Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust? Paperone Anna Torre, Rockerduck Ludovico Pernazza 1-14 giugno 01 Università di Pavia, Dipartimento di Matematica
Concorrenza Due imprese Pap e Rock operano in un mercato producendo in modo indipendente lo stesso bene (ciliegie) e intendono massimizzare i loro profitti.
Quante ciliegie conviene produrre? Dipende! Il prezzo di mercato per chilo di ciliegie è funzione decrescente della quantità prodotta; supponiamo per semplicità che sia una spezzata: P(Q) = { 10000 Q se Q < 10000 0 se Q 10000 dove Q è la quantità totale di chili di ciliegie prodotte e quindi presente sul mercato. Il costo per produrre un chilo di ciliegie è lo stesso per Pap e Rock e supponiamo sia 1: cioè, se C Pap è il costo che deve sostenere Pap per produrre un chilo di ciliegie e C Rock quello corrispondente di Rock, C Pap = C Rock = 1.
La produzione di ciliegie come gioco Le due imprese sono i giocatori Pap e Rock La scelta delle strategie consiste nella scelta della quantità di ciliegie da produrre. Indichiamo con x la scelta della quantità da produrre fatta da Pap e con y la scelta della quantità di bene da produrre fatta da Rock. X = Y = [0, + ) sono gli spazi delle strategie.
Il prezzo La quantità totale di chili di ciliegie prodotte è Q = x + y. Il prezzo di mercato per unità di merce è lo stesso per Pap e Rock in quanto: essi producono lo stesso bene, sono in possesso della stessa tecnologia, il consumatore, quando compra le ciliegie, non è in grado di stabilire quale dei due lo abbia prodotto (non esistono ciliegie firmate Pap o Rock).
Un primo vincolo Consideriamo solo valori di produzione minori o uguali di 10000 chili, cioè supponiamo che le imprese producano solo a patto di poter vendere a prezzo positivo: si ha così P(x + y) = 10000 (x + y) con la condizione x + y 10000. Questo ci costringe a restringere gli spazi di strategie; ora X = Y = [0, 10000].
Il ricavo Il ricavo di Pap e Rock si può descrivere nel modo seguente: R Pap = P x = [10000 (x + y)] x R Rock = P y = [10000 (x + y)] y. Osserviamo che il ricavo di Pap dipende da x e da y, cioè non solo dalla quantità di ciliegie che produce lui, ma anche dalla quantità prodotta da Rock (e viceversa).
Il profitto Abbiamo ipotizzato che il costo per produrre ciliegie sia proporzionale alla quantità prodotta (in effetti l unico costo è il costo della raccolta), ed esattamente 1 euro al chilo. Con questa ipotesi avremo: C Pap = x, C Pap = y. I profitti sono le differenze tra ricavi e costi, e quindi u Pap = R Pap C Pap = [10000 (x + y)] x x = x(10000 x y 1) u Rock = R Rock C Rock = y(10000 x y 1), ovvero u Pap = x + x(10000 1 y), u Rock = y + y(10000 x 1).
Quanto produciamo quindi? Abbiamo ottenuto due funzioni: la prima è di secondo grado nella variabile x una volta fissato y, la seconda è di secondo grado nella variabile y una volta fissato x. Ciascuno cercherà di scegliere la sua strategia in modo da massimizzare il suo profitto. Per esempio Pap vuole massimizzare u Pap ma può scegliere solo x (su y non ha alcun controllo) e analogo discorso possiamo fare per u Rock.
La strategia di miglior risposta Analizziamo u Pap come funzione di x. Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso il basso, che ha quindi massimo nel vertice che ha ascissa x = 10000 1 y : x è la strategia di miglior risposta della prima impresa alla scelta della strategia y di Rock. Analogamente, ȳ = 10000 1 x è la strategia di miglior risposta di Rock alla scelta x di Pap.
Produciamo... Abbiamo che x = 10000 1 y e y = 10000 1 x : il punto di intersezione A = ( x, ȳ) soddisfa la proprietà che x è miglior risposta a ȳ e ȳ è miglior risposta a x. Calcoliamo le coordinate di A risolvendo il sistema: x = 10000 1 y y = 10000 1 x le cui soluzioni sono: x = 10000 1 3 ȳ = 10000 1 3.
... ma quanto guadagniamo? L utile realizzato da Pap si ottiene sostituendo x in u Pap : ( ) 10000 1 u Pap = 10000 1 ( 10000 1 10000 1 ) = 3 3 3 e in modo analogo = u Rock = (10000 1) 9 (10000 1). 9
E se ci accordassimo? Se Pap e Rock si accordano (fanno cartello) per produrre complessivamente z ( z ciascuno) il prezzo unitario è P(z) = 10000 z e l utile complessivo da massimizzare sarà: u = P z = (10000 z) z z = (10000 z 1) z = z + z (10000 1). Si tratta ancora di una parabola con concavità verso il basso, che quindi ha un massimo nel vertice che ha ascissa z = 10000 1.
Sorpresa! Perciò ciascuno produce e si ha z = 10000 1 4 u Pap = u Rock = z + 10000 z z = 3 16 (10000 1). Caspita: sia Pap che Rock guadagnano di più!
Io sono Pap! Quindi decido per primo I dati del problema sono identici, ma questa volta Pap sceglie per primo la quantità da produrre e Rock sceglie conoscendo la scelta di Pap.
Mumble mumble... quel Rock è molto furbo... Che faccio io Pap per guadagnare di più sapendo che Rock furbo almeno quanto me? Se scelgo x Rock cercherà di massimizzare u Rock fissato x e questo massimo si ha per (i conti sono sempre gli stessi) per y = 10000 x 1 (l ascissa del vertice della parabola). Ma io Pap so che Rock massimizzerà il suo profitto una volta che saprà la mia scelta x, e in particolare conosco la funzione y( x) = 10000 x 1 ; quindi scegliendo x so che finirò col guadagnare ( ) 10000 x 1 u Pap = x 10000 x 1 che dipende solo da x. Quale x devo scegliere?
La scelta di Pap Ovviamente scelgo quello che massimizza u Pap e facendo i conti ottengo x = 10000 1 e quindi ȳ = 10000 1. 4 Quindi in questo caso Pap produce la quantità che producevano globalmente Pap e Rock nella situazione di cartello, mentre Rock produce la metà.