90. Le equazioni 1 Identità ed equazioni Consideriamo due tipi di uguaglianze. La somma di un numero con il suo triplo è uguale al quadruplo del numero stesso. Scriviamo questa frase con i simboli matematici utilizzando la x al posto del numero che non conosciamo (incognita): x þ x ¼ x Assegniamo alla lettera x i valori numerici 1, þ, e osserviamo che cosa succede all uguaglianza: pagg. 7-9 per x ¼ 1 per x ¼þ per x ¼ 1 þ ð 1Þ ¼ ð 1Þ 1 ¼ þ þ ðþþ ¼ ðþþ þ þ 6 ¼þ8 þ ð Þ ¼ ð Þ 9 ¼ 1 " ¼ " þ 8 ¼þ8 " 1 ¼ 1 L uguaglianza è sempre vera qualunque sia il valore attribuito alla lettera x. Uguaglianze di questo tipo sono dette identità. Un identità è un uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che è vera per qualunque valore numerico assegnato alle lettere che vi compaiono. La somma di un numero con il suo triplo è uguale a. Scriviamo anche questa frase con i simboli matematici: x þ x ¼þ: Per quali valori numerici dell incognita x questa uguaglianza è vera? per x ¼ 1 per x ¼þ6 per x ¼ 6 1 þ ð 1Þ ¼þ 1 ¼þ þ6 þ ðþ6þ ¼þ þ6 þ 18 ¼þ 6 þ ð 6Þ ¼þ 6 18 ¼þ " 6¼ þ " þ ¼þ " 6¼ þ In questo secondo tipo di uguaglianza, solo se attribuiamo all incognita x il valore þ 6, otteniamo una uguaglianza vera. Uguaglianze di questo tipo sono dette equazioni.
. Le equazioni 91 Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che è vera solo per determinati valori numerici assegnati alle lettere che vi compaiono. In conclusione: le identità sono uguaglianze sempre vere; le equazioni sono uguaglianze condizionate. CHECK POINT 1. Verifica se la seguente uguaglianza è vera per x ¼. x þ 7 þ x ¼ ðx þ Þ 1 þ 7 þ ::::: ¼ ð::::: þ Þ 1... ¼... Verifica ora se la stessa uguaglianza è vera per x ¼ 1. ð 1Þþ7 þð:::::þ ¼ ½ð:::::Þþ::::Š 1... ¼...... ¼... Verifica infine se l uguaglianza è vera per un qualsiasi valore scelto a piacere....... L uguaglianza considerata è un identità oppure un equazione?.... Verifica se la seguente uguaglianza è vera per x ¼. x þ 7 x ¼ 5x þ 1 ::::: þ ::::: ::::: ¼ 5 ::::: þ :::::... ¼... Verifica ora se la stessa uguaglianza è vera per un qualsiasi valore scelto a piacere....... L uguaglianza è una identità oppure un equazione?.... Risolvendo i due membri delle uguaglianze, stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità (I) e quali sono equazioni (E). a) ðx þ 1Þþ ¼ ðx 1Þ svolgi i calcoli della prima parte: x þ þ ¼ x... svolgi i calcoli della seconda parte:... i due risultati sono diversi?... l uguaglianza è un equazione. I E b) x þ ðx þ 1Þ ¼7x ðx 1Þ svolgi i calcoli della prima parte:... ¼... svolgi i calcoli della seconda parte:... ¼... i due risultati sono uguali? l uguaglianza è... c) ðx þ Þ ¼ x þ x þ I E e) 18 x 0 ¼ x þ 6 þ x I E d) 5x x ¼ x þ 1 8 I E f) 9x ¼ðx þ Þðx Þ I E
9. Le equazioni Le equazioni In ogni equazione la parte che si trova a sinistra del segno di uguaglianza si dice primo membro dell equazione; quella a destra si dice, invece, secondo membro dell equazione: equazione zfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflffl{ 1 o membro x þ 5 ¼ 1! o membro Il valore dell incognita, che verifica, cioè rende vera, un equazione trasformandola in un uguaglianza numerica, si dice soluzione o radice dell equazione stessa. Le incognite presenti nelle equazioni si indicano con lettere minuscole dell alfabeto: x, y, z ecc. I termini che non contengono l incognita sono detti termini noti. pagg. 0-1 Nell equazione: x þ 1 ¼ x þ1 èil termine noto del 1 o membro e il termine noto del o membro. Rispetto alle incognite le equazioni si possono classificare in diversi modi. a) In una equazione possono essere presenti una, due, o più incognite. Si definiscono, quindi, equazioni a una incognita, equazioni a due incognite, equazioni a tre incognite e così via. b) Le equazioni intere hanno termini con l incognita solo al numeratore. c) Le equazioni frazionarie hanno termini con l incognita anche al denominatore. a) x þ xy ¼ x y equazione a due incognite b) 1x x ¼ 5 equazione a una incognita c) x þ 1 ¼ x d) 1 x þ ¼ 8 equazioni intere e) 1 x ¼ f) 1 þ x 1 x ¼ 1 x þ 1 equazioni frazionarie Le equazioni vengono anche classificate rispetto al grado dei monomi che le compongono. Il grado di un equazione è determinato dal monomio di grado più elevato presente nell equazione stessa. Esistono quindi: equazioni di 1 o grado, equazioni di o grado, equazioni di o grado, e così di seguito. 1 a) x þ xy þ y ¼ þx equazione di o grado a due incognite b) x þ x x ¼ 8 equazione di o grado a una incognita Il nostro studio sarà rivolto a equazioni intere, di 1 o grado, a una incognita.
. Le equazioni 9.1 Equazioni equivalenti Risolvere un equazione significa determinare il valore, detto radice, (o i valori) da attribuire alle lettere affinché l uguaglianza sia verificata. Consideriamo le seguenti equazioni: x ¼ 8 e 5x ¼ x þ 1 Entrambe le equazioni sono verificate per x ¼ ; infatti, sostituendo tale valore al posto dell incognita x si ha: ¼ 8 e 5 ¼ þ 1 8 ¼ 8 10 ¼ 6 þ 1 7 ¼ 7 Le due equazioni hanno la stessa radice x ¼ e per questo motivo si dicono equivalenti. Due equazioni sono equivalenti quando le soluzioni di una sono le soluzioni dell altra e viceversa. La prima delle due equazioni considerate, x ¼ 8, è detta ridotta in forma normale. Un equazione di primo grado a un incognita si dice ridotta in forma normale se compaiono solo un termine che contiene l incognita e un termine noto. Un equazione ridotta in forma normale è del tipo: ax ¼ b con a 6¼ 0. Nei prossimi paragrafi vedremo come è possibile, applicando i principi di equivalenza, trasformare un equazione di forma complessa in un altra equivalente ridotta in forma normale e quindi risolvibile con maggiore facilità. 1. Completa la tabella. CHECK POINT EQUAZIONE N o DELLE INCOGNITE GRADO DELL EQUAZIONE PERTANTO L EQUAZIONE DATA È DI: ðx 1Þþ ¼ x þ 5 1 1 o 1 o grado a una incognita x þ xy ¼ x þ y 6x x þ 7 ¼ 0 x þ xy þ y ¼ þ x 5 þ x x ¼ x þ 8 segue
9. Le equazioni continua. Completa la tabella rispondendo con sì oppure no. x x þ 7 ¼ x x þ 1 EQUAZIONE È INTERA? È FRATTA? 1 ¼ x x 1 x ¼ 1 x. Indica se le equazioni seguenti sono ridotte in forma normale. x þ 5 ¼ x þ SÌ NO x ¼ 5 SÌ NO x ¼ 0 SÌ NO x ¼ 6 SÌ NO. Considera le seguenti equazioni e verifica che hanno la stessa radice x ¼. a) 6x ¼ x þ 6 b) 16x 10 ¼ x sostituisci in entrambe, al posto dell incognita x, il valore : a) 6... ¼... þ 6 b) 16... 10 ¼...... ¼... þ 6... 10 ¼...... ¼...... ¼... Avendo la stessa radice, le due equazioni si dicono... Primo principio di equivalenza Un equazione si può paragonare ad una situazione problematica in cui si chiede qual è la condizione che determina l equilibrio di una bilancia. Ad esempio, l equazione pagg. 1- x þ ¼ 10 (verificata per x ¼ Þ si può rappresentare nel seguente modo: Sul piatto di destra sono poste 10 sferette di peso unitario (1 g ciascuno). A sinistra sono poste due sferette blu che pesano 1 g ciascuno e due sferette rosse di peso non conosciuto. Quale peso dovrà avere ciascuna delle due sferette rosse affinché la bilancia sia in equilibrio? È evidente che ogni sferetta dovrà pesare g. Se ai due piatti di una bilancia in equilibrio aggiungiamo o togliamo un medesimo peso, la bilancia rimarrà ancora in equilibrio. Per esempio togliamo due sferette blu da ciascun piatto.
. Le equazioni 95 La nuova situazione si può rappresentare nel seguente modo: Anche in questo caso l equilibrio della bilancia si ha quando le sferette rosse pesano g ciascuna. Analogamente, se ai due membri di un equazione (verificata per un determinato valore) addizioniamo o sottraiamo uno stesso numero, l equazione sarà ancora verificata per lo stesso valore. Se ai due membri dell equazione considerata, x þ ¼ 10, sottraiamo il numero, si ottiene un equazione verificata sempre per x ¼, cioè un equazione equivalente a quella data: x þ ¼ 10! x ¼ 8 che è un equazione la cui radice è x ¼ ; infatti: ¼ 8 Il primo principio di equivalenza delle equazioni afferma che: Addizionando o sottraendo ai due membri di un equazione uno stesso numero o una stessa espressione si ottiene un equazione equivalente a quella data..1 Regole conseguenti al primo principio di equivalenza Regola della soppressione dei termini uguali Se in un equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, i due termini possono essere soppressi. Togliendo il termine x ad ambedue i membri dell equazione x þ x ¼ 10 x (verificata per x ¼ Þ si ottiene l equazione x þ ¼ 10, sempre verificata per x ¼. x þ x ¼ 10 x regola della soppressione dei termini uguali
96. Le equazioni Regola del trasporto dei termini In un equazione è possibile trasportare un termine da un membro all altro purché gli si cambi il segno. Nell equazione 5x þ ¼ x, aggiungendo il numero ad ambedue i membri, si ottiene l equazione equivalente: 5x þ ¼ x e poiché þ ¼ 0, si ha: 5x ¼ x. In questa equazione il termine risulta trasportato col segno cambiato dal primo al secondo membro. 5x þ ¼ x regola del trasporto dei termini CHECK POINT 1. Applica alle seguenti equazioni il primo principio di equivalenza e determina la loro soluzione. a) x þ ¼ sottrai ad entrambi i membri il numero : x þ ¼... x ¼... b) x 7 ¼ 9 addiziona ad entrambi i membri il numero 7: x 7 þ... ¼ 9 þ... x ¼... c) x ¼ x þ 1 addiziona e sottrai x ad entrambi i membri: x þ x ¼ x þ 1 þ...... x ¼... d) x þ 6 ¼ 6 x sottrai 6 e addiziona x ad entrambi i membri: x þ 6... þ... ¼ 6 x... þ... x ¼... x ¼.... Applica la regola del trasporto in modo che i termini con l incognita siano tutti al primo membro e i termini noti al secondo membro; risolvi, quindi, le equazioni. a) x 1 ¼ x þ x... ¼ þ... x ¼... x ¼... E b) x ¼ x 5 x... ¼ 5 þ... x ¼... E E E c) x 6 ¼ 8 x x þ... ¼ 8 þ... 7x ¼... x ¼... d) x 18 þ x 6 ¼ 16 x x þ x þ... ¼ 16 þ... þ... 10x ¼... x ¼... e) 7x þ þ 15x 5 ¼ 8x þ þ 9 applica la regola della soppressione dei termini uguali:... ¼... applica, ora, la regola del trasporto: 7x þ 15x... ¼ 9 þ...... x ¼... x ¼...
. Le equazioni 97 Secondo principio di equivalenza Consideriamo ancora l equazione x þ ¼ 10 (verificata per x ¼ Þ. Moltiplicando per uno stesso numero entrambi i membri dell equazione, ad esempio per, otteniamo un equazione verificata sempre per x ¼, cioè un equazione equivalente a quella data: ðx þ Þ ¼ 10! x þ ¼ 0; verifichiamo che la radice dell equazione è x ¼ : þ ¼ 0, 0 ¼ 0. Anche dividendo per uno stesso numero entrambi i membri dell equazione considerata, ad esempio dividendo per, otteniamo un equazione la cui radice è x ¼. ðx þ Þ : ¼ 10 :! x þ 1 ¼ 5; verifichiamo che la radice dell equazione è sempre x ¼ : þ 1 ¼ 5, 5 ¼ 5. Questo principio di equivalenza si può rappresentare graficamente nel modo seguente: pagg. - La bilancia è in equilibrio quando le sferette rosse pesano g ciascuna. La bilancia è in equilibrio quando le sferette rosse pesano g ciascuna. La bilancia è in equilibrio quando la sferetta rossa pesa g. Il secondo principio di equivalenza delle equazioni afferma che: Moltiplicando o dividendo i due membri di un equazione per uno stesso numero, diverso da zero, otteniamo un equazione equivalente a quella data..1 Regole conseguenti al secondo principio di equivalenza Regola del cambiamento di segno Cambiando il segno a tutti i termini di un equazione, si ottiene un equazione equivalente a quella data.
98. Le equazioni Moltiplicando per 1 i due membri dell equazione 10x þ ¼ 16x 8 (verificata per x ¼ Þ, si ha: 1 ð10x þ Þ ¼ 1 ð16x 8Þ cioè: 10x ¼ 16x þ 8, equazione che è verificata sempre per x ¼ : 10 ¼ 16 þ 8 ¼ þ 10x þ ¼ þ 16x 8 è equivalente a 10x ¼ 16x þ 8 regola del cambiamento di segno Regola della soppressione dei denominatori numerici Se un equazione contiene uno o più denominatori numerici, si può ottenere un equazione equivalente ad essa, ma senza denominatori, moltiplicando entrambi i membri, ovvero ciascun termine dell equazione, per il m.c.m. dei denominatori stessi. a) Moltiplicando i due membri dell equazione x þ ¼ x (verificata per x ¼ Þ per il m.c.m. dei denominatori che vi compaiono, cioè 6, si ottiene: x 6 þ ¼ 6 x! 6 x x þ 6 ¼ 6! ðx Þþ1 ¼ ðxþ 1 1 ed eseguendo le moltiplicazioni: x 9 þ 1 ¼ x (verificata sempre per x ¼ Þ. x b) x ¼! 1 x x ¼ 1! x x ¼! x ¼ m.c.m. (; ) ¼ 1 regola della soppressione dei denominatori numerici CHECK POINT 1. La seguente equazione è verificata per x ¼ ; dopo aver moltiplicato per sia il primo che il secondo membro dell equazione, verifica che la radice dell equazione ottenuta è sempre x ¼. x 5 ¼ 9 5x ðx 5Þ ¼... ð...þ effettuando le moltiplicazioni si ha: 6x... ¼... Ora sostituisci al posto delle lettere x il valore : 6... ¼...... ¼...... ¼... L equazione è verificata per x ¼?... segue
. Le equazioni 99 continua. La seguente equazione è verificata per x ¼ ; dopo aver diviso per 5 i due membri dell equazione, verifica che la radice dell equazione ottenuta è sempre x ¼. 5x 5 ¼ 5x 5 ð5x 5Þ : 5 ¼ (...) :... effettuando le divisioni si ha: 7x... ¼... Ora sostituisci al posto delle lettere x il valore : 7 ð Þ... ¼...... ¼...... ¼... L equazione è verificata per x ¼?... Puoi allora concludere che... Applica alle seguenti equazioni la regola della soppressione dei denominatori numerici e verifica poi che l equazione ottenuta è equivalente a quella data.. x 1 x ¼ (verificata per x ¼ ) il m.c.m. dei denominatori è...; moltiplica per tale numero i due membri dell equazione:... x 1 x ¼... effettua le moltiplicazioni: x... ¼ 6 ovvero... ¼ 6. Verifica ora che la radice dell equazione ottenuta è x ¼!... ¼ 6. 5. x 5 ¼ x þ (verificata per x ¼ 0) m.c.m. (5; ) ¼... pertanto:... da cui: x 5 ¼... x þ 8x :::::::::: ¼ 5x... Controlla se l equazione ottenuta è sempre verificata per x ¼ 0 8...... ¼ 5 0 þ... ovvero... ¼... 5x x ¼ 9 (verificata per x ¼ Þ m.c.m. (; ) ¼... pertanto: 5x x :::::::::: ¼ :::::::::: 9 da cui: 5x :::::::::: þ :::::::::: ¼ :::::::::: Verifica ora che la radice dell equazione ottenuta è x ¼!..
Le equazioni 7 1. Identità ed equazioni teoria pagg. 90-91 Ripasso della teoria Un identità è un uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che è vera per qualunque valore numerico assegnato alle lettere che vi compaiono. Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che è vera solo per determinati valori numerici assegnati alle lettere che vi compaiono. Per stabilire se una uguaglianza tra due espressioni è una identità oppure un equazione si risolvono separatamente le due espressioni che costituiscono i due membri dell uguaglianza. Data l uguaglianza: ðb þ þ 5aÞ 5ð1þaÞ ¼b ðb þ 5Þ b ðb þ Þþ1 risolviamo separatamente i due membri dell uguaglianza: 1 o membro: b þ 6 þ 15a 5 15a ¼ b þ 1 o membro: b þ 5b b b þ 1 ¼ b þ 1 Le due espressioni hanno lo stesso risultato; quindi, l uguaglianza è un identità. Procedi come nell, esempio e stabilisci se le seguenti uguaglianze sono identità oppure equazioni. 1. a ða þ Þ ¼a ð6 þ aþ ½identitàŠ. ðx þ Þ ¼ ðx Þþ19 ½equazioneŠ. x þ ðx 1Þ ¼ ð5x Þ ½equazioneŠ. a ða 5Þ ¼ða Þða Þ 6 ½identitàŠ 5. ð7x 5Þþ ðx 1Þ ¼x x ½equazioneŠ 6. x ðx Þþ1 ¼ x ðx 1Þþ ½equazioneŠ 7. ðx Þð5 xþþ10 ¼ x ðx þ 7Þ x ½identitàŠ 8. x ðx þ Þ ¼x ðx þ 1Þ x ½identitàŠ 9. ð 5xÞþx ¼ 1 ðx Þ ½equazioneŠ 10. ðx þ Þ 5 ðx 1Þ ¼7 ðx þ Þ 1 ½equazioneŠ 11. a ða þ Þða Þ ¼ þ a a ða 1Þ ½identitàŠ
8. Esercizi 1. 1a ða 17Þ ¼50 þ ð8 aþ ½equazioneŠ 1. a ðaþ1þ 7ðaþÞ ¼a ða þ aþ a ðþa Þ 1 ½identitàŠ 1. ða xþðaþxþ ¼a x ½identitàŠ 15. x x ðx 1Þþ ¼ x ðx Þðx þ Þ ½identitàŠ 16. ðx 1Þþx ¼ 1 ðx Þ ½equazioneŠ 17. ðx Þðx þ Þ 7ðx 1Þ ¼1 ðx þ Þ ½equazioneŠ 18. 1 þ x ðx þ Þ ¼x 1 þ ð1 þ xþ ½equazioneŠ 19. ð 1 aþ 1 ¼ða þ Þ ð1 aþ þ 7a ½identitàŠ 0. ð1 xþ ð x Þ ¼ ðx 1Þ ½equazioneŠ 1. a ða 1Þ ða þ aþða aþ ¼9a 1 ða 1Þ ða 1Þ ½identitàŠ. ðx 1Þðx þ Þ ¼ ðx þ 1Þ ðx þ 1Þþ9ðx þ x Þ ½identitàŠ. 1 ð1 xþþðx Þ ¼ ðx þ 1Þ ðx þ 7Þ ½equazioneŠ. x þ 1 x þ 1 5. 1 x x ¼ x 1 x þ ¼ x þ 1 8 x 16 ½identitàŠ ½equazioneŠ Sostituisci i puntini con il termine adeguato in modo che l, uguaglianza sia un, identità. 6. x þ ::::: ¼ x þ 5x 8x x ¼ x þ ::::: 7. x ð15 xþþx ¼ ::::: þ 8x 1 9 x þ 9 x þ 7 9 x ¼ 5 9 x þ ::::: 8. x þðx þ 1Þðx 1Þ x ¼ ::::: 1 9. 6 þ ::::: ð5þaþ ¼5 ða Þþa þ 9 0. ðx Þ ð1 xþ ¼ 7::::: 1. 5a þ 8 ðþaþ ¼8a þ 5 ðþaþþ::::: Verifica che le seguenti uguaglianze sono identità svolgendo i calcoli indicati in ogni membro.. ða bþ þ ab ¼ ða þ b Þ ab. a ab a ða þ bþ ¼ða bþ ða þ b Þ. ða b þ 1Þða þ b 1Þþða bþ ¼ b ð1 aþ ð1 5a Þ 5. ab þ 1 a b 1 a þ b ¼ ab
. Le equazioni 9 Stabilisci se il valore attribuito all, incognita x è la radice dell, equazione. x þ ¼ x 1 per x ¼ 5 5 þ ¼ 5 1! 15 þ ¼ 0 1! 19 ¼ 19 il valore assegnato all incognita è la radice dell equazione 6. þ x ¼ per x ¼ 5 11 þ x ¼ 15 per x ¼ 7. 6x þ 7 ¼ x 9 per x ¼ 8 x þ 0 ¼ x per x ¼ 0 8. ðx þ Þ ¼ ðx þ Þ per x ¼ 0 1 x ¼ x ðx Þ per x ¼ 9. x ðx 5Þþð5x 1Þ ¼ 5 ðx 9Þ per x ¼ 1 0. 5 ðx Þ ðx 1Þ ¼7x ðx þ 5Þ per x ¼ 8 1. 50 þ ð8 xþ ¼1x ðx 17Þ per x ¼ 1. x ¼ð9 xþ ðx þ Þþ per x ¼ 5. x þ 6 ¼ 8x þ 10 x þ 8 5 per x ¼. x þ 8 þ 5x 9 9 ¼ 9x þ 68 18 þ x per x ¼ 5 Tra i valori attribuiti alla lettera x, stabilisci quale è la radice dell, equazione considerata. 15 6x ¼ 5x 7 a) x ¼ 1 b) x ¼ 1 c) x ¼ a) 15 6 ð 1Þ ¼5 ð 1Þ 7! 15 þ 6 ¼ 5 7! 1 ¼ 1 no b) 15 6 1 ¼ 5 1 7! 15 6 ¼ 5 7! 9 ¼ no c) 15 6 ¼ 5 7! 15 1 ¼ 10 7! ¼ sì 5. ðx 7Þ 1 ¼ 7x x ¼ 1 x ¼ 10 x ¼ 8 6. ðx 7Þ ¼ ðx 9Þ x ¼ x ¼ 1 x ¼ 7. 5 ð1 xþ ¼6 ðx 1Þ x ¼ 1 x ¼ x ¼ 8. ð1 xþ ¼6 x x ¼ x ¼ 10 x ¼ 1 9. 1x 50 ð8 xþ ¼ ðx 17Þ x ¼ x ¼ x ¼ 1
0. Esercizi. Le equazioni teoria pagg. 9-9 Ripasso della teoria 1 o membro ax ¼ b! equazione ridotta in forma normale H incognita o membro E aunaopiùincognite Equazioni possono essere E intere o frazionarie E di 1 o, o... grado Equazioni equivalenti se hanno la stessa soluzione 50. Sottolinea le equazioni di 1 o grado a una incognita che non sono ridotte in forma normale. x 1 ¼ 50 x ¼ 10 8 ¼ x þ x ¼ x ¼ 10 7 51. Per ciascuna delle seguenti equazioni scrivi il grado, il numero delle incognite, l eventuale termine noto e il tipo. EQUAZIONE GRADO DELL EQUAZIONE NUMERO DELLE INCOGNITE TERMINE NOTO CLASSIFICAZIONE DELL EQUAZIONE x þ x ¼ y þ o grado a incognite x þ x x ¼ 0 x y x y x¼ 1 x 1 ¼ 10 x þ y þ ¼ 18 y þy y ¼ 1 5. Indica quali delle seguenti equazioni sono intere e quali sono frazionarie. EQUAZIONE INTERA (I) O FRAZIONARIA (F)? x þ 5x ¼ x I F x þ 6a ¼ 8x a I F x þ 1 x ¼ 0 I F 5x x ¼ x 1 I F 1 ax ¼ a x I F
. Le equazioni 1 Stabilisci se le equazioni di ciascuna coppia sono equivalenti. x x ¼ 6þ11 x x ¼ 1 Esegui i calcoli in ciascun membro delle due equazioni: x ¼ 5 x ¼ 5! x ¼ 5 la radice delle due equazioni è la stessa, quindi sono equivalenti. 5. 1 x ¼ 7 x ¼ 8 5. 6x ¼ x 6x ¼ 15 55. 5x ¼ 10 x x ¼ 5þ 56. x ¼ 1 5x ¼ 10 57. x x ¼ 1 5 1 6 ¼ x x 58. x þ x ¼ 16 6 9 5 ¼ x x 59. x þ 6x ¼ 10 x þ 8x ¼ 60. 5x ¼ 15 7x ¼ 5 61. 7x 5x ¼ 5 9 1x ¼þ 6. 8x þ x ¼ 10 x x ¼ 15 7. Primo principio teoria di equivalenza pagg. 9-96 Ripasso della teoria Regole conseguenti al primo principio di equivalenza. Soppressione dei termini uguali: se in un equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, i due termini possono essere soppressi. Trasporto dei termini: in un equazione si può trasportare un termine da un membro all altro purché gli si cambi il segno. Regole conseguenti al primo principio di equivalenza Indica quale regola conseguente al primo principio di equivalenza è stata applicata alla prima equazione per ottenere la seconda. 6. x ¼ x þ x x ¼ þ... 6. 5x þ þ x ¼ þ x 5x þ ¼... 65. x ¼ x þ x x ¼... 66. 8x ¼ 0 8x ¼... 67. 5 x ¼ 5x þ 6 x 5x ¼ 6 5...
. Esercizi Determina la radice di ciascuna delle seguenti equazioni applicando adeguatamente le regole conseguenti al primo principio di equivalenza. Data l equazione: x þ 7x þ 5 x ¼ 8x þ 5 x sopprimendo i termini uguali si ha: x þ 7x ¼ 8x applicando la regola del trasporto si portano i termini con l incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro: x þ 7x 8x ¼ þ e riducendo i termini simili: x ¼ x ¼ 1 infatti èil doppio di 1. 68. x ¼ 8 x þ ¼ 10 þ x ¼ 5 69. x þ 15 ¼ 7x x þ 1 ½ Š 70. x x þ 7 ¼ 7 þ 15 x ½15Š 71. x þ 8x þ ¼ 7x þ x þ þ ½6Š 7. 6x 5x 5 ¼ 10 ½ 1Š 7. x þ x ¼ x 9 ½Š 7. 8x þ ¼ 5x 5 þ x ½ 6Š 75. 16x 18x þ9 ¼ 8x 8x þ 9 ½ Š 76. 8x 8 9x ¼ 7 þ x ½ 1Š 77. x 7 þ x ¼ x 10 þ x ½ Š 78. 8 x ¼ 1x 7x þ 5x ½Š 79. 5x 1x þ 6 þ ¼ 7 þ 10x ½18Š 80. x þ þ 8x ¼ þ 5x ½0Š 81. 7x 8 þ 6x ¼ x þ ½1Š 8. Indica quali delle seguenti equazioni sono state ridotte correttamente in forma normale. Nel caso in cui la riduzione in forma normale sia stata effettuata in modo errato, esegui la correzione. RIDUZIONE IN FORMA NORMALE ESATTA ERRATA CORREZIONE x 6x 18 ¼ 6x x ¼ 18 x þ ¼ x ¼ þ 5x x ¼ 10 x 5x ¼ 10 x 7 ¼ 0 x ¼ 7 x 1 ¼ x þ 1 x ¼ 0 5 þ x x ¼ x þ x ¼ 0 ¼ 16 x x ¼ 16 þ 6x ¼ xþ x ¼ x þ x þ x ¼ 8 x x x ¼ 8 1x ¼ 0 1x ¼
. Le equazioni. Secondo principio teoria di equivalenza pagg. 97-99 Ripasso della teoria Regole conseguenti al secondo principio di equivalenza. Cambiamento di segno: cambiando il segno a tutti i termini di un equazione, si ottiene un equazione equivalente a quella data. Soppressione dei denominatori: in un equazione contenente denominatori, si sopprimono i denominatori moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori stessi. Regole conseguenti al secondo principio di equivalenza Indica in che modo è stato applicato il secondo principio di equivalenza alla prima equazione per ottenere la seconda. Date le due equazioni: x 1 ¼ ; x ¼ 8 la seconda si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per ; infatti. x 1 ¼ ð Þ x ¼ 8 8. x ¼ 9 x ¼ 9 8. 7x ¼ 1 x ¼ 1 7 85. x ¼ 0 11 x ¼ 0 86. 10x 5 ¼ 0 x þ 1 ¼ 87. x ¼ x þ 1 x þ ¼ x 1 88. 1 x ¼ 9 þ 6x x ¼ þ x 89. x 1 ¼ 1 6 þ x x þ 6 ¼ 1 6x 90. 1 þ x ¼ 5 6 x þ 1 6 6 þ 9x ¼ 10x þ
. Esercizi Sostituisci al posto dei puntini il termine adeguato in modo da ottenere coppie di equazioni equivalenti. x þ ¼ ; 6x þ ::::: ¼ 8 Per avere una coppia di equazioni equivalenti si deve sostituire al posto dei puntini il numero ; infatti, applicando la regola della soppressione dei denominatori si ha: x þ ¼! 6x þ ¼ 8 91. 11x þ ¼ 55x x þ ¼ ::::::: 9. x 8 ¼ 16 x::::::: ¼ 9. ::::: þ 10 ¼ 15x 5 x þ ¼ x 5 9. 9::::: ¼ xþ1 þ x ¼ x 95. 5 x ¼ x 1 ::::::: ¼ x 10 10 96. x 1 ¼ x 1 6x::::::: ¼ 8x 6 97. ::::: þ 6 5 x ¼ x 15 60 þ 18x ¼ 0x Riduci in forma normale e risolvi le seguenti equazioni applicando la regola della soppressione dei denominatori numerici. 98. 5 x ¼ 5 1 x ¼ 1 x ¼ 1 5 x ¼ 99. 100. 1 0 x ¼ 0 8x þ 0 ¼ 1 7 x ¼ x 1 x 5 ¼ ¼ 7 x ¼ 1 ; 1 101. x 1 ¼ 1 x þ 7 ¼ 1 ½0; 1Š 10. 5x 5 ¼ 10 15 x ¼ 1 5 ½ ; 9Š 10. 5 x ¼ 7 þ x ¼ ½þ7; 1Š 10. 5x 1 ¼ 8 8x 15 x ¼þ1 ½ ; þ Š 105. 5 x þ 1 ¼ 7 x 9 ¼ x 1 ½þ10; þ Š 106. x x ¼ 1 10 x 9 107. x 5 ¼ 1 x 1 ¼ 0 ½þ1; þ 15Š ¼ 7x þ 1 þ 17 6 ; 108. x þ þ x 7 ¼ x ½þ5Š
8. Esercizi per l autovalutazione. Le equazioni 9 esercizi per l autovalutazione ABILITÀ CONOSCENZE Completa in modo adeguato la seguente mappa delle conoscenze. In ogni casella è indicato il punteggio che ti devi assegnare in caso di risposta esatta. Controlla l, esattezza delle risposte utilizzando il Ripasso della teoria,,.,,... se a 0 1 IMPOSSIBILI se... e......... Sempre vere si dicono... UGUAGLIANZE tra... 1 EQUAZIONI Uguaglianze vere solo per determinati valori assegnati all incognita Possono essere Si classificano RIDOTTE IN FORMA NORMALE se sono della forma... a si dice... x è... b è il... e sono di... grado a... incognita 6 Si risolvono con I PRINCIPI DI......: sono due 1 INTERE se...... Si dividono in Regole conseguenti FRAZIONARIE se...... Il 1 principio Il principio Ho ottenuto il punteggio.../8
50. Esercizi per l autovalutazione ABILITÀ esercizi per l, autovalutazione tipo invalsi 1. Quale equazione rappresenta la bilancia? punti A 5x 6 ¼ x 1 B 6 5x ¼ 1 x C 5x þ 6 ¼ x þ 1 D 5x 6 ¼ x 1 E 5x þ 6 ¼ x þ 1. Quale delle seguenti proposizioni corrisponde a un equazione? A la differenza tra il quintuplo di un numero e il doppio del numero stesso è uguale al suo triplo B un numero diminuito di 8 è uguale alla differenza tra quel numero e 8 C la somma del triplo di un numero con il numero stesso è uguale alla differenza tra il sestuplo e il doppio del numero stesso D la somma del doppio di un numero col numero stesso è uguale alla differenza tra il doppio del numero e 10 E la differenza tra il quintuplo di un numero e è uguale alla somma del numero stesso con il suo quadruplo diminuita di. Quale tra queste uguaglianze non è una identità? A þ x þ 5 ¼þ1 þ x C x þ 5x ¼ 10 6x 8 B 8x 5 ¼ 17 þ 5x D x þ ðx þ 1Þþ7x ¼ x ð x Þ E x 1 ¼ x þ 1 1. Qual è la soluzione dell equazione ðx 6Þ ¼8 ðx þ Þ x? A Impossibile B þ18 C 0 D Indeterminata E Nessuna delle precedenti 5. Date le seguenti equazioni: a) x 1 ¼ x 1 b) x þ 1 ¼ xþ x c) 5 7x ¼ 1x d) 5 þ 50x 8x ¼ 1x 5 quali sono indeterminate? A a) e d) B b) e c) C Solo b) D Solo d) E Nessuna
. Le equazioni 51 6. Dove non è stato applicato correttamente il primo principio di equivalenza? a) 1 x ¼ ðx Þþ6x! x x 6x ¼ 1 1 punti b) x þ 1 ¼ x þ x! x x þ x ¼ 1 c) x þ 6 x þ 1 ¼ 5x þ 1 x þ 8! x þ 6 ¼ 5x þ 8 d) 10x þ þ x þ 1 ¼ 5x ð5x þ Þ! x þ 1 ¼ 5x e) x 1 ¼ x þ x! 1x ¼ 7 A a) e c) B Solo b) C Solo d) D c) ed e) E Nessuna 7. Date le seguenti equazioni: a) 7x þ ¼ ðx þ Þ 5 b) 5x 15 ¼ 7 ðx 5Þþx þ 0 c) ðx 8Þ ¼8 ðx þ Þ x d) 11 þ ðx 1Þ ¼ ð x þ Þþ quali hanno radice 0? A Tutte e quattro B Nessuna delle quattro C a) e b) D b) e c) E a) e d) 8. Quale fra questi è il valore di x che soddisfa l equazione: 5 ðx Þ ¼ ðx 1Þ? A 6 B þ6 C 0 D E þ 9. Quale è la coppia di equazioni equivalenti? a) 5x 16 ¼ xþ b) x 1 ¼ x þ 1 c) 5x þ x ¼ 18 þ x 8 d) 10 6x ¼ 8x A a) e b) B a) e d) C b) e c) D a) e c) E non ci sono equazioni equivalenti 10. Quale fra questi è il valore di x che soddisfa l equazione: 6 ð xþ 9 ¼ 6ðx 1Þþ? A þ1 B 0 C 1 D E þ
5. Esercizi per l autovalutazione 11. Date le seguenti equazioni: a) x ¼ 5x þ x b) 6x 8 ¼ x þ þ x c) x þ ¼ x 1 d) quali sono impossibili? x ¼ 1 x þ 1 x þ 1 punti A Solo b) B b) e c) C a) e c) D a) e d) E Nessuna 1. Data l equazione 15x ¼ x þ, quale tra le seguenti equazioni è ad essa equivalente? a) x ¼ x þ b) x þ ¼ x c) x þ ¼ x þ d) x þ ¼ x þ A Nessuna B a) C b) D c) E d) 1. Quale tra le seguenti equazioni non ha la radice x ¼ 1? a) x þ 5 ¼ 10x b) 10x ¼ x þ 6 c) x þ 6 x ¼ 1 d) x x ¼ x þ x e) x þ 8 x ¼ þ 8x x A d) B e) C a) D b) E c) Ho ottenuto.../8