DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA (parte 1) 1 / 19

Variabili casuali (o aleatorie) 2 / 19 Disponendo di metodi corretti per raccogliere i dati e costruire i campioni data una popolazione, i valori numerici che una variabile assume possono essere il risultato di un fenomeno casuale.

Variabili casuali (o aleatorie) 2 / 19 Disponendo di metodi corretti per raccogliere i dati e costruire i campioni data una popolazione, i valori numerici che una variabile assume possono essere il risultato di un fenomeno casuale. La variabile ottenuta in questo modo viene detta variabile casuale. Formalmente Una variabile casuale è una misurazione numerica degli esiti di un fenomeno casuale. Useremo le lettere maiuscole per indicare la variabile, e le lettere minuscole per i suoi possibili valori. Ad esempio consideriamo la variabile casuale X = {numero di teste in tre lanci di monete}

Variabili casuali (o aleatorie) Disponendo di metodi corretti per raccogliere i dati e costruire i campioni data una popolazione, i valori numerici che una variabile assume possono essere il risultato di un fenomeno casuale. La variabile ottenuta in questo modo viene detta variabile casuale. Formalmente Una variabile casuale è una misurazione numerica degli esiti di un fenomeno casuale. Useremo le lettere maiuscole per indicare la variabile, e le lettere minuscole per i suoi possibili valori. Ad esempio consideriamo la variabile casuale X = {numero di teste in tre lanci di monete} un suo possibile esito sarà x = 2 2 / 19

Distribuzioni di probabilità 3 / 19 I possibili esiti di un esperimento e le loro probabilità possono essere sintetizzati in distribuzioni di probabilità.

Distribuzioni di probabilità 3 / 19 I possibili esiti di un esperimento e le loro probabilità possono essere sintetizzati in distribuzioni di probabilità. Dal momento che una variabile casuale si riferisce all esito di un fenomeno casuale, a ogni possibile esito resta associata una probabilità di verificarsi. La distribuzioni di probabilità di una variabile casuale elenca i suoi possibili valori (o realizzazioni) e le relative probabilità.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete 4 / 19 La variabile casuale X è detta discreta se assume un numero finito o un infinità numerabile di valori {x 1,x 2,...,x n }.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete 4 / 19 La variabile casuale X è detta discreta se assume un numero finito o un infinità numerabile di valori {x 1,x 2,...,x n }. La distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X assegna una probabilità P(X = x i ) (o P(x)) a ogni possibile valore assunto x. Per ogni x la probabilità P(x) cade tra 0 e 1.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete 4 / 19 La variabile casuale X è detta discreta se assume un numero finito o un infinità numerabile di valori {x 1,x 2,...,x n }. La distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X assegna una probabilità P(X = x i ) (o P(x)) a ogni possibile valore assunto x. Per ogni x la probabilità P(x) cade tra 0 e 1. La somma delle probabilità per tutte le possibili realizzazioni x è pari a 1

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete 4 / 19 La variabile casuale X è detta discreta se assume un numero finito o un infinità numerabile di valori {x 1,x 2,...,x n }. La distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta X assegna una probabilità P(X = x i ) (o P(x)) a ogni possibile valore assunto x. Per ogni x la probabilità P(x) cade tra 0 e 1. La somma delle probabilità per tutte le possibili realizzazioni x è pari a 1 n i=1 P(X = x i ) = 1

Esempio variabile discreta 5 / 19

Esempio 6 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Supponiamo di essere interessati al numero di teste, allora definiamo X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli la distribuzione di probabilità di X e si rappresenti graficamente.

Esempio 6 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Supponiamo di essere interessati al numero di teste, allora definiamo X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli la distribuzione di probabilità di X e si rappresenti graficamente. Dobbiamo dunque calcolare P(x) = P(X = x) per tutti i possibili valori di x.

Esempio Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Supponiamo di essere interessati al numero di teste, allora definiamo X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli la distribuzione di probabilità di X e si rappresenti graficamente. Dobbiamo dunque calcolare P(x) = P(X = x) per tutti i possibili valori di x. Si ha P(0) = 0.25, P(1) = 0.50, P(2) = 0.25. 6 / 19

Esempio 7 / 19 Per mostrare la distribuzione di probabilità di una variabile discreta possiamo considerare un grafico a barre. Nel nostro esempio si ha:

Sintesi di una distribuzione 8 / 19 Per descrivere le caratteristiche di una distribuzione di probabilità si possono usare sintesi numeriche analoghe a quelle che abbiamo definito per le variabili in genere. Queste comprendono media, mediana, quartili, varianza e deviazione standard (o scarto quadratico medio).

Sintesi di una distribuzione 8 / 19 Per descrivere le caratteristiche di una distribuzione di probabilità si possono usare sintesi numeriche analoghe a quelle che abbiamo definito per le variabili in genere. Queste comprendono media, mediana, quartili, varianza e deviazione standard (o scarto quadratico medio). Le misure che ricorrono maggiormente sono: la media per descrivere la tendenza centrale della distribuzione;

Sintesi di una distribuzione 8 / 19 Per descrivere le caratteristiche di una distribuzione di probabilità si possono usare sintesi numeriche analoghe a quelle che abbiamo definito per le variabili in genere. Queste comprendono media, mediana, quartili, varianza e deviazione standard (o scarto quadratico medio). Le misure che ricorrono maggiormente sono: la media per descrivere la tendenza centrale della distribuzione; la deviazione standard e la varianza per descrivere la sua variabilità.

Valore atteso distribuzione discreta 9 / 19 Il valor medio (o valore atteso) per una variabile casuale è un parametro della popolazione.

Valore atteso distribuzione discreta 9 / 19 Il valor medio (o valore atteso) per una variabile casuale è un parametro della popolazione. Data una variabile casuale discreta allora il suo valore atteso è definito come: µ = E(X) = n i=1 x i P(x i ) Il termine valore atteso sta ad indicare che il valore calcolato indica cosa ci si aspetta in media in una lunga serie di osservazioni.

Esempio 10 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo che X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli il valor atteso di X.

Esempio 10 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo che X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli il valor atteso di X. Ricordiamo che, come visto prima, P(0) = 0.25, P(1) = 0.50, P(2) = 0.25.

Esempio 10 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo che X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli il valor atteso di X. Ricordiamo che, come visto prima, P(0) = 0.25, P(1) = 0.50, P(2) = 0.25. Ma allora µ = E(X) = 3 i=1 x i P(x i ) = 0 P(0) + 1 P(1) + 2 P(2) = 0 0.25 + 1 0.50 + 2 0.25 = 1

Esempio 10 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo che X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Si calcoli il valor atteso di X. Ricordiamo che, come visto prima, P(0) = 0.25, P(1) = 0.50, P(2) = 0.25. Ma allora µ = E(X) = 3 i=1 x i P(x i ) = 0 P(0) + 1 P(1) + 2 P(2) = 0 0.25 + 1 0.50 + 2 0.25 = 1 quindi ci aspettiamo che in media si ottenga una testa in due lanci consecutivi di una moneta.

Variabilità distribuzione discreta 11 / 19 Considerata la definizione del valor medio allora si avrà per le misure di variabilità: Varianza di una variabile casuale discreta σ 2 = E(X µ) 2 = n i=1 (x i µ) 2 P(x i )

Variabilità distribuzione discreta 11 / 19 Considerata la definizione del valor medio allora si avrà per le misure di variabilità: Varianza di una variabile casuale discreta σ 2 = E(X µ) 2 = n i=1 (x i µ) 2 P(x i ) Deviazione standard di una variabile casuale discreta σ = σ 2 = n (x i µ) 2 P(x i ) i=1

Esercizio 12 / 19 Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo che X = {numero di teste} = {0,1,2} la variabile casuale. Abbiamo visto che µ = 1 e P(0) = 0.25, P(1) = 0.50, P(2) = 0.25 ma allora: σ = (0 1) 2 P(0) + (1 1) 2 P(1) + (2 1) 2 P(2) = (0 1) 2 0.25 + (1 1) 2 0.50 + (2 1) 2 0.25 = 0.50 = 0.707

Distribuzione di variabili qualitative e binarie 13 / 19 Per variabili qualitative la distribuzione di probabilità è calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di variabili quantitative discrete.

Distribuzione di variabili qualitative e binarie 13 / 19 Per variabili qualitative la distribuzione di probabilità è calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di variabili quantitative discrete. Sia ad esempio X una variabile casuale binaria che misura la germogliazione o meno di una specie. Gli esiti possibili della variabile aleatoria sono X = {0,1}, dove 0 indica che non è avvenuta la germogliazione e 1 l esito favorevole alla germogliazione.

Distribuzione di variabili qualitative e binarie 13 / 19 Per variabili qualitative la distribuzione di probabilità è calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di variabili quantitative discrete. Sia ad esempio X una variabile casuale binaria che misura la germogliazione o meno di una specie. Gli esiti possibili della variabile aleatoria sono X = {0,1}, dove 0 indica che non è avvenuta la germogliazione e 1 l esito favorevole alla germogliazione. Il numero di esiti possibili è pari a 2 e si sa che la variabile ha la seguente distribuzione di probabilità P(0) = 0.20 e P(1) = 0.80.

Distribuzione di variabili qualitative e binarie 13 / 19 Per variabili qualitative la distribuzione di probabilità è calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di variabili quantitative discrete. Sia ad esempio X una variabile casuale binaria che misura la germogliazione o meno di una specie. Gli esiti possibili della variabile aleatoria sono X = {0,1}, dove 0 indica che non è avvenuta la germogliazione e 1 l esito favorevole alla germogliazione. Il numero di esiti possibili è pari a 2 e si sa che la variabile ha la seguente distribuzione di probabilità P(0) = 0.20 e P(1) = 0.80. Otteniamo che il valor medio è: µ = 0 0.20 + 1 0.80 = 0.80

Distribuzione di variabili qualitative e binarie Per variabili qualitative la distribuzione di probabilità è calcolata in modo analogo a quanto visto per le distribuzioni di variabili quantitative discrete. Sia ad esempio X una variabile casuale binaria che misura la germogliazione o meno di una specie. Gli esiti possibili della variabile aleatoria sono X = {0,1}, dove 0 indica che non è avvenuta la germogliazione e 1 l esito favorevole alla germogliazione. Il numero di esiti possibili è pari a 2 e si sa che la variabile ha la seguente distribuzione di probabilità P(0) = 0.20 e P(1) = 0.80. Otteniamo che il valor medio è: µ = 0 0.20 + 1 0.80 = 0.80 Per una variabile casuale che assume esclusivamente realizzazioni pari a 0 e a 1, la media è la probabilità della realizzazione indicata con 1. 13 / 19

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 14 / 19 La variabile casuale X è detta continua se può assumere qualunque valore in un intervallo: il tempo di germogliazione di un fiore

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 14 / 19 La variabile casuale X è detta continua se può assumere qualunque valore in un intervallo: il tempo di germogliazione di un fiore l altezza di una pianta

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 14 / 19 La variabile casuale X è detta continua se può assumere qualunque valore in un intervallo: il tempo di germogliazione di un fiore l altezza di una pianta la percentuale di argilla in un terreno.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 14 / 19 La variabile casuale X è detta continua se può assumere qualunque valore in un intervallo: il tempo di germogliazione di un fiore l altezza di una pianta la percentuale di argilla in un terreno. Queste variabili possono potenzialmente assumere qualsiasi valore.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 14 / 19 La variabile casuale X è detta continua se può assumere qualunque valore in un intervallo: il tempo di germogliazione di un fiore l altezza di una pianta la percentuale di argilla in un terreno. Queste variabili possono potenzialmente assumere qualsiasi valore. Le distribuzioni di probabilità di variabil casuali continue assegnano probabilità o ogni intervallo di possibili valori.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 15 / 19 Una distribuzione di probabilità per variabili continue può essere graficamente rappresentata con un istogramma.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 15 / 19 Una distribuzione di probabilità per variabili continue può essere graficamente rappresentata con un istogramma. Solitamente la distribuzione di probabilità di una variabile continua viene rappresentata con la sua approssimazione continua, quasi ad indicare che vogliamo associare una probabilità ad ogni singolo valore.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 16 / 19 Una variabile casuale continua assumevalori che costituiscono un intervallo. La sua distribuzione di probabilità è rappresentata da una curva che consente di determinare la probabilità che la variabile casuale assuma valori in un prestabilito intervallo. Ciascun intervallo ha probabilità tra 0 e 1. Si tratta dell area sottesa dalla curva che rappresenta la distribuzione in corrispondenza di taleintervallo.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 16 / 19 Una variabile casuale continua assumevalori che costituiscono un intervallo. La sua distribuzione di probabilità è rappresentata da una curva che consente di determinare la probabilità che la variabile casuale assuma valori in un prestabilito intervallo. Ciascun intervallo ha probabilità tra 0 e 1. Si tratta dell area sottesa dalla curva che rappresenta la distribuzione in corrispondenza di taleintervallo. L intervallo che contiene tutti i possibili valori della variabile casuale ha probabilità pari a 1. In tal modo l area complessiva sottesa dalla curva di distribuzione di probabilità è pari a 1.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue Una variabile casuale continua assumevalori che costituiscono un intervallo. La sua distribuzione di probabilità è rappresentata da una curva che consente di determinare la probabilità che la variabile casuale assuma valori in un prestabilito intervallo. Ciascun intervallo ha probabilità tra 0 e 1. Si tratta dell area sottesa dalla curva che rappresenta la distribuzione in corrispondenza di taleintervallo. L intervallo che contiene tutti i possibili valori della variabile casuale ha probabilità pari a 1. In tal modo l area complessiva sottesa dalla curva di distribuzione di probabilità è pari a 1. Per una variabile continua non ha senso calcolare la probabilità per una specifica realizzazione della variabile, questa probabilità sarà necessariamente 0. 16 / 19

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 17 / 19 Per una variabile casuale continua possiamo calcolare dunque solo probabilità di intervalli.

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 17 / 19 Per una variabile casuale continua possiamo calcolare dunque solo probabilità di intervalli. La probabilità che la variabile casuale X non superi un certo valore x prende il nome di funzione di ripartizione, e rappresenta le probabilità cumulate: F(x) = P(X x)

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 17 / 19 Per una variabile casuale continua possiamo calcolare dunque solo probabilità di intervalli. La probabilità che la variabile casuale X non superi un certo valore x prende il nome di funzione di ripartizione, e rappresenta le probabilità cumulate: F(x) = P(X x) Siano a e b due possibili realizzazioni della variabile X, tali che a < X < b. La probabilità che X assuma valori tra a e b è data da P(a X b) = F(b) F(a)

Distribuzioni di probabilità per variabili casuali continue 18 / 19 L area ombreggiata sottesa alla curva è la probabilità che X assuma valori tra a e b.