Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. è un identità. Verificare un identità ( ) ( ) è un identità? 1. eseguire tutte le operazioni del primo e del secondo membro dell uguaglianza; 2. confrontare le due espressioni letterali ottenute e verificare che siano uguali. 3. dare dei valori casuali alle lettere e verificare che i risultati ottenuti siano uguali: ( ) ( ) È un identità! Equazioni Si dice EQUAZIONE un uguaglianza fra due espressioni che si verifica solo per determinati valori attribuiti alle lettere, che si dicono INCOGNITE. Questa uguaglianza è verificata solo se, infatti: 1
Quindi è l unica soluzione dell equazione Se nell equazione vi è una sola incognita con esponente 1, si dice che l equazione è di primo grado ad un incognita. Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno la stessa soluzione. L equazione: ha per soluzione ( ) ( ), infatti: Anche l equazione ha per soluzione ( ) ( ), infatti: Quindi le due equazioni sono EQUIVALENTI. Osservazione: Il concetto di equazioni equivalenti viene applicato nella risoluzione delle equazioni, trasformando un equazione in un altra più semplice, ad essa equivalente. La trasformazione avviene applicando due PRINCIPI DI EQUIVALENZA: 2
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ADDIZIONANDO O SOTTRAENDO DAI DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE UNO STESSO NUMERO O UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE L INCOGNITA, OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. Consideriamo l equazione x 1 4 e ad entrambi i membri sottraiamo 1: x 1 1 4 1, eseguiamo i calcoli e otteniamo: x 3 soluzione dell equazione data. Consideriamo l equazione x 3 5 e ad entrambi i membri aggiungiamo 3: x 3 3 5 3, eseguiamo i calcoli e otteniamo: x 8 soluzione dell equazione data. REGOLA: In ogni equazione un termine può essere trasportato da una parte all altra dell uguale, cambiando il suo segno. Se nei due membri di un equazione compaiono due termini uguali, essi possono essere semplificati. OSSERVAZIONE: L obiettivo è spostare a sinistra tutte le incognite e a destra tutti i numeri. 3
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Moltiplicando o dividendo i due membri di un equazione per uno stesso numero (diverso da zero), otteniamo un equazione equivalente a quella data. Consideriamo l equazione e moltiplichiamo entrambi i membri per ( ) ( ) ( ) Consideriamo l equazione per risolverla conviene eliminare i denominatori facendo il m.c.m.: ( ) Moltiplichiamo TUTTI I TERMINI del primo e del secondo membro per il : Semplifichiamo REGOLA: Cambiando il segno a ciascun termine dell equazione, otteniamo un equazione equivalente a quella data. Se un equazione contiene delle frazioni si deve: o trovare l m.c.m. dei denominatori o ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore (m.c.m.) o moltiplicare entrambi i membri dell equazione per il denominatore 4
un equazione si dice RIDOTTA A FORMA NORMALE se al primo membro c è un solo termine in x e al secondo membro un solo termine noto: è il coefficiente dell equazione e è il termine noto. Osservazione: se l equazione non è ridotta in forma normale, si devono utilizzare i due principi di equivalenza per ridurla in forma normale. SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI PRIMO GRADO AD UN INCOGNITA DISCUSSIONE EQUAZIONE DI PRIMO GRADO I CASO: EQUAZIONE DETERMINATA: La soluzione è In particolare, se la soluzione sarà cioè la soluzione è nulla. In questo caso l equazione è determinata e ha una sola soluzione. II CASO: EQUAZIONE IMPOSSIBILE:. L equazione non ha soluzioni perché l uguaglianza 0 non è possibile, non esiste alcun numero che moltiplicato per dia come risultato un numero diverso da 0. L equazione non ha soluzioni. 5
impossibile: (non esistono appartenenti all insieme dei numeri reali che sono soluzioni dell equazione data) III CASO: EQUAZIONE INDETERMINATA: 0 L equazione è INDETERMINATA perchè è verificata per qualsiasi valore attribuito alla, ovvero qualsiasi numero moltiplicato per 0 da come risultato 0. L equazione ha infinite soluzioni. OSSERVAZIONE: Ogni equazione indeterminata è un identità. reali) (l equazione è verificata per ogni x appartenente all insieme dei numeri Equazione in forma normale Equazione determinata e Equazione impossibile Nessuna soluzione e Equazione indeterminata Infinite soluzioni 6