SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI ANTONIO IANNIZZOTTO Sommario. Sucessioi di fuzioi. Covergeza putuale e uiforme. Teoremi di scambio dei limiti, cotiuità, derivabilità, itegrabilità del limite di ua successioe. Serie di fuzioi. Covergeza putuale, uiforme, totale. Serie di poteze: raggio di covergeza, criteri di covergeza. Serie di Taylor e di Maclauri. Fuzioi aalitiche. Queste ote soo u mero supporto didattico, seza alcua pretesa di completezza, origialità o precisioe. Idice 1. Successioi di fuzioi 1 2. Serie di fuzioi 7 3. La serie di Taylor 10 Riferimeti bibliografici 14 Versioe del 30 dicembre 2015 1. Successioi di fuzioi E ora qualcosa di completamete diverso. Moty Pytho Ua successioe di fuzioi è ua successioe (f ) i cui elemeti soo fuzioi defiite tutte ello stesso itervallo I 1. Formalmete, si può pesare tale successioe come ua fuzioe di due variabili F : (N I) R t.c. F (, x) = f (x) per ogi (, x) N I. Esempio 1.1. Per ogi N 0 cosideriamo la decomposizioe dell itervallo [0, 1[ i itervalli tutti di ampiezza 1, quidi defiiamo f : [0, 1[ R poedo f (x) = i 1 [ i 1 per ogi i {1,... }, x, i [. Per ogi x [0, 1[ si ha lim f (x) = x. La ozioe di covergeza per ua successioe di fuzioi si può defiire i due modi. Come vedremo, il secodo è più sigificativo (ache se meo aturale). Defiizioe 1.2. Siao (f ) ua successioe di fuzioi, f : I R: (i) (f ) coverge putualmete a f se per ogi ε > 0 e ogi x I esiste ν N t.c. f (x) f(x) < ε per ogi N, ν; 1 Nella presete esposizioe tratteremo sempre successioi di fuzioi defiite i u itervallo, il caso di u isieme di defiizioe geerico si studia co ovvi adattameti. 1

2 A. IANNIZZOTTO (ii) (f ) coverge uiformemete a f se per ogi ε > 0 esiste ν N t.c. f (x) f(x) < ε per ogi N, ν, e ogi x I. La codizioe (i) è ache detta covergeza semplice, idicata col simbolo f f, ed esprime il fatto che per ogi x I la successioe umerica (f (x)) coverge a f(x) (ved. [4]). La codizioe (ii), idicata col simbolo f f, sigifica ivece che f (x) f(x) idipedetemete da x I (formalmete, la differeza fra le due forme di covergeza è rappresetata dalla dipedeza di ν: ν = ν(ε, x) i (i), ν = ν(ε) i (ii)). Ovviamete (ii) implica (i), metre l implicazioe iversa è i geerale falsa. Esempio 1.3. Sia f (x) = x per ogi N 0, x [0, 1]. Defiiamo f : [0, 1] R poedo { 0 se x [0, 1[ 1 se x = 1. Si vede facilmete che (f ) coverge putualmete a f. D altra parte, questa covergeza o è uiforme. Ifatti, fissato ε ]0, 1[, scegliedo per ogi N 0 x ]ε 1, 1[ si ha f (x ) > ε. Esempio 1.4. Sia f (x) = si(x) per ogi x R, N. Per ogi x R, x kπ (k Z), la successioe (si(x)) è irregolare, quidi la successioe di fuzioi (f ) o coverge putualmete (é uiformemete). Foriamo ua caratterizzazioe della covergeza uiforme: Lemma 1.5. Siao (f ) ua successioe di fuzioi defiite i I, f : I R. Allora le segueti affermazioi soo equivaleti: (i) f f; (ii) lim f (x) f(x) = 0. sup x I Dimostrazioe. Proviamo che (i) implica (ii). Per ogi ε > 0 esiste ν N t.c. per ogi ν, x I si ha f (x) f(x) < ε 2. Duque, ε 2 è u maggiorate per la fuzioe x f (x) f(x) e si ha per ogi ν da cui (ii). Similmete si prova che (ii) implica (i). sup f (x) f(x) < ε, x I L iterpretazioe grafica del Lemma 1.5 è la seguete: fissato ε > 0, defiiamo l isieme S ε = {(x, y) I R : y f(x) < ε} (detto ε-dilatazioe di gr(f)). Per N abbastaza grade, si ha gr(f ) S ε (ved. figura 1). Esempio 1.6. Sia (f ) defiita poedo per ogi N, x [1, + [ f (x) = 1 + x. Chiaramete f (x) 1 x. Per verificare se la covergeza è uiforme, calcoliamo per ogi N sup 1 + x 1 = 1 x 1 +, che coverge a 0 per. Per il Lemma 1.5 si ha f (x) 1 x. x 1

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 3 Figura 1. La covergeza uiforme. U altra caratterizzazioe è offerta dal seguete risultato: Teorema 1.7. (Criterio di Cauchy) Sia (f ) ua successioe di fuzioi defiite i I. Allora le segueti affermazioi soo equivaleti: (i) (f ) coverge uiformemete; (ii) per ogi ε > 0 esiste ν N t.c. f (x) f m (x) < ε per ogi, m N,, m ν, e ogi x I. Dimostrazioe. Segue dal Criterio di Cauchy per le successioi umeriche (ved. [4]). Osservazioe 1.8. I precedeti risultati si possoo leggere alla luce dell Aalisi fuzioale, la disciplia che studia le fuzioi come elemeti di spazi astratti. Per semplicità assumiamo I compatto e f, f cotiue. Sullo spazio delle fuzioi cotiue i I, deotato C 0 (I), si defiisce ua metrica poedo d(f, g) = max x I f(x) g(x) per ogi f, g C0 (I). Il umero d(f, g) misura la distaza fra f e g. Per il Lemma 1.5 si ha f f d(f, f) 0, ovvero la covergeza uiforme equivale alla covergeza ello spazio C 0 (I) dotato della metrica d(, ). Il Teorema 1.7 ivece esprime il fatto che tale spazio è completo (ved. [2]). La covergeza uiforme permette di passare al limite (per ) elle operazioi fodametali dell Aalisi matematica: limite (i u puto), itegrale, derivata. Teorema 1.9. (Scambio dei limiti) Siao (f ) ua successioe di fuzioi defiite i I, f : I R, x 0 DI t.c. (i) f f; (ii) lim f (x) = l, l R, per ogi N. x x 0 Allora esiste l R t.c. lim l = lim l. x x 0

4 A. IANNIZZOTTO Dimostrazioe. Fissiamo ε > 0. Per (i) e il Teorema 1.7 esiste ν N t.c. per ogi, m ν, x I si ha f (x) f m (x) < ε 3. Ioltre, per (ii) esiste δ > 0 t.c. per ogi x I, 0 < x x 0 < δ si ha Pertato abbiamo max { f (x) l, f m (x) l m } < ε 3. l l m l f (x) + f (x) f m (x) + f m (x) l m < ε, quidi (l ) soddisfa la codizioe di Cauchy. Pertato esiste l R t.c. l l (ved. [4]). Dimostriamo ora che f(x) l per x x 0. Fissato (di uovo) ε > 0, esiste ν N t.c. per ogi ν si ha l l < ε 3, e per il Lemma 1.5 e (i) sup f (x) f(x) < ε x I 3. Fissato ν, per (i) esiste δ > 0 t.c. per ogi x I, 0 < x x 0 < δ si ha f (x) l < ε 3. Duque, per ogi x I, 0 < x x 0 < δ abbiamo il che coclude la dimostrazioe. f(x) l f(x) f (x) + f (x) l + l l < ε, U immediata cosegueza del Teorema 1.9: Corollario 1.10. Siao (f ) ua successioe di fuzioi defiite i I, f : I R, x 0 I DI t.c. (i) f f; (ii) f è cotiua i x 0 per ogi N. Allora f è cotiua i x 0. Grazie al Corollario 1.10 abbiamo la coferma che la successioe dell Esempio 1.3 o coverge uiformemete: ifatti la fuzioe limite o è cotiua. Esempio 1.11. Sia (f ) defiita poedo per ogi N, x R f (x) = arcta(x). Allora f f, dove π 2 se x < 0 0 se x = 0 π 2 se x > 0. La covergeza o è uiforme, ifatti f è cotiua i R per ogi N metre f è discotiua i 0. Teorema 1.12. (Passaggio al limite sotto il sego di itegrale) Siao (f ) ua successioe di fuzioi defiite i [a, b], f : [a, b] R, x 0 DI t.c. (i) f f;

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 5 (ii) per ogi N, f è itegrabile secodo Riema e Allora f è itegrabile secodo Riema e b a f(x) dx = lim A. b a f (x) dx = A. Dimostrazioe. Per semplicità suppoiamo f cotiua per ogi N. Allora, per il Corollario 1.10, f è cotiua, i particolare itegrabile secodo Riema (ved. [6]). Fissato ε > 0, per (i) e il Lemma 1.5 esiste ν N t.c. per ogi ν sup f (x) f(x) < ε x [a,b] b a. Duque, per ogi ν abbiamo b (f (x) (x)) dx da cui la tesi. L ipotesi (i) o può essere rimossa: a b a f (x) f(x) dx < ε, Esempio 1.13. Sia (f ) defiita poedo per ogi N 0, x [0, 1] { 0 se x [0, 1 f (x) = [ 1 x se x [ 1, 1]. Per ogi N 0, la fuzioe f è itegrabile i [0, 1] co 1 0 f (x) dx = 1 1 1 dx = l(), x Ioltre f (x) 1 x i ]0, 1] e f (0) 0, co covergeza o uiforme. Ifatti la fuzioe limite o è itegrabile i [0, 1]. Esempio 1.14. Sia (f ) defiita poedo per ogi N 0, x [0, 1] 2 x se x [0, 1 [ f (x) = 2 2 x se x [ 1, 2 [ 0 se x [ 2, 1]. Per ogi N 0, f è itegrabile e 1 0 f (x) dx = 1 (ved. figura 2). D altra parte, f (x) 0 putualmete (o uiformemete), e chiaramete la tesi del Teorema 1.12 o è verificata i quato l itegrale della fuzioe limite è 0. Il rapporto fra covergeza uiforme e derivazioe, più delicato, è regolato dal seguete risultato (che o dimostriamo): Teorema 1.15. Siao (f ) ua successioe di fuzioi defiite i [a, b], g : [a, b] R t.c. (i) f è derivabile per ogi N; (ii) Df g. Allora esiste f : [a, b] R derivabile t.c. f f e D g(x) per ogi x [a, b].

6 A. IANNIZZOTTO Figura 2. L itegrale di f è uguale all area di u triagolo. I segueti risultati (che o dimostriamo) foriscoo codizioi sufficieti per la covergeza uiforme, basate sulla mootoia: Teorema 1.16. (Dii) Siao (f ) ua successioe di fuzioi cotiue i [a, b], f : [a, b] R cotiua, t.c. (i) f f; (ii) f (x) f +1 (x) per ogi x [a, b], N. Allora f f. Teorema 1.17. (Pólya) Siao (f ) ua successioe di fuzioi cotiue i [a, b], f : [a, b] R cotiua, t.c. (i) f f; (ii) f (x 1 ) f (x 2 ) per ogi x 1, x 2 [a, b], x 1 < x 2, e ogi N. Allora f f. Naturalmete, esistoo versioi dei Teoremi 1.16 e 1.17 co ipotesi di mootoia o-crescete. Esempio 1.18. Sia (f ) defiita poedo per ogi N 0, x R ( f (x) = 1 + ) x. Dai risultati di [4] sappiamo che f (x) e x per ogi x R. Ioltre, per ogi N 0 la fuzioe f è crescete, quidi per il Teorema 1.17 la covergeza è uiforme su ogi itervallo compatto. Esercizio 1.19. Studiare la covergeza putuale e uiforme delle segueti successioi di fuzioi: ( l 1 + x ) ( x, si. ) Esercizio 1.20. Calcolare il seguete limite: lim 1 0 si(x) 2 x dx.

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 7 2. Serie di fuzioi Esattamete come el caso delle serie umeriche (ved. [4]), ua serie di fuzioi si defiisce a partire da ua successioe (f ) di fuzioi defiite i I. Per ogi k N defiiamo la somma parziale di idice k poedo per ogi x I k S k (x) = f (x). La serie di fuzioi f (x) è detta putualmete covergete alla fuzioe somma S : I R se S k (x) S(x), uiformemete covergete se S k (x) S(x). Itroduciamo u ulteriore ozioe di covergeza: Defiizioe 2.1. La serie f (x) è detta totalmete covergete se esiste ua serie umerica M t.c. (i) f (x) M per ogi N, x I; (ii) M è covergete. Esempio 2.2. Cosideriamo la serie si(x) 2. Essa coverge totalmete i R, come si vede poedo M = 1 2. Si vede facilmete che, se f (x) coverge totalmete, allora essa coverge uiformemete (e quidi ache putualmete) i I. L implicazioe iversa o vale i geerale. Alcue serie dipedeti da u parametro reale, viste i [4], si possoo riesamiare come serie di fuzioi: Esempio 2.3. La serie geometrica x2 coverge putualmete i ] 1, 1[ alla fuzioe somma x 1 1 x. Ioltre, per ogi δ ]0, 1[, essa coverge totalmete i [ δ, δ]. Dal Corollario 1.10 e dai Teoremi 1.12, 1.15 seguoo i prossimi risultati: Teorema 2.4. Siao f (x) ua serie di fuzioi defiite i I, x 0 I t.c. (i) f (x) coverge uiformemete a S(x); (ii) f è cotiua i x 0 per ogi N. Allora S è cotiua i x 0. Teorema 2.5. Sia f (x) ua serie di fuzioi defiite i [a, b] t.c. (i) f (x) coverge uiformemete a S(x); (ii) f è itegrabile secodo Riema e b 2 Adottiamo, qui e el seguito, la covezioe 0 0 = 1. a f (x) dx = A per ogi N.

8 A. IANNIZZOTTO Allora S è itegrabile secodo Riema e b a S(x) dx = b a f (x) dx. Teorema 2.6. Siao f (x) ua serie di fuzioi defiite i I, x 0 I t.c. (i) f (x 0 ) coverge; (ii) f è derivabile per ogi N; (iii) Df (x) coverge uiformemete a T (x). Allora f (x) coverge uiformemete a ua fuzioe S : I R derivabile t.c. DS(x) = T (x) per ogi x I. La classe più usata di serie di fuzioi è quella costituita dalle serie di poteze, defiite da (2.1) a (x x 0 ), dove x 0 R e (a ) è ua successioe di coefficieti i R 3. L isieme di defiizioe dei termii della serie è R. Chiaramete essa coverge almeo i x 0 (co somma a 0 ). La particolarità di questo tipo di serie è che il suo isieme di covergeza è simmetrico rispetto al cetro x 0 (a parte gli estremi). Lemma 2.7. Siao x 0 R, (a ) ua successioe i R. Allora esiste R [0, + ] t.c. (i) la serie (2.1) coverge putualmete i ]x 0 R, x 0 + R[; (ii) la serie (2.1) o coverge putualmete i R \ [x 0 R, x 0 + R]; (iii) la serie (2.1) coverge totalmete i [x 0 r, x 0 + r] per ogi r ]0, R[. Dimostrazioe. Sappiamo che (2.1) coverge almeo per x = x 0. Poiamo duque { } S = r 0 : a (x x 0 ) coverge i x = x 0 + r, deotado R = sup S. Suppoiamo R ]0, + [ (gli altri casi si studiao i modo aalogo). Dimostriamo (i). Per ogi x ]x 0 R, x 0 + R[, detto r = x 0 R, si ha r S ovvero a r < +. Pertato la serie (2.1) coverge (assolutamete) per cofroto. I particolare, abbiamo ]0, R[ S. Dimostriamo (ii). Per ogi x R \ [x 0 R, x 0 + R], per quato sopra abbiamo r = x x 0 / S, così che (2.1) o coverge. Dimostriamo (iii). Per ogi r ]0, R[ si ha r S. Pertato, la serie (2.1) coverge totalmete i [x 0 r, x 0 + r] (poedo M = a r ). Il umero R itrodotto el Lemma 2.7 è detto raggio di covergeza della serie (2.1). Se R = 0, la serie coverge solo i x 0. Se ivece R = +, la serie coverge putualmete i R e totalmete i ogi itervallo compatto. Osserviamo che, el caso R ]0, + [, il Lemma 2.7 o forisce iformazioi sul comportameto della serie ei puti di frotiera x 0 ± R. I prossimi risultati (i cui adottiamo la covezioe 1 0 = + ) foriscoo dei metodi per calcolare il raggio di covergeza di ua serie di poteze. 3 Svolgiamo la teoria delle serie di poteze i R, ma questa è sostazialmete aaloga i C (ved. [2]).

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 9 Teorema 2.8. Siao x 0 R, (a ) ua successioe i R, L [0, + ] t.c. lim a = L. Allora il raggio di covergeza della serie (2.1) è 1 L. Dimostrazioe. Suppoiamo L ]0, + [, e defiiamo l isieme S come ella dimostrazioe del Lemma 2.7. Per ogi r ]0, 1 L [ la serie a r coverge assolutamete per il Criterio della radice (ved. [4]), i quato lim a r = r L < 1. Duque r S. Per ragioi aaloghe, scelto ad arbitrio r > 1 L si vede che r / S. Duque sup S = 1 L, il che coclude la dimostrazioe. Teorema 2.9. Siao x 0 R, (a ) ua successioe i R, L [0, + ] t.c. lim a +1 a = L. Allora il raggio di covergeza della serie (2.1) è 1 L. Dimostrazioe. Aaloga a quella del Teorema 2.8. Esempio 2.10. Cosideriamo la serie espoeziale x!. Dal Teorema 2.9 risulta che il suo raggio di covergeza è +. Duque, la serie coverge putualmete i R e totalmete i ogi itervallo compatto. Ioltre, da [4] sappiamo che la sua fuzioe somma è x e x. Esempio 2.11. Cosideriamo la serie 2 (x 3). Si ha lim 2 = 1 2. Per il Teorema 2.8, il raggio di covergeza è 2. La serie coverge i ]1, 5[ (i 5 diverge, i 1 è irregolare). U altra caratteristica otevole delle serie di poteze è la seguete: la serie delle derivate e quella delle primitive di (2.1) soo acora serie di poteze, precisamete a (x x 0 ) 1 a, + 1 (x x 0) +1. Pertato, se ua fuzioe è ota come somma di ua serie di poteze, è possibile derivarla e itegrarla sotto tale forma.

10 A. IANNIZZOTTO Esempio 2.12. Sia f :] 1, 1[ R defiita da l() x. Il raggio di covergeza di questa serie di poteze è 1. Si ha D l()x 1, i particolare Df(0) = 0. Esercizio 2.13. Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale delle segueti serie di fuzioi: l(1 + x) si(x) 2,, e x. Esercizio 2.14. Sia f : R R defiita da cos(x) 3. La fuzioe f è derivabile? I caso affermativo, quato vale Df(0)? Esercizio 2.15. Dimostrare il Teorema 2.9. Esercizio 2.16. Determiare l isieme di covergeza delle segueti serie di poteze: (x + 1) x, l(1 + ), (!) 2 (2)! x. 3. La serie di Taylor I quest ultima sezioe affrotiamo il problema iverso rispetto a quello visto fi qui: data ua fuzioe f, trovare ua serie di poteze la cui somma sia f(x). Lo strumeto pricipale è u estesioe della formula di Taylor, itrodotta i [5]. Defiizioe 3.1. Siao f C (I), x 0 I. La serie di Taylor di f cetrata i x 0 è la serie di poteze D f(x 0 ) (x x 0 ).! Se x 0 = 0, essa è detta serie di Maclauri. Chiaramete la serie di Taylor coverge i x 0 co somma f(x 0 ). Defiizioe 3.2. Ua fuzioe f C (I) è detta aalitica i x 0 I se (i) la serie di Taylor di f cetrata i x 0 ha raggio di covergeza R ]0, + ]; (ii) D f(x 0 )! (x x 0 ) = f(x) per ogi x ]x 0 R, x 0 + R[. Ioltre, f è detta aalitica i I se lo è i ogi puto di I. Dall Esempio 2.10 sappiamo che la fuzioe x e x è aalitica i R. Tuttavia, la sola regolarità C o è sufficiete a garatire l aaliticità di ua fuzioe.

Esempio 3.3. Sia f : R R defiita da SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 11 {e 1 x 2 se x 0 0 se x = 0. Si vede facilmete che f C (R) e i particolare D f(0) = 0 per ogi N. Tuttavia f o è aalitica i 0, i quato la sue serie di Taylor coverge a 0 i ogi puto di R, verificado la codizioe (i) ma violado (ii). Il seguete risultato forisce ua codizioe sufficiete per l aaliticità di ua fuzioe: Lemma 3.4. Siao f C (I), M, L > 0 t.c. D f(x) ML per ogi N, x I. Allora f è aalitica i I. Dimostrazioe. Fissiamo x 0 I e verifichiamo le codizioi della Defiizioe 3.2. Per ogi x I, x x 0 1 L si ha, per ogi N, D f(x 0 ) (x x 0 ) M!!, e il secodo membro tede a 0 per. Pertato il raggio di covergeza della serie di Taylor di f i x 0 è R 1 L e (i) è soddisfatta. Fissiamo ora x I, 0 < x x 0 < R. Per la formula di Taylor co resto di Lagrage (ved. [5]), per ogi k N esiste x I t.c. f(x) k D f(x 0 )! Passado al limite per k, si ha così che (ii) è soddisfatta. (x x 0 ) D k+1 f( x) = (x x 0 ) k+1 (k + 1)! M(LR)k+1. (k + 1)! D f(x 0 ) (x x 0 ) = f(x),! Esempio 3.5. La serie di Maclauri della fuzioe x si(x) è ( 1) (2 + 1)! x2+1, e poiché ( 1) +1 (2 + 1)! lim (2 + 3)! ( 1) = 0, il suo raggio di covergeza è +. Ioltre, per il Lemma 3.4 la fuzioe è aalitica i R. Pertato si può scrivere, per ogi x R, ( 1) si(x) = (2 + 1)! x2+1. Similmete si dimostra la formula cos(x) = ( 1) (2)! x2.

12 A. IANNIZZOTTO Osserviamo che, derivado termie a termie la serie di Maclauri di si(x), si ottiee quella di cos(x), i accordo col Teorema 2.6 e co l idetità D si(x) = cos(x). Esempio 3.6. Cosideriamo la fuzioe x l(1 + x). Per il Lemma 3.4 essa è aalitica. La serie di Maclauri è ( 1) x, e dal Teorema 2.9 risulta che il suo raggio di covergeza è 1. Pertato si ha, per ogi x ] 1, 1[, ( 1) l(x) = x. Idetità come quelle otteute egli esempi precedeti soo dette sviluppi i serie di Taylor (o di Maclauri) per le fuzioi elemetari. Tali sviluppi redoo le fuzioi trascedeti (espoeziali, logaritmi, fuzioi trigoometriche...) calcolabili co approssimazioe arbitraria mediate u algoritmo che richiede solo l esecuzioe di somme e prodotti. Ioltre, alcue fuzioi che o ammettoo u espressioe mediate le fuzioi elemetari, come quelle viste i [6], possoo essere rappresetate (e calcolate) mediate sviluppi i serie. Esempio 3.7. La fuzioe degli errori di Gauß f : R R è defiita da x 0 e t2 dt. Chiaramete f C (R) e D e x2. Quest ultima fuzioe è aalitica e il suo sviluppo i serie di Maclauri si deduce da quello dell Esempio 2.10: ( x 2 ) D.! Itegrado termie a termie, per il Teorema 2.5 si ha ( 1) (2 + 1)! x2+1. Esempio 3.8. La fuzioe seo itegrale f : R R è defiita da x 0 si(t) t Ache i questo caso, lo sviluppo i serie della derivata segue dall Esempio 3.5: si(x) ( 1) = x (2 + 1)! x2. Itegrado termie a termie si ha dt. ( 1) (2 + 1)(2 + 1)! x2+1. La serie di Taylor si può usare per (ri)-dimostrare alcue ote idetità relative alle fuzioi aalitiche. Per esempio (3.1) e x e y = e x+y per ogi x, y R.

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI 13 Il prodotto secodo Cauchy delle serie di Maclauri di e x, e y ha termie geerale c = h=0 = 1! = x h y h h! ( h)! ( ) x h y h h h=0 (x + y).! Ioltre, per il Teorema di Mertes (ved. [4]) la serie c coverge e ha per somma il prodotto e x e y, da cui (3.1). Osservazioe 3.9. La serie di Taylor (che, i quato serie di poteze, è defiita i modo aturale i C come i R, ved. [3]) rappreseta ache u utile strumeto per estedere le fuzioi elemetari al campo complesso, seza riuciare alle loro proprietà fodametali. Per esempio, per ogi z C poiamo e z = z!, si(z) = ( 1) (2 + 1)! z2+1, cos(z) = Co questa espressioe è agevole dimostrare la formula di Eulero: (3.2) e ix = cos(x) + i si(x) per ogi x R. Ifatti, sviluppado le fuzioi el puto z = ix, si ha e ix = = (ix)! ( 1) (2)! x2 + = cos(x) + i si(x), i( 1) (2 + 1)! x2+1 da cui (3.2) (per u esposizioe completa di questo argometo, ved. [1]). ( 1) z 2. 2! Esercizio 3.10. Scrivere lo sviluppo i serie di Maclauri della fuzioe x 1 essa è aalitica. 1+x e stabilire se Esercizio 3.11. Scrivere gli sviluppi i serie di Maclauri per le fuzioi sih(x), cosh(x). Quidi verificare, mediate tali sviluppi, che D sih(x) = cosh(x), D cosh(x) = sih(x). Esercizio 3.12. Usado gli sviluppi i serie di Maclauri delle fuzioi l(1 + x), l(1 x), dimostrare che per ogi x ]0, 1[ l(1 x 2 ) = l(1 + x) + l(1 x).

14 A. IANNIZZOTTO Riferimeti bibliografici [1] M. Bramati, C.D. Pagai, S. Salsa, Aalisi matematica 1, Zaichelli (2014). 13 [2] M. Bramati, C.D. Pagai, S. Salsa, Aalisi matematica 2, Zaichelli (2009). 3, 8 [3] A. Iaizzotto, Isiemi umerici (2015). 13 [4] A. Iaizzotto, Successioi e serie umeriche (2015). 2, 3, 4, 6, 7, 9, 13 [5] A. Iaizzotto, Calcolo differeziale (2015). 10, 11 [6] A. Iaizzotto, Calcolo itegrale (2015). 5, 12 Dipartimeto di Matematica e Iformatica Uiversità degli Studi di Cagliari Viale L. Merello 92, 09123 Cagliari, Italy E-mail address: atoio.iaizzotto@uica.it