Dispense del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore Laurea Magistrale. Prof. Rolando Magnanini

Dispense del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore Laurea Magistrale Prof. Rolando Magnanini Dipartimento di Matematica U. Dini, Viale Morgagni 67/A, 534 Firenze (ITALIA) E-mail address: magnanin@math.unifi.it

Sommario. spazio per abstract

Indice Capitolo. Cenni di Analisi Funzionale.. Spazi di Hilbert.2. Sistemi ortonormali 4.3. Funzionali ed operatori lineari 8.4. Il teorema di Banach-Steinhaus 3.5. I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram 5.6. Operatori compatti 9.7. Teorema dell alternativa di Fredholm 24.8. Spettro di un operatore compatto 27.9. Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico compatto 29.. Sistemi di Sturm-Liouville 3 Esercizi 37 Capitolo 2. Serie di Fourier 39 2.. Generalità 39 2.2. Convergenza puntuale 42 2.3. Convergenza in media 46 2.4. Nuclei di sommabilità 47 2.5. Il fenomeno di Gibbs 49 2.6. Applicazione: il metodo di separazione delle variabili 5 Esercizi 56 Capitolo 3. Trasformata di Fourier 59 iii

iv Indice 3.. Generalità 59 3.2. La classe di Schwartz 6 3.3. La trasformata di Fourier in L 2 (R N ) 63 3.4. Nuclei di sommabilità 66 3.5. La formula di addizione di Poisson 69 Esercizi 72 Capitolo 4. Cenni sulle distribuzioni 75 4.. Qualche motivazione 75 4.2. Generalità 76 4.3. La derivata distribuzionale e gli spazi di Sobolev 78 4.4. Operazioni sulle distribuzioni 79 4.5. Distribuzioni a supporto compatto 83 4.6. Il teorema fondamentale per le distribuzioni 87 4.7. Le distribuzioni temperate 9 Esercizi 92 Capitolo 5. Funzioni armoniche 95 5.. Generalità 95 5.2. La proprietà della media 96 5.3. Il principio di massimo 98 5.4. La disuguaglianza di Harnack 5.5. Criteri di compattezza 4 5.6. Maggiorazioni a priori delle derivate 5 Esercizi 8 Capitolo 6. Problemi al contorno 6.. La soluzione fondamentale 6.2. I problemi di Dirichlet, Neumann e Robin 5 6.3. Teoremi di unicità 5 6.4. La funzione di Green 2 6.5. Il metodo di Perron 26 6.6. Il principio di Dirichlet 3 6.7. Riduzione ad un equazione integrale di Fredholm 37 6.8. Risoluzione di equazioni per decomposizione spettrale 43 6.9. Il principio di Rayleigh 46 6.. Domini nodali e teorema di Courant 49

Indice v Esercizi 52 Capitolo 7. Proprietà geometriche delle soluzioni 55 7.. Funzioni armoniche nel piano 55 7.2. Potenziale di capacità in un anello 57 7.3. Equazioni semilineari e simmetria radiale 6 Esercizi 65 Appendice A. Complementi 67 A.. La formula multinomiale 67 A.2. Formula di Taylor in R N 68 A.3. Lemma di Du Bois-Reymond 68 A.4. Il teorema di Gauss della divergenza 7 Appendice. Bibliografia 73

Capitolo Cenni di Analisi Funzionale In questo capitolo riassumiamo i risultati di Analisi Funzionale che si saranno necessari negli altri capitoli... Spazi di Hilbert Sia X uno spazio vettoriale su R (o su C). Un prodotto interno o scalare su X è un applicazione (, ) : X X R (oppure (, ) : X X C) con le seguenti proprietà: (i) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) per ogni u, v e w X; (ii) (αu, v) = α(u, v) per ogni u, v X ed α R (oppure α C;) (iii) (v, u) = (u, v) (oppure (v, u) = (u, v)) per ogni u, v X; (iv) (u, u) per ogni u X e (u, u) = se e solo se u =. Il prodotto interno (, ) definisce la norma = (, ) /2. Teorema... Sia X uno spazio vettoriale con prodotto interno (, ) e norma = (, ) /2. Allora risulta: (i) (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) (x, y) x y per ogni x, y X; (ii) (identitàdel parallelogramma) u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 per ogni x, y X.

2. Cenni di Analisi Funzionale Dim. Esercizio. Uno spazio vettoriale H dotato di prodotto interno si dice uno spazio di Hilbert se è completo rispetto alla norma indotta dal prodotto interno. Esempio..2. () Lo spazio R N con il prodotto definito da N (x, y) = x n y n, x, y R N, n= è uno spazio di Hilbert su R. Un altro prodotto scalare rispetto al quale R N è uno spazio di Hilbert è il seguente: (x, y) A = (Ax, y), x, y R N, dove A è una matrice N N simmetrica e definta positiva. (2) Lo spazio C N con il prodotto interno definito da N (z, w) = z n w n, x, y C N, è uno spazio di Hilbert su C. n= (3) Sia (X, M, µ) uno spazio di misura. Lo spazio L 2 (X, µ) = {f : X R, f misurabile con f 2 sommabile in X} è uno spazio di Hilbert sui reali rispetto al prodotto: (f, g) = f g dµ. Scegliendo X = N e µ = misura che conta, otteniamo lo spazio l 2 = {x = (x n ) n N : n N (4) In modo analogo si definisce: con X x 2 n < }, (x, y) = n N x n y n. L 2 C (X, µ) = {f : X C, f misurabile con f 2 sommabile in X}, (f, g) = X f g dµ. Teorema..3. (Teorema della proiezione). vuoto, convesso e chiuso in H. Allora, per ogni u H \ C esiste un unico v C tale che u v = min{ u w : w C} = dist (u, C). Inoltre v è caratterizzato dalla proprietà: v C e (u v, w v) pe ogni w C. Sia C un sottoinsieme non

.. Spazi di Hilbert 3 Dim. Esercizio. Il Teorema..3 definisce un operatore P C : H C la proiezione di H su C tale che P C u = v per ogni u H. Proposizione..4. Sia C un sottoinsieme non vuoto, convesso e chiuso in H. Allora Dim. P C u P C u 2 u u 2, per ogni u, u 2 H. Siano v = P C u e v 2 = P C u 2 ; si ha: (u v, w v ) e (u 2 v 2, w v 2 ) per ogni w C. In particolare, ponendo w = v 2 nella prima disuguaglianza e w = v nella seconda, si ottiene: da cui segue che (u v, v 2 v ) e (u 2 v 2, v v 2 ), (u v, v 2 v ) + (u 2 v 2, v v 2 ) = (u u 2, v v 2 ) + v v 2 2 e cioè v v 2 2 (u u 2, v v 2 ) u u 2 v v 2, che è quello che basta dimostrare. Sia M un sottospazio vettoriale di H. Il complemento ortogonale di M è l insieme M = {u H : (u, v) =, per ogni v M}. Teorema..5. Sia M un sottospazio vettoriale non vuoto di H. (i) M è un sottospazio vettoriale chiuso in H; (ii) se M è la chiusura di M in H, allora (M ) = M; (iii) H = M M. Dim. (i) È chiaro che M è un sottospazio vettoriale di H. Sia {u n } n N M una successione convergente in H ad un elemento u H. Allora per ogni v M risulta: (u, v) = lim (u n, v) = n e cioè u M. (ii) È evidente che M (M ) e, poiché (M ) è chiuso, M (M ). Sia ora u (M ). Dato che M è un sottospazio vettoriale chiuso, dal Teorema..3 otteniamo che (u P M u, w) =

4. Cenni di Analisi Funzionale per ogni w M, cioè u P M u M, e quindi (u, u P M u) =, dato che u (M ). Perciò: ossia u = P M u M. u P M u 2 = (u, u P M u) (P M u, u P M u) =, (iii) Se u H, abbiamo già visto che u = P M u + (u P M u) con P M u M e u P M u M. Poiché M M = {}, allora tale decomposizione è unica..2. Sistemi ortonormali Sia I un insieme di indici, non necessariamente numerabile. Un insieme S = {e i } i I di vettori di H si dice un sistema ortonormale se risulta: (e i, e j ) = δ ij per ogni i, j I, dove δ ij = se i = j e δ ij = se i j. Esempio.2.. () In l 2, l insieme S = {e n } n N con è un sistema ortonormale. e n = (,...,, n,,... ) = (δ nm ) m N. (2) Sia L 2 (T) l insieme delle funzioni f : R C, misurabili e periodiche di periodo T > e tali che f L 2 ([, T ]). L insieme S = {e 2πnt/T } n Z è un sistema ortonormale rispetto al prodotto scalare (f, g) = T T f(t)g(t) dt. Dati e,..., e n S, qual è la migliore approssimazione di un vettore u H con combinazioni lineari dei vettori e,..., e n? In altre parole, vogliamo minimizzare la funzione n f(c,..., c n ) = u c k e k al variare di c,..., c n in R. k= Se poniamo H n = span{e,..., e n }, poichè H n è chiuso, allora min{f(c,..., c n ) : c,..., c n R} = min{ u w : w H n } = u P Hn u, dove P Hn u = n k= c k e k per qualche scelta di numeri c,..., c n, e u P Hn u H n. In particolare, (u P Hn u, e k ) = per ogni k =,..., n e quindi c k = (u, e k ) per ogni k =,..., n.

.2. Sistemi ortonormali 5 Dato che risulta che (.) n u c k e k k= 2 = u 2 n (u, e k ) 2, k= n (u, e k ) 2 u 2. k= Teorema.2.2. (Disuguaglianza di Bessel). Sia S = {e i } i I un sistema ortonormale in H. Allora per ogni u H risulta che (u, e i ) 2 u 2, i I dove si è posto { n } (u, e i ) 2 = sup (u, e ik ) 2 : i,..., i n I distinti. i I k= Dim. La tesi segue direttamente dalla (.). Il numero û(i) = (u, e i ) si dice il coefficiente di Fourier di u di indice i I. Osservazione.2.3. Si noti che (u, e i ) 2 = i I dove µ è la misura che conta. Corollario.2.4. Sia S = {e i } i I u H. I (u, e i ) 2 dµ(i), un sistema ortonormale in H e sia Allora l insieme degli indici i I tali che û(i) è al più numerabile. Dim. Infatti {i I : (u, e i ) 2 > } = m N I m, dove { I m = i I : m + u 2 < (u, e i ) } m u, m N per la disuguaglianza di Bessel, ciascun I m è finito o vuoto. Teorema.2.5. Sia H uno spazio di Hilbert separabile. Allora ogni sistema ortonormale in H è al più numerabile.

6. Cenni di Analisi Funzionale Dim. Sia D = {u n } n N un sottoinsieme numerabile denso in H ed S un sistema ortonormale in H. Per ogni e i S esiste n i N tale che 2 e i u ni < 3 Se i j, si ha che 2 = ei e j e i u ni + u ni u nj + e j u nj e quindi u ni u nj > 2/3, ossia n i n j. Abbiamo dunque stabilito una corrispondenza biunivoca di I con un sottoinsieme di N. Osserviamo ora che, a partire da una successione qualsiasi {u n } n N di elementi di H, possiamo sempre costruire un sistema ortonormale S = {e k } k N mediante il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: si pone infatti e = u u e per ricorrenza si definisce: e k = v k v k, dove v k k = u k (u k, e j ) e j, k = 2, 3,. Se accadesse che v k = per qualche k, allora eliminiamo il vettore u k, perchè è linearmente dipendente con i precedenti. Un sistema ortonormale S in H si dice completo oppure si dice che S è una base (hilbertiana) ortonormale per H, se j= (u, e i ) = per ogni i I implica che u =. Esempio.2.6. Il sistema ortonormale in l 2 definito nell Esempio.2. () è completo, infatti se (x, e n ) = per ogni n N, risulta che x n = per ogni n N e quindi x =. Teorema.2.7. Sia S = {e i } i I un sistema ortonormale in H. Se span(s) = H allora S è completo. Dim. Sia u H tale che (u, e i ) = per ogni i I. Per ogni ε > esiste u ε span(s) tale che u u ε < ε; dato che u ε è una combinazione lineare finita di elementi di S, allora (u, u ε ) =. Perciò ε 2 > u u ε 2 = u 2 + u ε 2 u 2 e cioè u < ε per ogni ε >, ossia u =. Teorema.2.8. Sia S = {e i } i I un sistema ortonormale completo in H. Allora span(s) = H. In particolare, per ogni u e v H risulta: (i) u = i I û(i) e i ;

.2. Sistemi ortonormali 7 (ii) u 2 = û(i) 2 ; i I (iii) (u, v) = û(i) v(i). i I La (i) e la (ii) passano sotto il nome di identità di Parseval. Dim. (i) Sia u H; per il Corollario.2.4, si ha che û(i) solo per un infinità numerabile di indici i I : indichiamo questi con û(n), n N. Per la disuguaglianza di Bessel (Teorema.2.2), la serie û(n) 2 n N converge e quindi, per ogni ε >, esiste un ν N tale che n 2 n û(k) e k = û(k) 2 < ε 2, k=m+ k=m+ per ogni n, m > ν. Perciò la successione converge ad un v H ed inoltre v = Ora, per ogni i I risulta che ( (u v, e i ) = lim u n k= û(k) e k = i I n k= n û(k) e k è di Cauchy e cioè k= û(i) e i. û(k) e k, e i ) = lim n [û(i) û(n) δ ni] =. Per la completezza di S, segue che u v = e cioè v = u. (ii) Dalla (i) segue che u 2 = ( u, lim n k= n ) û(k) e k = lim û(k) 2 = û(i) 2. i I k= (iii) Dalla (ii) si ottiene: n k= n û(k) (u, e k ) = (u, v) = { u + v 2 u v 2} = 4 { û(i) + v(i) 2 û(i) v(i) 2} = 4 i I i I û(i) v(i). i I

8. Cenni di Analisi Funzionale Osservazione.2.9. Si noti che, se vale la (iii) per ogni u e v H, allora S è un sistema ortonormale completo. Infatti, se esistesse z ortogonale ad ogni e i, scelti u = v = z in (iii) si avrebbe: z 2 = (u, v) = i I û(i) v(i) =. Osservazione.2.. Quanto dimostrato fin qui implica che ogni spazio di Hilbert separabile ammette una base ortonormale. Infatti da un sottoinsieme numerabile denso D possiamo costruire un sistema ortonormale S, mediante il procedimento di Gram-Schmidt. Tale sistema è completo; infatti se u è ortogonale ad ogni e i S, poiché per ogni ε > esiste un u n D tale che u u n < ε ed inoltre ( n ) (u, u n ) = (u, v n ) + u, (u n, e k ) e k = (u, v n e n ) =, k= risulta u 2 u 2 + u ε 2 = u u n 2 < ε 2 e cioè u =..3. Funzionali ed operatori lineari Siano X ed Y due spazi normati. Un applicazione A : X Y si dice (i) un operatore lineare se A(αx + βy) = αax + βay per ogni x, y X e α, β R; (ii) un operatore continuo se, per ogni successione x n n N di X tale che x n x in X, risulta che Ax n Ax; (iii) un operatore limitato se esiste una costante c tale che in questo caso si pone per definizione (.2) Ax Y c x X per ogni x X; A = sup{ Au Y : u X = } = sup{ Au Y : u X } = sup u Au Y u X. È facile verificare che (.2) definisce una norma nello spazio vettoriale L(X, Y ) = {A : X Y : A lineare e limitato}. Poniamo inoltre L(X) = L(X, X). Il seguente risultato è di facile dimostrazione. Teorema.3.. Sia A : X Y un operatore lineare. Allora A è continuo se e solo se A è limitato.

.3. Funzionali ed operatori lineari 9 Dim. Esercizio 4. Di interesse particolare è il caso in cui Y = R : si dice che A un è funzionale lineare e per chiarezza in questo case useremo la lettera L al posto di A. Lo spazio vettoriale X = L(X, R) dei funzionali lineari limitati su X si dice lo spazio duale di X. Teorema.3.2. (Teorema di rappresentazione di Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert e sia H il suo duale. Allora, per ogni L H, esiste un solo v H tale che Lu = (u, v) per ogni u H e L = v. Dim. Sia L H, non identicamente nullo e sia M il nucleo di L. Poichè L è lineare e continuo, allora M è un sottospazio vettoriale chiuso in H. Sia u / M e sia v = P M u ; allora u = v + (u v ), dove v M e u v M. Se u H, allora possiamo scrivere u = λ (u v ) + P M u, dove Lu = λ L(u v ) = Lu e cioè λ = Lu/Lu ; perciò, scegliendo si ha: dato che v M e P M u M. v = u v u v 2 Lu, (u, v) = λ (u v, v) + (P M u, v) = Lu, Infine, è chiaro che Lu = (u, v)) v u per ogni u H e quindi L v. D altra parte, preso u = v/ v, si ha che Lu = (u, v) = v e quindi v L. Una successione {u n } n N X in uno spazio normato si dice debolmente convergente ad un elemento u X e si scriverà u n u se, per ogni L X, Lu n Lu per n. È chiaro che, se u n u in X, allora anche u n u. Per il Teorema.3.2 appena dimostrato, u n u in uno spazio di Hilbert H se (u n, v) (u, v) per ogni v H. Il risultato che segue ci informa che la norma di uno spazio di Hilbert è una funzione semicontinua inferiormente rispetto alla convergenza debole. Teorema.3.3. Sia H uno spazio di Hilbert. Se u n u in H, allora lim inf n u n u. Se inoltre u n u, allora u n u in H.

. Cenni di Analisi Funzionale Dim. Esercizio 5. Il teorema di Bolzano-Weierstrass asserisce che ogni insieme limitato di R N contiene una sottosuccessione convergente è cioè relativamente compatto per successioni. In dimensione infinita ciò non accade, come mostra la proposizione seguente. Proposizione.3.4. Se ogni successione limitata in H contiene una sottosuccessione convergente, allora H ha dimensione finita. Dim. Se H avesse dimensione infinita allora conterrebbe un sistema ortonormale {e n } n N (almeno) numerabile. Dato che e n e m = 2 se n m, allora {e n } n N non potrebbe contenere alcuna sottosuccessione convergente. Il prossimo risultato si può riassumere dicendo che gli insiemi limitati in uno spazio di Hilbert sono per lo meno debolmente compatti. Teorema.3.5. (Teorema di Banach-Alaoglu). Sia H uno spazio di Hilbert separabile e supponiamo che esista una costante c > tale che u n c per ogni n N. Allora la successione {u n } n N contiene una sottosuccessione che converge debolmente ad un elemento di H. Dim. Sia D = {v k } k N un sottoinsieme (numerabile) denso in H. Poiché (u n, v ) u n v c v per ogni n N, esiste una sottosuccessione {u n} n N di {u n } n N tale che (u n, v ) converge ad un numero reale se n. Poiché (u n, v 2 ) u n v 2 c v 2 per ogni n N, esiste una sottosuccessione {u 2 n} n N di {u n} n N tale che (u 2 n, v 2 ) converge ad un numero reale se n. Iterando questo ragionamento, fissato k N esiste {u k n} n N {u k n } n N {u n } n N tale che (u k n, v k ) converge ad un numero reale se n. La successione {u n n} n N sarà allora tale che (u n n, v k ) converge se n per ogni k N fissato. Fissati allora v H e ε >, esiste k N tale che ed inoltre esiste ν N tale che per ogni n, m > ν. v v k < ε 3c, (u n n, v k ) (u m m, v k ) < ε 3,

.3. Funzionali ed operatori lineari Perciò, per ogni n, m > ν risulta che (u n n, v) (u m m, v) (u n n, v) (u n n, v k ) + (u n n, v k ) (u m m, v k ) + (u m m, v k ) (u m m, v) < (u n n, v v k ) + ε 3 + (um m, v k v) u n n v v k + ε 3 + um m v v k < ε. Da ciò segue che è ben definito il funzionale L : H H tale che Lv = lim n (un n, v) per ogni v H. È chiaro inoltre che L è lineare e limitato con L c. Per il Teorema.3.2, esiste u H tale che Lv = (u, v) per ogni v H; dunque lim n (un n, v) = (u, v) per ogni v H, ossia u n n u per n. Siano H e H 2 spazi di Hilbert e sia A : H H 2 un operatore lineare. Il rango di A è il sottospazio di H 2 : R(A) = {Au : u H }, mentre il nucleo di A è il sottospazio di H : N(A) = {u H : Au = }. Osservazione.3.6. Si noti che, se A L(H, H 2 ), N(A) è sempre un sottospazio vettoriale chiuso. Invece il sottospazio vettoriale R(A) non è detto che sia chiuso. Per esempio, sia H = H = H 2 = L 2 (R N ) e sia a L 2 (R N ) L (R N ), a / C (R N ). Sia inoltre A : H H definito da Au = a u. Per la disuguaglianza di Young Au = a u a u per ogni u H, e quindi A è limitato e A a. Per la disuguaglianza di Hölder, a u a 2 u. Sia {a n } n N C (RN ) una successione convergente ad a in L 2 (R N ); allora a n u C (R N ) e, dato che a n u a u a n a 2 u, a n u converge uniformemente ad a u e quindi Au = a u C (R N ). Questo significa che R(A) C (R N ). Prendiamo ora u n (x) = n N j(nx) con j C (RN ) e R N j dx = ; è chiaro che Au n = a u n converge ad a in H. Abbiamo quindi dimostrato che a R(A), dimostrando quindi che R(A) non può coincidere con la sua chiusura, dato che a / R(A).

2. Cenni di Analisi Funzionale Sia ora A L(H, H 2 ); fissato u H 2, il funzionale lineare f u : H R definito da f u (v) = (u, Av) 2 per ogni v H è limitato su H e quindi, per il Teorema.3.2, esiste un solo elemento A u H tale che (A u, v) = (u, Av) 2 per ogni v H. L applicazione A : H 2 H è lineare e limitata: si dice che A è l operatore aggiunto di A. Proposizione.3.7. Sia A L(H, H 2 ). Allora inoltre R(A) = N(A ) e R(A ) = N(A) ; H 2 = R(A) N(A ) e H = R(A ) N(A). Dim. Poiché R(A) è un sottospazio vettoriale di H 2, risulta che H 2 = R(A) R(A), per la Proposizione..5. D altra parte, dato che (Au, v) 2 = (u, A v) per ogni u H e v H 2, si ha che v R(A) se e solo se v N(A ) e quindi R(A) = N(A ), da cui H 2 = R(A) N(A ). Inoltre R(A) = (R(A) ) = N(A ) In modo analogo, si dimostrano le altre due asserzioni. Proposizione.3.8. Se A L(H) allora anche A L(H) e A = A = AA = A A. Dim. Per ogni u H si ha che (.3) A u 2 = (A u, A u) = (A A u, u) A A u u A A u u, e quindi A u A u, da cui A A, cioè anche A è limitato. Inoltre, dall ultima disuguaglianza in (.3), si ottiene che AA A A, mentre dalla prima disuguaglianza in (.3), si ha che A u 2 AA u u AA u 2, e quindi A 2 AA A A. Scambiando A con A, si ottiene che A 2 A A A A. Perciò A = A = AA = A A. Si dice che A è simmetrico o autoaggiunto se A = A. Proposizione.3.9. Sia A L(H) simmetrico. Allora A = sup{(au, u) : u = }. Dim. Sia M il secondo membro della precedente uguaglianza e sia u H con u =. Dato che (Au, u) A, allora M A. D altra parte, è facile mostrare che 4(Au, v) = (A[u + v], u + v) (A[u v], u v).

.4. Il teorema di Banach-Steinhaus 3 Presi u e v unitari, abbiamo allora 4(Au, v) M{ u + v 2 + u v 2 } = 2M { u 2 + v 2 } = 4M, per la definizione di M, e dunque (Au, v) M. Scegliendo v = Au/ Au, si ha che Au M e quindi A M. Esempio.3.. Siano H = R N, H 2 = R M e A : R N R M la matrice M N di elementi a ij, i =,..., M, j =,..., N. Allora A : R M R N non è altro che la matrice trasposta N M di elementi a ji, i =,..., M, j =,..., N. Esempio.3.. Sia H = H = H 2 = l 2 (C) e sia A : H H definito da dove a : N C e Allora Au = n N a(n) û(n) e n, sup a(n) <. n N A = sup a(n) e A u = a(n) û(n) e n. n N n N.4. Il teorema di Banach-Steinhaus Utilizzeremo il seguente risultato di topologia (per una dimostrazione, si veda [Ru]). Teorema.4.. (Baire). In uno spazio metrico completo X l intersezione numerabile di sottoinsiemi densi aperti di X è densa in X o, equivalentemente, l unione numerabile di chiusi con interno vuoto ha interno vuoto. Teorema.4.2. (Banach-Steinhaus). Siano X uno spazio di Banach ed Y uno spazio vettoriale normato. Sia inoltre {T α } α A una famiglia di operatori lineari e limitati di X in Y. Allora o risulta che o esiste x X tale che sup T α <, α A sup T α x Y =. α A Dim. Sia φ(x) = sup T α x, x X, α A e sia V n = {x X : φ(x) > n}, n =,, 2,. Ogni funzione x T α x è continua e quindi φ è semicontinua inferiormente; dunque ogni V n è aperto.

4. Cenni di Analisi Funzionale Se ogni V n è denso in X, allora per il Teorema.4. anche in X e quindi φ(x) = per ogni x n= V n. n= V n è denso Altrimenti, se esiste ν N tale che V ν non è denso in X, esisterà x X ed r > tale che B X (x, r) V ν = ; ciò implica che φ(x + y) ν per ogni y tale che y r e quindi T α (x + y) ν, per ogni α A ed ogni y r. Perciò, posto y = rx/ x, si ha: T α x = r x T α y r x { T α x + T α (x + y) } 2ν r x, per ogni α A e quindi sup T α 2ν α A r. Teorema.4.3. (Teorema dell applicazione aperta). Siano X ed Y due spazi di Banach e sia T : X Y un operatore lineare, limitato e suriettivo. Allora esiste una costante c > tale che T (B X (, )) B Y (, c). Y. In particolare, l immagine di un aperto di X secondo T è un aperto di Dim. Dimostriamo dapprima che esiste c > tale che (.4) T (B X (, )) B Y (, 2c). Siano X n = nt (B X (, )); poiché Y = n N X n, per il Teorema.4., esiste ν N tale che l interno di X ν è non vuoto. Ne segue che anche l interno di T (B X (, )) è non vuoto. Siano c > e y Y tali che B Y (y, 4c) T (B X (, )); in particolare T (B X (, )) contiene y e, per simmetria, y. Perciò B Y (, 4c) = y + B Y (y, 4c) T (B X (, )) + T (B X (, )) = 2T (B X (, )), dove l ultima uguaglianza segue dal fatto che T (B X (, )) è convesso. Dunque vale la (.4). Dimostriamo ora l asserzione del teorema. Fissiamo y Y con y < c. Dalla (.4) segue che y T (B X (, /2)), cioè, per ogni ε >, esiste z X con z < /2 tale che y T z < ε. Scegliendo successivamente ε = c/2 n, n =, 2,, esiste una successione {z n } n N X tale che z n < 2 n e y T (z + + z n )) < c 2 n,

.5. I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram 5 per ogni n N. La successione x n = z + + z n è pertanto di Cauchy. Sia x il limite di x n ; risulta che y = T x, dato che T è continuo. Si noti infine che x n z + n z k z + 2, k=2 e quindi x z + 2 <, cioè y T (B X(, )). Se ora A è un aperto di X e y T (A), esiste x A tale che y = T x. Poiché A è aperto, esiste B X (x, r) A; perciò, per quanto finora dimostrato, esiste c > tale che B Y (y, rc) = y + r B Y (, c) y + r T (B X (, r)) = T (x + B X (, )) = cioè T (A) è aperto. T (B X (x, r)) T (A), Corollario.4.4. Siano X ed Y due spazi di Banach e sia T : X Y un operatore lineare, limitato e biunivoco. Allora T : Y X è limitato. Dim. Per ogni x X con x, si ha che u = x/( x ε) / B X (, ) per ogni < ε < x. Perciò T u / T (B X (, )) e quindi T u / B(, c), per il Teorema.4.3. Perciò T x = T u c x ε e, facendo tendere ε a zero si ottiene che per ogni x. Ciò implica che T è limitato. x c T x,.5. I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram Richiamiamo il teorema di Picard. Teorema.5.. (Teorema di Picard della contrazione). Sia (X, d) uno spazio metrico completo e sia F : X X una contrazione e cioè tale che esiste α (, ) tale che per ogni x, y X. d(f (x), F (y)) α d(x, y) Allora esiste un solo x X tale che F (x) = x.

6. Cenni di Analisi Funzionale Dim. Sia x X e sia x n+ = F (x n ), n =,, 2,. Risulta: d(x n+, x n ) = d(f (x n ), F (x n )) αd(x n, x n ) = e perciò d(x n+p, x n ) αd(f (x n ), F (x n 2 )) α 2 d(x n, x n 2 ) α n d(x, x ), p d(x n+k, x n+k ) d(x, x ) k= p α n+k = d(x, x ) αp α αn. Dunque {x n } n N è una successione di Cauchy e quindi esiste x X tale che x n x se n. Poiché F è continua, si ha che x = lim n x n = lim n F (x n ) = F (x). Se x fosse un altro punto fisso, allora e quindi x = x dato che α <. d(x, x ) = d(f (x), F (x )) α d(x, x ), Sia H uno spazio di Hilbert. Una forma bilineare a : H H R si dice continua se esiste una costante C > tale che k= a(u, v) C u v per ogni u, v H; essa si dice inoltre coercitiva se esiste α > tale che a(u, u) α u 2 per ogni u H. Teorema.5.2. (Stampacchia). Sia H uno spazio di Hilbert e sia H il suo duale. Sia a : H H R una forma bilineare continua e coercitiva e sia K un sottoinsieme convesso, chiuso e non vuoto di H. Allora, per ogni L H esiste un unico u K tale che (.5) a(u, v u) L(v u) per ogni v K. Inoltre se a è simmetrica, allora u è caratterizzata dalle proprietà { } u K e 2 a(u, u) Lu = min a(v, v) Lv : v K. 2 Dim. Per il Teorema.3.2, esiste f H tale che Lu = (f, u) per ogni u H. Inoltre, fissato u H, l applicazione v a(u, v) è lineare e continua su H e quindi esiste un solo elemento Au H tale che a(u, v) = (Au, v) per ogni v H. È chiaro che A : H H è un operatore lineare ed inoltre (Au, v) = a(u, v) C u v

.5. I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram 7 per ogni u, v H, da cui segue che Au C u, cioè A è limitato. Risulta anche che (Au, u) α u 2 per ogni u H, dato che a è coercitiva. Bisogna dunque trovare u K tale che (Au, v u) (f, v u) per ogni v K; questo equivale a dire che per qualche β > risulta: (βf βau + u u, v u) per ogni v K. Quest ultima disuguaglianza caratterizza u come la proiezione di βf βau + u su K, cioè (vedi Teorema..3). u = P K (βf βau + u) Ci siamo dunque ricondotti a dimostrare l esistenza di un β > tale che l applicazione F : K K definita da F (v) = P K (βf βav + v) abbia un punto fisso. Per la Proposizione..4, risulta: F (v ) F (v 2 ) = P K (βf βav + v ) P K (βf βav 2 + v 2 ) per ogni v i, v 2 K. Perciò: F (v ) F (v 2 ) 2 = v βav (v 2 βav 2 ) v v 2 2 2β(A[v v 2 ], v v 2 ) + β 2 A(v v 2 ) 2 v v 2 2 2αβ v v 2 2 + β 2 C 2 v v 2 2 = ( 2αβ + β 2 C 2 ) v v 2 2, per ogni v i, v 2 K, per la coercività e la continuità di A. Scegliendo β < 2α/C 2, abbiamo che 2αβ + β 2 C 2 < e quindi F è una contrazione (sullo spazio metrico completo K) e perciò esiste un solo u K tale che u = F (u) = P K (βf βau + u). L elemento u K è unico. Infatti, se u, u 2 K fossero due elementi soddisfacenti la (.5) per ogni v K, scegliendo successivamente in (.5) u = u e v = u 2, u = u 2 e v = u, si avrebbe rispettivamente: a(u, u 2 u ) L(u 2 u ) e a(u 2, u u 2 ) L(u u 2 ).

8. Cenni di Analisi Funzionale Perciò si otterrebbe: α u 2 u 2 a(u 2 u, u 2 u ) = a(u 2, u 2 u ) a(u, u 2 u ) = ossia u = u 2. a(u 2, u u 2 ) a(u, u 2 u ) L(u u 2 ) L(u 2 u ) =, Nel caso in cui a è simmetrica, allora [u, v] = a(u, v) è un (altro) prodotto scalare su H, che induce la norma [u, u] /2, che risulta equivalente alla norma, dato che a è continua e coercitiva. Applicando il Teorema.3.2 allo spazio di Hilbert (H, [, ]), esiste g H tale che [g, v] = Lv, per ogni v H. Perciò, per ogni v K risulta che L(v u) a(u, v u) = [g, v u] [u, v u], cioè u non è altro che la proiezione P K g nel senso del prodotto scalare [, ]. In altre parole, per il Teorema..3, u minimizza il funzionale v [g v, g v] /2 = a(g v, g v) /2 su K, oppure il funzionale v a(g v, g v), o ancora v 2 a(v, v) a(g, v) = 2 a(v, v) Lv. Teorema.5.3. (Lax-Milgram). Sia H uno spazio di Hilbert e sia H il suo duale. Sia a : H H R una forma bilineare continua e coercitiva. Allora, per ogni L H esiste un unico u H tale che a(u, v) = Lv per ogni v H. Inoltre se a è simmetrica, allora u è caratterizzato dalla proprietà { } a(u, u) Lu = min a(v, v) Lv : v H. 2 2 Dim. Per il Teorema.5.2 (con K = H), esiste u H tale che a(u, v u) L(v u) per ogni v H. Poiché anche u v H, allora a(u, v u) L(v u) per ogni v H e quindi a(u, w) = Lw per ogni w = v u H.

.6. Operatori compatti 9.6. Operatori compatti Un operatore lineare K : H H 2 si dice compatto se, per ogni successione limitata {u n } n N H, esiste una sottosuccessione {u nj } j N {u n } n N tale che {Ku nj } j N converge in H 2. Esempio.6.. Sia H come nell Esempio.3. e sia K L(H) definito da n K n u = a(j) û(j) e j, u H. j= Si ha che R(K n ) = span{e j } j=,...,n, che è uno spazio lineare di dimensione finita. L immagine di ogni limitato è quindi un sottoinsieme limitato di uno spazio di dimensione finita e quindi è relativamente compatta. Perciò, K n è compatto. Un operatore il cui rango abbia dimensione finita si dice di rango finito. Proposizione.6.2. Se K : H H 2 è compatto, allora è limitato. Dim. Se K non fosse limitato, per ogni n N esisterebbe u n H tale che Ku n 2 > n u n. Dato che u n, posto v n = u n / u n, avremmo che v n =, ma Kv n 2 > n, cioè nessuna sottosuccessione di {Kv n } n N potrebbe convergere. Questo contreddice il fatto che K è compatto. Teorema.6.3. Si verificano le seguenti affermazioni. (i) Se A : H H 2 è limitato e K : H 2 H 3 è compatto, allora KA è compatto. (ii) Siano K n : H H 2 compatti e supponiamo che K n K se n ; allora anche K è compatto. Dim. (i) Se u n c, allora Au n 2 A u n A c e quindi {KAu n } n N è relativamente compatta, dato che K è compatto. (ii) Basterà dimostrare che, se B è la pallina unitaria di H, allora K(B) ha chiusura compatta. Useremo il fatto che in uno spazio metrico completo i sottoinsiemi con chiusura compatta sono esattamente quelli totalmente limitati. Dobbiamo dimostrare quindi che K(B) si può ricoprire con un numero finito di palline di raggio arbitrariamente prefissato. Per ogni ε > esiste ν N tale che K K ν < ε/2. Dato che K ν (B) è totalmente limitato, c è un numero finito di punti v,..., v k H 2 tali che l unione delle palline di raggio ε/2 centrate nei punti v k ricopre K ν (B). Perciò, l unione delle palline di raggio ε centrate nei v k ricopre K(B); infatti, preso u B, esiste v j tale che K ν u v j 2 < ε/2 e quindi Ku v j 2 Ku K ν u 2 + K n uu v j 2 K K ν + ε/2 < ε.

2. Cenni di Analisi Funzionale Corollario.6.4. Se K n : H H 2 ha rango finito per ogni n N e K n K per n, allora anche K è compatto. Esempio.6.5. Sia K l operatore A definito nell Esempio.3. e sia K n quello definito nell Esempio.6.. Supponiamo inoltre che a(n) se n. Dato che abbiamo che (K K n )u = j=n+ a(j) 2 û(j) 2 sup a(j) 2 u 2, j n+ K K n sup a(j), j n+ che converge a zero per n ; K è dunque compatto. Teorema.6.6. Se K : H H 2 è compatto, anche K : H 2 H è compatto. Dim. Sia u n 2 c per ogni n N, allora K u n K c per ogni n N. Poichè K è compatto, esiste {u nj } j N {u n } n N tale che {K(K u nj )} j N converge, cioè, per ogni ε > esiste m N tale che K(K u nj ) K(K u nl ) 2 < ε/2c per ogni j, l > m. Per ogni j, l > m allora si ha: K u nj K u nl 2 = ( K u nj K u nl, K [u nj u nl ] ) = ( K(K u nj ) K(K νu nl ), u nj u nl ) 2 K(K u nj ) K(K u nl ) 2 u nj u nl 2 ε. Perciò {K u nj } j N è di Cauchy e quindi converge. Esempio.6.7. Siano (X, M, µ) uno spazio di misura, H = L 2 (X, M, µ) e k = k(x, y) una funzione nello spazio L 2 (X X, M M, µ µ). Allora l operatore K L(H) definito da (Kf)(x) = k(x, y) f(y) dµ(y), x X, f H, è compatto e K k 2. X Infatti, si osservi preliminarmente che, se {e i } i I è una base per H, allora, posto ϕ ij (x, y) = e i (x)e j (y), i, j I, x, y X,

.6. Operatori compatti 2 l insieme {ϕ ij } i,j I forma un sistema ortonormale in L 2 (X X, M M, µ µ) e risulta: (k, ϕ ij ) = k(x, y) e i (x)e j (y) d(µ µ)(x, y) = X X [ ] e i (x) k(x, y) e j (y) dµ(y) dµ(x) = (Ke j, e i ), per i, j I. X Inoltre, la disuguaglianza di Hölder implica che [ 2 Kf 2 = k(x, y) f(y) dµ(y)] dµ(x) e quindi K k 2. X X X X f(y) 2 dµ(y) f 2 k 2 2, X [ X k(x, y) 2 dµ(y) Per la disuguaglianza di Bessel, (.6) k 2 2 (k, ϕ ij ) 2 = (Ke j, e i ) 2 ; i,j I i,j I ] dµ(x) = questa stessa disequazione ci dice che i vettori ϕ ij tali che (k, ϕ ij ) sono al più un infinità numerabile: siano essi {ψ km } k,m N. Vogliamo ora approssimare K nella norma degli operatori con una successione di operatori K n di rango finito. Se poniamo K n = K K n, risulta che K nf 2 = (K nf, e i ) 2 = ( 2 ˆf(j)(K ne j, e i )) = i I i I j I ( 2 ˆf(m)(K ne m, e k )) e quindi k N m N m N ˆf(m) 2 k,m N K n 2 k,m N (K ne m, e k ) 2, (K ne m, e k ) 2. Sia ora P n la proiezione sul sottoapazio span(e,..., e n ); si noti che P n = P n e, preso K n = P n KP n, si ha che (K n e m, e k ) = (KP n e m, P n e k ) = (P n e m, K P n e k )

22. Cenni di Analisi Funzionale e quindi Perciò: (K n e m, e k ) = K K n 2 { se n + k, m, (Ke m, e k ) se k, m n. k,m=n+ che tende a zero quando n per la (.6). (Ke m, e k ) 2, Osservando che R(P n ) span(e,..., e n ), per il Corollario.6.4 concludiamo che K è compatto. Esempio.6.8. Sia H come nell esempio precedente e sia K definito come nell esempio precedente, ma con la funzione k che soddisfa l ipotesi seguente: esiste una successione di funzioni k n L 2 (X X, M M, µ µ) tale che la successione S n = sup k(x, y) k n (x, y) dµ(y) se n x X X e, per qualche costante C >, k(x, y) k n (x, y) dµ(x) C, per ogni y X ed ogni n N. X Allora K è compatto. Infatti gli operatori definiti da (K n f)(x) = k n (x, y) f(y) dµ(y), x X, f H, X sono tutti compatti per l esempio precedente. Inoltre, posto K n = K K n, si ha che K nf(x) 2 k(x, y) k n (x, y) dµ(y) k(x, y) k n (x, y) f(y) 2 dµ(y) X e quindi, per il teorema di Fubini, otteniamo [ ] K δ f 2 2 S n f(y) 2 k(x, y) k n (x, y) dµ(x) dµ(y) C S n f 2 2. X X Da ciò otteniamo che K n C S n e cioè che K K n per n, ossia che anche K è compatto. Applicando il criterio appena dimostrato è facile verificare che se X = M R N è una varietà differenziabile compatta di dimensione m e µ è la misura di Hausdorff m-dimensionale definita su M, allora le funzioni k(x, y) = X κ(x, y) x y l, k n(x, y) = k(x, y) [ X B(x,/n) (y)] soddisfano le ipotesi sopra riportate se κ è limitata su M e l [, m).

.6. Operatori compatti 23 Proposizione.6.9. Sia H uno spazio di Hilbert. Allora: (i) se H ha dimensione infinita, l identità I : H H non è un operatore compatto; (ii) se H ha dimensione infinita, l inverso di un operatore compatto K : H H non è limitato. Dim. (i) Segue facilmente dalla Proposizione.3.4. (ii) Se K fosse limitato, allora I = KK sarebbe compatto per il Teorema.6.3. Esempio.6.. Prendendo spunto dalla proposizione precedente consideriamo la situazione seguente. Sia H = L 2 (R N ) e sia K : H H tale che (Kf)(x) = k f(x). Siano α e α due costanti positive tali che α k(ξ) α per ogni ξ R N, allora K non è compatto. Infatti, se {f n } n N è un sistema ortonormale (e quindi limitato) in H, abbiamo: Kf n Kf m 2 = Kf n Kf m 2 = k(ξ) 2 ˆf n (ξ) ˆf m (ξ) 2 dξ R N α 2 ˆf n ˆf m 2 = α f 2 n f m 2 = 2 α 2 >. Perciò, {Kf n } n N non può contenere alcuna sottosuccessione convergente. (Per esempio, la trasformata di Hilbert ha un nucleo k tale che k(ξ) = iξ/ ξ e perciò non è un operatore compatto). Esempio.6.. Sia H = L 2 [, ] e sia K : H H definito da (Kf)(x) = x f(y) dy, x [, ], per f H; allora, posto k(x, y) = X [,x] (y), K soddisfa le ipotesi enunciate nell Esempio.6.7 e quindi è compatto. Si noti che R(K) {f assolutamente continua in [, ] : f() = }. Questa inclusione è diretta conseguenza dell assoluta continuità dell integrale di Lebesgue, dato che f L 2 [, ] L [, ]. Una funzione g : [a, b] R si dice assolutamente continua se, per ogni ε > esiste δ > tale che, per ogni scelta di intervalli disgiunti (a, b ),..., (a n, b n ) in [a, b] e tali che n (b i a i ) < δ, i= risulta che n f(b i ) f(a i ) < ε. i=

24. Cenni di Analisi Funzionale Per le proprietà delle funzioni assolutamente continue, abbiamo che, se g R(K), allora g è derivabile q.o. in [, ] e x g (y) dy = g(x) g() = g(x), x [, ], cioè (Kg )(x) = g(x) e dunque g = K g. Ne segue che l operazione di derivazione non è continua, essendo l inverso di un operatore compatto..7. Teorema dell alternativa di Fredholm Lemma.7.. Sia H uno spazio di Hilbert e sia K : H H un operatore lineare e compatto. Sia inoltre I : H H l identità. Allora esiste una costante a > tale che (.7) u Ku a u per ogni u N(I K). Dim. Per assurdo supponiamo che per ogni n N esista u n N(I K) con u n = e u n Ku n < n, e cioè tale che u n Ku n se n. Poichè {u n } n N è limitata e K è compatto, esistono {u nj } j N {u n } n N e u H tali che Ku nj u. Dato che u nj = u nj Ku nj + Ku nj, u nj converge a u e quindi Ku nj converge anche a Ku, essendo K continuo. Perciò u = Ku e cioè u N(I K). D altra parte u N(I K), perché questo sottospazio è chiuso ed ogni u n vi appartiene. Dunque u =, che contraddice il fatto che u =. Teorema.7.2. (Alternativa di Fredholm). Sia H uno spazio di Hilbert e sia K : H H un operatore lineare e compatto. Sia inoltre I : H H l identità. Allora (i) N(I K) ha dimensione finita; (ii) R(I K) è chiuso; (iii) R(I K) = N(I K ) ; (iv) N(I K) = {} se e solo se R(I K) = H; (v) N(I K) e N(I K ) hanno la stessa dimensione. Dim. (i) Si ha che ogni successione limitata {u n } n N N(I K) contiene una sottosuccessione convergente: infatti u n = Ku n ; e K è compatto. Per la Proposizione.6.9, N(I K) ha dimensione finita. (ii) Sia {v n } n N R(I K) e supponiamo che v n v per n. Allora esiste u n H tale che u n Ku n = v n (è chiaro inoltre che u n N(I K),

.7. Teorema dell alternativa di Fredholm 25 altrimenti v n = ). Per il Lemma.7. abbiamo che v n v m = (u n u m ) K(u n u m ) a u n u m ; quindi {u n } n N è di Cauchy e cioè converge ad un u H tale che u Ku = v, dato che I K è continuo. Dunque v R(I K). (iii) Segue dalla Proposizione.3.7. (iv) Supponiamo che N(I K) = {}, ma che H = R(I K) sia un sottospazio proprio di H; (ii) implica che H è chiuso. Risulta che il sottospazio chiuso H 2 = (I K)(H ) è contenuto strettamente in H, dato che I K è iniettivo, essendo N(I K) = {}. Iterando otteniamo una successione strettamente decrescente H H 2 H n H n+. Sia allora u n H n con u n H n+ e u n =. Osserviamo che Ku n Ku m = u n u m +u m Ku m (u n Ku n ) e che H n+ H n H m+ H m se n > m. Perciò u n Ku n, u m Ku m e u n appartengono ad H m+, mentre u m H m+ e quindi Ku n Ku m 2 = u m + (vettore in H m+ ) 2 = u m 2 + (vettore in H m+ ) 2. Ciò è assurdo perché K è compatto; dunque R(I K) = H. Se ora supponiamo che R(I K) = H, possiamo subito concludere che N(I K ) = {} utilizzando la (iii). Inoltre, dato che anche K è compatto, per quanto appena dimostrato abbiamo che R(I K ) = H e quindi N(I K) = R(I K ) = {}. (v) Dimostriamo prima che dim N(I K) dim R(I K). Per assurdo, supponiamo che esista un operatore lineare limitato A : N(I K) R(I K) iniettivo, ma non suriettivo. Possiamo estendere A a tutto H definendolo nullo su N(I K) (cioè, se u = u + u 2 con u N(I K) e u 2 N(I K), poniamo Au = Au ). Perciò A ha rango finito e quindi sia A che K + A sono compatti. Inoltre, se u N(I [K +A]) allora u = Ku+Au e quindi u Ku = Au appartiene sia a R(I K) che a R(A) e dunque a R(I K). Ne segue che u Ku = Au = e cioè u N(I K); dato che Au = e A è iniettiva su N(I K), possiamo allora concludere che u =. In definitiva, abbiamo dimostrato che N(I [K + A]) = {}. Applichiamo ora la (iv) all operatore K + A : otteniamo che R(I [K + A]) = H e cioè che l equazione u (Ku + Au) = v

26. Cenni di Analisi Funzionale ha soluzione per ogni v H. Questo è però impossibile se scegliamo v R(I K) ma v / R(A), dato che si avrebbe che u Ku = v + Au R(I K) R(I K), cioè u Ku = e quindi v = Au una contraddizione. A deve quindi essere suriettivo e cioè dim N(I K) dim R(I K). Finalmente, dato che N(I K ) = R(I K), da quanto appena dimostrato otteniamo dim N(I K) dim R(I K) = dim N(I K ). La disuguaglianza opposta si ottiene scambiando i ruoli di K e K. Osservazione.7.3. Il Teorema.7.2 asserisce che una delle seguenti possibilità si verifica ed esclude l altra: (a) per ogni f H, l equazione u Ku = f ha un unica soluzione e risulta; u a f (cioè u dipende con continuità dal dato); (b) l equazione omogenea u Ku = ha soluzioni non nulle. Questa dicotomia è l Alternativa di Fredholm e segue dall asserzione (iv) e e dalla (.7). Inoltre, se (b) si verifica, la (i) garantisce che lo spazio delle soluzioni dell equazione omogenea ha dimensione finita ed, inoltre, l equazione non omogenea u Ku = f ha soluzione se e solo se f è ortogonale a N(I K ) (per la (iii)). Tutto ciò era già noto nel caso in cui H avesse dimensione finita. Esempio.7.4. Sia K l operatore definito nell Esempio.6.5. Verifichiamo su tale operatore il teorema dell alternativa. Consideriamo quindi l equazione u Ku = f; essa sarà soddisfatta se e solo se [ a(n)] û(n) = ˆf(n), n N. Se a(n) per ogni n N, l equazione omogenea u Ku = ha la sola soluzione nulla. L equazione u Ku = f ha allora una sola soluzione, u = n N che dipende con continuità da f, infatti: u max n N ˆf(n) a(n) e n, a(n) f.

.8. Spettro di un operatore compatto 27 Altrimenti, dato che a(n) se n, ci sono al più m interi n,..., n m tali che a(n j ) =, j =,..., n m. In questo caso, l equazione omogenea ha soluzioni non banali, come pure l equazione u K u =. Infatti N(I K) = N(I K ) = span{e n,..., e nm } e quindi l equazione non omogenea sarà risolvibile solo se (f, e nj ) = ˆf(n j ) =, j =,..., n m.. In questo caso si avrà: u = n n,...,n m ˆf(n) a(n) e n e u max n n,...,n m a(n) f..8. Spettro di un operatore compatto L insieme risolvente di un operatore A L(H) è l insieme Lo spettro di A è l insieme ρ(a) = {λ R : A λi è iniettivo e suriettivo}. σ(a) = R \ ρ(a). Il Corollario.4.4 implica che (A λi) L(H) se λ ρ(a). Si dice che λ σ(a) è un autovalore di A se N(I λa) {}; lo spettro puntuale di A è l insieme σ p (A) di tutti i suoi autovalori. Se λ σ p (A), la sua molteplicità è la dimensione di N(A λi); ogni elemento non nullo di N(A λi) si dice un autovettore associato a λ. Esempio.8.. Sia A : l 2 l 2 definito così: Au = (, u, u 2,... ) se u = (u, u 2,... ). È chiaro che / σ p(a), dato che Au = se e solo se u =. D altra parte σ(a), perché A non è suriettivo. Teorema.8.2. Sia A L(H). Allora σ(a) è chiuso e σ(a) [ A, A ]. Dim. Sia λ R con λ > A. Allora l operatore λ A è una contrazione, dato che λ Au λ Av = λ Au Av λ A u v per ogni u, v H, e λ A <. Per ogni f H allora l equazione (λ A I)u = f (anche u λ Au f è una contrazione) ammette un unica soluzione e quindi A λi è biunivoco, cioè λ ρ(a). Dimostriamo ora che σ(a) è chiuso. Sia λ ρ(a) e sia λ R tale che λ λ < r; vogliamo far vedere che λ ρ(a) se r è abbastanza piccolo. L equazione Au λu = f si può riscrivere come Au λ u = f + (λ λ )u o, dato che λ ρ(a), come u = (A λ I) [f +(λ λ )u], che, per il Teorema della Contrazione, ha un unica soluzione quando λ λ (A λ I) <. Basta quindi scegliere r = (A λ I).

28. Cenni di Analisi Funzionale Teorema.8.3. (Spettro di un operatore compatto). Sia H uno spazio di Hilbert di dimensione infinita e sia K : H H un operatore lineare e compatto. Allora (i) σ(k); (ii) σ(k) \ {} = σ p (K) \ {}; (iii) σ(k) \ {} è finito oppure consiste di una successione infinitesima; (iv) ogni λ σ(k) \ {} ha molteplicità finita. Dim. (i) Se / σ(k), allora K è biunivoco e K è limitato per il Corollario.4.4; quindi I = K K è compatto, essendo la composizione di un operatore limitato con uno compatto. Per la Proposizione.6.9, H avrebbe dimensione finita, contro l ipotesi. (ii) È chiaro che σ(k) \ {} σ p(k) \ {}. Sia ora λ σ(k) \ {}; se fosse N(K λi) = {}, l asserzione (iv) del Teorema.7.2 implicherebbe R(K λi) = H e quindi che λ ρ(k), il che è assurdo. (iii) Supponiamo che σ(k) \ {} sia infinito e, per r >, poniamo Λ r = {λ σ(k) : λ > r}. Facciamo vedere che Λ r è finito, dimostrando così contemporaneamente che σ(k) \ {} è numerabile e che l unico suo punto di accumulazione è lo zero. Sia {λ n } n N Λ r una successione di elementi distinti; se u n è un autovettore corrispondente a λ n, allora {u n } n N sono linearmente indipendenti. Dimostriamolo per induzione: u è sicuramente linearmente indipendente; supponiamo che u,..., u n siano linearmente indipendenti e consideriamo l equazione c u + + c n u n =. Applicando ad entrambi i membri di questa equazione l operatore K λ n I, otteniamo che c (λ λ n )u + + c n (λ n λ n )u n =. Per l ipotesi di induzione e dato che gli autovalori sono tra loro distinti, abbiamo che c = = c n = e quindi c n u n = e cioè anche c n =. Poniamo ora H n = span{u,..., u n }; si ha che H n H n+ per ogni n N. Osserviamo che (K λ n I)(H n ) H n per ogni n = 2, 3,. Per n = 2, 3,, scegliamo un elemento v n H n tale che v n H n e v n =.

.9. Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico compatto 29 Se n > m, H m H m H n H n e quindi λ n λ n Kv n λ m Kv m 2 = (Kv n λ n v n ) λ m (Kv m λ m v m ) + v n v m 2 = v n + (vettore in H n ) 2 v n 2 =, dato che Kv n λ n v n, Kv m λ n v m e v m appartengono ad H n. Perciò {K(λ n v n )} n N non contiene sottosuccessioni convergenti, anche se λ n v n = λ n < r ; questo è in contraddizione con il fatto che K è compatto. (iv) Sia λ un autovalore di K; per l asserzione (i) del Teorema.7.2, N(K λi) ha dimensione finita. Esempio.8.4. Sia K l operatore compatto definito nell Esempio.6.5. Allora Ku = λ u se e solo se a(n) û(n) = λ û(n), n N. Se λ a(n) per ogni n N, allora λ ρ(k). Se λ = a(n) per qualche n N tale che a(n), dato che a(n) per n, allora a(n) = a(n) solo per un numero finito di n e quindi la dimensione di N(K λi) è finita. Infine, osserviamo che λ = può avere molteplicità infinita, cioè la dimensione di N(K) è infinita; ciò si verifica per esempio se a(n) = per infiniti n..9. Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico compatto Abbiamo già osservato che se A è un operatore lineare limitato e simmetrico, allora A uguaglia il numero poniamo ora M = sup{(au, u) : u H, u = }; m = inf{(au, u) : u H, u = } Lemma.9.. Sia A L(H) simmetrico. Allora (i) σ(a) [m, M]; (ii) m, M σ(a). Dim. (i) Sia a : H H R la forma bilineare definita da a(u, v) = (λu Au, v) per u, v H. È chiaro che a è continua. Se λ > M, allora la disuguaglianza (λu Au, u) = λ u 2 (Au, u) (λ M) u 2

3. Cenni di Analisi Funzionale implica che a è coercitiva. Per il Teorema.5.3, per ogni f H esiste un unico u H tale che (λu Au, v) = (f, v) per ogni v H, cioè λu Au = f, ossia R(λI A) = H. D altra parte la coercività di a implica che N(λI A)) = {}; perciò λi A è biunivoco e quindi λ ρ(a) assurdo. In modo analogo, si dimostra che λ m. (ii) Supponiamo per esempio che m / σ(a); allora è ben definito e continuo l inverso (A mi). La forma bilineare [u, v] = (Au mu, v) è simmetrica e non negativa (per la definizione di m); vale allora la disuguaglianza di Schwarz e quindi [u, v] 2 [u, u] [v, v] = (Au mu, u) (Av mv, v) (Au mu, u) A mi v 2 per ogni u, v H. In particolare, preso v = Au mu, si ha che e cioè Au mu 4 (Au mu, u) A mi Au mu 2 (.8) Au mu 2 A mi (Au mu, u), per ogni u H. Sia ora {u n } n N H con u n = per ogni n N e tale che (Au n, u n ) m per n ; allora (.8) implica che Au n mu n per n. Poiché abbiamo supposto che m / σ(a), si ha allora che u n = (A mi) (Au n mu n ) se n, dato che (A mi) è limitato. Ciò è assurdo perché u n = per ogni n N. Teorema.9.2. (Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico compatto). Sia H uno spazio di Hilbert separabile e sia K : H H un operatore simmetrico e compatto. Allora esiste una base ortonormale numerabile di H fatta di autovettori di K. Dim. Sia {λ n } n N la successione degli autovalori distinti di K, eccettuato ; poniamo λ =. Se definiamo H = N(K) e H n = N(K λ n I), n N, per l asserzione (iv) del Teorema.7.2, risulta che dim(h ) e < dim(h n ) <, n N. Se n m e u H n, v H m, allora λ n (u, v) = (Ku, v) = (u, Kv) = λ m (u, v)

.. Sistemi di Sturm-Liouville 3 e quindi (u, v) =, dato che λ n λ m. Sia ora H il sottospazio di H formato da tutte le combinazioni lineari finite di elementi di H k, k =,,... ; è chiaro che H contiene tutti gli H k. Chiaramente K(H ) H ed, inoltre, K(H ) H, dato che (Ku, v) = (u, Kv) =, se u H e v H. La restrizione K di K a H è pure un operatore simmetrico e compatto ed inoltre σ(k ) = {}, dato che ogni suo autovalore λ non nullo sarebbe un autovalore di K (ma allora ogni autovettore u H corrispondente a λ starebbe in H ). Per il Lemma.9., allora (K u, u) = per ogni u H. Ma se u, v H, risulta che 2(K u, v) = (K (u + v), u + v) (K u, u) (K v, v) = e quindi K. Perciò H N(K) = H H ed allora H = {} e cioè H è denso in H. Scegliendo una base ortonormale da ogni H n, n =,, 2,, otteniamo allora una base ortonormale per tutto H. Si noti che H contiene una base ortonormale numerabile, dato che H è separabile. Esempio.9.3. Riprendiamo ancora l Esempio.8.4. simmetrico se e solo se a(n) R per ogni n N. È chiaro che K è In questo caso σ(k) è composto dai valori distinti di a(n); siano questi {a(n j )} j=,...,j, con J. Si avrà allora che m = min{a(n j ) : j {,..., J}}, M = max{a(n j ) : j {,..., J}}. Posto H j = N(K a(n j )I), si ha: l 2 = H H 2... Sistemi di Sturm-Liouville Si consideri il problema al contorno: (.9) Lu = [p(t)u ] + q(t)u = f(t), t (, T ); u() = u(t ) = ; il sistema (.9) è un esempio di problema di Sturm-Liouville; se si suppone che p C ([, T ]), q, f C ([, T ]), le soluzioni dell equazione differenziale in (.9) sono di classe C 2 [, T ]; chiameremo queste soluzioni classiche e, come è noto dalla teoria generale delle equazioni differenziali lineari, esse sono della forma u = u + c u + c 2 u 2, dove u è una soluzione particolare, u e u 2 sono soluzioni linearmente indipendenti dell equazione omogenea associata Lu = e c, c 2 sono costanti reali.

32. Cenni di Analisi Funzionale Vedremo in seguito come si potrà parlare di soluzioni di (.9) in senso generalizzato, nel caso in cui le funzioni p, q ed f siano discontinue. Per poter far ciò, supponiamo che le funzioni p e q soddisfino le seguenti richieste: (.) p(t) e q(t), t [, T ]. Nelle ipotesi di regolarità sui coefficienti finora specificate, il sistema (.9) ha una ed una sola soluzione classica. Infatti, vista la forma delle soluzioni di Lu = f, troveremo una soluzione di (.9) se e solo se il sistema lineare { c u () + c 2 u 2 () = u(), c u (T ) + c 2 u 2 (T ) = u(t ), ha soluzione. Questo si verifica se e solo se il sistema omogeneo associato { c u () + c 2 u 2 (T ) =, c u () + c 2 u 2 (T ) =, ha la sola soluzione nulla e, in questo caso, la soluzione del sistema non omogeneo è unica. Il sistema omogeneo ha soluzione nulla se e solo se il sistema (.9) con f ha la sola soluzione nulla. Questo si verifica osservando che, se Lu =, allora si ha che = T T u Lu dt = T [ p(t)(u ) 2 + q(t)u 2] dt u { [p(t)u ] + q(t)u } dt = T (u ) 2 dt, dopo un integrazione per parti, dove si sono applicate le condizioni al contorno in (.9) e le ipotesi (.). La funzione u deve essere allora costante e, quindi, nulla per soddisfare le condizioni al contorno. Abbiamo perciò dimostrato che ad ogni f C ([, T ]) corrisponde una sola soluzione del problema (.9), che indicheremo con u = Kf; resta quindi definito un operatore (lineare) su C ([, T ]). Vediamo ora come si può definire una soluzione generalizzata di (.9) quando si supponga che i coefficienti p e q siano solo di classe L [, T ], ferme restando le ipotesi (.), ed il termine f sia in L 2 [, T ]. Cominciamo con il definire un nuovo spazio di Hilbert, { T } H = v AC[, T ] : v (t) 2 dt <, v() = v(t ) =, con il prodotto scalare (u, v) = T u(t) v(t) dt