M. Cerini - R. Fiamenghi - D. Giallongo Quaderno operativo Trevisini Editore
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Numeri relativi esercizi e attivita` per il recupero e per il potenziamento Preceduti dal segno + Preceduti dal segno se se Numeri positivi zero Numeri negativi comprendono NUMERI RELI RELTIVI con essi È sempre possibile effettuare si suddividono in le operazioni di Numeri irrazionali relativi 5; +... 7 Numeri razionali relativi 4 + ; 05, ; 9 7 + 78, ;... che contengono Numeri interi relativi +5; -... ddizione algebrica Divisione Moltiplicazione Elevamento a potenza da cui Notazione scientifica Radice quadrata
4. Numeri relativi recupero Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo.. Completa la retta orientata e usala per risolvere le seguenti operazioni (ricorda che il segno + ti fa spostare verso l alto e il segno - verso il basso). +5 +4 + + + 0 4 5 a) + 7 + 4 posizionati su + 7 e spostati verso l alto di 4 unità, scrivi il numero che corrisponde alla posizione di arrivo: + 7 + 4 =... b) + 5 - posizionati su + 5 e spostati verso il basso di unità: + 5 - =... c) + 9 - posizionati su + 9 e spostati verso il basso di unità: + 9 - =... d) - 9-6 posizionati su - 9 e spostati verso il basso di 6 unità: - 9-6... e) - 5-4 posizionati su - 5 e spostati verso il basso di 4 unità: - 5-4 =... f) - 8 + posizionati su - 8 e spostati verso l alto di unità: - 8 + =... g) - + 7 posizionati su - e spostati verso l alto di 7 unità: - + 7 =... h) + - 0 posizionati su + e spostati verso il basso di 0 unità: + - 0 =... i) - 0 + 4 posizionati su - 0 e spostati verso l alto di 4 unità: - 0 + 4 =.... Esegui le addizioni utilizzando la retta orientata: + + 7 =... + - 7 =... - + 7 =... - - 7 =... + - =... - + =... + 8 + =... + 8 - =... - 8 + =... - 8 - =.... Facendo riferimento agli esercizi precedenti completa le frasi (utilizza i termini assegnati): somma - differenza - maggiore - concorde - se si addizionano due numeri relativi concordi si ottiene un numero... agli addendi che ha per valore assoluto la... dei valori assoluti; - se si addizionano due numeri relativi discordi si ottiene un numero che ha il segno dell addendo con valore assoluto... e come valore assoluto la... dei valori assoluti. 4. Risolvi le seguenti addizioni seguendo le indicazioni. a) + 5-8 + 5 ha valore assoluto maggiore di - 8, il risultato ha segno + ; il valore assoluto del risultato è la differenza tra 5 e 8; quindi: + 5-8 = +... controlla il risultato sulla retta orientata. b) - 8 + - 8 ha valore assoluto maggiore di +, la differenza tra 8 e vale 7; quindi il risultato è: - 8 + =... 7 controlla il risultato sulla retta orientata. c) + - 5-5 ha valore assoluto maggiore, la differenza tra 5 e vale...; quindi il risultato è: + - 5 =... controlla il risultato sulla retta orientata.
. Numeri relativi 5 d) - + 9 + 9 ha valore assoluto maggiore; la differenza tra 9 e è...; quindi: - + 9 =... controlla il risultato. e) + 5 + 8 il risultato è positivo come gli addendi e il suo valore assoluto è la somma di 5 e 8; quindi: + 5 + 8 = +... controlla il risultato. f) - 5 - il risultato è negativo come gli addendi; devi sommare i valori assoluti 5 e ; quindi: - 5 - = -... controlla il risultato. g) - 9-7 devi sommare i valori assoluti 9 e 7; quindi: - 9-7 = -... controlla il risultato. Esegui le seguenti addizioni (procedi come nell esercizio precedente). 5. + - 9 =... + 9 + =... 6. - - 5 =... - 5 + =... 7. + 8-0 =... - 7 - =... 8. - 6 - =... + 5-9 =... 9. Esegui le seguenti addizioni seguendo le indicazioni. a) + + 4 scrivi gli addendi in forma semplificata, determina il m.c.d. (minimo comune denominatore) tra e 4, esegui il calcolo: + = + 8... = 4 b) + + + 5 scrivi gli addendi in forma semplificata, determina il m.c.d. tra 5, e, esegui il calcolo sommando prima i due addendi negativi e poi quello positivo:... = + 0 =... 0 c) 7 + + + ( ) 6 8 scrivi gli addendi in forma semplificata, determina il m.c.d. tra 6 e 8; esegui il calcolo sommando prima i due addendi negativi e poi quello positivo:... 48....... = = 4... Risolvi le seguenti addizioni (procedi come nell esercizio precedente): 0... + 4 + + 7 4 8 + + 5 + ( + ) 7 + + + + 0 4 5 9 + + + 4 ( ) 4 9 + + + 9 4 + + 5 + + 7 4 8. Risolvi le seguenti addizioni algebriche seguendo le indicazioni. Ricorda le regole per l eliminazione di una parentesi: I) se è preceduta da una segno +, si eliminano il segno + e la parentesi e non si cambiano i segni dei numeri interni alla parentesi; II) se è preceduta da un segno -, si eliminano il segno - e la parentesi e si cambiano i segni dei numeri interni alla parentesi. ESEMPIO a) + + (- 4 + 5-8) = + - 4 + 5-8 =... b) (+ 6 + - ) - (+ 5 - + ) = + 6 + - - 5 + - =... a) (+ + ) + (- + - 6) togli le parentesi senza cambiare i segni interni: + + - + - 6 raggruppa e somma tra loro i positivi e i negativi: + + + -... -... = +... -... scrivi il risultato:... [ + ] b) - - 5 - (+ 8 - - + 7) togli le parentesi cambiando i segni interni: - - 5-8 +...
6. Numeri relativi raggruppa e somma tra loro i positivi e i negativi: - - 5 -... =... scrivi il risultato:... [ - 8] c) + + 4 5 = elimina le parentesi cambiando i segni interni: + 4... determina il m.c.d. tra 4; e 5 e calcola la somma: + 5 0+ 0 = + 7 50 =... 0... d) + + + 5 6 4 elimina le parentesi applicando correttamente la regola:... determina m.c.d. tra ; 6; e 4 e calcola la somma:... se hai eseguito i calcoli correttamente ottieni 4. Risolvi le seguenti addizioni algebriche di numeri interi. 4. (7-9 - - 5) + 7 (+ + 4 - ) - (7 + 6 - ) 5. - (- + 0 + 8) - (- 5 + 4-9) (- 4-0) + (+ 8-4) - (- 7 + 8-6) 6. (- + 0) + 7 - (- + 4 + 8) ( - 5 + 6) - (9-8 + 4) + 7. ( - 6 + 5) + (8-0) - 0 - ( + 4-0) + (- 7 + 4-6) 8. 7 - (- + 8) + (4 - ) - ( - 4 + 5) + (- 8 - + 5) [ + ] Risolvi le seguenti addizioni algebriche di frazioni. 9. 0... + 4 4 + + + 8 8 4 + + + 5 5 + + 4 7 + + + 6 + 7 5 4 4 + 5 + + + + 7 6 4 5 0 + + + 4 + 5 8 + ; + + ; 5. + + + 7 0 9 8 4. Completa la regola dei segni per la moltiplicazione. (+) (+) =... (...) (-) = - (-) (...) = - (...) (-) = + 5. Risolvi le seguenti espressioni, contenenti anche moltiplicazioni, seguendo le indicazioni. a) (+ 4 + 7-5) (- 4 + 7-0) risolvi le addizioni algebriche nelle tonde:... (+...) esegui la moltiplicazione applicando la regola dei segni:... b) 7 4 + + + 0 5 7 risolvi le addizioni algebriche nelle tonde:... +......... 0 4 semplifica in croce, moltiplica poi i numeratori e i denominatori tra di loro e applica la regola dei segni:...
. Numeri relativi 7 Risolvi le seguenti espressioni contenenti anche moltiplicazioni. 6. (+ + - 6) (+ 4-5 + 6) (- 4 + ) [ + 0] 7. (- 7 + - ) (+ - 5) (+ + 4-8 + ) [0] 8. 5 + + 6 5 8 6 7 + + + 5 + 5 5 6 5 ; + 8 0 9. + 4 + 5 7 + + 7 5 + ; + 5 0. 5 + + 4 5 5 4 6 9 6. 5 + + 5 6 5 4 5. 5 + + + 4 9 6 7 5 0 4. Completa la seguente tabella scrivendo per ogni numero relativo l opposto e il reciproco (procedi come nell esempio). NUMERO + 0 OPPOSTO 0 RECIPROCO O INVERSO + 0 5 7 + 4 + 6 +... 4. Completa le frasi. a) L opposto di un numero relativo si trova cambiando il... b) Il reciproco o inverso di un numero relativo frazionario si ottiene scambiando il posto del numeratore e del... 5. Risolvi le seguenti espressioni, contenenti anche divisioni, seguendo le indicazioni. + 9 8 + 4 5 + 4 -...... + 5 a) + : + 7 5 esegui l addizione algebrica:... : + 5 moltiplica il risultato dell addizione algebrica per il reciproco di... +... = + e scrivi il risultato: b) + + 5 : 7 6 : 5 4 esegui le addizioni algebriche contenute nelle tonde:... :... :......... 5 6 5 =... esegui la divisione nelle quadre capovolgendo il divisore:... 6 :... 5...
8. Numeri relativi esegui l ultima divisione capovolgendo il divisore:... se i tuoi calcoli sono esatti ottieni 5. Esegui le seguenti espressioni. 6. 49 7 + 6 : 7 9 5 5 4 7. 8. 9. 40. 4. 7 + 7 : + 8 4 4 8 + + + 4 5 : 4 5 + 5 9 5 : + 6 4 5 5 + + 6 8 : : + 7 + 4 5 7 7 4 : 5 + 5 5 4 7 0 4. + : + 6 8 4. Risolvi le seguenti potenze, svolgendo le relative moltiplicazioni (segui le indicazioni): 5 a) d) = =... = 5 5 6 6 6 = +...... 7 + 8 b) + = + e) + 4 4 4 = +...... 4 c) = f) = +...... + 4 5 = + = 4 + 4 + 4 5 5 5 = +... 5 =...... Risolvi le seguenti potenze. 44. (- ) 4 =... (+ ) =... (- 5) =... 0 5 9 8 45. =... + =... =... 7 46. + =... =... =... 5 6 5 47. =... + =... =... 7 9 8 4 9 48. =... =... + =... 0 0 0 49. Risolvi le seguenti espressioni, contenenti anche potenze, seguendo le indicazioni: a) : + 8 l elevamento a potenza ha la precedenza rispetto le altre operazioni; quindi: 8 :......... +...
. Numeri relativi 9 esegui la divisione e riscrivi l addizione: 8... esegui l addizione algebrica:... b) + + 8 : 4 esegui le addizioni algebriche nelle tonde:...... : 4... esegui la divisione ed eleva alla seconda il risultato: 9... + 6 c) + 5 : 4 risolvi le operazioni nelle tonde e nelle quadre ed eleva alla seconda : Risolvi le seguenti espressioni. 50. : 7 4 5....... eleva alla seconda il risultato delle quadre ed esegui la divisione:... 5 d) + + 6 : : 6 8 8 esegui le addizioni algebriche nelle tonde ed eleva alla seconda 6 8 :...... esegui la divisione nelle quadre ed eleva alla seconda il risultato:... esegui l ultima divisione: +... + + 5 + 6 4 7 8 5. 5. 5 8 5 + : 5 4 5 54 : 5 + 6 54. + : 6 5 0 7 + 7 0 4 4 55. + + + 5 8 9 00 Risolvi le seguenti espressioni.. (0, - 0,) - (0,4 + +,5) - (0,8-0,86). (0,8 - ) - [ - (0,6-0,46) - (0,6-0,75)] potenziamento. 0, - {-,6 - [- 0,5 + ( + 0,6) - (- + 0,0) - ]} [4] 4. 5. 6. { } { } + 6, 6, 0 5, 05,, 6 5 5 4 + 4 4 + 5 + 5 + + + + 77 80 5 + 5 4 4 48 { 67} 7 4 5 4 + + 9 { 5 5 } + 7. + + 8 6 0 5 [0] 7 4 7
0 8. 9. 0.... Numeri relativi { } 4 7 8 5 6 0 0 5 + 6 5 4 6, + 7 + 9 4 5 5 +, + 7 { } + + + + + 0 0 0 5 0,, + + + + 6 9 5 5 7,, { } 5 0 05 7,, + + 06, + + + 5 6, 4 5 4 9 0 9 9 7 0. -,5 (- 9, + 4,) : (- ) - [, + (5,64-8,6) : (- 0,4)] : (- ) [-,5] 4. 5 +,5 - {[ - 5,5 : (5,9-0,9) + 6,4] +,8 : (- 6,6 + 4 +,)} [ + 7,] 5. { [, + 4 0,7 - (, + 5)] - [5,8 - (0,9-0,6) ] } : (+ 0,4) [- 9] 6. {,5 + [(,4 -,7-0,) : (- 0,4) + 0,] : (-,)} : (+ 0,) [,5] 7. 4 0 5 0 5 0 5, + +, [ (, ), ]+ :( 5, ) 8 8. + + 5, 8 :, 0, 6 : 0, 4 5 04, 6 9. 0 + 9 0 5 + 080 :,, : 0, + ( ) + 0, : 0, 5 9 4 0. : 0, 6+ ( 5, ) : 5, 5 05, 4 { : 7},. ( ) + 0 5 0 0 6 {,,, : 5 [, :, 4 0, 7] }: 0, 86. (- 0,5-0,) [0,4 + (- + 0,5) + 0,4] : [0, + (- ) (-,)]. 4. 5., + 46, : 0, 5, 0, 4 0, 75, 4 ( + ) ( ) + { }: 5 4 + 5 6 7 7 4 5 8 7 0 5 + 4 : 9 + 7 4 { } + + : : 9 4 4 5 + 6 + ( ) 7 4 + 5 8 5 [9] 6 9 55 54 4 5 6. 7. 8. 08, :( 04, ) 0, 5 + 7 + + ( ) + 075, :( 05, ) + 0,, 6 : 0, 6 0 [ ( )] ( ) 0, : + ( 0, ) : 0, 0, 6 ( ) : 05, ( ) ( ) + ( ) 4 9 : 9 4 + 5 4 5 5 9. ( ) 08 5 09 5, :, : : 0, 05, + 06, 4
. Numeri relativi 0.... 7 0 7 : 6 : 5 + + : 9 5 5 : 4 : 5 50 + 5 + 6 + 5 + 6 4 4 + 5 + ( ) : 5 6 4 4 8 + : : + 4 4 + + 0 5 + 4 + + : 4 9 : + + 9 7 9 8 ( ) 4 4 9 0 8 5 6 4. + + 4 5 + 6 9 96 5. 6. 7. 8. + 5+ [ ( 6+ ) + ( 0+ 4) + ] 6+ 8 { [ ( 9+ 6) + ( 4 + 7) ] 9}+ + + + 5 5 4 + 7 : 4 8 : + + 4 4 5 + 5 5 + 6 5 + 6 5 5 ( ) 8 + : : 9 4 + 7 : 47 4 6 8 5 9 9 4 ± ± ± 4 5 [± ] 5 9. ngelo e Corrado si sfidano a un gioco di precisione che consiste nel centrare una buca con 0 palline ciascuno. d ogni lancio si tirano 5 palline e ogni centro vale: - punti per ciascuna pallina del primo lancio - 4 punti per le seconde cinque - 8 punti per le terze cinque - 6 punti per le ultime cinque. Ogni errore corrisponde a una penalità di punti. Osserva la tabella e determina il punteggio finale di ogni giocatore (assegna a ogni centro un valore positivo e a ogni errore un valore negativo ). LNCIO LNCIO LNCIO 4 LNCIO NGELO buche buche 4 buche buche CORRDO buca 4 buche 5 buche buche
. Numeri relativi 40. La tabella riporta le operazioni effettuate sul conto corrente di Caterina nel periodo che va dal al 0 novembre 009. DT OPERZIONE IMPORTO (IN EURO) novembre 009 Versamento 00 7 novembre 009 Versamento 850 9 novembre 009 Prelievo 500 0 novembre 009 Prelievo 0 novembre 009 Versamento 740,50 0 novembre 009 Prelievo 950 a) Scrivi e risolvi l espressione che indica quanti euro sono sul conto corrente di Caterina dopo il 0 novembre 009. b) Sapendo che il saldo di quel conto all novembre 009 era di 780 euro, calcola: - il saldo attuale - il saldo al novembre - il saldo al 5 novembre. 4. In un laboratorio un oggetto avente una temperatura iniziale di 4 C sotto lo zero viene raffreddato e la sua temperatura scende di 6 C; poi, subisce due riscaldamenti successivi: il primo di C e il secondo di 5 C. questo punto subisce un ultimo raffreddamento di 9 C. Qual è la temperatura finale dell oggetto? Scrivi le espressioni che corrispondono ai seguenti passaggi e risolvile. 4. lla somma di - con + 7 sottrai la differenza tra - 5 e + 8. [ + 8] 4. Dalla somma di + 5 con 9 togli la differenza tra - e + 6; al risultato aggiungi la somma di - con - 4. [ ] 44. lla differenza tra e aggiungi la somma di con 4 ; al risultato togli 7. 5 0 5 45. Determina il numero che aggiunto alla differenza tra e dà come risultato 6 5 4 5. 46. Qual è il numero che sottratto alla somma di e 4 dà come risultato 7 4? 47. Quali sono i due numeri che hanno come somma - 7 e come prodotto? 48. Quali sono i due numeri che hanno come somma e come prodotto - 56? 49. Quali sono i due numeri che hanno come somma - 7 e come prodotto 0? 0 0 + 5 6
Il calcolo letterale esercizi e attivita` per il recupero e per il potenziamento Somme algebriche Completi Ordinati Possono essere POLINOMI + a ab 5x 7 utilizzando regole e procedimenti si possono effettuare Moltiplicazioni Divisioni Omogenei la somma algebrica di due o più monomi non simili Prodotti notevoli Uguali Somme algebriche ab; ab Opposti x ; + x 5 5 5 5 Possono essere MONOMI 7 ab; 5 9 x y utilizzando regole e procedimenti si possono effettuare Moltiplicazioni Divisioni Simili Espressioni che +ax; ax non contengono addizioni e sottrazioni Elevamento a potenza Coefficiente Parte letterale
4. Il calcolo letterale recupero MONOMI Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo. Un monomio è il prodotto di un fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse. ESEMPIO a) ab + ac NON è un monomio, perché presenta l addizione algebrica; 5 7 b) + 9x y è un monomio in cui + 9 è il coefficiente e x y è la parte letterale.. Tra le seguenti espressioni letterali contrassegna i monomi. 5x y + a - c xy z 0 5 ab -m - n 4 5 am 7 ab - n 4 a c 4 m 6. Osservando l esempio completa la tabella relativa ai monomi dell esercizio. MONOMIO COEFFICIENTE PRTE LETTERLE 5x y + 5 x y xy z 0 5 ab 4 5 am 7 - a c 4 m 6 - In ogni monomio si distingue un grado complessivo (somma degli esponenti delle sue lettere) e un grado rispetto a una lettera (esponente di quella lettera) ESEMPIO Nel monomio 5x y : il grado complessivo è ( + ) = 5 il grado rispetto alla lettera x è il grado rispetto alla lettera y è.. Procedi come nell esempio per completare la tabella. MONOMIO COEFFICIENTE 5 6 acz 4 4 0,6b m 4 x - c 4 n y z x y z 5 5 4 GRDO RISPETTO LLE LETTERE a b c m n x y z GRDO COMPLESSIVO 0 5 0 0 0 0 6 + 5 + 6 = 4 6 abc 4 5 7 mny 7
. Il calcolo letterale 5 Risolvi le seguenti addizioni algebriche tra monomi seguendo le indicazioni. 4. xy x xy + x si devono mettere in evidenza e contrassegnare allo stesso modo i monomi simili (cioè con la stessa parte letterale): xy x xy + x 5. si sommano i coefficienti dei monomi simili: ( ) + xy... x... +... x 6 si scrive il risultato che è formato da due monomi:... 4 a b + b a b contrassegna allo stesso modo i monomi simili e sommali: a+ +...... b...... a + 6 b scrivi il risultato composto da due monomi:... a+ b 6 6. elimina le parentesi applicando adeguatamente le regole: c cx +... +... +... contrassegna e somma i monomi simili:...... 5 c + cx + y 4 7 scrivi il risultato composto da tre monomi:... Risolvi le seguenti addizioni algebriche. 7. a + b 7a + 0a 5b+ 8b [a + 5b] 8. 5 c + cx cx c y ( ) + + 4 7 9 5 5 c + cx+ y 4 7 x + y 8x y + 5x + x y 4y [4x - 6x y - y ] 9. 4mn - 7mp + 5mn + 8 - mp - mn - [6mn - 9mp + 6] 0. + a + (- a) - (- 5b) - (+ 8a) + (- 8b) + (+ b) [- 7a]. x - (- 4y ) - (+ 5x ) + (- x) - (- 0x ) + (- 7y ) [5x - x - y ].. 4. 5. 6. 7 7 ax 5 a 4 ax + 6 a ax + a 7 7 7 m ab+ m 5m + ab ab m ab 6 6 7 4 7 5 a+ x a+ a+ x 4 y ( bc) + y bc y + + 5 4 mn 4 ( m ) + n mn m 6 + 5 n 9 0 4 ax a y [4x + ] + bc 7 m + mn n 5 7. Ossserva lo svolgimento dei seguenti prodotti di monomi e completa la frase. a) 5 5ab c ( + a bc ) = ( 5) ( + ) ( a) ( a ) ( b ) (b) ( c ) ( c ) =5a b c b) + + = 9 5 9 xy x y xy 5 5 0 6 + ( x) ( x ) ( x) ( y ) ( y ) ( y) = 5 x y 0 5 64 oppure più velocemente: 4 8 8 c) a x y xy ax = + + + + 7 9 = 7 9 4 ( ) ( ) ( ) 5 4 a x y 6a x y Il... di due o più monomi è un monomio avente per... il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto... 4 4
6. Il calcolo letterale Completa i seguenti prodotti tra monomi. 8. (- ab) (- 7a) (b) = + a... b... (- x y) (- xy ) (- 5xy) (x y ) = - 0x... y... 9. 0 ( ) a x ax 8 =... a 6 4 x yz 5 ( 6 ) ( )... mn m mn n =+... mn 4 7 9 9 xyz 5 =......... 4 7 5 axy xy axy 9 8 8 =... 5 4 bm a b abm b m 5 8 9 =... x 5 bc abc 7 0 =... Esegui le seguenti espressioni seguendo le indicazioni. 0. (a - 7a) (- b + 5b) (- 4ab + 9ab) riduci i termini simili nelle parentesi: (- 4a) (+...) (...) esegui le moltiplicazioni e scrivi il prodotto:... [- 60a b ]. a ( 6x ) x ( a x) + 4a ( ax ) + 5a x esegui le tre moltiplicazioni e riscrivi l'ultimo monomio: - a x +... -... + 5a x riduci i monomi simili e scrivi il risultato: (- + - 4 + 5)... [a x ] Risolvi le seguenti espressioni ricordando le indicazioni degli esercizi precedenti.. - c - c (- c) - c (+ a b) - c (- 5c) + a (+ bc) [7c ] 4. 8 4 5 4 5 4 5 4 x y ( xy ) + ( 5x y + 0x y ) x ( xy ) (x y) x y 5 5. 4 5a ab a ab ab ( a ) + ab + 4 6. 5 4 4 m n m n mn mn mn p mn p mnp 4 + 8 7. 5 7 + 7 + x y + 4 xy xy 5x y x y xy x y 9 8. 0 + [- a b 5 c] 5 + 4 9 + 5 ab c ( ab ) a bc ( b ) ( a b c+ a b 5 c) 9. Completa gli esempi e le frasi relativi alle potenze di monomi. a)... 6 ( ab) = ( ) ( a) ( b) = + 9a b 4 b) = 4 4...... x y ( x ) ( y ) =+ x y 5 5 5 c) =...... mn ( m) ( n) = m n... Per elevare a potenza un monomio si eleva a potenza sia il... che la parte... del monomio dato.. (- a 4 b x + 8a 4 b x ) + + 8 4 4 + abx a bx a x b riduci i termini simili nella prima parentesi ed esegui le due moltiplicazioni: 6... - 4... -... riduci i termini simili e scrivi il risultato: 64... 4 4 abx
. Il calcolo letterale 7 Calcola le seguenti potenze di monomi. 4 0. x y =+... 4 ( mn) 5 5 =m... 6. Segui le indicazioni per risolvere le espressioni con potenze di monomi.. (5x) (- x) - x (- x) + 8x (- x) 4 + 5x 5. ab =... 4 4 ay =+... 7 4 x y z =... esegui le potenze di monomi: 5x ( x ) x + (...) + 8x (...)+ 5x 5 esegui le moltiplicazioni: - 5x 5 -... riduci i termini simili e scrivi il risultato: (- 5 -...)... [0] x y 5 5 + ( ) xy z y xyz xy z xy z 8 4 risolvi le prime due potenze e riduci i termini simili nell'ultima parentesi: + 4 bc =... 4 5 ab =... 6 =... 5 +... + y... (...) 4 8 esegui la moltiplicazione e risolvi la potenza:... riduci i termini simili e scrivi il risultato: 4... x y z 6 4. 5 5 5 5 ( + ) + 9 6 a b 6a b a b a b + a 5 ( b) riduci i termini simili nella prima parentesi ed esegui le potenze:... esegui la moltiplicazione:... riduci i termini simili e scrivi il risultato:... [0] Utilizzando le indicazioni degli esercizi precedenti, risolvi le seguenti espressioni. 5. b (- b + 5b) - b (- 7b) + (- b) 4 + b (- b) + (- b ) [b 4 - b ] 6. 7. 8. 9. ( mn mn + 8mn) ( + 4a a ) + mn 8a a 5 ( + ) xy xy xy ( ) ( ) ( ) y + x y + x y 5 ( y ) ab a a b ab a ( ) ( ) ( ) ( ) ab 4 4 5 4 ( mn) ( mn) + mn 0mn 5 + mn 0 4 6 4 [- 6a mn] 7 x y 5 9 6 ab 6 [- 9m 8 n 4 ]
8. Il calcolo letterale 40. 5 + + a ab ab + ( a 55 ) ab a ( ab) + a ( ab) ab 9 4. Completa gli esempi e la frase relativi a divisioni fra monomi. a) 4 5 4 4abc : 8abc = ( 4):( 8) ( a):( a) ( b):(b) ( c 5 ): ( c ) = a b... b) 5 4 5 5 5 4 x y : x y : ( x ):(... 9 =...) ( ):( ) =. 9 y y 5 9 x y =... 4 55 oppure più velocemente: 6 4 9... c) x y z : xyz x y 9 =.. z... =... Il quoziente di due... è un monomio avente come... il...... dei coefficienti e come parte letterale il... Esegui le seguenti divisioni tra monomi. 4. 4. 44. 45. 5ab 4 : ( 5ab ) =... 0x 7 y 5 z 6 : ( 5x 4 y z 4 ) =... x y c 8 4 = 9 9 : x yc... 4 4 5 6 x y : x y 6 =... 4 8 5 7 7x y : ( x y ) =... 6ab 8 5 : ( + 4ab 6 ) =... 5 0 8 7 0 5 a b c : a b c 8 7 =... 5 7 4 abc : + ac 8 =... Segui le indicazioni per risolvere le seguenti espressioni con le potenze. 46. 47. 48. 5 4 [ 7ab :( ab) ( 6ab):( ab)] 5ab risolvi le divisioni nelle quadre: [+ 9... - (- 8...)] - 5ab togli le parentesi tonde e quadre, riduci i termini simili e scrivi il risultato:... [ab ] x 4 y x 4 y x 4 y :( 0x y + 8x y + 5x y ) 5 4 riduci i termini simili entro le parentesi tonde: 40... 4 x y :[(...) x y ] 0 esegui le addizioni algebriche poi la divisione e scrivi il risultato:... x y 0 [( ab ) ( 5a b): ( ab) ] : ( 5ab ) + a ( a) risolvi le potenze e la moltiplicazione: [+... : (+...)] : (+...) + a - (+...) esegui la divisione entro le quadre ed elimina le ultime tonde: [+...] :... + a -... eleva alla seconda e poi esegui la divisione:... riduci i termini simili:... [- a ]
. Il calcolo letterale 9 49. 5 mn m 5n mn 5 ( ) + ( ) risolvi le potenze: mn ( +...) + (...) 5 + (...) esegui le moltiplicazioni entro le quadre: [+...] + [+...] risolvi le potenze e l'ultima moltiplicazione:... riduci i termini simili e scrivi il risultato:... [m 0 n 0 ] Ricordando i suggerimenti degli esercizi precedenti, risolvi le seguenti espressioni. 50. [x (- xy) ] : (- x y ) 5. 5. 5. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. [( ): ] : ( 4 ) + ( ) : ( b b b b b ) + 5 b [( a b ): ( ab )] : ( ab) [ a ( ab) ]: ( a b) [ 8x y :( xy) ] + 9x y :( xy) + x y :( xy) 4 4 mn :( m ) mn :( mn) + n 5 7 7 [( ) : ] 5 : 5 4 ax a a x a ax 4 7 5 7 8 4 6 5 + y z : yz y z : yz yz ( y 4 ) 6 4 4 a : a + a c : ac + ( ab) :( ab ) 4 by b b y b : : xy x x x y 4 :[ ( )] : 9 y 8 + 7 x + 5a b ab b ab ab 5 + 4 + 4 5 6 y 4 x 6 9 b [- 6ab] 6 7 6 5 8 [6x 6 ] n 7 4 ax 4 5 5 y z 6 7 4 a y y [9x 4 ] POLINOMI Un polinomio è la somma di due o più monomi non simili. ESEMPIO a) 5a b + ab - 7ab trinomio b) x y xy binomio 4 c) 6mn + 8m n 4-5m - n quadrinomio
0. Il calcolo letterale 6. Completa la seguente tabella relativa al grado dei polinomi. POLINOMIO GRDO COMPLESSIVO PRTE LETTERLE a b x y m n 5a b + ab - 7ab + = 5 0 0 0 0 x y x y 4 6mn + 8m n 4-5m - n 4x 4 y - 6x y + xy bc x y+ by 5 4 7 4 4 6. Completa gli esempi e le frasi relative alle addizioni algebriche di polinomi. a) (- 6ab + 5a - b ) - (+ a + 4ab - b ) = - 6ab + 5a - b - a - 4ab + b =... b) (- m + n ) + (- 5m - 4n + 6mn) - (- 8n + 4mn) = - m + n - 5m - 4n + 6mn + 8n -... = - 7m + 7n +... Per addizionare o sottrarre due o più... si scrivono uno di seguito... riducendo gli eventuali termini... Per eliminare le parentesi si procede in questo modo: se la... è preceduta da un segno +, i termini in essa contenuti non...; se la parentesi è... da un segno -, i termini in essa contenuti cambiano... Segui le indicazioni per risolvere le seguenti addizioni tra polinomi. 6. (b - 5x + 4) + (b - x) - (4b + 8x + 7) elimina le parentesi cambiando i segni dei monomi contenuti nell'ultima parentesi:... evidenzia i monomi simili e riducili: ( + - 4)b + (- 5 - - 8)... + 4-7 scrivi e controlla il risultato:... [b - 6x - ] 64. (x + y ) - (4x + y ) - (x - x) elimina le parentesi:... evidenzia i monomi simili e riducili:... scrivi il risultato:... [x - x] 65. a + ba b a a 5 4 4 + elimina le parentesi: a + ba b... 5 4 4 evidenzia e riduci i monomi simili:... scrivi e controlla il risultato:... a 5 5 a
. Il calcolo letterale Utilizzando le regole e i suggerimenti degli esercizi precedenti, esegui le seguenti somme algebriche di polinomi. 66. (x - y) - y - (x - y + y) [x - y] 67. b - (- 4b + c) + (4b + c) - (4b - c) [5b ] 68. (6x + y + ) - (x - y - ) + (x - y) + y [6x + y + 4] 69. 4 a + x x x a x 5 + 5 + 5 a + x + x 70. 4 4 4 x x y x x x x y x + 4 6 + 4 x + 4x x y 4 7. Completa gli esempi e le frasi relative al prodotto di un monomio con un polinomio: a) - x (- 5ax + xy - 4ay) = + 5ax - 6x y +... b) 5 a b ab 4ab a b ab 4 8 ( ) = + +... Il prodotto di un... per un polinomio si ottiene... il monomio per ciascun termine del... Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio. 7. - xy (x + xy - y ) [- x y - x y + xy ] 7. (b - c + 4d) (- c) [- 4bc + 6c - 8cd] 74. - y (x - 4y + xy) [- 4xy + 8y - 4xy ] 75. a b + a ab 4 6 ab + a ab 4 8 76. x xy + 4y y 4 5 x y + xy y Risolvi le seguenti espressioni seguendo le indicazioni. 77. x (x + y) - x (y + 7x) - (- 4x + y) esegui le due moltiplicazioni ed elimina le ultime parentesi:... evidenzia e riduci i termini simili:... [- y + xy] 78. ( ) + + 4 + a b ab a b a b esegui le moltiplicazioni:... evidenzia e riduci i termini simili dopo aver eliminato i monomi opposti:... b ab 4
. Il calcolo letterale Utilizzando i suggerimenti degli esercizi precedenti, risolvi le seguenti espressioni. 79. - c (6b + bc + c ) + bc (b + 4bc + c ) [b c - c 4 ] 80. a (a - a + a) - (a 4 - a ) + a (a + a) [a ] 8. x (x + y + xy) (- y) - (- 6x y - 6xy ) [- 6x y ] 8. 8. x y xy y x xy + 4x ( ) a ab ab b ab a+ ab b 84. Completa gli esempi e le frasi relative a moltiplicazioni di polinomi: a) (- x + y) (y - x) = - xy + 6x + y - 6xy = 6x + y -... xy x y xy ab 6 7 + ab b) + =+ 6 9 + b ab a a ab a b... 6ab= ab6ab... 9 Il prodotto di due... si ottiene... ciascun termine del primo... per tutti i... del secondo. Esegui i seguenti prodotti di polinomi. 85. (a - b) (a - b) [a - ab - a b + b ] 86. (5a - b + 4c) (a - b) [0a - 9ab + 8ac - 4bc + b ] 87. (x - ) (x + x + 4) [x 4 + x + x - x - 4] 88. Seguendo le indicazioni, risolvi le seguenti espressioni. 89. (x - ) (x + ) + x (4 - x) esegui le moltiplicazioni:... evidenzia e riduci i monomi simili:... [4x - x - ] 90. x+ x y y + a a+ b + ( a + b ) ( a b ) 4 4a b ( ) xy + xy x y + x y 6 9 esegui le moltiplicazioni:... elimina i monomi opposti e riduci quelli simili:... ab
. Il calcolo letterale 9. (x + ) ( - x) (x - ) 9. esegui il primo prodotto e riduci i termini simili nelle prime parentesi: (...) (x - ) =... esegui il secondo prodotto:... riduci i termini simili:... [- 6x + x + x - ] ( a ) a+ ( ) a a+ esegui il primo prodotto: (6a + 6a - a - ) (...) riduci i termini simili: (6a + 4a - ) (...) esegui il secondo prodotto e riduci i termini simili:...... [6a 4 + a + a + 5a - ] Risolvi le seguenti espressioni. 9. (a - 5b) (a - b) - b (- a + 4b) [6a - ab - 7b ] 94. x (x - y) + (x - y) (x - y) - (- y) [5x - 9xy - y ] 95. (a - b) (a + b) (a - b ) - 5 (a b - ab ) [6a 4 - a b + 6b 4 ] 96. 97. x x x x x x x 4 5 5 c c+ c c c ( ) x + x + x 8 4 6 47 c + c 6 6 Osserva gli esempi e completa i seguenti quozienti tra un polinomio e un monomio. 98. 99. a) ESEMPIO ( 0ab 4 + 6ab 8ab 4 ):( ab ) = 4 4 5a b a b + 4a b = 5 b ab + 4b 4 b) ab ab ab a 8 = ( ) : b + 4 8 a b 4 a b + a b = ab + b 4 4 5... ( 5mn mn): ( mn) = m... (4c 4-8c + 6c ) : (- c ) = -... + 4... - 6 5 + = 5 5 5 5 5 5 y y y : y 6+ + 5 5+ y y 5 5 y = 5... + x y x y x y : x y 5 4 4 4 5 ( ) = 4... =
4. Il calcolo letterale 00. (8b c - 4bc + 5b c):(- bc) (0x y 4 - x y 5 + 6x y - x y ):(- 4x y) 0. mn mn + mn : mn 6 4 4 + + x y z xy z x y z : xy z 5 0 5 5 Risolvi le seguenti espressioni seguendo le indicazioni. 0. (5a b - 0a b ) : (5ab ) - a (a - b) risolvi la divisione e la moltiplicazione: a -... - a +... evidenzia e riduci i termini simili:... [a - ab] 0. (- xy + x ):(- 6x) + (x - y) (x + y) risolvi le moltiplicazioni: (- xy + x )... risolvi la divisione:... evidenzia e riduci i termini simili:... [- x + xy] 04. [a (a + b) + 5b (a - b) + (a - b) (b - a)] : (- 6b) risolvi le moltiplicazioni: [6a + ab +... elimina i termini opposti e riduci quelli simili:... esegui la divisione:... [- a + b] Risolvi le seguenti espressioni. 05. [a (a - 4b) - 5a (5a - 4b)] : (- 4a) [4a - b] 06. [9x - 8y (+ x - 4y ) - x (x - 8y)] : (- 6y ) [- y] 07. [5c (b - c) + (b - c) (c - b) + b (b + c)] : (- 6c) [- b + c] 08. [(5m + n) (m - n) - (5m - n) (m + n)] : (- m) [+ n] PRODOTTO DELL SOMM DI DUE MONOMI PER L LORO DIFFERENZ Osserva gli esempi, completa poi la frase e i prodotti notevoli. a) ESEMPIO ( a+ b) ( a b) = 9a 6ab + 6ab 4b = 9a 4b b) 4 x + y x y x x y x 4 4 = 4 8 + 9 6 4 9 6 y y = x y 8 6 4 6 quindi: ( - B) ( + B) = - B Il prodotto della somma di due... per la loro differenza è uguale al... del primo... meno il quadrato del...
. Il calcolo letterale 5 09. (x + 5y ) (x - 5y ) = 9x -... (4ab + a b) (4ab - a b) =... - 9a 4 b 0. (5m n - 6mn ) (5m n + 6mn ) =... (4axy + 7x y) (4axy - 7x y) =....... 4 x y xy x y xy. x y... 5 + 5 = az a z az a z... 6 8 6 + 8 = Seguendo le indicazioni, risolvi le seguenti espressioni.. (x + y) (x - y) (4x 4 + 9y ) risolvi il primo prodotto notevole e riscrivi l'ultimo binomio: (4x 4-9y ) (...) risolvi il secondo prodotto notevole:... [6x 8-8y 4 ]. (b - c) (b + c) - (b + c) (b - c) - (b) esegui i due prodotti notevoli e la potenza:... elimina il segno meno e esegui la moltiplicazione:... riduci i termini simili:... [+ 5c ] 4. (6a 4 + 4a b - a ):(- a ) - (a + b) (a - b) esegui la divisione e il prodotto notevole: - a -... esegui la moltiplicazione:... riduci i termini simili:... [- 5a - 4b + 6] Risolvi le seguenti espressioni. 5. (m + n ) (m - n ) (9m + 4n 4 ) [8m 4-6n 8 ] 6. (a + ) (a - ) + (a + ) (a - ) - (5 + a ) (5 - a ) [6a 4-5] 5 7. (y + y) (y - y) + (y + 5y ) (y - 5y ) + y [- 8y 4 ] 8. (0a 4 + 8a + 4a ) : (- a ) + (a - ) (a + ) + (a + ) [- a - a - ] 9. (x + 5xy - 4xy ) : (- x) + y (5x - y) + (x + y) (x - y) [- y ] 88 5
6. Il calcolo letterale QUDRTO DI UN BINOMIO Osserva gli esempi e completa le frasi. a) ESEMPIO ( x+ y) = ( x) + ( y) + ( x) ( y) = 9x + 4y + xy b) a b = a b a + ( ) + ( ) b = a + 9b a b 4 4 6 Il quadrato di un... è il trinomio costituito dal... del primo termine, dal... prodotto del primo per il... termine e dal quadrato del... Il segno dei quadrati del primo e del... termine è sempre..., il segno del... prodotto è positivo se i due... sono concordi, mentre è negativo se i due termini sono...; quindi ( + B) = + B + B ; ( - B) = - B + B Completa e risolvi i seguenti quadrati di binomi. 0. (x + y) = (x) + (x) (y) + (y) = 4x +... (a - 5b) = (a) + (a) (- 5b) +... =.... (x + 4y ) = x +... (m - n) = 4m 4 -.... 9 x + y = x 4 +... 5 5 a b = a 6... 4 9. 4 4 ax+ by = ax... 5 9 x y x y =... 7 6 Risolvi le seguenti espressioni utilizzando le indicazioni. 4. (a - ) (a + ) - (a - ) - (a - ) risolvi il prodotto notevole, il quadrato del binomio e la moltiplicazione: a 4 -... - (... elimina il segno meno davanti la parentesi tonda e riduci i termini simili:... [a - ] 5. b - (b - ) + (b - ) (b - ) risolvi il quadrato e la moltiplicazione (attenzione: NON è un prodotto notevole): b - (... elimina il segno meno e riduci i termini simili:... [b - ] 6. 5 0 6 5 6 a ( a + a) a ( a + a ) ( a a ) risolvi i quadrati e la seconda moltiplicazione: a (a 0 + 4a + 4a 6 ) +...
. Il calcolo letterale 7 esegui le due moltiplicazioni:... riduci i termini simili:... 7. [(a - b) - (a + b) - a (a - 4b)] : (- a) risolvi i quadrati e la moltiplicazione: [a +... - (a... elimina il segno meno ed elimina i termini opposti:... esegui la divisione:... [a + b] Risolvi le seguenti espressioni. 8. [a (a 4 + a + ) + - (a + ) + 5a ] : (a ) - a [a + ] 9. x (x - y) - y (x + y) - 4 (x - y ) + 7x y [6xy ] 0. 4n (m - 5n) - (m + n) (m - n) + (m - n) [m ]. (a + b) (a - b) (4a + b ) (6a 4 + b 4 ) [56a 8 - b 8 ]. 4 4 + + x x x 8 : x. [(xy - y) (xy + y) (x y + 4y ) + y 4 ] : (5y 4 ) a a 8 4 + x 5 4 6 x potenziamento Valori delle lettere che fanno perdere significato ad un espressione letterale. lle lettere che figurano nelle espressioni letterali non si possono assegnare valori qualsiasi. Precisamente, non si possono assegnare quei valori numerici che sostituiti all'espressione la rendono priva di significato. Nell espressione letterale x 9 alla lettera x si deve assegnare un numero relativo il cui valore assoluto è maggiore o uguale a, perché in caso contrario l espressione perde significato; infatti, assegnando alla x i numeri 0, -, +, - e +, il radicando diventa un numero negativo e, come già sai, la radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme : x 9 per x = 0 diventa 0 9 = 9 per x =- oppure + diventa per x =- oppure + diventa 9 = 8 4 9 = 5 non esiste in non esiste in non esiste in
8. Il calcolo letterale Scrivi il valore numerico che non può essere assegnato alla lettera x nelle seguenti espressioni letterali. x + 5y z x y + z x + y. ; ; x x x y z x + y z [0; ; ]. ; x + x x 5 x y + z ; [- ; ; ; + 5 e - 5] x + 5 x. Il valore delle seguenti espressioni letterali è positivo qualunque sia il valore assegnato alla lettera x. Perché? x + ; x 4 + x + ; 6 + (- x) + (- x) 4 4. Il valore di ciascuna delle seguenti espressioni letterali è negativo qualunque sia il valore assegnato alla lettera x. Perché? - x - ; ; - - x - x 4 x + 5. Quali valori deve assumere la lettera x affinché l espressione non perda significato? x (Ricorda che in non esiste la radice quadrata di un numero negativo). 6. Per ciascuna delle seguenti espressioni letterali scrivi almeno tre valori che, assegnati alla lettera x, fanno perdere significato all'espressione stessa. 7. Scrivi i valori che, assegnati alla lettera x, fanno perdere significato alla seguente espressione letterale. 5 x ( x+ ) ( x ) 8. Ciascuna delle seguenti espressioni letterali non perde significato qualunque sia il valore assegnato alla lettera x. Perché? x x 4; 9 x ; x 6; x x y x ; ; + y + x + x x + ; ; ( x) + 4 x + ( x) + 4 x x + x + ; ; x 4 ( x) + ( x) x 4 + x 4 Quadrato di un trinomio Calcoliamo il quadrato di un trinomio: ( + B + C) Per eseguire questa potenza applichiamo la definizione: ( + B + C) = ( + B + C) ( + B + C) = + B + C + B + B + BC + C + BC + C e riducendo i termini simili, si ha: + B + C + B + C + BC Pertanto, il quadrato di un trinomio è un polinomio di sei termini uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per ognuno di quelli che lo seguono. ESEMPIO (a - b + c) = (a) + (- b) + (c) + (a) (- b) + (a) (c) + (- b) (c) = 9a + 4b + c - ab + 6ac - 4bc 9. (a + b - c) (a - b - c) (a - b + c) (- a - b - c) 0. (x + y + z) (a - b + c) (a + b - ) (x - y + ). (a - b + ) (a - b - 4) (a - b + ) (x - y - ). (a - b + c). 5 7 a + b + b x y + x + x a b + b 5 a a + b a a+ b + 4 x y
. Il calcolo letterale 9 Raccoglimento a fattor comune In algebra ha molta importanza la scomposizione di un polinomio in fattori, cioè la trasformazione di una somma algebrica di più monomi in un prodotto. Questa operazione non è sempre possibile, né si possono formulare regole generali atte allo scopo. La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori primi è quella di mettere in evidenza i fattori comuni. ESEMPIO a) a - ab - 6ac se osservi attentamente questo trinomio vedi che la lettera a compare in tutti e tre i monomi; poi è il M.C.D. di (,, 6); pertanto, il fattore a comune a tutti i monomi del polinomio può essere messo in evidenza: a - ab - 6ac = a (4a - b - c) N.B. I monomi tra parentesi si ottengono dividendo ogni termine del polinomio di partenza per il fattore messo in evidenza, in questo caso a. b) 4x y + 8xy - 4x y 4 - x y In questo caso il M.C.D. di (4, 8, 4, ) è 4; x e y compaiono in tutti i termini del polinomio. Pertanto il monomio 4xy, essendo comune a tutti i monomi dati, può essere messo in evidenza: 4x y + 8xy - 4x y 4 - x y = 4xy (6x + y - x y - x y) 4. (x + ) - (x + ) + (x + ) - (x - ) (x + ) + ( - x - x ) - x (x - ) (x + ) (x - ) + 4x [4x - x - 9x - 9] 5. (a - a + ) - (a + ) (a - ) + (a - ) [0] 6. 0a - 0ab = 0a (...) 8xy - 6x = 8x (...) 7. 5a - 5ab = 5a (...) 5a - ab + a = a (...) 8. 8a b - 5a b - a b = a b (...) 0x 4 y - 5x y + 0x y 4 = 5x y (...) 9. 8x 5 y - 0x 4 y + 6x y 4 =... (4x - 5xy + y ) a b + 5a b - ab =... (4a + 5a - 7) 0. 8a 4 b - 0a b + a b 4 =... (a - 5ab + b ) 5x y - 0x y + 0xy =... (x - xy + 4y ). 6a b x + 4a b y - 8a b z - a b = 6... (6bx +... -... - ab) Scomponi in fattori i seguenti polinomi, raccogliendo in ciascuno di essi i fattori comuni.. a + a x + x + x 4b 5 + 5b + b. xyz + xy z + xyz 4ab - 6a b - 4a b 4. abc - 6a b + 9ab 5a b + 0ab - 5a b 5. 8x y - x y + 6x y 6b + b + 6. a 6 - a 4 + 8a 5x - 4x + 5xy 7. 0a b - 5ab 8a b - a b 8. - 4a 4 b + 0a 5 b 5x 4 b - 5x b 9. - 6x 4 + 9x y + x y a b - 8a b 4 + ab 0. 5x y - x yz + x z 6 ab - 4a + 0ab
0. Il calcolo letterale Risolvi le seguenti espressioni letterali con monomi (prima di eseguire le operazioni ricordati di ridurre i termini simili).... 4. 5. ab ab ab ab + ( ab) ab 4 4 ( ) + 4 4 5 5 4 x y : x y x xy xy ( ) 5 4 x y : x y xy : x y : 4 ( x y ) + xy 4 ( ) + 4 ( ) x 0xy x 9y 5x y : 5 ( 5x 4 y) 5 8x y x z x z x yz xy x yz 4 + 8 ( ) + 4 x yz ( x y ) 5 ab 7 4 [0] 00 xy x y 5 5 4 x y z 6. 7. ( ) ( ) { } 4 5 a a b : b :( a) + a 4 ( a) 5 4 abc abc abc : a 6 c 5bc 6bc abc 9 ( + ) : 5 ( ) [-a 5 ] [-a b ] 8. ( ) ab : ab ab ab ( a) 8 7 ab 4 6 9. 40. 4. 4. + ab ab ab : ab+ ab 5 5 a a + abx x : ab ab 4 4 + ax abx : abx abx 4 4 8 cx cx a a b ab ab a + ( 4 ) bcx + ab x : 4 : a b x ab : a b x 4 5 4 5 7 b x 4 x abcx 4. 4 5 ab+ a ( ab ) :( ab) + 5a a bx :( a bx) 4 ab + a 4 4 4 44. ( ) 4 5 5 x y x y : x y + xy 6 45. 4 ab 4 4 ab 5 0 0 ( ) ( ) + a : ab 6 + 5 ab Risolvi le seguenti espressioni letterali con polinomi. 46. ( a 4 ) a + a4 a a a + ( 9 ) ( ) 4 7 4 x y 0 4 + ab a a a+ 8 47. 48. b a+ b a a b b a a b + + 5 + + 4 a a a a a a 4 4 + + + ( + ) + :( a ) a + 4b + ab [a ] y xy y x y x y 5y x + + + 9 4 y x y x y xy y 4 4 6 49.
. Il calcolo letterale 50. 7 ax a 9x + ax x x a x ax + ( + ) + ax 6a x x + 9 6 a ax+ ax ax 5. y x + y xy x y x y 5 9 ( ) x y + ( x y : x y ) x6y xy6 5. 5. ab abab ( abab) ab ab + ab 4 [( a+ b) ( abc) + b ( b+ c) a ( ac) ] a+ b 4ab : ab 8 { ( ) + ( )} a b :ab 7 4 4 4 5 ab ab + ab 4 [a - b] 54. 55. { } ( x + y) ( x y + ) y ( y) x ( x + ) [ ] x + xy : xy 5 { ( ) + b ( a) } 4a : [ c ( b+ c) + ( a+ b+ c) ( abc) + b ( b+ c) ] ab ( ) [x - y] [] Risolvi le seguenti espressioni letterali con prodotti notevoli. 56. a a b a b b 4 + a ( a + b ) b 6 + b 57. 58. [( x y) ( x + y) ( x + y) ( x y) ] 5x + 5y ( ) ( x + ) ( x + ) ( x ) x x x x x x x ( + ) : + 5 [ ( + ) ( + )] 5 y y x y xy x [5x 4-5y 4 ] [5x - x y ] 59. 9 (x + y ) - (x - y) - (y - x) - 8xy (x + y) [0] 60. ( + a) - ( - a) + 4a + (a - ) (a - ) + - (a - ) [8a] 6. (x - 5y) (x + 5y) + (x - y) + (x + 4y) (- x + 4y) - x (x - y) [0] 6. (b - ) ( + b ) - (b - ) + [(b + ) (b - )] - (b - ) (b + ) - (- b) [- b ] 6. (4x + y ) - [(- x + y) (x + y)] - (- 4xy - ) (- 4xy + ) [] 64. (x + y) + (y - x) + (x + y) (y - x) (- x + y) - (y - x) (4y + xy + x ) [6x y - xy ] 65. 6 a + a + a a 4a 66. x y x y x y xy x ( + ) +4y 6 ( ) x y 9 4 a 4 [- x y] 67. a b a b a b b b a + + ( ) ab + b 6 b 5 ab 68. ( x + y) ( x y) ( x y) + x y y x x 7 8 + y + y ( ) 4 ( ) [8x ] 69. ( x + y + ) ( x y ) + ( y + ) x( x + y) y x y ( + ) + xy x + y ( ) [x + x ]
. Il calcolo letterale 70. 7. { ( ) ( )} ( a+ b+ ) ( a+ b ) ab ab ab ( 4 + ) + ( ) + ab : a b { ( ) ( ) } ( a+ b) ( ab) a+ b a ab a b b + 4 + 4 : + a ( 4ab) ab ( ) [7] [b] 7. ( x + y) ( x y) { : 4y y x y x y } ( ) + ( x y ) [9x 4-9y 4 ] Scrivi, come polinomi ridotti, il perimetro e l'area delle seguenti figure, utilizzando le misure riportate a fianco di ognuna di esse. ESEMPIO p (figura) = (a + b) + (a - b) + (a - b) + a + b = a + b + a - b + 4a - 4b + a + b = 9a - 4b (BGH) = (a + b) (a - b) = a - b H G a (CDEF) = ab F E b (figura) = a - b + ab C B D B = a b H = a + b BC = a b CD = a DE = b 7. 74. x y x y 75. a b
Equazioni esercizi e attivita` per il recupero e per il potenziamento Uguaglianze possono essere sempre vere condizionate Identità EQUZIONI servono per la Risoluzione di situazioni problematiche si classificano in base a sono Numero di incognite Grado delle incognite Posizione delle incognite Equivalenti se hanno la stessa soluzione si risolvono con Ridotte a forma normale ax = b Principio di equivalenza e regole conseguenti: Soppressione dei termini uguali Trasporto Principio di equivalenza e regole conseguenti: Cambiamento di segno Soppressione dei denominatori Determinate a π 0 Impossibili a = 0 b π 0 Indeterminate a = 0 b = 0
4. Equazioni Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo. recupero Osserva il seguente schema che illustra le parti di un equazione: 5x + = - + X membro membro 5x e + x sono i termini con l incognita; + e - sono i termini noti. Risolvere un equazione significa trovare il valore numerico che sostituito all incognita rende vera l uguaglianza. Nell equazione considerata questo valore numerico, che si chiama soluzione o radice, è - ; infatti, sostituendo - all incognita x nel testo dell equazione, si ottiene una identità (cioè un uguaglianza vera). 5 (- ) + = - + (- ) - 5 + = - - - = -. Risolvi le seguenti equazioni seguendo le indicazioni: a) 6x - = 5x + applica la regola del trasporto e sposta al membro i termini con l incognita e al membro i termini noti, cambiando loro il segno: 6x - 5x = + + esegui i calcoli: x =... sostituisci nell equazione data la radice x = 4 ed effettua la verifica: membro 6 (4) - =... membro 5 (...) + =...;... =... b) 4 ( - x) - 4 (x - ) - 5 = - 8 + 5 esegui le moltiplicazioni: - 4x - 4x +... applica la regola del trasporto (cambia i segni): - 4x - 4x... esegui i calcoli nei due membri:... dividi il termine noto che sta al membro per il coefficiente di x e scrivi il risultato:... [] c) ( - x) + 9 = x + - 4 (x - 5) esegui le moltiplicazioni:... applica la regola del trasporto (ricordati di cambiare i segni):... esegui i calcoli e determina la radice dell equazione (il coefficiente di - x è - ):... completa la verifica: membro [ - (- )] + 9 = [ + 4] + 9 =... membro - + - 4 (- - 5) = - + - 4 (- 7) =...... d) x - (0 + x) = 5 (x - ) - (x - 5) togli le parentesi nel membro ed esegui le moltiplicazioni nel :... applica la regola del trasporto:... esegui i calcoli e determina la radice dell equazione:...... se hai svolto i calcoli correttamente, la soluzione è x = - 5 ; completa ora la verifica: membro 5 0 5 =... membro 5 5 5 5 = 54 5 0 5 =...... se hai svolto la verifica correttamente, l identità che ottieni è: 5 5 5 0 + = = 5.
. Equazioni 5 Risolvi le seguenti equazioni e verifica la soluzione ottenuta.. x - 4 (x - ) = + (x - ) - x [4]. - 4 (x - ) - (x - ) + = x + (x + ) [] 4. - (- + x) = (x - ) + 6 - (x - 4) [0] 5. - 4x - 5 (- x + ) = - 4 + 5x - - (x + 9) [0] 6. 7 (7 - x) + 6 (7x + ) = (x + ) + x + [- ] 7. (x + ) - (x + ) = 6 (x - ) - (x - ) - (x + ) [ - ] 8. 5 (5-4x) - (4x + ) = ( - x) 5 4 9. (x - 4) - 5 (x - ) = 4 (x - ) + (x - ) 0. 5 (5x + 7) - (x + 5) = (4x + 9) + 7 (x + ) [5]. (x + 5) + 5 (x + ) = 4 (4x + 7) - (x + 6) []. 9 (x + 4) - 4 ( - x) = 5 (x - ) - 8 (x - 5) [7]. 7 (x - 7) - (x + 0) = 5 (x + ) - 8 (x + 4) [] 4. (x - 8) + 7 (x - 9) = 8 (x + 5) - 5 (9 - x) [] 5. Risolvi le seguenti equazioni seguendo le indicazioni. a) x + x = x+ 5 4 8 determina il m.c.d. tra, 4 e 8 e applica il principio di equivalenza per eliminare i denominatori; m.c.d. (, 4, 8) = 8: 8 4 x +...... + 40 = 8 8 8 4x +... =... + 40 applica la regola del trasporto (ricorda di cambiare i segni): 4x +... = + 40 esegui i calcoli e determina il valore di x:... Completa la verifica: 4 8 + (...) =... 4 (...) + 5 =... 8 b) x 7 x = x 4 determina il m.c.d. tra e 4 e applica il principio di equivalenza per la soppressione dei denominatori; m.c.d. (; 4) = 4: 4 4 x... x... = 4 4 4 applica la regola del trasporto (cambia i segni):... esegui i calcoli e determina il valore di x:... Completa la verifica: ( ) =... 7 (...) =... 4 c) x + 5x = 4 determina il m.c.d. tra e 4 e sopprimi i denominatori; m.c.d. (; 4) = : 4 (...) 5 = ( x ) esegui le moltiplicazioni:... applica la regola del trasporto (cambia i segni):... esegui i calcoli e determina il valore di x:...
6. Equazioni Completa la verifica: ( ) + =... 5 (...) =... 4 d) 5 + x 5 = x + + x 4 5 4 determina il m.c.d. tra 4 e 5 e sopprimi i denominatori; m.c.d. (4; 5) = 0: 0 5 (...) = 0 4 = ( 5 x) + 5 (...) 0 0 0 esegui le moltiplicazioni:... applica la regola del trasporto (cambia i segni):... esegui i calcoli e determina il valore di x:... Completa la verifica: membro 5 + ( 5) 5 5 = =... 4 4 membro 5 ( 5 ) + ( 5 ) + = 5 4 5+ 5 4 + 5 4 =... Risolvi le seguenti equazioni e verifica l esattezza della radice ottenuta. 6. x = x + x [6] 7. x 6 x = [4] 8. 4 5 7 + x = + x [] 9. x + x = [5] 0. 0x 5 9 4x = + 4 6 []. x x 6 x + = + [0] 5 4. + x x x + = + x [ - ] 6 5. x + 6 x + 9 x+ + = + [ - ] 4 4. x x + = x [ - 6] 4 5. 9x 9 ( x + ) + = x 7 [ - ] Completa la risoluzione dei seguenti problemi numerici impostando equazioni; segui le indicazioni. 6. La differenza tra il quintuplo e il doppio di un numero è 5; determina il numero. numero incognito quintuplo del n incognito equazione che traduce il problema: 5x - x = 5... da cui il numero cercato è... [7] 7. Il doppio di un numero, aumentato di, è uguale alla differenza tra 7 ed il quintuplo del numero stesso. Qual è il numero? numero incognito doppio del n incognito... quintuplo del n incognito... x 5x doppio del n incognito... x... x = =...... equazione che traduce il problema: x + = 7-5x...... x = =......
. Equazioni 7 8. Un negoziante vende, poi e infine di una certa merce, vendendo complessivamente 0 kg 4 5 0 di quella merce. Qual è il peso totale della merce? totale merce equazione che traduce il problema: x x + x + x =... 4 5 0 del totale della merce... 4... del totale della merce... x =... =... 5 del totale della merce... il totale della merce è... [60 kg] 0 Risolvi i seguenti problemi impostando un equazione. 9. Il doppio di un numero, aumentato di 9, è uguale alla differenza tra 4 e il triplo del numero stesso. Qual è il numero? [5] 0. Il triplo di un numero, diminuito di 50, è uguale a 70. Qual è il numero? [40]. Il quadruplo di un numero, diminuito di 5, è uguale al triplo del numero stesso, aumentato di 7; determina il numero. []. La differenza tra la metà e la terza parte di un numero è uguale a 5. Determina il numero. [0]. La metà di un numero, aumentata di 9, è uguale alla differenza tra il numero stesso e la sua terza parte; calcola il numero. [54] 4. Determina quel numero il cui doppio è uguale ai suoi aumentati di 5. [5] 5 5. Calcola il numero che diminuito del suo triplo dà 0. [ - 5] 9 6. In una cartoleria si vendono prima i e poi 5 5 del totale dei quaderni presenti in magazzino. Quanti erano i quaderni se dopo le vendite restano ancora 6 quaderni in magazzino? [80] 7. In una fattoria ci sono 9 volatili: il numero dei tacchini è il triplo di quello delle oche e il numero delle galline è il quadruplo di quello dei tacchini. Calcola il numero di ogni tipo di volatile. (Indica con x il numero delle oche; quello dei tacchini sarà...; e quello delle galline 4...) [; 6; 44] Completa la risoluzione dei seguenti problemi geometrici impostando equazioni; segui le indicazioni. 8. La somma di tre segmenti misura 75 cm; il secondo è il doppio del primo e il terzo segmento supera il secondo di 5 cm. Quanto misura ciascun segmento? equazione che traduce il problema: primo segmento x x +... +... = 75... secondo segmento...... x = =...... misura del segmento terzo segmento x +... segmento =... =... segmento =... [ cm; 64 cm; 79 cm] 9. L angolo al vertice di un triangolo isoscele è il triplo di ciascuno degli angoli alla base; determina le ampiezze dei tre angoli. C equazione che risolve il problema: C @ B x... x + x +... = 80 x =... ampiezza di C e di B B =... [6 ; 6 ; 08 ]
8. Equazioni 40. La base di un rettangolo è uguale al doppio dell altezza, diminuito di 4. Sapendo che il perimetro misura 60 dm, determina le due dimensioni. D C equazione che traduce il problema: (x + x -...) = 60 D = altezza B = base B x x......... x = =...... B = base =... dm misura dell altezza D [8 dm; 5 dm] Risolvi i seguenti problemi impostando un equazione. 4. La somma di quattro segmenti misura 88 cm. ampiezze di ciascun angolo sapendo che Calcola la misura di ciascuno dei quattro segmenti sapendo che il secondo segmento è il B 4 C 5 = di e = di C. triplo del primo, il terzo è il doppio del secondo e il quarto è il doppio del terzo....;) (Indica con x l ampiezza di C [45 ; 60 ] (Indica con x il primo segmento, il secondo è x, il terzo x...) [4 cm; cm; 4 cm;...] 4. La somma di quattro segmenti misura 4dm. Il secondo, il terzo e il quarto segmento superano il primo rispettivamente di 6 dm, 0 dm e 44 dm. Determina la lunghezza di ciascuno dei quattro segmenti. (Indica con x il primo segmento, il secondo è x + 6;...) [6 dm; 4 dm; 56 dm; 80 dm] 4. Il perimetro di un triangolo scaleno misura 8 cm. Calcola la misura di ciascuno dei lati sapendo che il secondo lato è il triplo del primo e il terzo lato è il doppio del primo. [8 cm; 4 cm; 76 cm] 44. Considera un triangolo BC e determina le 45. Il perimetro di un triangolo isoscele misura 85 m e ciascuno dei lati obliqui supera la base di 5 m. Calcola le misure della base e dei lati obliqui. (Indica con x la base...) [5 m; 0 m;...] 46. Le dimensioni di un rettangolo sono una i 4 5 dell altra e il perimetro misura 6 m. Determina le dimensioni e l area del rettangolo. (Indica con x una dimensione; l altra è 4 x...) 5 [0 m; 8 m;... 47. La base di un rettangolo supera di dm il doppio dell altezza. Sapendo che il perimetro misura 4 dm, calcola le dimensioni e l area del rettangolo. [5 dm; 4 dm; 60 dm ] potenziamento Risolvi e verifica (quando è possibile) le seguenti equazioni.... 4. 5. x + x x x x + + x 4 4 = + + 4 x 5 4 x + ( x + ) + ( x ) = 6 x { } = x+ x x + x x 6 5 5 4 ( ) + ( ) x x + x + x ( ) = x + + x + 4 = x x x x x 4 4 5 8 [] [indeterminata] 7 6 6 7 7