CPITOLO LE REE VIDEO SUPERFICI D DIPINGERE PRIM DI COMINCIRE Robert eve ipingere la stanza ella zia Evige, e gli rimangono ancora ue pareti: una a forma i trapezio rettangolo con basi i 85 cm e 90 cm e altezza i 338 cm; l altra a forma i rettangolo con base i 94 cm e altezza uguale alla base maggiore el trapezio. Con L i pittura può ipingere 8 m, e ne a soltano L. > Gli basteranno per le ue pareti? NLIZZ I DTI E RISOLVI IL PROBLEM Disegna qui a fianco le ue pareti e scrivi le misure elle loro imensioni. Disegna i nuovo il rettangolo e il trapezio nella quarettatura in basso rispettano le proporzioni e approssimano i ati ( cm sulla carta corrispone a 00 cm ella parete). Risponi ora alla omana i Robert, motivano la tua risposta.
T CPITOLO Le aree Perimetri e misure i superficie PRIM DI COMINCIRE Nei poligoni a) e c) colora il perimetro. Nei poligoni b) e ) colora lõarea. a) b) c) ) D SPERE La linea rossa ce elimita la figura è il suo perimetro. La parte i piano colorata elimitata al perimetro è la superficie ella figura. cm cm Puoi controllare, nonostante il contorno leggermente irregolare, ce il perimetro è i circa 8 cm (forse un po i più). La superficie colorata è i circa 6 cm. NIMZIONE IN DIGITLE Perimetri e misure i superficie L unità i misura i superficie Vuoi ricoprire una superficie con unità tutte uguali tra loro, ce siano ance poligoni regolari, senza lasciare alcun «buco». Puoi usare solamente triangoli equilateri, quarati o esagoni regolari. la somma egli angoli 360 la somma egli angoli 360 la somma egli angoli 360 60 60 60 90 90 0 60 60 60 90 90 0 0
Paragrafo. Perimetri e misure i superficie T Da secoli si è scelta una unità i misura quarata, per praticità; è più facile nel quarato costruire ei multipli e sottomultipli. L unità scelta per la misura elle superfici è il quarato con il lato i metro (metro quarato), con i suoi multipli e sottomultipli. La misura ella superficie si ice area ella figura. area 9 cm cm area cm area 9 cm METTITI LL PROV Completa. L area è L area è circa L area è circa... cm...... 3 Vero o falso? a) Tre angoli i tre esagoni regolari uniti per un vertice formano un angolo piatto. V F b) Quattro angoli i quattro quarati uniti per un vertice formano un angolo giro. V F c) Tre angoli i tre triangoli equilateri uniti per un vertice formano un angolo giro. V F ) Il triangolo equilatero si può suiviere in triangoli equilateri. V F e) Il quarato si può suiviere in quarati. V F f) Un esagono regolare si può suiviere in esagoni regolari. V F Esercizi a pag. 0 3
T CPITOLO Le aree Il principio i equiscomponibilità PRIM DI COMINCIRE Ecco un gioco ciamato Tangram, originario ell antica Cina: si tratta i un quarato scomposto in sette forme geometrice. Fai una fotocopia e ritaglialo nei vari pezzi. > Sei capace i costruire queste figure utilizzano tutti i pezzi el tuo Tangram? 6 5 7 4 3 D SPERE Misurare le superfici con misure irette, come abbiamo fatto negli esempi preceenti, è poco pratico. In molti casi puoi ricorrere a altri metoi. Le ue figure qui sotto sono composte a parti congruenti. Se il numero i queste parti è lo stesso, le ue figure si icono equiscomponibili. B C C B Due figure si icono equiscomponibili se sono composte a più parti congruenti fra loro. Le figure equiscomponibili sono sempre equivalenti fra loro, cioè anno la stessa area. NIMZIONE IN DIGITLE Il principio i equiscomponibilitˆ Queste quattro figure sono equiscomponibili; anno quini tutte la stessa area. METTITI LL PROV Colora con lo stesso colore le coppie i figure equiscomponibili. a) b) c) ) e) f) Vero o falso? a) Due figure sono equiscomponibili se sono composte a parti congruenti fra loro. V F b) Se ue figure sono composte a parti congruenti fra loro, anno la stessa area. V F c) Due figure ce anno la stessa area sono ance congruenti. V F 4
Paragrafo 3. rea ei rettangoli T 3 rea ei rettangoli,5 m m PRIM DI COMINCIRE La famiglia Rossi, composta a quattro persone, vorrebbe ingranire la cucina per poterci pranzare; tutto ciò a spese i una camera inutilizzata. La cucina è larga m e lunga,5 m. > Se raoppiano la largezza, come cambia l area ella cucina? E se raoppiano la lungezza? > E se raoppiano sia la largezza sia la lungezza? m D SPERE Conta i centimetri quarati ce ricoprono la superficie el rettangolo. Scopri ce sono 5. 5 cm NIMZIONE IN DIGITLE rea ei rettangoli altezza Potevi arrivare a questo risultato moltiplicano la misura ella base per la misura ell altezza. 5 cm $ 3 cm 5 cm b base L area el rettangolo si ottiene moltiplicano tra loro le lungezze elle imensioni: base e altezza. b. L area el rettangolo BCD è BCD, cm $,5 cm 3,30 cm D B C Esercizi a pag. 5 5
T CPITOLO Le aree Trovare le imensioni conosceno l area Del rettangolo qui a fianco conosci lõarea (0 cm ) e la lungezza i una elle imensioni (5 cm). Per trovare lõaltra imensione, puoi iviere lõarea per la imensione nota. 0 cm : 5 cm 4 cm l altezza el rettangolo operazione inversa a quella usata per trovare l area 5 cm Quano i un rettangolo si conosce lõarea e una elle imensioni, possibile trovare lõaltra imensione ivieno lõarea per la imensione nota. b b D 3 cm : 8 cm 4 cm HG 48 cm : cm 4 cm E D B area 3 cm area 48 cm 8 cm C H cm F G METTITI LL PROV Completa la tabella relativa a alcuni rettangoli. base 3 cm 0 cm 9 cm 5 cm altezza 5 cm 4 cm 8 cm area 65 cm 40 cm 00 cm 60 cm Vero o falso? a) Per calcolare lõarea el rettangolo sommo la misura ella base con la misura ellõaltezza. V F b) Calcolo la misura ella base se conosco lõarea el rettangolo e la misura ellõaltezza. V F c) Se 48 cm e b 5 cm, allora 3 cm. V F 6
Paragrafo 4. rea ei quarati T 4 rea ei quarati PRIM DI COMINCIRE Una stima a occio: secono te, l area el quarato rosso (senza il segno nero) è maggiore o minore ell area el resto el quaro? Il quaro è el pittore olanese Piet Monrian (87-944) ce fu uno ei primi pittori a usare un linguaggio grafico astratto. Dal 90 scelse i lavorare solo con colori primari (blu, rosso e giallo) insieme al bianco e al nero. Nei suoi quari puoi veere solo quarati e rettangoli. en.wikipeia.org D SPERE Trovare lõarea conosceno le imensioni Per trovare l area, consiera ce il quarato è un rettangolo con le ue imensioni congruenti. Puoi allora moltiplicare per se stessa la lungezza el lato. L area el quarato si ottiene moltiplicano per se stessa la lungezza el lato. NIMZIONE IN DIGITLE rea ei quarati l. l l 4 cm l area è i 6 cm 4 cm 3 cm $ 3 cm 9 cm 7,5 cm $ 7,5 cm 56,5 cm 3 cm 7,5 cm Esercizi a pag. 30 7
T CPITOLO Le aree Trovare il lato conosceno l area Conosci lõarea el quarato e vuoi trovare il lato? Puoi calcolare il numero ce moltiplicato per se stesso ˆ il numero ato (ricora ce lõestrazione i raice lõoperazione inversa ellõelevamento a potenza). Quano i un quarato si conosce lõarea, possibile trovare il lato calcolano la raice quarata ellõarea. l?? l 64 cm 8 cm 64 cm l l 90, 5 cm 95, cm 90,5 cm Trovare il lato conosceno la iagonale Osserva la figura: el quarato arancione conosci solo la misura ella iagonale. LÕarea el quarato arancione la metˆ ellõarea el quarato blu. llora per calcolare lõarea el quarato arancione evi operare nel seguente moo: (3,5 $ 3,5) :,5 : 6,5 cm. l l area è l area è l 3,5 cm l l 8
Paragrafo 4. rea ei quarati T L area i un quarato si ottiene elevano alla secona la misura ella iagonale e ivieno per.. Trovare la iagonale conosceno l area Se conosci l area, puoi trovare la lungezza ella iagonale: Quano i un quarato si conosce l area, è possibile trovare la iagonale calcolano la raice quarata el oppio ell area. ^38, cm 7, cm 3,8 cm ^5, cm 3, 5 cm,5 cm 3 3 cm $ 3 cm 64 cm 8 cm 3 3 METTITI LL PROV Vero o falso? a) L area el quarato si trova moltiplicano il lato per 4. V F b) Se conosci l area e vuoi trovare la lungezza el lato, evi calcolare la raice quarata ell area. V F c) L area el quarato si può calcolare ance elevano la iagonale al quarato. V F ) La iagonale el quarato è la raice quarata el oppio ell area. V F Completa le tabelle. lato 5, cm cm 8,8 cm 7,5 cm area 44 cm 84,64 cm 3, cm iagonale 9 cm 5,7 cm 0 cm area 40,5 cm 4,3 cm 88 cm 89,78 cm Esercizi a pag. 30 9
T CPITOLO Le aree 5 area ei parallelogrammi PRIM DI COMINCIRE Osserva questo parallelogramma e isegnalo sul tuo quaerno contano bene i quaretti. > Riesci, opo un solo taglio, a sistemare i pezzi in moo a formare un rettangolo ella stessa area? D SPERE area i un qualsiasi parallelogramma Per eterminare l area el parallelogramma, usa il principio i equiscomponibilità e calcola l area el rettangolo equivalente, opo avere tagliato e incollato il triangolo vere. I ragazzi evono applicare il principio i equiscomponibilità e avere un minimo i occio per eseguire la consegna. nimzione in igitle rea ei parallelogrammi b L area el parallelogramma si ottiene moltiplicano la lungezza ella base per quella ell altezza. b. Come per il rettangolo, aveno la misura ell area e i una imensione, puoi eterminare l altra imensione: b b Un parallelogramma a ue basi, ognuna con la propria altezza. Puoi trovare l area ella figura esegueno 3 cm $ 4 cm cm oppure 5 cm $,4 cm cm.,4 cm 4 cm 3 cm 5 cm 0
Paragrafo 5. rea ei parallelogrammi T rea el parallelogramma rombo Per eterminare l area el rombo consiera ce questo parallelogramma a tutti i lati uguali e tutte le altezze uguali tra loro. Per trovare l area, moltiplica la misura i un lato qualunque per l altezza relativa. le ue altezze sono congruenti L area el parallelogramma rombo si ottiene moltiplicano la lungezza i un lato qualunque per l altezza relativa. l. METTITI LL PROV Completa la tabella relativa a alcuni parallelogrammi. lato (cm) altezza (cm) area (cm ) 8 5 70 0,5 5,75 5,5 3 0,3 0,06 34 5 5,5 36,3 Vero o falso? a) L area el parallelogramma si calcola moltiplicano la misura i un lato per la misura ell altezza relativa e ivieno il prootto per. V F b) La base i un parallelogramma si trova ivieno l area per l altezza relativa a tale base. V F c) L area i un parallelogramma si calcola moltiplicano fra loro le lungezze i ue lati consecutivi. V F Esercizi a pag. 33
T CPITOLO Le aree 6 rea ei quarilateri con iagonali perpenicolari PRIM DI COMINCIRE Osserva il rettangolo sui lati el quale stanno i vertici ellõaquilone. > Come potresti fare per calcolare lõarea ellõaquilone (naturalmente senza la coa!)? D SPERE Trovare lõarea conosceno le iagonali Il rombo appartiene alla famiglia ei quarilateri con le iagonali perpenicolari. Per eterminare l area i un quarilatero con le iagonali perpenicolari, osserva ce l area el rettangolo ce a come imensioni le ue iagonali è uguale all area el quarilatero moltiplicata per. l l l l l l NIMZIONE IN DIGITLE rea ei quarilateri con iagonali perpenicolari L area i un quarilatero con le iagonali perpenicolari si ottiene moltiplicano fra loro le lungezze elle ue iagonali e ivieno il prootto per.. «3cm $ 6cm 9 cm cm $ 5 cm 5 cm l l 3 cm l 6 cm cm l 5 cm
Paragrafo 6. rea ei quarilateri con iagonali perpenicolari T Trovare le iagonali conosceno l area Per eterminare la lungezza i una iagonale quano conosci l area el quarilatero e l altra iagonale, moltiplica l area per e ivii il prootto per l altra iagonale. l Quano i un quarilatero con le iagonali perpenicolari si conoscono l area e la misura i una iagonale, per eterminare l altra iagonale si eve moltiplicare l area per e iviere il prootto per la iagonale nota. ««36 cm cm $ 6 cm l 36 cm l cm METTITI LL PROV Completa la tabella. 3,5 cm 8 cm 9, cm 0 cm cm l 6 cm 4 cm 5,4 cm cm area 0,5 cm 4 cm 6,8 cm 50 cm Vero o falso? a) Il eltoie un quarilatero con le iagonali perpenicolari. V F b) L area i un quarilatero con le iagonali perpenicolari si trova moltiplicano tra loro le iagonali. V F c) Conosceno l area el quarilatero con iagonali perpenicolari, possiamo calcolare la misura i una iagonale moltiplicano per l area e ivieno il prootto per la misura ell altra iagonale. V F ) L area el quarato si ottiene elevano al quarato la misura ella iagonale e ivieno il risultato per. V F Esercizi a pag. 39 3
T CPITOLO Le aree 7 rea ei triangoli PRIM DI COMINCIRE Un rettangolo è formato a ue triangoli rettangoli uguali. L area i ogni triangolo è i 6 m. > Se ogni lato el rettangolo è ato a un numero intero i metri, quale fra i seguenti non può essere il suo perimetro? a 6 m b 4 m c 8 m 6 m D SPERE Trovare lõarea conosceno base e altezza Osserva la sequenza i figure e leggi le istruzioni: Preni un rettangolo qualunque segna un punto sul lato superiore, congiungilo con gli estremi ella base tratteggia un segmento parallelo allõaltezza taglia b NIMZIONE IN DIGITLE rea ei triangoli sistema il triangolo colorato qui taglia sistema il triangolo colorato qui b LÕarea el triangolo si ottiene moltiplicano la lungezza ella base per quella ellõaltezza e ivieno per il prootto. b. 3cm $ 5cm 75, cm 8cm $ 6cm 4 cm 3 5 cm $ cm 30 cm 6 cm 5 cm 3 cm 3 5 cm 8 cm cm 4
Paragrafo 7. rea ei triangoli T Trovare base o altezza conosceno lõarea Per eterminare la misura ella base o ell altezza, quano conosci l area e l altra imensione, puoi proceere in maniera inversa. Risali al triangolo al rettangolo i area oppia e etermini la imensione incognita. Quano i un triangolo si conoscono l area e la base o l area e l altezza, per eterminare l altra imensione si eve moltiplicare l area per (otteneno l area el rettangolo) e iviere il prootto per la imensione nota. b b b 8 cm $ 7 cm 8 cm 0 cm $ 8 cm 5 cm 7 cm b 8 cm 0 cm 8 cm Ogni meiana ivie il triangolo in ue triangoli equivalenti. LÕarea ei poligoni regolari Puoi scomporre ogni poligono regolare in tanti triangoli quanti sono i suoi lati: l perimetro Trovi l area i un poligono regolare sommano l area i tutti i triangoli a cui è composto. Se l area i un solo triangolo è b$ triangolo l area ell intero poligono sarà p$ poligono regolare (ove p è il perimetro). Ricora ce si ciama apotema el poligono regolare l altezza comune a tutti i triangoli i cui è composto. l l l l a a a a Esercizi a pag. 4 5
T CPITOLO Le aree LÕarea el poligono regolare ata alla metˆ el prootto el perimetro per lõapotema. Da cui puoi ricavare: p. a p a a p quarato ( 6 cm $ 4) $ 3cm 4 $ 3 cm 36 cm 6 cm 3 cm METTITI LL PROV Completa la tabella relativa ai triangoli. base (cm) 6 3,6,5,3 altezza (cm) 7 5,8 6,4 5, area (cm ) 0 4,4 6 5,86 7,475 Completa la tabella. poligono regolare lato perimetro apotema area triangolo 4 cm 6,9 cm quarato 60 cm esagono 7 cm 0,4 cm 3 Vero o falso? a) In un triangolo, la misura ella base si trova ivieno lõarea per il oppio ellõaltezza. V F b) In un triangolo, la misura ellõaltezza si trova ivieno lõarea per la misura ella base. V F c) Ogni poligono regolare si pu scomporre in tanti triangoli quanti sono i suoi lati. V F ) LÕapotema i un poligono regolare lõaltezza comune a tutti i triangoli i cui composto. V F e) LÕarea el poligono regolare ata al prootto el perimetro per lõapotema. V F f) LÕapotema i un poligono regolare si calcola ivieno la oppia area per il perimetro. V F 6
Paragrafo 8. rea ei trapezi T 8 rea ei trapezi PRIM DI COMINCIRE Sei capace i calcolare lõarea i ciascuna elle ue figure? (Ricora come si trova lõarea ei triangoli!) D SPERE Trovare lõarea conosceno base e altezza Per eterminare l area el trapezio, trasformalo nel triangolo equivalente, ce ottieni spostano il triangolo azzurro. D b C punto meio i CB D M M bl B bl B b Se ricori la formula ell area el triangolo, puoi facilmente ricavare l area el trapezio. L area el trapezio si ottiene moltiplicano la somma elle lungezze elle basi per l altezza e ivieno il prootto per. (b + b«). 3 cm ] 3+ 5g cm $ cm 8$ cm 8 cm cm 5 cm NIMZIONE IN DIGITLE rea ei trapezi,5 cm ^5, + 48, cm $, cm 6, 06 cm 8, 03 cm, cm 4,8 cm Esercizi a pag. 48 7
T CPITOLO Le aree Trovare le basi o lõaltezza conosceno lõarea Puoi osservare ce 8 cm $ b + bl 3 cm 36 3 cm cm. 3 cm bl 8 cm b bl Quano i un trapezio si conoscono lõarea e la misura ellõaltezza, per eterminare la somma elle basi si eve moltiplicare lõarea per e iviere il prootto per lõaltezza. b + b«quano i un trapezio si conoscono lõarea e la misura elle basi, per eterminare lõaltezza si eve moltiplicare lõarea per e iviere il prootto per la somma elle basi. b + b«8cm $ 6 b + bl 6, cm 6, cm 0 cm,6 cm bl 8 cm b 4 cm 8 cm ( 4+ 8) cm $ 36 cm 3 cm 8 cm 8 cm METTITI LL PROV Completa la tabella. base 5 cm 7 cm 8 cm 4 cm,5 cm base 8 cm 4 cm 4 cm 6 cm 4,8 cm altezza 0 cm 6 cm 3,6 cm area 65 cm 36 cm 40 cm Vero o falso? a) Per calcolare lõarea i un trapezio, evo conoscere la misura elle basi e quella ellõaltezza. V F b) Conosceno i un trapezio lõarea e la misura ellõaltezza, posso calcolare la misura ella base maggiore. V F c) Conosceno i un trapezio lõarea e la misura ella base minore, posso calcolare la misura ellõaltezza. V F ) Per calcolare la somma elle basi i un trapezio, evo iviere la oppia area per la misura ellõaltezza. V F e) Per calcolare lõarea i un trapezio, si eve moltiplicare la somma elle basi per la misura ellõaltezza e poi iviere per. V F 8
Paragrafo 8. rea ei trapezi T ree e perimetri affascinanti: i frattali Nella secona metà el 900, lo stuioso franco-polacco Benoît Manelbrot (94-00) catturò l attenzione ei matematici stuiano oggetti auto-somiglianti ce ciamò frattali. L aggettivo auto-somigliante significa ce i ettagli ella figura assomigliano alla figura intera. Come spesso accae, ance Manelbrot aveva avuto ei precursori. Un semplice esempio i frattale era stato inventato nel 96 al matematico polacco W. Sierpiński: si tratta el triangolo i Sierpiński. Immagina i partire a un triangolo equilatero; congiungi i punti mei ei lati e togli il triangolo al centro: ottieni tre triangoli equilateri. Su ciascuno i questi ripeti il proceimento preceente, e così via. Il triangolo i Sierpiński è ciò ce rimane se il processo viene prolungato all infinito. I primi cinque passi i questo processo sono mostrati in figura. ogni passo, l area iminuisce i un quarto, cioè se è l area iniziale, le aree successive valgono (3/4), (3/4), (3/4) 3,. Invece i perimetri (intesi come somme ei perimetri i tutti i triangoli in ciascuna figura) aumentano ella metà a ogni passo: se p è il perimetro el triangolo iniziale, le successive figure anno perimetri ce valgono (3/) p, (3/) p, (3/) 3 p, Le aree iminuiscono e si avvicinano allo 0, mentre i perimetri crescono oltre ogni limite. 9