I.I.S. C. Marzoli - Liceo Scientico Statale G. Galilei Palazzolo s/o Classe 5I - Anno Scolastico 05/06 - Prof. Simone Alghisi Alcuni esercizi relativi alle funzioni continue Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti tre condizioni: x 0 deve appartenere al dominio D della funzione x 0 D), quindi ha senso calcolare fx 0 ); esistono niti e coincidenti i iti l, l, l = l = l ; deve essere fx 0 ) = l. Se una funzione è continua per ogni x 0 D, allora diremo che f è continua in tutto D..) Esercizio Data la funzione ln x x ]0; + [, 0 x = 0, stabilire se essa è continua in x 0 = 0. Soluzione. La funzione è denita in D f = [0; + [. Per vericare quanto richiesto dobbiamo rifarci alla denizione di funzione continua. Anzitutto 0 D f e f0) = 0. Controlliamo i iti: l = ± ± ln x = + = 0+. Dal fatto che l = f0), deduciamo che f è continua in x 0 = 0..) Esercizio Si consideri la funzione x x ). Determinare il dominio D f e studiare la continuità della funzione. Soluzione. Il dominio della funzione data è D f = x R : x x ) 0 } = 0} [; + [. La funzione è continua nel suo dominio perchè y = fx) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f..3) Esercizio Si consideri la funzione x + x 6 x x. Determinare il dominio D f e studiare la continuità della funzione data.
Soluzione. Il dominio della funzione risulta essere D f = x R : x x 0 } = R \ ; } =] ; [ ] ; [ ]; + [. Analizziamo ora i iti della funzione quando la variabile indipendente x tente a e. x ± x + x 6 x ± x x = x + x 6 x ± x ± x x = 5 3. x )x + 3) x ± x )x + ) =. La funzione non è continua in x = poichè i iti corrispondenti sono inniti. La funzione non è continua nemmeno in x = in quanto f) non esiste sebbene i iti destro e sinistro esistano niti..4) Esercizio Si consideri la funzione x. Stabilire se essa è continua nel punto x 0 =. Soluzione. É immediato vericare che il dominio della funzione data è D f = R. Inoltre x se x, x se x <. Notiamo che f) = 0. Inoltre x x x) = 0, x ) = 0. + +x x Dal fatto che i due iti esistano niti coincidenti e siano uguali a f), possiamo dire che la funzione è continua in x 0 =..5) Esercizio Determinare il valore del parametro k R in modo tale che la funzione y = fx) denita da x + se x, 3 kx se x >, sia continua nel suo dominio. Soluzione. Il dominio della funzione è D f = R. Il punto che potrebbe portare ad una discontinuità è x 0 = il punto di raccordo tra le due funzioni). Analizziamo i iti destro e sinistro di x 0 =. x + ) =, x x 3 kx ) = 3 k. x + x + La funzione è continua in x 0 = se i due iti esistono niti coincidenti e sono uguali a f): f) = = 3 k k =.
La funzione richiesta è quindi la seguente: x + se x, 3 x se x >,.6) Esercizio Determinare i valori dei parametri a, b R in modo tale che la funzione y = fx) denita da log 3 x + ) se < x 0, a sin x + b cos x se 0 < x < π/, x se x π/, risulti essere continua nel suo dominio. Soluzione. Analizzando le tre funzioni componenti e confrantando i corrispondenti domini con gli intervalli a anco di ogni funzione permette di aermare che D f = R. I punti dubbi sono x = 0 e x = π/. Calcoliamo i iti destri e sinistri corrispondenti. log 3 + x) = 0 = f0), sin x + b cos x) = b, + +a Dall'analisi dei primi due iti deduciamo che b = 0. a sin x + b cos x) = a, x π x π x = π π ) x π + x π + = f, quindi deve essere a = π/. La funzione così ottenuta ha la seguente espressione analitica: log 3 x + ) se < x 0, π sin x se 0 < x < π/, x se x π/, Punti di discontinuità di una funzione Quando una funzione y = fx), denita in un dominio D R, non risulta essere continua in un punto x 0 D diremo che la funzione è discontinua nel punto x 0. É possibile classicare il tipo di discontiniuità della funzione nel punto x 0. Esistono tre specie di discontinuità..) Denizione Una funzione y = fx) presenta un discontinuità di prima specie se l, l, con l e l niti ma l l. 3
In tal caso chiamiamo salto della funzione il numero s = l l..) Denizione Una funzione y = fx) presenta un discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due iti fx) oppure fx) risulta essere + o..3) Denizione Una funzione y = fx) presenta un discontinuità di terza specie detta anche einabile) se l R, ma la funzione non esiste in x 0 oppure fx 0 ) l..4) Osservazione La condizione richiesta sui iti per la discontinuità di terza specie equivale ad aermare che la funzione y = fx) ammette ite per x x 0. Infatti, una funzione ammette ite l, x x 0 se, e solo se, i iti destro e sinistro esistono coincidenti: l x x 0 = l.5) Esercizio Classicare le eventuali discontinuità della funzione e /x. Soluzione. La funzione ha come dominio D f = R \ 0}. Classichiamo il punto x 0 = 0. Esso è di accumulazione per il dominio D f. Dall'analisi dei iti e e /x = [ e ] = 0, + e /x = [ e ] = 0, si deduce che x 0 = 0 è di terza specie poichè la funzione non esiste in 0..6) Esercizio Classicare le eventuali discontinuità della funzione 5 + log x. Soluzione. La funzione ha come dominio l'insieme D f = x R : x > 0} = R \ 0}. Analizziamo i iti destro e sinistro: 5 + log x)) =, + log x) =. + +5 4
Possiamo dedurre che il punto x 0 = 0 è di seconda specie..7) Esercizio Classicare gli eventuali punti di discontinuità della funzione x < x <, x, x x. Soluzione. Le singole funzioni componenti hanno per dominio R. La funzione y = fx) ha per dominio R. I punti candidati ad essere di discontinuità sono i punti di raccordo tra le tre funzioni: x = e x =. Iniziamo con l'analizzare il punto x =. x ) = 0, x x x + x ) = x + ) = 0. x + Inoltre f ) = 0, quindi la funzione è continua in x =. x = : Concentriamoci ora sul punto x x x ) = 0, x =. + + ) x Essendo i due iti niti ma diversi possiamo aermare che la funzione non è continua in x = discontinuità di prima specie con salto s = 0 = )..8) Esercizio Studiare gli eventuali punti di discontinuità della funzione f : R R denita da ln x ) ln x se x 0, x ±e /, ) + se x = 0 o x = ±e /. Soluzione. Il dominio D f della funzione y = fx) è l'insieme D f = x R : x > 0, + ln x 0 } = R \ 0, e /, e /}. I punti che dobbiamo analizzare sono proprio quelli esclusi dal dominio D f. Iniziamo con x 0 = 0. ln x ± ln x + = ln x ) ln x ± ln x + ) =, ln x dove si è utilizzato il fatto che = ± ln x 0. Poichè i iti destro e sinistro esistono niti coincidenti e sono uguali a f0) =, possiamo aermare che la funzione è continua in x 0 = 0. Consideriamo ora x 0 = e /. ln x x e / ) ± ln x + = ln e / ) ln e /) = ln e + ln e + =. 5
Nel punto x 0 = e / è presente una discontinuità di seconda specie. Procedendo in modo analogo per x 0 = e /, si verica facilmente che anche in tale punto è presente una discontinuità di seconda specie..9) Esercizio Determinare e classicare gli eventuali punti di discontinuità della funzione x + x x. Soluzione. Il dominio della funzione data è D f = x R : x x 0 } = R \ ; }. Dal fatto che x x > 0 per x < x >, la funzione y = fx) può essere ridenita nel modo seguente: x + x x x + x + x + se x < x >, se < x <, cioè x x se x < x >, se < x <. Calcolando il ite destro e sinistro per x si ha: x + x + x = 3, x x x = 3. I iti trovati esistono niti ma diversi tra loro. Segue che x = è un punto di discontinuità di prima specie. Il salto della funzione vale /3. Calcolando ora il ite destro e sinistro della funzione per x si ha x x x = x + x = +, quindi il punto x = è un punto di discontinuità di seconda specie. 3 Teoremi relativi alle funzioni continue 3.) Teorema di Weierstrass) Se una funzione y = fx) è continua nell'intervallo chiuso e itato [a; b], allora la funzione assume, in tale intervallo, un valore massimo M ed un valore minimo m e assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo. 6
Si è soliti indicare il massimo ed il minimo di una funzione nel modo seguente: M = max x [a;b] fx), m = min x [a;b] fx), dove si è messo in risalto l'intervallo nel quale è presente il punto di massimo e il punto di minimo. 3.) Teorema di esistenza degli zeri) Se una funzione y = fx) è continua nell'intervallo chiuso e itato [a; b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto x 0 [a; b] in cui si ha fx 0 ) = 0. 3.3) Esercizio Vericare se è possibile applicare il Teorema di Weierstrass alla funzione 5x x 4 6 nell'intervallo I = [; 4]. Soluzione. Il dominio della funzione data è D f = x R : 5x x 4 6 0 }. Risolvendo la disequazione 5x x 4 6 0 o la disequazione equivalente x 4 5x + 6 0) mediante la sostituzione x = t, si ottiene [ D f = 3; ] [ ] ; 3. Dal fatto che in I la funzione è denita e continua, possiamo aermare che in I la funzione ammette massimo e minimo. 3.4) Esercizio Stabilire per quale valore di k R la funzione k x 4kx 0 x, 6 log x 3 < x 3, verica le ipotesi il Teorema di Weierstrass nell'intervallo I = [0; 3]. Soluzione. La funzione deve essere denita e continua in I. Per denizione della funzione essa risulta essere ben denita nell'intervallo I = [0; 3]. Vediamo se soddisfa la continuità in I. L'unico punto dubbio è x =. Controlliamo i iti destro e sinistro: k x 4kx ) = k 4k, x x x log x 3) = 3. + +6 x Poichè y = fx) deve essere continua in x = dobbiamo imporre che i due iti calcolati sopra coincidano: k 4k = 3 k 4k + 3 = 0. Risolvendo l'equazione di secondo grado si ottengono due valori per k e precisamente k = e k = 3. 3.5) Esercizio Si consideri la funzione log x + x. Dire se è possibile applicare il Teorema degli zeri alla funzione y = fx) nell'intervallo I = [ 4 ; ]. Soluzione. Poichè la funzione ha come dominio D f =]0; + [ e I D f possiamo aermare che la funzione è continua in I. Inoltre f/4) < 0 e f) > 0. Dal fatto che la funzione assume valori discordi agli estremi dell'intervallo I possiamo aermare che la funzione possiede almeno un punto x 0 I tale che fx 0 ) = 0. 7