Esercitazione n 5 1 Limiti e continuità di funzioni in più variabili Esercizio 1: Si verifici ce la funzione f definita per ogni (, y) R 2 da { 4 y 4 se (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0 se (, y) = (0, 0) è continua in (0, 0) come funzione di due variabili. Sol.: Osserviamo ce per (, y) (0, 0) si a e ce 4 y 4 2 + y 2 = 2 y 2 2 y 2 2 + y 2 0. (,y) 0 Esercizio 2: Si consideri la funzione f definita per ogni (, y) R 2 da { 4 se (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0 se (, y) = (0, 0) Si verifici la continuità di f in (0, 0) come funzione di due variabili. Sol.: Basta verificare ce esiste e ce tale ite vale 0. Infatti (,y) (0,0) 4 2 + y 2 0 4 2 + y 2 2 ( 2 + y 2 ) 2 + y 2 = 2 2 + y 2 = (, y) 2 Dunque se (, y) 0 ance la funzione converge a 0 come voluto. Esercizio 3: Si consideri la funzione f definita per ogni (, y) R 2 da { y se (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0 se (, y) = (0, 0) 1
Si verifci ce f è continua separatamente nelle due variabili e y, ma non è continua in (0, 0) come funzione di due variabili. Sol.: Considerare la funzione f separatamente nelle due variabili vuol dire studiarne il comportamento sulle rette y = y 0 e = 0 dove 0 e y 0 sono valori fissati. Nel primo caso si a g() = f(, y 0 ) = y 0 2 + y0 2 la quale è continua se y 0 0 in quanto rapporto di due polinomi con denominatore non nullo, ed è identicamente nulla per y 0 = 0. Abbiamo quindi la continuità nella variabile. Nel secondo caso (y) = f( 0, y) = 0y 2 0 + y 2 e con un ragionamento del tutto analogo al precedente si mostra la continuità ance nella variabile y. Mostriamo ora però ce non esiste f(, y) (,y) (0,0) Infatti, se consideriamo le rette y = m abbiamo f(, m) = m 2 2 + m 2 2 = Se dunque esistesse il ite cercato si dovrebbe avere Assurdo. f(, y) = (,y) (0,0) m 1 + m 2 m 1 + m 2 m R Nota: si osservi ce una volta mostrata la continuità rispetto ad una delle due variabili, si ottiene ance la continuità nell altra variabile in quanto f è una funzione simmetrica in e y. Esercizio 4: Si consideri la funzione f(, y) = 2 y 4 + y 2 Si verifci ce esiste il ite per t 0 di f su tutte le rette di equazione parametrica = lt, y = mt ed il valore di tale ite è indipendente da l e m. Si mostri ce tuttavia non esiste il ite di f per (, y) tendente a (0, 0). Sol.: Sulle rette di equazione = lt, y = mt si a f(lt, mt) = l 2 mt 3 (l 4 t 2 + m 2 )t = t l 2 m 2 l 4 t 2 + m 0 2 t 0 Consideriamo però ora le curve di equazione y = m 2 : f(, m 2 ) = m 4 (1 + m 2 ) = m 4 1 + m 2 2
Dunque il ite per tendente a 0 di f su tali curve dipende dal parametro m della curva scelta. Non può quindi esistere f(, y). (,y) (0,0) Esercizio 5: Estendere con continuità (dove possibile) su tutto R 2 le seguenti funzioni: (a)f(, y) = sin(2 2y) y (b)f(, y) = y log( 2 + y 2 ) Sol.: (a): la funzione è definita al di fuori della retta y =. Poniamo t = y. Ricordando ce sin 2t = 2 t 0 t possiamo estendere f con continuità sulla retta y = ponendo f(, ) = 2. (b): f non è definita soltanto nell origine. Abbiamo y log( 2 + y 2 ) = y log( 2 + y 2 ) 1 2 (2 + y 2 ) log( 2 + y 2 ) e l ultimo membro delle disuguaglianze converge a 0 nell origine. Quindi la funzione data può essere estesa ponendo f(0, 0) = 0. 2 Derivate parziali e differenziabilità Definizione 2.1 Una funzione f definita in un intorno di un punto di coordinate (, y) ammette derivate parziali in tale punto se esistono finiti i due iti f( +, y) f(, y) e f(, y + ) f(, y) Tali iti si diranno in tal caso rispettivamente derivata parziale rispetto a e derivata parziale rispetto a y della funzione f nel punto (, y). Per il seguito indiceremo le derivate parziali di una funzione f rispetto ad una variabile con il simbolo f indicizzato dalla variabile rispetto a cui si deriva (ad esempio, la derivata parziale di f(, y) rispetto alla variabile sarà indicata con f ). Analogamente, le derivate parziali seconde saranno indicizzate dalle variabili rispetto a cui si deriva nell ordine di derivazione (f y indicerà la derivata di f rispetto ad y). Esercizio 6: Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni nei punti interni ai loro insiemi di definizione: (a)f(, y) = y +y (b)f(, y) = 1 + 2 (c)f(, y) = y log( 2 + y 2 ) (d)f(, y) = sin(y) Sol.: (a): deriviamo prima rispetto a e poi rispetto a y f = ( + y) ( y) ( + y) 2 = 3 2y ( + y) 2
(b): f y = ( + y) ( y) ( + y) 2 = 2 ( + y) 2. f = 1 + 2 Poicé nell espressione di f non compare la variabile y (c): f y = 0 f = y log( 2 + y 2 ) + y 2 2 + y 2 Poicé f è simmetrica nelle due variabili f y a la stessa espressione di f (in cui scambi il ruolo di ed y). Dunque f y = log( 2 + y 2 2y ) + y 2 + y 2 (d): ance in questo caso una volta determinata f l altra derivata parziale si ottiene per simmetria: f = y cos(y) f y = cos(y) Esercizio 7: Verificare ce la funzione f(, y) = 2 + y 2 non ammette derivate parziali nel punto (0, 0). Sol.: Basta verificare ce sugli assi coordinati la funzione non è derivabile. Infatti se y = 0 abbiamo f(, 0) = 2 = ce non ammette derivata per = 0. Per simmetria se = 0 f(0, y) = y da cui segue ce non esistono f né f y nell origine. Definizione 2.2 Siano, R n. Una funzione f è differenziabile nel punto se esiste una funzione lineare L : R n R tale ce f( + ) f() L() Il funzionale L si dice allora differenziale di f e si a = 0. L() = n f i () i. i=1 4
Esercizio 8: Verificare ce la funzione { y se (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0 se (, y) = (0, 0) è continua ma non differenziabile nell origine. Sol.: Si a da cui segue la continuità in (0, 0). Calcoliamo le derivate parziali prime di f: ed analogamente Tuttavia y 1 2 + y 2 + y 2 2 2 f (0, 0) = f(, 0) f(0, 0) f y (0, 0) = f(0, ) f(0, 0) = 0 = 0 f(, k) f(0, 0) k = (,k) (0,0) 2 + k 2 (,k) (0,0) 2 + k 2 e tale ite non esiste (si veda l esercizio 3). Dunque f non è differenziabile nell origine. Esercizio 9: Verificare ce la funzione f(, y) = y α (α > 0) è differenziabile nell origine se e solo se α > 1/2. Sol.: Poicé la funzione è identicamente nulla su entrambi gli assi coordinati abbiamo f (0, 0) = f y (0, 0) = 0. La condizione di differenziabilità diventa quindi (,k) (0,0) k α 2 + k 2 = 0. Si tratta quindi di studiare la funzione di due variabili g(, y) = y α 2 + y 2 Guardiamo cosa avviene sulle rette y = m: Se α < 1/2 abbiamo g(, m) = 2α 1 m α 1 + m 2 g(, m) = + 0 5
indipendentemente dal valore di m. Per α = 1/2 il ite cercato non esiste. Osserviamo inoltre ce t α = ( t 2 ) α ( t 2 + u 2 ) α = (t 2 + u 2 ) α/2 per ogni t, u R. Dunque per α > 1/2 abbiamo g(, y) = y α 2 + y (2 + y 2 ) α 2 2 + y 2 = (2 + y 2 ) α 1/2 ce converge a 0 quando (, y) (0, 0). Ne segue la differenziabilità di f per α > 1/2 come voluto. Esercizio 10: Stabilire se in (0, 0) risulta continua, derivabile o differenziabile la funzione definita da f(0, 0) = 0 e, per (, y) (0, 0), da: f(, y) = Sol.: Calcoliamo f sulle rette y = m f(, m) = 1 cos y 4 + y 4 1 cos m2 1 cos m2 m 2 = (1 + m 4 )4 m 2 4 1 + m 4 0 1 m 2 2 1 + m 4 Pertanto f non è continua né differenziabile in (0, 0). Però è derivabile: f è identicamente nulla sugli assi coordinati dunque f (0, 0) = f y (0, 0) = 0 3 Altri esercizi svolti Esercizio 11: Estendere con continuità (dove possibile) su tutto R 2 le seguenti funzioni: (a)f(, y) = y y (b)f(, y) = e+y 1 3+3y Sol.: (a): f è definita al di fuori degli assi coordinati. In questo caso però osserviamo ce sull iperbole y = 1 (come su tutte le iperboli y = t con t > 0) la funzione vale identicamente 1, mentre sulle iperboli y = t con t < 0 la funzione vale -1. Non esiste quindi il ite di f sugli assi coordinati e la funzione non si estende. (b): f non è definita sulla retta + y = 0. Ponendo + y = t abbiamo e t 1 t 0 3t = 1 3 e dunque la funzione si estende ponendo f(, ) = 1 3. Esercizio 12: Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni nei punti interni ai loro insiemi di definizione: (a)f(, y) = 2 y (b)f(, y) = y log (c)f(, y) = ( ) 1 + 1 y (d)f(, y) = y 6
da cui Sol.: (a): abbiamo (b): scriviamo f come 2 y = e y log 2 f = e y log 2 log 2 y 2 = 2 y log 2 y 2 f y = e y log 2 log 2 1 = 2 y log 2 1 y log log log y = e Calcoliamo f log log y 1 f = e log y = ylog 1 log y e per simmetria (c): f(, y) = (1 + 1 )y = e y log(1+ 1 ) da cui f y = e log log y 1 y log = ylog 1 y log f = e y log(1+ 1 ) y 1 1 (1 + 1) = (1 + 1 y 2 )y 1 2 mentre f y = e y log(1+ 1 ) log(1 + 1 ) = (1 + 1 )y log(1 + 1 ) (d): abbiamo y = e y log = e ey log log. Ne segue ( f = e ey log log e y log y log + ey log 1 ) = y y y log + 1 = y y 1 (y log + 1) mentre per f y si ottiene f y = e ey log log e y log log 2 = y y (log ) 2 Esercizio 13: Calcolare le derivate seconde delle seguenti funzioni nei punti interni ai loro insiemi di definizione e verificare ce le derivate seconde miste sono uguali tra loro: (a)f(, y) = y +y (b)f(, y) = 1 + 2 (c)f(, y) = y log( 2 + y 2 ) (d)f(, y) = sin(y) Sol.: Abbiamo già calcolato nell esercizio 6 le derivate parziali prime di queste funzioni. Si tratta quindi di derivare ancora rispetto alle due variabili. (a): abbiamo f = 2y (+y) 2, f y = 2 (+y) 2 da cui f = 4y f ( + y) 3 y = 2( + y)2 4y( + y) = ( + y) 4 7 2( y) ( + y) 3
(b): da f = f y = 2( + y)2 4( + y) ( + y) 4 = 1+ 2, f y = 0 otteniamo f = 1 + 2 2 1+ 2 1 + 2 = f y = f yy = 0 (c): le derivate prime sono f = y log( 2 + y 2 ) + y Ne segue f = 2y 2 + y + 2 2( y) ( + y) 3 f yy = 1 ( 1 + 2 ) 3 f y = 0 4 ( + y) 3 2, f 2 +y 2 y = log( 2 + y 2 ) + y 4y2 ( 2 + y 2 ) 2 Per calcolare f y riscriviamo f nella forma seguente: ) f = y (log( 2 + y 2 ) + 22 2 + y 2 Dunque ( ) f y = log( 2 + y 2 ) + 22 2y 2 + y + y 2 2 + y 42 y = 2 ( 2 + y 2 ) ( ) 2 = log( 2 + y 2 ) + 22 2y( 2 2 + y + y + y 2 ) 4 2 y = 2 ( 2 + y 2 ) 2 = log( 2 + y 2 ) + 22 2 + y 2 + 2y2 y 2 2 ( 2 + y 2 ) 2 = = log( 2 + y 2 ) + 2 4 + y 4 ( 2 + y 2 ) 2 Analogamente riscriviamo l espressione di f y : ) f y = (log( 2 + y 2 ) + 2y2 2 + y 2 Con gli stessi passaggi di prima otteniamo f y = log( 2 + y 2 ) + mentre per l ultima derivata 2y2 2 + y 2 + ( 2 2 + y 2 = log( 2 + y 2 ) + 2y2 2 + y 2 + 22 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 = = log( 2 + y 2 ) + 2 4 + y 4 ( 2 + y 2 ) 2 f yy = 2y 2 + y + 42 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 8 ) 4y2 = ( 2 + y 2 ) 2 2y 2 +y 2.
(d): abbiamo f = y cos(y), f y = cos(y) da cui f = y 2 sin(y) f y = cos(y) y sin(y) f y = cos(y) y sin(y) f yy = 2 sin(y) Esercizio 14: Verificare ce la funzione { 3 y se (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0 se (, y) = (0, 0) ammette derivate seconde miste distinte nell origine. Sol.: Verificiamo ce f è continua nell origine: 3 y 2 + y 2 1 2 2 1 2 (2 + y 2 ) 0. (,y) (0,0) Abbiamo mentre f = 32 y( 2 + y 2 ) 2 4 y = 4 y + 3 2 y 3 ( 2 + y 2 ) 2 ( 2 + y 2 ) 2 f y = 3 ( 2 + y 2 ) 2 3 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 = 5 3 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 per ogni (, y) (0, 0). Sia f ce f y convergono a 0 nell origine: f = 4 y + 3 2 y 3 ( 2 + y 2 ) 2 = 2 y 2 + 3y 2 ( 2 + y 2 ) 2 3 2 D altra parte f y = 5 3 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 = 3 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 f (0, 0) = f(, 0) f(0, 0) f(0, ) f(0, 0) f y (0, 0) = = 0 = 0 = 0 = 0 quindi ance le derivate parziali prime sono continue. Calcoliamo allora le derivate parziali seconde miste nell origine: f y (0, 0) = f (0, ) f (0, 0) f y (0, 0) = f y (, 0) f y (0, 0) = 0 = 0 = = 1 0 9
Esercizio 15: Stabilire se la funzione sin 2 +y 2 se (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 1 se (, y) = (0, 0) è differenziabile nell origine. Sol.: Abbiamo e per simmetria f (0, 0) = f(, 0) f(0, 0) f y (0, 0) = 0 Per la differenziabilità dobbiamo quindi verificare se Ma = sin f(, k) f(0, 0) = 0. (,k) (0,0) 2 + k 2 f(, k) f(0, 0) sin = 2 + k 2 2 + k 2 (,k) (0,0) 2 + k 2 (,k) (0,0) 2 + k 2 Dunque f è differenziabile in (0, 0). = 0 = t= 2 +k 2 sin t t = 0 t 0 t 2 Esercizio 16: Stabilire se in (0, 0) risulta continua, derivabile o differenziabile la funzione definita da f(0, 0) = 0 e, per (, y) (0, 0), da: (a)f(, y) = 1 cos y (b)f(, y) = log 2 + 3y 2 2 + y 2 2 + y 2 Sol.: (a): possiamo scrivere f(, y) = 1 cos y (y) 2 (y) 2 2 + y 2 0 (,y) (0,0) Dunque f è continua nell origine. Per un ragionamento del tutto analogo a quello dell esercizio 10 f è ance derivabile e le sue derivate parziali in (0, 0) sono nulle. D altra parte f(, k) f(0, 0) = (,k) (0,0) 2 + k 2 (,k) (0,0) 1 cos k ( 2 + k 2 ) 3 = 1 2 (,k) (0,0) da cui segue ce f è ance differenziabile. (b): abbiamo f(, y) = log(1 + 2y2 2 + y ) 2 y 2y 2 + y y 2 10 2 k 2 ( 2 + k 2 ) 3 = 0
Pertanto f è continua nell origine. Inoltre f è nulla sugli assi coordinati da cui Tuttavia f (0, 0) = f y (0, 0) = 0 2 +3k2 f(, k) f(0, 0) log = 2 +k 2 (,k) (0,0) 2 + k 2 (,k) (0,0) 2 + k 2 e tale ite non esiste (ciò si può vedere ad esempio sulle rette k = m). Ne segue ce f non è differenziabile. 11