Multipli e divisori Def: Si dice multiplo di un numero naturale ogni numero che si ottiene moltiplicando tale numero per qualsiasi numero naturale. 14 è un multiplo di 7 perché 7 2 = 14. Si dice che 14 è multiplo di 7 secondo 2. Osservazioni 1. Lo zero è multiplo di ogni numero naturale, infatti 5 0 = 0, 7 0 = 0, 2. Ogni numero è multiplo di se stesso, infatti 5 1 = 5, 7 1 = 7, 3. Ogni numero ha infiniti multipli 4. Doppio significa multiplo di due, triplo significa multiplo di 3, e così via. 5. I numeri pari sono tutti i multipli di 2, i numeri dispari sono tutti gli altri numeri. Proprietà dei numeri pari ( ) e dispari ( ): ± = ± = ± = Quando la divisione tra due numeri naturali dà un numero naturale con resto zero, si dice che il primo numero è divisibile per il secondo. Questo è il divisore (o sottomultiplo) del primo. 15 3 = 5. 0 15 è divisibile per 3, 3 è un divisore (o sottomultiplo) di 15. 14: 7 = 2. 0 14 è divisibile per 7, 7 è un divisore (o sottomultiplo) di 14. Osservazioni: 1. I divisori di un numero naturale sono finiti. Es. i divisori di 6 sono: 1; 2; 3; 6. 2. Lo zero ha come divisori tutti i numeri naturali (diversi da zero), infatti 0: 5 = 0, 0: 27 = 0, 3. Ogni numero naturale diverso da zero è divisibile per se stesso: 3: 3 = 1, 15: 15 = 1, 4. Ogni numero naturale è divisibile per 1: 3: 1 = 3; 17: 1 = 17, 1
Criteri di divisibilità Divisibilità per 2 Un numero è divisibile per 2 se è pari, quindi se termina con una delle seguenti cifre: 0, 2, 4, 6, 8. 157084, 156, 952, 10748, 9990 sono divisibili per 2; 8881 non è divisibile per 2. Divisibilità per 3 Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3. 126 è divisibile per 3 perché 1 + 2 + 6 = 9 489 è divisibile per 3 perché 4 + 8 + 9 = 21 479 NON è divisibile per 3 perché 4 + 7 + 9 = 20 Divisibilità per 4 Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono: 00, 04, 08, 12, 16, o sono divisibili per 4. 168, 360, 216, 1844 sono multipli di 4 810 NON è un multiplo di 4 Divisibilità per 5 Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 o con 5. 380, 125, 465 sono divisibili per 5 551 non è divisibile per 5 Divisibilità per 9 Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9. 279 è divisibile per 9 perché 2+7+9=18 364 non è divisibile per 9 perché 3+6+4=13 Divisibilità per potenze di 10 Un numero è divisibile per 10, 100, 1000 se termina con altrettanti 0. 8700 è divisibile per 10 e 100 17000 è divisibile per 10, 100, 1000 837540 è divisibile per 10. 2
Divisibilità per 11 Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è 0 oppure un multiplo di 11. Esempi 73612 7 + 6 + 2 = 15 3 + 1 = 4 15 4 = 11 73612 è divisibile per 11. 41850 4+8+0=12 1+5=6 12-6=6 41850 non è divisibile per 11. Divisibilità per 25 Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00, 25, 50, 75. 350 è divisibile per 25 215 non è divisibile per 25. 3
I numeri primi Def: Si chiama numero primo ogni numero naturale che ha due divisori diversi: 1 e se stesso. sono numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Si chiama numero composto ogni numero naturale che sia divisibile per un altro numero oltre a se stesso e 1. sono numeri composti: 4, 6, 8, Osservazioni: I numeri primi sono infiniti 0 e 1 non sono né primi né composti. La scomposizione in fattori primi I fattori primi di un numero composto sono i numeri primi il cui prodotto è uguale al numero stesso. 35 = 5 7 35 è un numero composto, i fattori primi in cui si scompone 35 sono il 5 e il 7 perché 7 5 = 35. 42 = 2 3 7 42 è un numero composto, i fattori primi in cui si scompone 42 sono 2, 3 e 7 perché 2 3 7 = 42. Regola per scomporre un numero composto in fattori primi Per scomporre un numero in fattori primi lo si divide per il suo divisore primo più piccolo (ricercandolo tra 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ), si divide poi il quoziente ottenuto per il suo divisore più piccolo, e così via fino a ottenere 1. 4
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Criterio generale di divisibilità Un numero è divisibile per un altro se: TUTTI i fattori primi del secondo numero sono fattori anche del primo numero Gli esponenti dei fattori primi del secondo numero sono minori o uguali a quelli del primo numero. Il quoziente di due numeri divisibili tra loro è uguale al prodotto di tutti i fattori primi del dividendo (1 numero) con esponente la differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore. 288 è divisibile per 72? Sì, 288 è divisibile per 72 perché nella scomposizione dei 72 ci sono tutti fattori (2 e 3) che compaiono anche nella scomposizione del 288 e hanno esponente minore o uguale. 250 è divisibile per 36? No! Osservazione Se un numero è divisibile per due o più numeri primi, allora è divisibile anche per il loro prodotto. 2250 è divisibile sia per 3 che per 5 è divisibile anche per 15. 6
Massimo Comune Divisore (MCD) Si chiama massimo comune divisore (MCD) fra due o più numeri il più grande dei loro divisori comuni. Se l unico divisore comune è 1, i numeri sono PRIMI TRA LORO. MCD(12; 36) = 6 Divisori di 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Divisori di 36: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 MCD(15; 16) = 1 15 e 16 sono primi tra loro Divisori di 15: 1; 3; 5; 15 Divisori di 16: 1; 2; 4; 8; 16 Regola per il calcolo del MCD 1. Scompongo in fattori primi i numeri di cui voglio calcolare il MCD 2. Il MCD è il prodotto dei fattori primi COMUNI presi con esponente MINORE. (36; 120) = 2 3 = 4 3 = 12 7
(60; 450; 216) = 2 3 = 6 8
Il minimo comune multiplo (mcm) Si chiama minimo comune multiplo tra due o più numeri il minore dei loro multipli comuni diverso da 0. mcm( 4; 6) = 1. Si elencano tutti i multipli del numero maggiore e si controlla se sono anche multipli dell altro numero 2. Il primo dei multipli comuni è il mcm. 6 1 = 6 è multiplo di 4? No, vado avanti 6 2 = 12 è multiplo di 4? Sì, mcm(4; 6) = 12 mcm( 12; 10)= 12 1 = 12 non è multiplo di 10 12 2 = 24 non è multiplo di 10 12 3 = 36 non è multiplo di 10 12 4 = 48 non è multiplo di 10 12 5 = 60 è multiplo di 10 mcm(12; 10) = 60 Regola per il calcolo del mcm 1. Scompongo in fattori primi 2. Il mcm è il prodotto di TUTTI i fattori primi (comuni e non comuni) presi una sola volta con esponente MAGGIORE (196; 56) = 2 7 = 8 49 = 392 9