze di natura non elettrica le quali non sono conservative e determinano il moto delle cariche: Nelle pile e batterie avvengono reazioni chimiche di ossidoriduzione nelle quali è energeticamente favorito il movimento delle cariche contro il campo elettrico. Nelle dinamo e negli alternatori è presente un campo magnetico che muove le cariche elettriche in direzione opposta al campo elettrico. Nel generatore di Van der Graaf un azione meccanica esterna trasporta le cariche elettriche in direzione opposta al campo elettrico. i i V2 2 G E E V i V 1 i V 1 29
Generatore di Van der Graaf La carica elettrica viene trasportata in direzione opposta al campo da un sistema meccanico composto da un motore che mette in movimento una cinghia di gomma. L intenso campo in prossimità della punta P 1 sottrae elettroni alla cinghia, che si carica positivamente. La punta P 2, per induzione si carica negativamente, mentre la sfera S si carica positivamente. Gli elettroni sfuggono dalla punta P 2 e neutralizzano la cinghia. 30
Generatore di Van der Graaf (II) a, b: rulli M: motore S: elettrodo (sfera) G : generatore (~1000 V) P 1, P 2 : punte : piastra metallica 31
Generatore Van der Graaf da 5 MV al MIT 32
http://campus.cib.unibo.it/2474/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it https://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/gallididattica