Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni 1. Introduzione ver. 1.1
Errori più comuni Errori di concetto Non si è capito il problema Errori di memoria Non si ricorda la formula Errori di precisione/accuratezza Troppa abitudine alla calcolatrice Errori di trascrizione (propri) Errori di copiatura (dagli altri )
Unità di misura Per facilitare la scrittura e il trattamento matematico, vengono usati prefissi per indicare multipli e sottomultipli a atto 10-18 f femto 10-15 p pico 10-12 n nano 10-9 µ micro 10-6 m milli 10-3 c centi 10-2 d deci 10-1 da deca 10 1 h etto 10 2 k kilo 10 3 M mega 10 6 G giga 10 9 T tera 10 12 sottomultipli multipli Utilizzando questi prefissi, si tende anche a riportare un valore utilizzando il minor numero di cifre a sinistra della virgola
Unità di misura Ricordare unità di misura semplici e quelle composte e le varie equivalenze lunghezza m metro area m 2 volume m 3 forza N Newton pressione/sforzo Pa = N/m 2 Pascal temperatura C gradi Celsius K gradi Kelvin e ne vedremo molte altre durante il corso.
Unità di misura Attenzione alle conversioni e soprattutto cercare di avere un feeling riguardo ai possibili valori assunti da alcune quantità. Il Pascal è un unità di misura PICCOLA per sforzi e moduli elastici. Si usano quindi spesso i suoi multipli ed analogamente 1 MPa = 10 6 N/m 2 = 10 6 N/(10 6 mm 2 ) = 1 N/mm 2 1 GPa = 10 9 N/m 2 = 1 kn/mm 2 Al contrario, ad esempio, le deformazioni sono quantità generalmente piccole per metalli e ceramici.
Unità di misura Errore molto comune è quello di conversione della temperatura tra scala assoluta (Kelvin) e scala centigrada ( Celsius) Ricordare che e perciò 0 C = 273.15 K 0 K = - 273.15 C una temperatura in K si ottiene da quella in C AGGIUNGENDO 273.15 MA un T in K è EQUIVALENTE ad un T in C (le tacche di un termometro graduato in C hanno la medesima distanza di quelle di un termometro graduato in K)
Correttezza dimensionale Una verifica della (possibile) correttezza di una formula consiste nel verificarne l omogeneità dimensionale. Esempio: se vi viene chiesto di calcolare uno sforzo, la formula dovrà portare ad una grandezza espressa in Pa Esempio: raggio critico σ = F/A [Pa] = [N]/[m 2 ] r * 2 2 γtm [ J / m ][ K] [ m] 3 H f T [ J / m ][ K] = = VERIFICARE SEMPRE che il risultato sia dimensionalmente corretto
Cifre decimali Il numero di cifre decimali da riportare dipende da accuratezza/precisione a 0 = 0.32348174817254 nm????????? È difficile pensare che le misure o il calcolo siano così accurate! Ricordarsi che il risultato non deve necessariamente riportare tutte le cifre che la calcolatrice fornisce. Nei risultati intermedi conviene considerare un elevato numero di decimali per non perdere in precisione, mentre il risultato finale andrebbe approssimato per essere compatibile con l accuratezza dei dati F = 10 N A = 3 mm 2 σ = 3 MPa σ = 3.34 MPa σ = 3.333333333333334 MPa Non è accettabile come risultato finale!
ESERCIZI
Ex 1.1. Numero atomi Calcolare il numero di atomi in 100g di Argento (p.m. 107.87 g/mol) Svolgimento Dati: w Ag = 100 g AW Ag = 107.87 g/mol Possiamo già calcolare quante moli di Ag corrispondono a 100g M Ag wag = [ mol] = AW Ag [ g] [ g/ mol] Ricordando poi che il numero di Avogadro (N = 6.023 10 23 at/mol) è il numero di atomi SEMPRE presente in una mole, possiamo calcolare il numero di atomi in M Ag moli di materiale: [ ] N = M N [ at] = [ mol] at/ mol Ag Ag
Ex 1.1. Numero atomi Per lo svolgimento possiamo: Trovare la formula risolutiva complessiva ed applicarla Eseguire il calcolo ad ogni passaggio Ambedue le tecniche di svolgimento sono valide. La prima è più precisa e metodica. In entrambi i casi ricordare l analisi dimensionale! Risultato: N Ag = 6 10 23 at
Ex 1.2. Numero atomi Calcolare il numero di atomi presenti in un cm 3 di Uranio conoscendone peso atomico (238.03g/mol) e densità (19.05 g/cm 3 ) Dati: ρ U = 19.05 g/cm 3 = 19.05 kg/dm 3 AW U = 238.03 g/mol Svolgimento Osservare le due unità di misura più comunemente usate per la densità. Ricordare la definizione ed il valore del numero di Avogadro (atomi presenti in una mole di materiale) Conoscendo peso atomico e numero di Avogadro, possiamo calcolare quanti atomi vi sono in un grammo di materiale: atg U N [ at/ mol] = [ at/ g] = AW [ g/ mol] U
Ex 1.2. Numero atomi e quindi, conoscendo la densità (g/cm 3 ), quanti atomi vi sono in un cm 3 : N = atg ρ at cm = at g g cm U U U 3 3 [ / ] [ / ][ / ] Risultato: N U = 4.82 10 22 at/cm 3
Ex 1.3. Legami Calcolare il carattere del legame SiO 2 Svolgimento Dati: grafico delle elettronegatività degli elementi o tavola periodica E Si = 1.8 E O = 3.5
Ex 1.3. Legami Quando siamo in presenza di legami IONICO/COVALENTI, l elettronegatività ne può determinare il carattere. In particolare, il grado di covalenza è dato da: 2 E %cov= 100exp [] = [] 4 L equazione è quella di una curva a campana SIMMETRICA detta Gaussiana 100 80 %cov 60 40 20 0-10 -5 0 5 10 E
Ex 1.3. Legami Ovviamente possiamo valutare indistintamente E=E Si -E O oppure E=E O -E Si. Quello che conta è infatti il valore assoluto di questa differenza, come chiaro dalla formula. Risultato: %cov = 48.6%
Ex 1.4. Espansione termica Calcolare l allungamento e la variazione di volume in una barra di alluminio cilindrica del diametro di 1 m e lunghezza 2m a seguito di un aumento di temperatura di 50 C. Considerare α = 24 10-6 C -1 Svolgimento Dati: l 0 = 2 m D 0 = 1 m T = 50 K α = 24 10-6 C -1 L espansione termica è dovuta alla componente non armonica di oscillazione degli atomi attorno alla posizione di legame (nell ipotesi armonica, l espansione termica è nulla!) Ricordare che α = 1 dl LdT e che possiamo quindi scambiare C con K Definiamo la deformazione INGEGNERISTICA come allungamento rispetto alla lunghezza iniziale del provino: ε = l l l 0 0
Ex 1.4. Espansione termica Conosciamo il legame tra dilatazione termica e deformazione, ricavabile dall analisi delle curve di legame e dall analisi di curve dilatometriche. In una approssimazione lineare ε = α T = K K 1 [] [ ][ ] dove α è il coefficiente di dilatazione (espansione) termica lineare. L allungamento sarà quindi valutabile come: l = l l = l = T l m = K K m 1 0 ε 0 α 0 [ ] [ ][ ][ ] Per un materiale ISOTROPO il coefficiente di dilatazione di volume, trascurando termini di ordine superiore, è valutabile come 3α dove α è il corrispondente coefficiente di espansione lineare. L espansione di volume sarà perciò, analogamente a quanto sopra, V = T V m = K K m 3 1 3 3 α 0 [ ] [ ][ ][ ] Ricordare che la deformazione è definita come numero puro (talvolta viene esplicitamente indicata come rapporto tra lunghezze), mentre allungamento ed espansione di volume hanno la loro unità di misura!
Ex 1.4. Espansione termica Volume dei solidi più comuni: Parallelepipedo h a b h a b Cilindro h D (diametro di base) 2 π D h 4 Sfera r (raggio) 4 3 π D π r = 3 6 3 Risultato: l = 2.4 mm V = 2.8 dm 3
Ex 1.5. Legge di Hooke Un cilindro di alluminio (α=24 10-6 C -1, E = 70GPa) del diametro di 5 mm e lunghezza 3.000 cm viene raffreddato da T amb =20 C per poter essere inserito tra due appoggi distanti 2.995 cm. A che temperatura deve essere portato? Quale sarà lo sforzo sugli appoggi a temperatura ambiente? Svolgimento Dati: l 0 = 3.000 cm D 0 = 5 mm l = 2.995 cm α = 24 10-6 C -1 E Al = 70 GPa Per rispondere alla prima domanda utilizziamo la definizione di allungamento. Per poter essere inserito tra gli appoggi il cilindretto dovrà accorciarsi (allungamento NEGATIVO) di almeno l = l l0 = 2.995cm 3.000cm= 50µ m L allungamento dovrà essere completamente termico e quindi: l l [ m] ε = = α T T = [ K] = l α l K m 0 0 1 [ ][ ] Risultato 1: T = -69.5 K quindi T = -49.5 C (almeno)
Ex 1.5. Legge di Hooke Partiamo ora con il cilindro che tocca gli appoggi (cioè lungo 2.995 cm) e riscaldiamo fino a temperatura ambiente (questa volta avremo perciò un allungamento). Supponendo che tutta la deformazione subita dal provino sia immagazzinata sotto forma di energia elastica, possiamo utilizzare la legge di Hooke: σ l = E ε = E [ Pa] = [ Pa][] l 0 Moltiplicando lo sforzo per l area della sezione del cilindro possiamo pure conoscere la forza con la quale il nostro cilindretto preme sugli appoggi (ca. 1.15 kn su ogni appoggio). Risultato 2: σ = 116.9 MPa
FINE