MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 4 settembre 2013 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito 15 000 a un imprenditore, da restituirsi dopo T con un interesse di 5 000. Si determini T, sapendo che il tasso annuo composto del prestito è i = 4%. T = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 5%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata semestrale costante. La prima è posticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è anticipata, ha durata 13 semestri e ha rata R 2 = 100. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 1 + r 2, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = 0.05 1. W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V sei mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, di cui le prime tre di preammortamento e le rimanenti tre con rata costante. Il tasso annuo applicato è i = 7% e ogni rata non può superare i 20 000. Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui vige l intensità istantanea di interesse: δ(0, s) = 2% + 0.5%s, dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 1, t 2 = 2, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = i(0, 2) = i(0, 0, 1) = i(0, 1, 2) = Si calcoli poi il valore S di una rendita immediata, posticipata, con durata m = 2 e rata annuale costante R = 500. S = Esercizio 5. In un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo i = 4.36%, un investitore detiene un portafoglio del valore complessivo di 38 mln di, formato per il 60% del valore da rendite perpetue a rata annuale costante e per il resto da BOT a 6 mesi. Si calcoli la duration del portafoglio. D = L investitore decide poi di acquistare titoli a cedola nulla con maturità T da decidere, per un valore complessivo di 200 mln di. Si calcoli la maturità che deve essere fissata anziché il portafoglio complessivo dell investitore abbia una duration di 4. T =
Esercizio 6. Si consideri un titolo (non standard) che, emesso in t = 0, paga, in t 2 = 3, l importo 100 I 2,3, dove I 2,3 è una cedola indicizzata con periodo di indicizzazione tra t 2 = 2 e t 3 = 3. Si calcoli il prezzo P di emissione del titolo che non consente arbitraggi, se i titoli a cedola nulla con scadenza 2 e 3 quotano, rispettivamente, a 97 e 95.5 (riferiti ad un facciale C = 100). P = Nello stesso mercato, il titolo a cedola nulla con scadenza di 1 anno quota a 98.5. Si calcoli il tasso swap in t = 0 corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità di T = 3 e con periodicità delle cedole annuale, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. i sw (0, 3) = %
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 4 settembre 2013 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito 15 000 a un imprenditore, da restituirsi dopo T con un interesse di 5 000. Si determini T, sapendo che il tasso annuo composto del prestito è i = 5%. T = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 6%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata semestrale costante. La prima è posticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è anticipata, ha durata 12 semestri e ha rata R 2 = 200. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 1 + r 2, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = 0.05 1. W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V sei mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, di cui le prime tre di preammortamento e le rimanenti tre con rata costante. Il tasso annuo applicato è i = 8% e ogni rata non può superare i 20 000. Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui vige l intensità istantanea di interesse: δ(0, s) = 3% + 0.5%s, dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 1, t 2 = 2, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = i(0, 2) = i(0, 0, 1) = i(0, 1, 2) = Si calcoli poi il valore S di una rendita immediata, posticipata, con durata m = 2 e rata annuale costante R = 500. S = Esercizio 5. In un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo i = 4.36%, un investitore detiene un portafoglio del valore complessivo di 38 mln di, formato per il 70% del valore da rendite perpetue a rata annuale costante e per il resto da BOT a 6 mesi. Si calcoli la duration del portafoglio. D = L investitore decide poi di acquistare titoli a cedola nulla con maturità T da decidere, per un valore complessivo di 200 mln di. Si calcoli la maturità che deve essere fissata anziché il portafoglio complessivo dell investitore abbia una duration di 4. T =
Esercizio 6. Si consideri un titolo (non standard) che, emesso in t = 0, paga, in t 2 = 3, l importo 100 I 2,3, dove I 2,3 è una cedola indicizzata con periodo di indicizzazione tra t 2 = 2 e t 3 = 3. Si calcoli il prezzo P di emissione del titolo che non consente arbitraggi, se i titoli a cedola nulla con scadenza 2 e 3 quotano, rispettivamente, a 97 e 95 (riferiti ad un facciale C = 100). P = Nello stesso mercato, il titolo a cedola nulla con scadenza di 1 anno quota a 98.5. Si calcoli il tasso swap in t = 0 corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità di T = 3 e con periodicità delle cedole annuale, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. i sw (0, 3) = %
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 4 settembre 2013 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito 15 000 a un imprenditore, da restituirsi dopo T con un interesse di 5 000. Si determini T, sapendo che il tasso annuo composto del prestito è i = 6%. T = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 7%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata semestrale costante. La prima è posticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è anticipata, ha durata 11 semestri e ha rata R 2 = 300. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 1 + r 2, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = 0.05 1. W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V sei mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, di cui le prime tre di preammortamento e le rimanenti tre con rata costante. Il tasso annuo applicato è i = 9% e ogni rata non può superare i 20 000. Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui vige l intensità istantanea di interesse: δ(0, s) = 4% + 0.5%s, dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 1, t 2 = 2, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = i(0, 2) = i(0, 0, 1) = i(0, 1, 2) = Si calcoli poi il valore S di una rendita immediata, posticipata, con durata m = 2 e rata annuale costante R = 500. S = Esercizio 5. In un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo i = 4.36%, un investitore detiene un portafoglio del valore complessivo di 38 mln di, formato per il 80% del valore da rendite perpetue a rata annuale costante e per il resto da BOT a 6 mesi. Si calcoli la duration del portafoglio. D = L investitore decide poi di acquistare titoli a cedola nulla con maturità T da decidere, per un valore complessivo di 200 mln di. Si calcoli la maturità che deve essere fissata anziché il portafoglio complessivo dell investitore abbia una duration di 4. T =
Esercizio 6. Si consideri un titolo (non standard) che, emesso in t = 0, paga, in t 2 = 3, l importo 100 I 2,3, dove I 2,3 è una cedola indicizzata con periodo di indicizzazione tra t 2 = 2 e t 3 = 3. Si calcoli il prezzo P di emissione del titolo che non consente arbitraggi, se i titoli a cedola nulla con scadenza 2 e 3 quotano, rispettivamente, a 97 e 94.5 (riferiti ad un facciale C = 100). P = Nello stesso mercato, il titolo a cedola nulla con scadenza di 1 anno quota a 98.5. Si calcoli il tasso swap in t = 0 corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità di T = 3 e con periodicità delle cedole annuale, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. i sw (0, 3) = %
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 4 settembre 2013 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Una banca propone in prestito 15 000 a un imprenditore, da restituirsi dopo T con un interesse di 5 000. Si determini T, sapendo che il tasso annuo composto del prestito è i = 7%. T = Un altra banca propone in prestito la stessa somma per T, al tasso annuo semplice i = 8%. Determinare T in modo che l importo che l imprenditore dovrà restituire sarà lo stesso del presito proposto dalla prima banca. T = Si indichi infine a quale delle due banche si rivolgerà l imprenditore, motivando adeguatamente la risposta. Risposta: Esercizio 2. Si considerino due rendite r 1 e r 2, entrambe immediate e a rata semestrale costante. La prima è posticipata e perpetua, con rata R 1 = 10. La seconda è anticipata, ha durata 10 semestri e ha rata R 2 = 400. Si determini anzitutto il valore attuale W del portafoglio x = r 1 + r 2, secondo una legge esponenziale di intensità istantanea di interesse δ = 0.05 1. W = Si consideri quindi l operazione finanziaria di acquisto al tempo zero del portafoglio x al prezzo W. Se ne determini il tasso interno di rendimento in base annua i e il valore montante M e il valore residuo V sei mesi dopo l acquisto, secondo la legge esponenziale di tasso annuo i. i = % M = V =
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma di S, da restituirsi secondo un ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, di cui le prime tre di preammortamento e le rimanenti tre con rata costante. Il tasso annuo applicato è i = 10% e ogni rata non può superare i 20 000. Dopo aver indicato il capitale massimo finanziabile: S max = si compili il piano di ammortamento con S = S max, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui vige l intensità istantanea di interesse: δ(0, s) = 5% + 0.5%s, dove il tempo è misurato in. Si calcoli anzitutto la struttura dei tassi, a pronti e a termine, relativa agli t 1 = 1, t 2 = 2, e la si esprima in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = i(0, 2) = i(0, 0, 1) = i(0, 1, 2) = Si calcoli poi il valore S di una rendita immediata, posticipata, con durata m = 2 e rata annuale costante R = 500. S = Esercizio 5. In un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo i = 4.36%, un investitore detiene un portafoglio del valore complessivo di 38 mln di, formato per il 90% del valore da rendite perpetue a rata annuale costante e per il resto da BOT a 6 mesi. Si calcoli la duration del portafoglio. D = L investitore decide poi di acquistare titoli a cedola nulla con maturità T da decidere, per un valore complessivo di 200 mln di. Si calcoli la maturità che deve essere fissata anziché il portafoglio complessivo dell investitore abbia una duration di 4. T =
Esercizio 6. Si consideri un titolo (non standard) che, emesso in t = 0, paga, in t 2 = 3, l importo 100 I 2,3, dove I 2,3 è una cedola indicizzata con periodo di indicizzazione tra t 2 = 2 e t 3 = 3. Si calcoli il prezzo P di emissione del titolo che non consente arbitraggi, se i titoli a cedola nulla con scadenza 2 e 3 quotano, rispettivamente, a 97 e 94 (riferiti ad un facciale C = 100). P = Nello stesso mercato, il titolo a cedola nulla con scadenza di 1 anno quota a 98.5. Si calcoli il tasso swap in t = 0 corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità di T = 3 e con periodicità delle cedole annuale, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. i sw (0, 3) = %