Geometria analitica nel piano 1 / 37

Geometria analitica nel piano 1 / 37

Sistema di assi cartesiani nel piano 2 / 37 Abbiamo identificato l insieme dei numeri reali R con i punti di una retta. Ora, per prima cosa, stabiliamo una corrispondenza biunivoca fra i punti P del piano e le coppie ordinate di numeri reali [a, b]. Più precisamente, introdurremo il concetto di sistema di assi cartesiani nel piano. Questa terminologia rappresenta un omaggio al grande matematico e filosofo francese René Descartes (Cartesio) che, intorno alla metà del secolo XVII, introdusse questi sistemi di riferimento e li applicò allo studio di vari problemi geometrici.

Sistema di assi cartesiani nel piano 3 / 37 II y I b P O a x III IV Figura 1: Assi Cartesiani

4 / 37 Terminologia relativa al piano cartesiano Assi ortogonali fra loro e orientati come nella Figura 1. Nomenclatura: l asse orizzontale è chiamato asse x, quello verticale asse y. Su ciascuno dei due assi, è fissata un unità di misura: quando la necessità di realizzare una data figura lo rende opportuno, è possibile usare un unità di misura sull asse y diversa rispetto a quella fissata sull asse x. Il numero reale a, corrispondente alla proiezione ortogonale di P sull asse x, è detto ascissa di P, mentre b (corrispondente alla proiezione ortogonale di P sull asse y) si chiama ordinata di P. La coppia ordinata di numeri reali [a, b] rappresenta le coordinate cartesiane di P (in seguito, le chiameremo semplicemente coordinate di P). L origine O è il punto di coordinate [0,0].

Terminologia relativa al piano cartesiano 5 / 37 Useremo la scrittura R 2 per denotare il piano munito di un sistema di riferimento cartesiano come in Figura 1. Si può anche notare che il piano risulta suddiviso in quattro quadranti, tradizionalmente chiamati I, II, III e IV, come indicato nella Figura 1 (anche, rispettivamente, primo quadrante, secondo quadrante etc.). Ad esempio, il primo quadrante corrisponde all insieme: I= { [x,y] R 2 : x, y 0 }. Invece: IV= { [x,y] R 2 : x 0 e y 0 }.

Geometria analitica 6 / 37 La geometria analitica consiste nello studio delle proprietà geometriche delle varie figure attraverso l uso delle coordinate. In particolare, impareremo alcuni concetti fondamentali che ci consentiranno, in particolare, di descrivere rette, circonferenze (e parabole) attraverso opportune equazioni. Lo studio critico e consapevole della geometria analitica costituisce, a nostro avviso, una delle migliori palestre per allenare la mente al ragionamento matematico.

7 / 37 Distanza tra 2 punti e punto medio di un segmento Al fine di acquisire maggiore confidenza con l uso delle coordinate svolgiamo un paio di semplici esercizi preliminari: Esercizio 1: Siano P 0 =[x 0,y 0 ] e P 1 =[x 1,y 1 ] due punti di R 2. (i) Esprimere la distanza tra P 0 e P 1 in funzione delle loro coordinate. (ii) Esplicitare le coordinate del punto medio M del segmento P 0 P 1 in funzione delle coordinate di P 0 e di P 1. Soluzione:

8 / 37 Distanza tra 2 punti y y 1 P 1 y1 y0 y 0 P 0 Q 1 x 0 x 1 x 1 x 0 Figura 2: Distanza tra due punti x

Distanza tra due punti 9 / 37 (i) Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo P 0 Q 1 P 1 si ottiene: dist(p 0,P 1 )= (x 1 x 0 ) 2 +(y 1 y 0 ) 2. (1)

Punto medio di un segmento 10 / 37 y y 1 P 1 y M M Q 2 y 0 P 0 Q 3 Q 1 x 0 x M x 1 x Figura 3: Coordinate del punto medio di un segmento

Coordinate del punto medio di un segmento (ii) Dalla congruenza dei triangoli P 0 Q 3 M e M Q 2 P 1 in Figura 3 deduciamo che x M è equidistante da x 0 e x 1, per cui l ascissa x M vale: x M =(x 0 + x 1 )/2. Ragionando in modo simile per l ordinata y M si ricava M =[x M,y M ] = [ x0 + x 1 2, y 0+ y ] 1. (2) 2 11 / 37

12 / 37 Esercizio Nell Esercizio 1 abbiamo dato una risposta a domande di chiara natura geometrica utilizzando le coordinate. Questo fornisce una prima idea del metodo di lavoro proprio della geometria analitica. Esercizio 2: Siano P 0 =[2,2] e P 1 =[5,6]. Calcolare la distanza tra P 0 e P 1, e il punto medio M del segmento P 0 P 1. Soluzione: Applicando (1) e (2), si trova [ 7 ] dist(p 0,P 1 )=5, M = 2,4.

Equazione della circonferenza 13 / 37 Vediamo in dettaglio la descrizione di una circonferenza mediante l uso delle coordinate. Per fissare le idee, supponiamo di dover descrivere la circonferenza γ avente centro C=[x 0,y 0 ] e raggio R>0 assegnati. Geometricamente, possiamo scrivere: γ = { P R 2 : dist(p,c)=r }. (3) Ora, indichiamo con P=[x,y] il generico punto di R 2. Usando la formula (1) che fornisce la distanza fra due punti, è immediato constatare che la (3) equivale a: γ = { [x,y] R 2 : (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = R }. (4) A parole, ciò vuol dire che i punti di γ sono esattamente quei punti di R 2 che soddisfano la condizione (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = R. (5)

Equazione della circonferenza 14 / 37 Elevando al quadrato, la (5) può essere riscritta in modo equivalente come segue: (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = R 2. (6) La (6) è l equazione cartesiana della circonferenza γ di centro C=[x 0,y 0 ] e raggio R(> 0). Il lettore dovrebbe riflettere con attenzione sul significato di (6): intanto bisogna capire che x 0, y 0 e R (R>0) sono numeri reali fissati. Poi, si deve acquisire il fatto che i punti di γ sono esattamente quelli le cui coordinate soddisfano l equazione (6). Questo è un concetto fondamentale che si applica ad ogni situazione in cui un luogo geometrico di punti (ad esempio, una retta, o una parabola etc.) è descritto mediante un equazione.

15 / 37 Esercizio Esercizio 3: (i) Scrivere l equazione della circonferenza γ di centro C=[3,1] e raggio 5. (ii) Siano P 1 =[1,3], P 2 =[2,4], P 3 =[0,5]: stabilire quale fra questi 3 punti appartiene a γ. Soluzione: (i) Applicando la (6) troviamo che l equazione di γ è: (x 3) 2 +(y 1) 2 = 25, (7) ovvero: x 2 + y 2 6x 2y 15=0.

Esercizio 16 / 37 (ii) Sostituendo le coordinate di P 1 nel membro a sinistra dell equazione (7) abbiamo: (1 3) 2 +(3 1) 2 = 8 25, per cui le coordinate di P 1 non soddisfano la (7) e quindi P 1 γ. Procedendo in modo simile per P 2 si ottiene (2 3) 2 +(4 1) 2 = 10 25, per cui anche P 2 γ. Infine, lo stesso tipo di verifica per P 3 fornisce per cui si conclude che P 3 γ. (0 3) 2 +(5 1) 2 = 25,

Equazione di una retta 17 / 37 Iniziamo a studiare il caso di una retta r passante per l origine O, non parallela ad un asse cartesiano e contenuta nei quadranti I e III: y r y P y 1 P 1 O θ Q 1 =[x 1,0] Q=[x,0] x Figura 1: retta passante per l origine O

Equazione di una retta 18 / 37 La retta è univocamente individuata dall assegnazione di un punto P 1 =[x 1, y 1 ] r, P 1 O. Come in Figura 1, sia P=[x, y] un generico punto di r nel primo quadrante, e siano poi Q 1 e Q rispettivamente le proiezioni ortogonali di P 1 e P sull asse x (per semplicità, trattiamo il caso in cui P 1 e P si trovano nel primo quadrante: le osservazioni necessarie per trattare i rimanenti casi sono lasciate allo studente). Dalla similitudine dei due triangoli OP 1 Q 1 e OPQ segue che: y 1 : x 1 = y : x, (8) da cui y 1 x 1 = y x. (9)

Equazione di una retta 19 / 37 Posto ora, per convenienza, y 1 x 1 = m, (10) vediamo che la condizione (9) può essere riscritta più semplicemente come: y=mx (11) (si noti che l equazione precedente risulta verificata anche dalle coordinate [0, 0] dell origine O).

Equazione di una retta 20 / 37 Riassumendo, l equazione (11) rappresenta, nel caso m>0, una retta r passante per O e contenuta nei quadranti I e III. Il numero reale m è chiamato coefficiente angolare della retta r (impareremo in seguito che m coincide con la tangente dell angolo θ compreso tra r e la semiretta positiva dell asse x (m=tanθ)). Per ora, invitiamo ancora il lettore a riflettere bene sul fatto che l equazione (11) va interpretata come segue: un generico punto P appartiene ad r se e solo se le sue coordinate soddisfano l equazione (11), ovvero, in formule, P=[x,y] r y=mx.

21 / 37 Esercizio Esercizio 1: (i) Scrivere l equazione della retta r che contiene l origine e il punto P 1 =[2,4]. (ii) Siano P 2 =[3,2] e P 3 =[1,2]. Stabilire se questi due punti appartengono a r. Soluzione: (i) In questo caso per cui l equazione di r è m= 4 2 = 2, r : y=2x. (ii) Non vi sono difficoltà a verificare che P 2 r, mentre P 3 r.

Equazione di una retta 22 / 37 Ora, con un ragionamento perfettamente analogo al precedente, possiamo descrivere una retta passante per l origine, ma contenuta nei quadranti II e IV, ancora con (11), ma con m<0. Pertanto si può affermare, riassumendo questa discussione, che una generica retta r passante per l origine, diversa dall asse y, si rappresenta con l equazione y=mx, dove m R (12) (si noti che, nel caso in cui m=0, r coincide con l asse x). Da questo ragionamento abbiamo dovuto escludere l asse y. Infatti, questo corrisponderebbe alla situazione (non accettabile) in cui x 1 = 0 in (9). Osservando che i punti dell asse y sono tutti e solo quelli che hanno la prima coordinata (ascissa) nulla, è evidente che l equazione dell asse y è semplicemente: x=0. (13)

Esercizio Figura 2: Retta parallela ad una data retta passante per O. 23 / 37 Esercizio 2: Sia r la retta di equazione y=3x. Scrivere l equazione della retta r che contiene il punto P =[1,5] ed è parallela a r. Soluzione: Aiutiamoci con la seguente Figura 2: r y r 5 P b 3 O 1 x

Esercizio 24 / 37 Nella Figura 2 si può osservare che i punti di r si ottengono da quelli di r mediante un opportuna traslazione verticale: in altre parole, si aumenta di un opportuna quantità fissa, indicata con b( R), il valore dell ordinata (y) dei punti di r. Deduciamo che l equazione che governa l appartenenza a r è: y=3x+b. (14) Ora, per calcolare il valore di b, è sufficiente imporre che le coordinate di P soddisfino la (14). Otteniamo 5=3 1+b, da cui si ricava subito b=2. In conclusione, l equazione di r è: r : y=3x+2.

Equazione di una retta 25 / 37 Riassumendo e generalizzando il contenuto dell esercizio precedente possiamo affermare quanto segue: y=mx+b m,b R (15) rappresenta l equazione di una generica retta di R 2, non parallela all asse y. La (15) è anche chiamata equazione esplicita della retta. L Esercizio 2 ci permette inoltre di concludere che due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

26 / 37 Esercizio Esercizio 3: Sia P=[2,3]. (i) Scrivere l equazione della retta r 1 passante per P e parallela all asse x; (ii) Scrivere l equazione della retta r 2 passante per P e parallela all asse y. Soluzione: La condizione che esprime l appartenenza di un generico punto P a r 1 è semplicemente che l ordinata di P sia uguale a 3. Pertanto l equazione di r 1 è y=3. Analogamente, si ottiene l equazione di r 2 : x=2. Queste due rette sono rappresentate nella seguente Figura 3:

Esercizio 27 / 37 y 3 P r 1 2 r 2 x Figura 3: rette parallele agli assi

Esercizio 28 / 37 Esercizio 1: Siano P 1 =[2,1] e P 2 =[3,3]. Determinare l equazione della retta r che contiene P 1 e P 2. Per risolvere questo esercizio possiamo procedere in due modi distinti: per via puramente algebrica, oppure ragionando geometricamente. Risoluzione per via algebrica: possiamo subito affermare che l equazione di r è della forma: r : y=mx+b, dove i coefficienti incogniti m e b possono essere determinati imponendo che le coordinate dei due punti P 1 e P 2 soddisfino l equazione della retta r. Più precisamente, l appartenenza di P 1 a r equivale alla condizione: 1=m 2+b. (16)

Esercizio 29 / 37 Invece, l appartenenza di P 2 a r corrisponde a: 3=m 3+b. (17) Sottolineiamo che i coefficienti incogniti m e b devono soddisfare entrambe le equazioni (16) e (17). In questi casi si utilizza la simbologia seguente: { 1=m 2+b (18) 3=m 3+b e si dice che (18) è un sistema di equazioni nelle due incognite m e b. In generale, lo studio dei sistemi di equazioni è alquanto complesso; ma, nella nostra semplice situazione, è invece facile pervenire alla sua soluzione mediante semplici considerazioni algebriche.

Esercizio 30 / 37 Infatti, dalla prima equazione in (18), possiamo ricavare: b=1 2m. (19) Sostituendo questa informazione nella seconda equazione di (18) deduciamo che: 3=3m+(1 2m), da cui ricaviamo immediatamente: Usando (20) in (19), concludiamo: m=2. (20)

Esercizio 31 / 37 b=1 2 2, da cui b= 3. (21) Ne segue che l equazione della retta r richiesta è: r : y=2x 3. (22) A titolo di verifica ulteriore, il lettore può controllare sia il fatto che le coordinate di P 1 e P 2 soddisfano (22), sia la validità di entrambe le equazioni in (18) quando b= 3 e m=2.

Esercizio 32 / 37 Risoluzione per via geometrica: visualizziamo la situazione attraverso la Figura 1, dove abbiamo tracciato la retta r parallela alla retta r e passante per l origine. y r r 3 P P 2 1 P 1 Q O Q 2 3 x Figura 4: retta passante per due punti assegnati

Esercizio 33 / 37 Le rette r e r sono parallele per costruzione e quindi, per quanto osservato precedentemente, hanno lo stesso coefficiente angolare m. Sfruttando la similitudine dei triangoli OP Q e P 1 P 2 Q in Figura 4, possiamo dedurre che m= P Q OQ = P 2Q P 1 Q = (3 1) (3 2) = 2. Poi, dato che r deve contenere P 1 =[2,1],si ricava: risultato che coincide con (22). r : y=2x 3=2(x 2)+1, (23)

Considerazioni conclusive 34 / 37 A margine dell esercizio precedente proponiamo una breve riflessione sul metodo di lavoro: è importante, quando si studia un problema matematico, abituarsi ad usare tutte le conoscenze a propria disposizione, confrontando fra loro risultati eventualmente ottenuti mediante procedimenti diversi, anche cercando di controllarne la coerenza; ciò favorisce una migliore assimilazione dei metodi impiegati ed aiuta ad elaborare utili relazioni tra tutte le nozioni utilizzate. Una buona applicazione di queste considerazioni consiste nel portare a termine lo svolgimento del seguente esercizio: a tal fine, è sufficiente applicare i ragionamenti illustrati nel corso dello svolgimento dell Esercizio 1.

35 / 37 Retta passante per due generici punti assegnati Esercizio 2: Siano P 1 =[x 1,y 1 ] e P 2 =[x 2,y 2 ] due generici punti di R 2, (P 1 P 2 ). (i) Determinare l equazione della retta r che contiene P 1 e P 2. (ii) Determinare l equazione della generica retta r che contiene P 1.

Retta passante per due generici punti assegnati 36 / 37 Soluzione: (i) Caso x 1 x 2 : e m= y 2 y 1 x 2 x 1 (24) [ ] y2 y 1 r : y= (x x 1 )+y 1. (25) x 2 x 1 Caso x 1 = x 2 (retta parallela all asse y): r : x=x 1. (26)

Retta passante per due generici punti assegnati 37 / 37 (ii) La generica retta passante per P 1 (non parallela all asse y) è: r : y=m(x x 1 )+y 1, dove m R. (27) La retta r passante per P 1 e parallela all asse y è invece la (26). Spiegazioni ed esercizi alla lavagna per giustificare il seguente importante risultato: se r e r sono 2 rette perpendicolari, con coeff. angolari rispettivamente m ( 0) e m, allora m = 1 m.