Deiizioe imite Approccio Ituitivo Ma mao il valore di si avvicia a il valore di si avvicia a Possiamo precisare meglio: 5 5 5-,968377 4,87459,549,99 4,96,399,996838 4,98736,639,999 4,996,3999,999684 4,998735,65,9999 4,9996,4,999968 4,999874,6,99999 4,99996,4
Deiizioe imite 3 5 3 y 3 3
y Deiizioe imite 3
Deiizioe imite 3 e altre combiazioi : Esempi: 3 y y y l l 4
Deiizioe Uitaria Topologica Deiizioe imite 4 : A X Y ' Sia e sia isieme derivato di A allora vale: A Se per ogi itoro U Y issato, esiste u itoro I X tale che I X U Y 5
Deiizioe imite 5 I R, el caso di ed iiti abbiamo: I X U Y I Diveta u itoro serico di di raggio δ : Diveta u itoro serico di di raggio ε y y U : Per cui la deiizioe diveta deiizioe ε-δ di Cauchy - Weierstrass: e quidi: I : I U U : : 6
imiti iito iito + ε - ε - δ + δ I : I U U : : 7
imiti =+, iito + ε - ε U I : I U : : i questo caso diciamo che y= è u Asitoto Orizzotale per a + 8
imiti =-, iito + ε - ε U I : I U : : i questo caso diciamo che y= è u Asitoto Orizzotale per a - 9
imiti iito, + - δ + δ I I U U : : : i questo caso diciamo che = è u Asitoto Verticale per
imiti iito, - U U U U : : : i questo caso diciamo che = è u Asitoto Verticale per - δ + δ
imiti +, + U I : I U : : e
imiti -, + U I : I U : : 3 3
imiti -, - U I : I U : : 3 4
imiti +, - U I : I U : : log 5
6 imite destro e siistro imite destro imite Siistro Va scelto u itoro destro di : : Va scelto u itoro siistro di : : : : : :
imite per eccesso e per dietto imite per eccesso : : Va scelto u itoro destro di imite per dietto Va scelto u itoro siistro di : : 7
imiti di Successioi De. Ua successioe è ua uzioe da NR Es. a : N R ad associa : a a È possibile avere i iti ache per le successioi, l uico puto di accumulazioe di N è +, per cui il ite si può are solo quado tede a + Si hao allora 3 possibili risultati: a a a iito o esiste a successioe è detta CONVERGENTE a successioe è detta DIVERGENTE a successioe è detta IRREGOARE 8
a imiti di Successioi Covergeti iito Es. e Deiizioe: U, I tale che I U, tale che si ha a Es. Basta scegliere come il più piccolo itero maggiore di /ε 9
a Deiizioe: imiti di Successioi Divergeti Es. 3 l U [ ou ], I tale I U [ ou ] che, tale che si ha a [o a ] Es. l l e e Basta scegliere come il più piccolo itero maggiore di /ep
Successioi Irregolari Es. a si a
Esisteza ed Uicità del imite No sempre il ite di ua uzioe esiste: si o esiste si o esiste si o esiste
Esisteza ed Uicità del imite No sempre il ite di ua uzioe esiste: o esiste Però: N.B. : o è ecessario che la uzioe sia deiita el puto a cui tede la. uica richiesta è che questo valore sia u puto di accumulazioe del campo di esisteza della uzioe. si si 3
Esisteza ed Uicità del imite b/3 si 4
5 Esisteza ed Uicità del imite 3/3 Aichè il ite di ua uzioe esista deve essere che il ite destro e siistro esistao e che debbao essere uguali: Se ua uzioe è pari ed = basta dimostrare l esisteza del ite destro aiché esista il ite. : allora é pari se : y pari y y co y y
Teoremi sui imiti Teorema di uicità. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, allora questo ite è uico Teorema di esisteza per uzioi Mootoe [o DIM]. Se ua uzioe è mootoa crescete i u itoro destro U + del puto, allora esiste il suo ite per + e vale: U I Teorema della permaeza del sego. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, co positivo egativo, allora esiste u itoro di i cui è positiva egativa. 6
Dimostrazioe Teorema Uicità Teorema di uicità. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, allora questo ite è uico Dim. Per assurdo ammettiamo l esisteza di due iti distiti Per la deiizioe di ite abbiamo: Sia: co, : : : : mi, Allora la e la valgoo cotemporaeamete per ogi : - <δ. Ne segue che per tali : Ma da ciò segue che: a qual cosa ega l arbitrarietà di ε. c.v.d. 7
Dim. Sia : Dimostrazioe Teorema Permaeza del sego Teorema della permaeza del sego. Se ua uzioe ammette ite per tedete a, co positivo egativo, allora esiste u itoro di i cui è positiva egativa. U : U Scegliamo ε, data l arbitrarietà,i modo tale che - ε>. Ne segue che la >. Dimostrazioe aaloga vale el caso di egativo. c.v.d. 8
Teoremi sui imiti Teorema del coroto. Siao,g,h tre uzioi co puto di accumulazioe dei loro tre isiemi di deiizioe. Se: Se esiste u itoro U tale che: g h Se Allora g h 9
3 Dimostrazioe Teorema del coroto h g Teorema del coroto. Siao,g,h tre uzioi co puto di accumulazioe dei loro tre isiemi di deiizioe. Se: Esiste u itoro U tale che: g h Allora Se Dim. g c.v.d. Se g U U : h Se h U U : Allora: U U U h g I particolare Il che dimostra la tesi
Teoremi sui imiti 3 Teorema del coroto. Siao,g,h tre uzioi co puto di accumulazioe dei loro tre isiemi di deiizioe. Se: Esiste u itoro U tale che: g h Se Allora Applicazioi: si si Poiché : g h, k - si k Poiché la uzioe si/ è pari basta dimostrare il ite destro per U si 3
Teorema del coroto si 3
Applicazioi: imite Notevole si/ si Poiché la uzioe si/ è pari basta dimostrare il ite destro si ta per imite Notevole U O A C B D Dividedo per si: Poiché : si si cos cos per U per U cos si AC AD BD si ta 33