Il campo complesso. Appendice C. C.1 I numeri complessi

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1 Appedice C Il campo complesso C. I umeri complessi Il campo complesso C è, per defiizioe, R 2, +, ove le operazioi di somma e prodotto complesso soo defiite come segue: x, y + x 2, y 2 := x + x 2, y + y 2 x, y x 2, y 2 := x x 2 y y 2, x y 2 + y x 2 SC PC Osservazioe C. Si oti che, metre la somma complessa coicide co la somma di R 2 come spazio vettoriale, il prodotto complesso è assai diverso sia dal prodotto scalare vettore sia dal prodotto scalare 2. Ifatti il prodotto complesso è ua operazioe biaria da R 2 i R 2 : ad ua coppia di vettori z e z 2 i R 2 associa u terzo vettore z i R 2. Proposizioe C.2 i Il prodotto complesso è commutativo e associativo. ii L elemeto eutro del prodotto complesso è :=, 0. iii Se z = x, y 0 il reciproco di z, deotato z o /z è dato da x z = x 2 + y 2, y x 2 + y 2. Dimostrazioe i La commutatività è ovvia. Per l associatività dobbiamo verificare che x, y x 2, y 2 x 3, y 3 = x, y x 2, y 2 x 3, y 3, C. o ache, i vista della commutatività di, x, y x 2, y 2 x 3, y 3 = x 3, y 3 x 2, y 2 x, y. C.2 D altra parte, dalla defiizioe di * si ha che x, y x 2, y 2 x 3, y 3 = x x 2 y y 2, x y 2 + y x 2 x 3, y 3 = x x 2 x 3 y y 2 x 3 x y 2 y 3 y x 2 y 3, x x 2 y 3 y y 2 y 3 + x y 2 x 3 + y x 2 x 3, R2 è u campo vettoriale co campo degli scalari R e il prodotto scalare vettore è, come oto, defiito da ax := ax, x 2 = ax, ax 2 per ogi scalare a R ed ogi vettore x = x, x 2 R 2. 2 Ossia, il prodotto che a x R 2 e y R 2 associa lo scalare x y := x y + x 2 y 2 R.

2 2 AM20 AA 20-2 Versioe 2/5/202 che è simmetrica i e 3 ossia scambiado gli idici e 3 tra loro otteiamo lo stesso risultato e duque C.2 e quidi C. è verificata. ii e iii si dimostrao tramite ua semplice verifica diretta che segue immediatamete dalla defiizioe di. Il umero complesso i := 0, C viee chiamato uità immagiaria: ha la fodametale proprietà che i i =: i 2 = =, 0. Idetificado R co il sottospazio di C dato da 3 R {0} si ritrova la otazioe classica x, y = x, 0, 0 + y, 0 0, =: x, 0 + y, 0 i = x + y i = x + iy, dove, come è ache tradizioe, il prodotto complesso o viee deotato esplicitamete 4. Il complesso coiugato di u umero complesso z = x + iy è il umero complesso z := x iy; il modulo di u umero complesso z = x + iy è dato dalla orma euclidea di z ossia da z := x 2 + y 2 = z z. Si verifica immediatamete che =, z C\{0}; zw = z w, z, w C. z z Si osservi che la covergeza rispetto alla orma di ua successioe di umeri complessi = x k + iy k al umero complesso z = x + iy, è equivalete alla covergeza reale di x k a x e y k a y. Dalla completezza di R segue, quidi, che C è u spazio ormato completo. Molti risultati di aalisi su R si trasportao verbatim su C. Ad esempio: la struttura topologica e metrica di C è la stessa di R 2 dotato della orma euclidea; limiti di successioi di umeri complessi e lim z z o fz co f : E C C e z 0 puto ella chiusura di E; covergeze assoluta di serie 5 e gli aessi criteri del rapporto 6 e della radice 7 ; 3 Più precisamete, esiste ua immersioe aturale di R i C data da j : x R jx := x, 0 C. Tale immersioe è u isomorfismo tra R ed il sottospazio vettoriale di C dato da R {0} = jr: è tale immersioe j che viee ormalmete sottoitesa. 4 Ossia, la posto di z w si scrive semplicemete zw; z z = z {z }, etc. X 5 Studiare ua serie i C sigifica studiare la successioe delle ridotte S := co C. 6 Se z + / z 0 allora la serie P z coverge assolutamete. X 7 Se lim sup z < allora la serie z coverge assolutamete; se lim sup z > allora =0 coverge. X z o =0

3 c Luigi Chierchia defiizioe di fuzioi cotiue ed uiformemete cotiue da 8 E C i C e relativo teorema sulla covergeza uiforme di successioi di fuzioi cotiue ad ua fuzioe cotiua; covergeza assoluta e totale di serie di poteze 9 i C e raggio e relativo disco di covergeza 0. Ache il cocetto di derivata si estede verbatim, ma le cosegueze di tale estesioe soo assai profode cfr., ad esempio, l Osservazioe C.4: f si dice derivabile i z 0 puto itero di E se esiste il limite del rapporto icremetale fz fz 0 /z z 0 per z z 0, tale limite, se esiste, è la derivata di f i z 0 e si deota co f z 0 o co df dz z 0: f z 0 := df dz z 0 := lim z z 0 fz fz 0 z z 0. C.3 Esempio C.3 i Sia fz = z e E = C. Per = 0, si ha, ovviamete, f z = 0,. Sia 2. Esattamete come el caso reale, chiamado h il umero complesso z z 0, otteiamo z z0 z 0 + h z0 lim = lim z z 0 z z 0 h 0 h = lim h 0 j=0 j = lim h 0 j=0 j z j 0 h j h z j 0 h j = z0. C.4 Quidi z è derivabile i seso complesso e la sua derivata el puto geerico z è come el caso reale z. ii U esempio di fuzioe complessa di variabile complessa o derivabile è, ivece dato da fz = z. Ifatti, osserviamo che se f è derivabile i z 0, allora comuque si scelga ua successioe di umeri complessi z z 0 ossia tali che z z 0 0 si ha fz fz0 z z 0 f z 0. Fissiamo z 0 e cosideriamo le successioi z := z 0 + e w := z 0 + i. Si verifica immediatamete che z z 0, w z 0 e che z z 0 z z 0 =, w z 0 w z 0 =, da questo segue che la fuzioe z z o è derivabile i alcu puto. Come el caso reale, ua serie di poteze defiisce ua fuzioe derivabile u umero arbitrario di volte all itero del suo disco di covergeza e le derivate di tale fuzioe si ottegoo derivado termie a termie la serie di poteze. 8 Esplicitamete: f si dice cotiua i z 0 E se ε > 0 δ > 0 : fz fz 0 < ε, z E co z z 0 < δ ; f è cotiua i E, f CE, C, se f è cotiua i ogi puto z 0 E; f è uiformemete cotiua i E se la vale per ogi z 0 E e la scelta di δ è idipedete da z 0 ; X 9 Ua serie di poteze i C è il limite, qualora esista, della successioe delle ridotte a k z z 0 k co a k, z, z 0 umeri complessi. 0 La serie X a z z 0 coverge assolutamete se z { z z 0 < R} := disco di covergeza e o coverge se z z 0 > R dove R = ` lim sup a := raggio di covergeza.

4 4 AM20 AA 20-2 Versioe 2/5/202 Osservazioe C.4 Di atura diversa è il seguete risultato che o vale per fuzioi da R R: Ua fuzioe f : E C co E aperto di C tale che ammetta derivata i ogi puto di E è rappresetabile tramite serie di poteze: per ogi z 0 E esistoo a C tali che fz = a z z 0 per ogi z z 0 < R co R dist z 0, E raggio di covergeza =0 della serie di poteze a z z 0. I particolare dall esisteza del limite del rapporto icremetale i E segue che la fuzioe f è derivabile u umero arbitrario di volte e gli a coicidoo come ella ormale teoria relativa alla formula di Taylor co f z 0 /!. C.2 Espoeziale complesso e fuzioi trigoometriche Defiiamo per z C, Poiché lim sup ifiito. k È iteressate stimare l errore expz :=. C.5 = 0 si ha che il raggio di covergeza della serie espoeziale C.5 è R z := expz che si commette approssimado expz co la somma parziale di ordie : Proposizioe C.5 Per ogi itero 0 e per ogi z C co 0 < z < + 2 si ha C.6 R z k=+ z k < z + +! z. C.7 Dimostrazioe R z = z k k> k> = z + + z +! z z + +! = z + +! z k z. L espoeziale realizza u omomorfismo tra il gruppo additivo C, + e il gruppo moltiplicativo C\{0},, cioè: Ovviamete, R 0 = 0 per ogi.

5 c Luigi Chierchia Teorema C.6 Teorema di addizioe Per ogi z, w C, expz + w = expz expw. Ioltre exp0 =, expz 0 e / expz = exp z, z C. Dimostrazioe Dalla formula del biomio di Newto segue che z + w k = = k j=0 j=0 k=j z j j! z j j! w k j k j! w k j k j! = j=0 z j j w h j! h! h=0 = s r co s := j=0 z j j! h=0 w h h!, r := j= z j j! h= j+ w h h!. Poiché s expz expw, la tesi seguirà da lim r = 0. Ifatti, sia M = max{ z, w } e si osservi che dalla Proposizioe C.5 co z = segue che e quidi: h=m h! < m + m r M + m! 2 m!, m, C.8 j= < M + j= j! j! h= j+ h= j+ h! h! < 2M + j! j +! j= + 2M + = +! j < = 2 2M + +! j= + + j j=0 2M + +! 0. Le rimaeti affermazioi soo elemetari: exp0 = segue dalla defiizioe, e per ogi z, = exp0 = expz z = expz exp z che mostra che exp z è il reciproco di expz e che expz 0.

6 6 AM20 AA 20-2 Versioe 2/5/202 Si oti che 2 e che expz := lim = lim d dz expz = d z k = dz k= = lim k! = =0 := expz. C.9 z := expz. C.0! L espoeziale complesso si può ache otteere attraverso il seguete limite otevole: Teorema C.7 Per ogi z C, expz = lim + z. Dimostrazioe Dalla formula del biomio di Newto segue che + z = Si oti che a k > 0 per ogi k 0 e che Quidi, se > m si ha a k, co a! k := k. C. a 0 =, a =, a k = k <, k 2, } {{ } k termii lim a k =. + z m a k = k=m+ k=m+ k=m+ k=m+ a k a k z k Fissiamo ora ε > 0. Dalla Proposizioe C.5 segue che esiste m > 0 tale che z k < ε 4 e, poiché da C.2 segue che lim m m k=m+ a k z k a k z k z k z k C.2. C.3 = 0, si ha che esiste > m tale che C.4 < ε 2. C.5 2 Si oti che l operazioe di complesso coiugato è cotiua sul campo dei complessi ossia se z z allora z z.

7 c Luigi Chierchia Duque, da C.3, C.4 e C.5, si ha che + z expz = + z m m a k + a k zk + z m m a k + a k z k < ε. k=m+ + k=m+ Osservazioe C.8 Si oti che, se z > 0, + z < + z/2 2 e che per k 2, a k < a + k. Quidi, per z > 0 la successioe + z è strettamete crescete. Defiizioe C.9 Il umero e = exp = Nepero 3. L espasioe decimale di e è data da 4 : I effetti: z k lim + prede il ome di umero di e = Teorema C.0 e è irrazioale Dimostrazioe Suppoiamo per assurdo che e sia razioale ossia che e = p/q co p e q umeri aturali co primi. Allora, ricordado C.8, si ha che 0 < p q q q = e = Moltiplicado tale relazioe per q! si ottiee k=q+ 0 < N := pq! il che è impossibile essedo N u umero itero. < q + 2 q + q q! < q <, q +! < q! Ifie, le proprietà della fuzioe expx per x reali soo riassute ella seguete 3 Talvolta, umero di Eulero. 4 È facile, usado la defiizioe per serie di e, calcolare le prime cifre decimali. q.

8 8 AM20 AA 20-2 Versioe 2/5/202 Proposizioe C. Sia x R. Allora: i expx = e x ; ii iii lim x e x =, lim xk x e x x k = 0, per ogi itero k; la fuzioe x expx è strettamete positiva, crescete e covessa. Dimostrazioe Dal Teorema C.6 si ha, per ogi umero itero positivo q, che exp exp = exp = e, C.6 q q }{{} q volte ossia Da C.6 e dal Teorema C.6, se p e q soo umeri iteri positivi, p exp q exp = e q. C.7 q = exp q exp q } {{ } p volte = e p q. C.8 Poiché la fuzioe expz è cotiua su C essedo rappresetata da ua serie di poteze co raggio di covergeza ifiito, se p k e q k soo umeri iteri positivi tali che p k /q k tede al umero reale x, si ha che e p k pk qk = exp expx; tale relazioe mostra la q k validità di i el caso i cui x sia u umero reale positivo. Se x < 0, da i segue che e x = exp x = expx = /e x e duque expx = exp x = e x = e x, il che mostra la validità di i per ogi x R. Chiaramete basta dimostrare ii per k > 0. Per ogi x > 0, e x > x/k +! e quidi xk+ k +!, duque ex /x k > e x lim x x k = e lim x e x x k = 0 k N. C.9 Dalla defiizioe di expx segue che e x > 0 per x 0 e poiché, per x < 0, expx = / exp x = / exp x si ha che expx = e x > 0, x R. C.20 Poiché la derivata reale coicide co quella complessa per x R si ha che e x = e x e duque la fuzioe x R e x R è ua fuzioe strettamete positiva, strettamete crescete e strettamete covessa che mada la retta R sulla semiretta 0, i maiera biuivoca. Defiizioe C.2 Per y > 0 defiiamo 5 il logaritmo reale di y, log y, come la fuzioe iversa di x R expx. Ioltre, i vista di i della Proposizioe C. poiamo Defiizioe C.3 Per ogi z C, si poe e z := expz. 5 Questa otazioe o è stadard e verrà usata solo i questa appedice per motivi che apparirao chiari più sotto quado discuteremo il logaritmo complesso.

9 c Luigi Chierchia Fuzioi trigoometriche Defiizioe C.4 Per ogi z C il coseo e seo di z soo defiiti come cos z := k z2k 2, se z := k z 2k+ 2k +!. C.2 Per il criterio della radice o del cofroto, tali serie hao raggio di covergeza ifiito. Proposizioe C.5 Per ogi z, w C e x R si ha: cos x R, se x R, C.22 cos z = cos z, se z = se z, C.23 cos z = eiz + e iz, se z = eiz e iz, C i e iz = cos z + i se z formula di Eulero, C.25 Re e ix = cos x, Im e ix = se x ; se z + w = se z cos w + cos z se w, cosz + w = cos z cos w se z se w, cos 2 z + si 2 z =, C.26 C.27 C.28 C.29 e ix =, C.30 d d cos z = se z, se z = cos z. dz dz C.3 Dimostrazioe Le C.22 e C.23 seguoo immediatamete dalla defiizioe C.4. La C.24 segue addizioado le serie espoeziali cosa possibile essedo tali serie assolutamete covergeti. La C.25 segue da C.24. La C.26 segue da C.25 e da C.22. La C.29 segue da C.24. La C.30 segue da C.25, C.22 e C.29. La C.3 segue dalla defiizioe C.4 e dalla derivabilità termie a termie delle serie di poteze. Possiamo ora dare ua defiizioe aalitica di pi greco. Sia Z l isieme degli zeri positivi del coseo ossia Z := {z > 0 : cos z = 0}. Tale isieme è o vuoto. Ifatti il coseo è ua fuzioe cotiua tale che cos 0 = metre cos 2 := ! 28 8! 2 0 0! 22 < 2! 3. C.32 Defiizioe C.6 π = 2z dove z := if Z.

10 0 AM20 AA 20-2 Versioe 2/5/202 La stima C.32 mostra che π < 4; è facile vedere che cos x > 0 per ogi 6 0 x 3/2 e duque π > 3. I effetti, π = , Dalla defiizioe di π seguoo le proprietà di periodicità e di simmetria delle fuzioi seo e coseo: Proposizioe C.7 Per ogi z C si ha: se π 2 =, ei π 2 = i, e iπ =, e i2πk = k Z, C.33 e z+2πi = e z, cosz + 2π = cos z, se z + 2π = se z, C.34 π π π π se 2 + z = se 2 z, cos 2 + z = cos 2 z, C.35 se π + z = se π z, cosπ + z = cosπ z. C.36 Dimostrazioe Essedo π/2 = z uo zero del coseo, da C.29 segue che se π/2 = ±, d altra parte essedo cos x > 0 per x [0, π/2 come segue di uovo dalla defiizioe di π e da cos 0 = ed essedo se x = cos x, la fuzioe se x, che vale 0 i 0 risulta strettamete crescete tra 0 e π/2 quidi se π/2 = ; duque e iπ/2 = i; dal Teorema C.6 segue che e iπ = e iπ/2 e iπ/2 = i 2 =, e 2πi = e iπ e iπ =, e 2πik = e 2πi k = co il che abbiamo dimostrato la validità di C.33. Le C.34, C.35 e C.36 seguoo ora immediatamete da C.33 e dal Teorema C.6 o da C.27 e C.28. Si oti che da tali proprietà di periodicità e simmetria e dalle regole di derivazioe del seo e coseo si ricavao facilmete i grafici di se x e cos x per x R. Ifie dimostriamo alcue proprietà di iiettività della fuzioe espoeziale complessa. Proposizioe C.8 Per ogi z C co z =, esiste u uico t [0, 2π tale che expit = z. 2 per ogi z C\{0}, esiste w C tale che expw = z. 3 expz = expw se e solo se esiste k Z tale che z w = 2πki. 6 Se x [0, 3/2], cos x = x2 2! + x4 24 x x 2 2! x ! + x2 2! + x4 24 x6 720 := Qx2 co Qt cubica seza puti critici e duque strettamete decrescete. Quidi, per x [0, 3/2], cos x Qx 2 Q9/4 = 359/520 > 0.

11 c Luigi Chierchia 202 Dimostrazioe : Comiciamo col dimostrare che e it se t 0, 2π. Ifatti, dato t 0, 2π sia τ := t/4 0, π/2 e poiamo e iτ = x + iy co x, y R. I umeri x e y appartegoo all itervallo aperto 0, e e it = x+iy 4 = x 2 y 2 2 4x 2 y 2 +i4xyx 2 y 2. Se e it fosse reale allora si avrebbe che x 2 = y 2 e da C.29 seguirebbe che x 2 = y 2 = /2 ossia e it =. Da questa proprietà segue immediatamete l uicità i : se fosse e it = e it2 co 0 t < t 2 < 2π allora e it2 t = co 0 < t 2 t < 2π il che cotraddirrebbe quato appea dimostrato. Rimae da dimostrare l esisteza: dato z C co z =, poiamo z = x + iy co x, y [, ]. Se x e y appartegoo a [0, ], essedo cos t strettamete decrescete per t [0, π/2], si avrebbe che esiste u uico t 0 [0, π/2] tale che cos t 0 = x e duque essedo y 0 e it0 = z. Se x < 0 e y 0, allora iz = e it0 e quidi z = ie it0 = e it0+π/2. Se y < 0, allora z = e it0 e quidi z = e it0 = e it0+π, il che coclude la dimostrazioe di. 2 segue ora facilmete: sia x = log z. Allora z/ z = ze x = e iy per u uico y [0, 2π e duque z = e w co w := x + iy. 3 Se z := x + iy, w := x + iy co x, x, y, y R e se e z = e w allora e x = e x e quidi x = x e e iy y =. Se poiamo k := [y y /2π], allora y y 2πk [0, 2π e 3 segue da. Fuzioi iperboliche Defiizioe C.9 Per ogi z C il coseo iperbolico ed il seo iperbolico di z soo defiiti come z 2k cosh z := 2, seh z := z 2k+ 2k +!. C.37 Per il criterio della radice o del cofroto, tali serie hao raggio di covergeza ifiito. Chiaramete, coshiz = cos z, seh iz = i se z. C.38 Da tali relazioi è facile sviluppare ua teoria del tutto aaloga a quella sviluppata per le fuzioi trigoometriche, i cui dettagli vegoo lasciati per esercizio. Il logaritmo complesso Defiizioe C.20 Se w C\{0}, poiamo log w = {z : expz = w}, arg w = Im log w = { Im z : z log w}. Proposizioe C.2 Sia w C\{0}. Esiste u uico z = x + iy log w tale che y [0, 2π. Ioltre x = log w. Dimostrazioe Per la parte della Proposizioe C.8 esiste u uico y [0, 2π tale che expiy = w w, e per il Teorema C.6 e la defiizioe di log explog w + iy = explog w expiy = w w w = w.

12 2 AM20 AA 20-2 Versioe 2/5/202 Defiizioe C.22 La fuzioe che a w C\{0} associa l uico z C della Proposizioe C.2 si deota Log w e si chiama parte pricipale del logaritmo di w ; la fuzioe che a w C\{0} associa l uico y [0, 2π della Proposizioe C.2 si deota Arg w e si chiama argometo pricipale di w. Proposizioe C.23 Se w C\{0} allora log w = Log w + i2πz = log w + iarg w + i2πz. La dimostrazioe è cosegueza immediata della Proposizioe C.2 e della parte 3 del Teorema C.8. Proposizioe C.24 Se w e w 2 soo umeri complessi diversi da zero, allora logw w 2 = log w + log w 2. C.39 Si oti che l uguagliaza i C.39 è u uguagliaza tra isiemi. Dimostrazioe Se log w k, allora exp = w k e, per il teorema di addizioe, expz + z 2 = w w 2, cioè z + z 2 logw w 2. Questo dimostra che log w + log w 2 logw w 2. C.40 Sia ora z logw w 2 e si cosiderio log w k. Si ha allora per le scelte fatte e per il teorema di addizioe expz = w w 2 = expz + z 2. Dalla parte 3 del Teorema C.8 segue allora che esiste k Z tale che z z + z 2 = 2πik, ovvero, z = z + 2πik + z 2. Ma z + 2πik log w e, duque, z log w + log w 2, il che dimostra logw w 2 log w + log w 2. Tale relazioe assieme a C.40 prova l asserto. Defiizioe C.25 Se a C\{0} e b C defiiamo { } a b := expb log a = z = expbw : w log a. C.4 Esercizio Trovare gli errori: 2 = 2 2 = exp 2 log 2 = exp 2 log 2 + i2πz e = e = e i2 = e i i = = ± 2 ; e i i = e i+2πi i = e i+2πii = e 2π = e e 2π.