FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI DEFINIZIONE VARIABILI Una funione f, associa ad ogni una coppia ordinata di numeri reali,, appartenente ad un sottoinsieme S del piano, uno e un solo numero reale. Il sottoinsieme S, nel quale la funione f è definita, è detto DOMINIO di f,. Per una funione f, le variabili indipendenti sono due; l ascissa e l ordinata. La variabile dipendente,, è detta quota. Il punto P,, ) è situato nello spaio cartesiano a tre dimensioni. Tutti i punti dello spaio che soddisfano l equaione f, appartengono ad una SUPERFICIE nello spaio Rappresentaione grafica di f, EQUAZIONE DI UN PIANO Nello spaio cartesiano, un piano si rappresenta mediante un equaione lineare nelle tre variabili, e. In forma implicita tale piano ha equaione a b c d In forma esplicita l equaione è m n q PIANI PARTICOLARI Particolarmente interessanti sono i piani che contengono gli assi cartesiano. In particolare Piano detto anche piano Piano detto anche piano Piano detto anche piano ) k detto anche piano di livello, Piano parallelo al piano =) Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.
CALCOLO DEL DOMINIO CALCOLO DEL DOMINIO Per calcolare il dominio di una funione f, è necessario risolvere disequaioni nelle due variabili e. La soluione è un sottoinsieme, una parte del piano. Ad esempio, la funione esistena tutti i punti che soddisfano la disequaione, cioè, cioè tutti i punti interni al ha come campo di cerchio di centro O e raggio compresi i punti della circonferena) Altro esempio: la funione ln ha come campo di esistena tutti i punti che soddisfano il sistema di disequaioni: la cui soluione è rappresentata dai punti interni alla circonferena di centro O, raggio e da quelli al di sopra della parabola di equaione, cioè tutti punti tra le due curve indicati con la lettera S. I punti della circonferena soddisfano le condiioni di esistena, mentre i punti appartenenti alla parabola vanno esclusi dal dominio. Un modo rapido ed efficace per scegliere quale parte di piano soddisfa le condiioni di realtà, ossia verifica la disuguagliana nel piano, è prendere un comodo punto P, detto PUNTO DI PROVA) e sostituire i valori e nella disequaione. Se questa è soddisfatta, allora tutta la regione di piano che contiene P fa parte del dominio; se invece la disequaione non è soddisfatta, devo prendere la parte di piano che NON contiene P. Ad esempio, la funione ha come condiioni di esistena. Se prendo, ad esempio, come punto di prova l origine O,) e sostituisco nella disequaione tali valori, ottengo che è manifestamente vero. Quindi va bene il punto O e tutta la regione che lo contiene. Se invece avessi preso il punto P,), sostituendo tali valori nella disequaione avrei ottenuto 6, cioè, relaione chiaramente falsa. Quindi il punto P, e tutta la parte esterna alla circonferena, vanno scartate dal dominio: in conclusione, prendo per buona la parte interna e i punti della circonferena). Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.
Una funione f,, dipendendo da due variabili, presenta anche due derivate: una rispetto alla variabile, l altra rispetto alla variabile. Per calcolare tali derivate, dette derivate pariali, bisogna ipotiare che una delle due variabili sia congelata, costante, ed effettuare la derivata solo rispetto all altra variabile. Per essere più chiari, nel calcolo della derivata pariale rispetto alla che si indica con o con ) bisogna considerare la variabile come costante e derivare solo rispetto alla. Così per o rispetto alla. ESEMPIO : se : bisogna considerare la variabile come costante e derivare solo 5 6 5 8, si ha che 5 6 5 5 6 5 5 6) 8 6 8 LE DERIVATE PARZIALI ESEMPIO : se ln 5), si ha che 5 5 5 ESEMPIO : se 7, si ha che derivata di un rapporto) 6 7 8 7 7 9 7 7 7 Come nel caso di funione di una variabile f ) la derivata prima serve per determinare i punti staionari, in quanto legata alla pendena della retta tangente alla curva, nelle funioni f, le due derivate pariali danno la pendena delle rette passanti per il punto della superficie e appartenenti al piano tangente, rispettivamente rispetto all asse delle ascisse e delle ordinate. Conoscere le derivate pariali, quindi, serve per identificare i punti nei quali il piano tangente è parallelo al piano. Questi punti, come vedremo, sono punti staionari per la superficie nello spaio: quindi punti di massimo o di minimo, ad esempio. Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.
P un punto appartenente ad una superficie di equaione f, ; Sia,, ) l equaione del piano tangente alla superficie in P ha equaione: f, f, ) f, ) è la derivata pariale prima rispetto alla calcolata in, ), f, ) è la derivata pariale prima rispetto alla calcolata in ) Ecco come può apparire un piano tangente: EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE AD UNA SUPERFICIE EQUAZIONE DEL PIANO TENGENTE AD UNA SUPERFICIE: un esempio Ad esempio data la funione, la funione piano P, ) 5 6 e il punto nel Per prima cosa calcoliamo la quota, 5 6 Calcolo le derivate pariali prime: 5 6 e i loro valori nel punto assegnato:,, 5 6 L equaione del piano tangente quindi è: ) Ossia Le derivate pariali prime, quindi, rappresentano le pendene del piano tangente ad una superficie rispetto agli assi coordinati. La posiione di un piano, infatti, è determinata da due angolaioni: una rispetto all asse delle, l altra rispetto all asse delle. Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.
RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI Abbiamo visto che le derivate pariali prime e sono legate alle pendene del piano tangente rispetto agli assi coordinati. In un punto staionario di massimo, di minimo o di sella) il piano tangente, ovviamente, è parallelo al piano. Di conseguena questo piano tangente deve essere a pendena nulla, rispetto agli assi coordinati. Premesso ciò, è facile desumere che la CONDIZIONE NECESSARIA perché un punto P,, ) della superficie f, sia STAZIONARIO è che in esso le derivate, pariali prime siano entrambe nulle, ossia sia verificato che, ) Per determinare i punti staionari, quindi: ) Calcolo le derivate pariali prime e ) Risolvo il sistema ) Le soluioni di tale sistema, quindi, sono le coordinate dei punti staionari di una funione f, ; tali coordinate, sono relative a punti del piano. Per avere anche la quota, devo sostituire tali valori nella funione f,. PUNTO DI MINIMO I PUNTI STAZIONARI PUNTO DI MASSIMO PUNTO DI SELLA Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.5
Nello studio di funioni nel piano, abbiamo visto che il segno della derivata seconda permettere di capire se il punto staionario è di massimo, di minimo e un flesso a tangente oriontale. CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI Anche nelle funioni nello spaio di equaione f, esistono le derivate pariali) seconde; esse sono quattro: " " " " che potete trovare anche con le scritture: " e " si chiamano derivate seconde pure; " e " prendono il nome di derivate seconde miste. Per il TEOREMA DI SCWARTZ, le derivate seconde miste, se continue in un sottoinsieme S del piano, sono pure uguali tra loro " " ). Per calcolare ciascuna di queste derivate, si parte dalle derivate prime derivano, rispettivamente, rispetto alla e alla. Per classificare i punti staionari trovati con la risoluione del sistema nel modo seguente. Si definisce ESSIANO e e le si si procede, il determinante della matrice quadrata del secondo ordine i cui elementi sono le derivate pariali seconde. Cioè: " " " " " " " " CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI STAZIONARI: L ESSIANO Naturalmente, nel punto generico P,, l essiano è una funione di e di. In un punto specifico P, ), invece, l essiano è un numero. Per classificare il punto staionario P, ) è necessario conoscere il valore dell essiano,, calcolato nel punto stesso, e il valore della derivata seconda rispetto ad due volte cioè " )., Questa la tabella per la classificaione,,,,, ) " " P è PUNTO di MASSIMO, ) P è PUNTO di MINIMO P, ), è PUNTO di SELLA NULLA si può affermare su P, ) Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.6
ESMPIO: DETERMINARE E CLASSIFICARE I PUNTI STAZIONARI 5 6 Data la funione Calcoliamo le derivate pariali prime: 6 6 5 I punti staionari si trovano risolvendo il sistema 5 Nel nostro caso 6 6 5 5 Il sistema ha come soluione i quattro punti: A, B, C, D, Calcoliamo ora le derivate seconde: che è un sistema di quarto grado " ; " 6 ; " 6 ; " 6 L ESSIANO è, in ogni punto Calcoliamo l essiano in ogni punto. A, : 6, ) 6 6 8 6 6 " ", " " 6 6 6 e ",, allora, Essendo, ) B 6,) 6 6 8 6 6 Essendo,) e ",, allora, A è punto di MININO B è punto di MASSIMO C, ) 6 8, allora, ) Essendo, ) C è punto di SELLA D,) 6 8, allora,) Essendo,) D è punto di SELLA Gianluca Rossini appunti di matematica a.s. / Pag.7