Introduzione al calcolo delle probabilità L. Boni Approccio empirico OSSERVAZIONE IPOTESI TEORIA DOMINANTE ESPERIMENTO L esperimento Un esperimento (dal latino ex, da, e perire, tentare, passare attraverso ) è la realizzazione di un operazione empirica atta ad individuare, accertare o precisare, qualche aspetto specifico di un fenomeno osservabile, che potrebbe riguardare qualunque area di conoscenza (medicina, chimica, fisica, )
La variabilità Caratteristica fondamentale di un esperimento è quella di dare luogo a più di un possibile risultato e di essere ripetibile Ripetendo un esperimento non si ottiene necessariamente lo stesso risultato ottenuto nelle altre prove Quando un esperimento viene ripetuto n volte, si ottiene una sequenza ordinata di n risultati, probabilmente non tutti differenti La variabilità La variabilità Obiettivo della scienza è spiegare la variabilità presente in natura La statistica fornisce gli strumenti per capire i fenomeni naturali in presenza di variabilità Scopo del disegno dell'esperimento è ridurre e controllare il più possibile la variabilità in modo da rendere la teoria statistica applicabile nell'ambito del processo conoscitivo riguardante la natura
L esperimento Supponiamo di lanciare una moneta e di osservarne la faccia superiore Questa è un'osservazione o misurazione Qualsiasi processo che porti ad effettuare, su base empirica, un'osservazione viene definito esperimento Eventi a spazio campionario Consideriamo un altro semplice esperimento che consiste nel lanciare un dado e nell'osservare il numero posto sulla faccia superiore I possibili risultati di questo esperimento sono sei Eventi a spazio campionario Va notato che se l'esperimento viene effettuato una sola volta, può essere osservato uno ed uno solo dei sei possibili risultati. Ciascuno di essi, poichè non è scomponibile in altri risultati più semplici, rappresenta un evento elementare L'insieme di tutti i possibili eventi elementari che possono verificarsi nel corso di un esperimento viene definito spazio campionario (S) dell'esperimento
Spazio campionario Lo spazio campionario può essere rappresentato con la seguente notazione: S: 1, 2, 3, 4, 5, 6 o con un diagramma di Venn: Spazio campionario e probabilità Definito lo spazio campionario S è possibile assegnare a ciascun punto i di S un numero reale p i che viene chiamato probabilità dell evento i Definizione di probabilità La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili. Pierre Simon Laplace
Definizione di probabilità Limite cui tende la proporzione di volte in cui un evento si realizza, al tendere all'infinito del numero delle occasioni. Richard von Mises Definizione di probabilità Definizione di probabilità La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica. De Finetti e Savage
Definizione di probabilità Approccio matematico, frequentista e soggettivista non hanno in comune il modo di intendere la probabilità, ma condividono il modo di trattarla. Tutti e tre rispettano i seguenti assiomi che Kolmogorov pose a base del calcolo della probabilità: 0 p i 1 p 1 + p 2 + + p N = P(S) = 1 P( ) = 0 Distribuzione di probabilità Ogni insieme di numeri p i che soddisfi queste condizioni viene definito distribuzione di probabilità in S Distribuzione di probabilità Gli eventi elementari appartenenti al medesimo spazio campionario sono mutuamente esclusivi, ma non necessariamente equiprobabili
Eventi A partire dallo spazio campionario può essere definito un qualsiasi evento, rappresentabile come un sottoinsieme di S, e quindi costituito da due o più eventi elementari Esperimento: osservare un numero pari sulla faccia superiore di un dado Eventi La probabilità dell evento A è ricavabile come somma delle probabilità p i di tutti i punti i che lo definicono e viene indicata con P(A) P(A)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=1/6+1/6+1/6=1/2 Da notare che: 0 P(A) 1 1 Eventi complementari Il complemento di un evento A è l'evento che si verifica quando non si verifica A, ossia l'evento costituito da tutti gli eventi elementari che non sono compresi in A Il complemento di A viene indicato con Ā
Eventi complementari Tutti gli eventi elementari di S sono inclusi in A oppure in Ā, ma nessuno di essi appartiene sia ad A che ad Ā Ne deriva che: P(A) + P(Ā) = P(S) = 1 e P(Ā) = 1 - P(A) Caso particolare: P(S) = 1 P( ) = 0 Eventi composizione Un evento può spesso essere visto come composizione di due o più eventi L'evento composizione può verificarsi secondo due diverse modalità: intersezione o unione Evento intersezione
Evento intersezione Evento unione Evento unione
Eventi unione e intersezione Poichè unione ed intersezione di eventi rappresentano a loro volta eventi, è possibile calcolare la loro probabilità 2 Probabilità di un evento unione Probabilità di un evento unione Nel caso in cui A B non contenga alcun evento elementare, se cioè gli eventi A e B sono mutuamente esclusivi, la probabilità dell unione di A e B equivale alla somma delle probabilità di A e B Ovvero: P(A B) = P(A) + P(B)
Evento unione P(M) = P(M-nS) + P(M-S) = 63% P(S) = P(M-S) + P(F-S) = 68% P(M-S) = 45% Evento unione P(M-nS)? P(M-nS) = P(M) - P(M-S) = 63% - 45% = 18% Evento unione P(M-nS)? P(M-nS) = P(M) - P(M-S) = 63% - 45% = 18% P(F-S)? P(F-S) = P(S) - P(M-S) = 68% - 45% = 23%
Evento unione P(F-nS)? P(F-nS)=P(Sc) - P(M-S) - P(M-nS) - P(F-S) = = 100% - 45% - 18% - 23% = 14% Evento unione P(M S)? P(M S) = P(M) + P(S) - P(M S) = = P(M-S)+P(M-nS)+P(M-S)+P(F-S)-P(M-S)= = 45% + 18% + 45% + 23% - 45% = 86% Esperimento composto Consideriamo due esperimenti: Esperimento 1: spazio campionario S, distribuzione probabilità p i Esperimento 2: spazio campionario T, distribuzione probabilità q j Se l'esperimento 1 e l'esperimento 2 vengono eseguiti in successione, nell'insieme possiamo parlare di esperimento composto
Esperimento composto Esempio: Lanciare un dado e successivamente lanciare una moneta In questo caso quale sarà il modello di probabilità appropriato? (spazio campionario e distribuzione di probabilità) Esperimento composto Il risultato di un esperimento composto può essere rappresentato da una coppia di valori (i, j), dove i identifica il risultato del primo esperimento e j identifica quello del secondo Esperimento composto Lo spazio campionario è definito da tutte le coppie (i, j) dove i S e j T, viene chiamato prodotto cartesiano di S e T e viene indicato con SxT
Esperimenti indipendenti Assumiamo che il risultato del primo esperimento non influenzi in alcun modo il risultato del secondo esperimento Su un gran numero di lanci la moneta mostrerà testa circa la metà delle volte In un sesto di queste occasioni il dado mostrerà il valore 1 Regola del prodotto Regola del prodotto
Regola del prodotto La frequenza relativa di ottenere testa con la moneta e 1 con il dado, in un grande numero di ripetizioni dell'esperimento composto, dovrebbe essere 1/2 x 1/6 P (i, j) = p i x q j Se e solo se le probabilità di SxT possono essere assegnate secondo la regola del prodotto per tutti i punti i S e j T i due esperimenti vengono definiti indipendenti Esperimenti indipendenti E' ovvio che P (i, j) 0 per tutti i punti (i, j) SxT Poiché inoltre allora da cui deriva che P (i, j) = p i x q j definisce una appropriata distribuzione di probabilità nello spazio campionario SxT Eventi indipendenti Se due esperimenti sono indipendenti, le probabilità dei risultati di un esperimento composto possono essere calcolate per mezzo della regola del prodotto Possiamo chiamare due eventi indipendenti se le loro probabilità soddisfano una regola simile
Eventi indipendenti Due eventi A e B possono essere definiti indipendenti se e solo se P(A B) = P(AB) = P(A) x P(B) Nota: non è sempre ovvio se due eventi sono o non sono indipendenti finchè non sono state calcolate le tre probabilità P(AB), P(A), P(B) Eventi indipendenti dal diagramma si ricava che P(M S) = 0.45, ma P(M) x P(S) = 0.63 x 0.68 = 0.43, da cui deriva che P(M S) P(M) x P(S) Probabilità condizionata In certi casi la conoscenza del fatto che si è verificato un certo evento A modifica la probabilità del verificarsi dell evento B I due eventi non sono indipendenti
Probabilità condizionata La probabilità dell'evento B (=stato civile) nell'ambito del sottoinsieme di S definito dall'evento A (=sesso) è chiamata probabilità condizionata di B dato A e si indica con P(B A) Probabilità condizionata Consideriamo N ripetizioni di un esperimento con N molto grande L'evento A consiste nell estrarre dalla popolazione un individuo maschio L evento B consiste nell estrarre dalla popolazione un individuo sposato Probabilità condizionata L'evento A si verificherà circa N x P(A) volte (es.: 1000 x 0.63 = 630) Il numero di volte in cui si verificheranno sia A che B sarà circa N x P(AB) (es.: 1000 x 0.45 = 450)
Probabilità condizionata La proporzione di occasioni in cui B si verificherà rispetto al numero di volte in cui si verificherà A sarà quindi = 450 630 = 0.71 da cui deriva che Nota: se P(A) = 0 allora P(B A) non è definita Probabilità condizionata Con lo stesso ragionamento possiamo dimostrare che: Probabilità condizionata Inoltre poiché allora e analogamente
Probabilità condizionata Poiché due eventi A e B sono definiti indipendenti se e solo se P(AB) = P(A) x P(B) ne consegue che A e B sono indipendenti se e solo se P(B A) = P(B) e P(A B) = P(A) Probabilità condizionata Le precedenti relazioni indicano che, se A e B sono indipendenti, la conoscenza che uno dei due si sia verificato non modifica la probabilità dell'altro Ovviamente se P(AB) = 0, se cioè i due eventi sono mutuamente esclusivi, allora P(B A) = 0 3 Teorema di Bayes Supponiamo di conoscere le probabilità P(A i ) e P(B A i ) e di essere interessati a conoscere P(A i B)
Teorema di Bayes inoltre da cui P(A i B) = P(B A i ) x P(A i ) Teorema di Bayes Bisogna notare che S = A 1 A 2 A 3 A k e che B = (A 1 B) (A 2 B) (A 3 B) (A k B) Teorema di Bayes quindi P(B) = P(A 1 B)+P(A 2 B)+P(A 3 B)+ +P(A k B) da cui deriva che P(B) = P(B A i ) x P(A i )
Teorema di Bayes In una fabbrica tre macchine producono rispettivamente il 20%, 30% e 50% dei prodotti: P(A 1 )=0.2 P(A 2 )=0.3 P(A 3 )=0.5 Ogni macchina produce una percentuale di prodotti difettosi pari al 5%, 3% e 1%: P(B A 1 )=0.05 P(B A 2 )=0.03 P(B A 3 )=0.01 Teorema di Bayes Qual è la probabilità di ottenere un prodotto difettoso, ovvero P(B)? P(B)= P(B A i ) x P(A i )=0.01+0.009+0.005=0.024 Qual è la probabilità che, osservato un prodotto difettoso, questo sia uscito dalla macchina 3, ovvero P(A 3 B)? Teorema di Bayes Qual è la probabilità di ottenere un prodotto difettoso, ovvero P(B)? P(B)= P(B A i ) x P(A i )=0.01+0.009+0.005=0.024 Qual è la probabilità che, osservato un prodotto difettoso, questo sia uscito dalla macchina 3, ovvero P(A 3 B)? 4
In sintesi Abbiamo definito evento elementare e spazio campionario Abbiamo visto che a ciascun evento elementare può essere assegnato un numero reale, a cui attribuiamo il significato di probabilità Abbiamo definito probabilità come il limite a cui tende il rapporto fra il numero di volte in cui un evento si realizza e il numero totale di occasioni Abbiamo definito il significato di evento, rappresentabile come un sottoinsieme di S, e abbiamo visto che la sua probabilità può essere calcolata come somma delle singole probabilità degli eventi elementari che lo compongono In sintesi Abbiamo definito unione e intersezione di eventi Abbiamo visto come può essere calcolata la probabilità di un evento unione Abbiamo visto come può essere calcolata la probabilità di un evento intersezione, sotto la condizione di indipendenza e di dipendenza degli eventi di interesse Abbiamo visto come, attraverso il teorema di Bayes, sia possibile modificare le nostre aspettative nei confronti di un evento, quando veniamo a conoscenza dell esito di un altro evento, al primo correlato (probabilità a priori vs. probabilità a posteriori)