Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica Correlazione Regressione Lineare Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
Campo di applicazione Analisi della relazione tra due variabili continue. Es: relazione tra altezza e peso Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 2
Campo di applicazione Le variabili sono associate? -> correlazione Come varia il valore di una variabile in conseguenza del variare di un altra variabile? -> regressione Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
Correlazione Dato un insieme di osservazioni definite da due variabili continue, valutiamo la forza dell associazione tra le due variabili disegnando il diagramma di dispersione e calcolando il coefficiente di correlazione. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
Correlazione Il diagramma di dispersione si disegna riportando i valori delle osservazioni su un sistema di assi cartesiani, in cui l asse x rappresenta una delle due variabili e l asse y l altra variabile. Il diagramma consente di collocare ogni osservazione nello spazio definito dai valori possibili delle due variabili. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 5
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20,0 19 24 29 34 39 44 49 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
La forma della nuvola di punti così ottenuta consente una valutazione visiva del grado di associazione tra le due variabili. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
36,0 Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna 34,0 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20,0 10 15 20 25 30 35 40 45 età materna Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20,0 19 24 29 34 39 44 49 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 9
Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) consente la valutazione formale del grado di associazione. L intervallo dei valori possibili di r è: -1 <= r <=1 Se r=1 o r=-1 tutti i punti giacciono su una retta Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 10
36,0 34,0 Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna r = 0,15 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20,0 10 15 20 25 30 35 40 45 età materna Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 11
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 r = 0,72 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 20,0 19 24 29 34 39 44 49 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 12
Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 13 ( )( ) ( ) ( ) = = = = n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 2 1 La formula del coefficiente di correlazione di Pearson (r)
Relazione tra concentrazione plasmatica i colesterolo e trigliceridi Colesterolo Trigliceridi (x) x y 1 3,45 6,24-2,459-0,493 2 3,5 6,18-2,409-0,553 3 2,95 5,2-2,959-1,533 4 3,77 6,11-2,139-0,623 5 3,67 6,36-2,239-0,373 6 5,31 5,67-0,599-1,063 7 5,1 5,48-0,809-1,253 8 7,85 5,67 1,941-1,063 9 8,79 9,4 2,881 2,667 10 12,3 8,4 6,391 1,667 medie: 5,669 6,471 (y) ( ) y i xi ( ) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 14
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi 10 9 8 7 6 trigliceridi 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 15
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi ( y) xi y i ( x) ( y y) ( x) (y) x i * ( x ) i x i 2 ( y y) i 2 3,45 6,24-2,459-0,493 1,212287 6,046681 0,243049 3,5 6,18-2,409-0,553 1,332177 5,803281 0,305809 2,95 5,2-2,959-1,533 4,536147 8,755681 2,350089 3,77 6,11-2,139-0,623 1,332597 4,575321 0,388129 3,67 6,36-2,239-0,373 0,835147 5,013121 0,139129 5,31 5,67-0,599-1,063 0,636737 0,358801 1,129969 5,1 5,48-0,809-1,253 1,013677 0,654481 1,570009 7,85 5,67 1,941-1,063-2,063283 3,767481 1,129969 8,79 9,4 2,881 2,667 7,683627 8,300161 7,112889 12,3 8,4 6,391 1,667 10,653797 40,844881 2,778889 Sommatorie: 26,54411 83,54389 16,46149 r= 0,715774547 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 16
Esercizi Correlazione Pag. 304 n. 1 Pag. 304 n. 5 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 17
Regressione Stima della variazione media di una variabile in conseguenza della variazione unitaria di un altra variabile Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 18
Variabile indipendente -> causa Variabile dipendente -> effetto Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 19
Variabile indipendente -> causa -> ascisse Variabile dipendente -> effetto -> ordinate Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 20
effetto y V. d i p e n d e n t e Var. indipendente x causa Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 21
Obiettivo dell analisi di regressione: Individuare la retta che meglio predice il valore di y (variabile dipendente), noto il valore di x (variabile indipendente). y=a+bx Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 22
y=a+bx a -> intercetta b -> pendenza Come stimiamo i valori dei due coefficienti? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 23
Il valore atteso di x è la sua media y Media di x x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 24
Il valore atteso di y è la sua media Media di y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 25
La retta che meglio predice y x passa per la media di x e di y y Media di x e media di y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 26
Per un punto passano infinite rette! Quale retta scegliamo? Con quale criterio? y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 27
y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 28
y valore y_osservato valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 29
Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto La retta migliore minimizza la somma dei quadrati dei residui y Metodo detto dei minimi quadrati valore y_osservato valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 30
a = y bx ( )( ) x x y y ( ) x b = i 2 i x i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 31
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi ( y) xi y i ( x) ( y y) ( x) (y) x i * ( x ) i x i 2 1 3,45 6,24-2,219-0,231 0,512589 4,923961 2 3,5 6,18-2,169-0,291 0,631179 4,704561 3 2,95 5,2-2,719-1,271 3,455849 7,392961 4 3,77 6,11-1,899-0,361 0,685539 3,606201 5 3,67 6,36-1,999-0,111 0,221889 3,996001 6 5,31 5,67-0,359-0,801 0,287559 0,128881 7 5,1 5,48-0,569-0,991 0,563879 0,323761 8 7,85 5,67 2,181-0,801-1,746981 4,756761 9 8,79 9,4 3,121 2,929 9,141409 9,740641 10 12,3 8,4 6,631 1,929 12,791199 43,970161 medie: 5,669 6,471 26,54411 83,54389 b= 0,31772653 a= 4,66980832 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 32
variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo 10 trigliceridi (y) 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 33
variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi (y) 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo (x) b = 0,32 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 34
variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi (y) 10 8 6 4 2 0 a=4,67 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 35
variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo 10 trigliceridi (y) 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 36
Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 37 Formule abbreviate ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = x x y x y x y i n i a i i i i i 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) = x x y x y x i n i n b i i i i 2 2 Queste formule sono più convenienti per il calcolo a mano Si basano sulle formule abbreviate per il calcolo della varianza
Requisiti dell analisi di regressione Y è una variabile casuale Omoscedasticità (omogeneità della varianza di y x) Distribuzione normale di y x Linearità della relazione tra x ed y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 38
In questo esempio abbiamo dati campionati da una popolazione in cui le tre assunzioni sono soddisfatte Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 39
Variabilità della retta di regressione. y è una variabile casuale x di solito non è una variabile casuale. Il ricercatore può scegliere soggetti con i valori della x più adatti per lo studio. Pertanto siamo interessati a valutare la variabilità di y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 40
Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria) s ( ) y yˆ 2 i i = n 2 2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 41
Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto Varianza = scarti ^ 2 / g.l. y valore y_osservato scarto valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 42
s ( ) y yˆ 2 i i = n 2 2 y ˆ = a + i bx i Sostituisco: s 2 ( y a bx ) = i n 2 i 2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 43
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo Triglicerid att(y) y-att(y) (y-att(y))^2 (x) i (y) 1 3,45 6,24 5,765965 0,474035 0,224709 2 3,5 6,18 5,781851 0,398149 0,158522 3 2,95 5,2 5,607102-0,4071 0,165732 4 3,77 6,11 5,867637 0,242363 0,05874 5 3,67 6,36 5,835865 0,524135 0,274718 6 5,31 5,67 6,356936-0,68694 0,471881 7 5,1 5,48 6,290214-0,81021 0,656446 8 7,85 5,67 7,163962-1,49396 2,231921 9 8,79 9,4 7,462624 1,937376 3,753424 10 12,3 8,4 8,577845-0,17784 0,031629 somma degli scarti^2 8,027722 b= 0,31772653 s(b)^2= 1,003465 a= 4,66980832 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 44
Omoscedasticità: la varianza di y è costante per tutto l intervallo x. E un requisito per la corretta applicazione della regressione lineare (v.oltre) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 45
Errore standard di b ES( b) = s 2 ( x x) 2 i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 46
Colesterolo (x) Trigliceridi ( ) (y) x xi 2 att(y) y-att(y) (y-att(y))^2 1 3,45 6,24 4,923961 5,765965 0,474035 0,224709 2 3,5 6,18 4,704561 5,781851 0,398149 0,158522 3 2,95 5,2 7,392961 5,607102-0,4071 0,165732 4 3,77 6,11 3,606201 5,867637 0,242363 0,05874 5 3,67 6,36 3,996001 5,835865 0,524135 0,274718 6 5,31 5,67 0,128881 6,356936-0,68694 0,471881 7 5,1 5,48 0,323761 6,290214-0,81021 0,656446 8 7,85 5,67 4,756761 7,163962-1,49396 2,231921 9 8,79 9,4 9,740641 7,462624 1,937376 3,753424 10 12,3 8,4 43,970161 8,577845-0,17784 0,031629 83,54389 somma degli scarti^2 8,027722 b= 0,31772653 s(b)^2= 1,003465 a= 4,66980832 ES(b)= 0,109596 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 47
Errore standard di b ES( b) = s 2 ( x x) 2 i L errore standard di b si riduce, a parità di s, quando la variabilità di x è maggiore! Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 48
Intervallo di Confidenza e tests t per il coefficiente di regressione t = distanza tra il valore di b stimato (b) e quello previsto dall ipotesi nulla (ß, di solito H0: ß =0), in unità di errore standard di b (SE(b)) t = b β SE(b) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 49
Intervallo di Confidenza del coefficiente di regressione L intervallo di confidenza si calcola nel modo consueto (v. lezione precedente) t ha (n-2) gradi di libertà ed il valore è scelto in modo corrispondente all errore di I tipo, con test a 2 code CI = b ± t crit SE(b) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 50
Colesterolo (x) Trigliceridi ( ) (y) x xi 2 att(y) y-att(y) (y-att(y))^2 1 3,45 6,24 4,923961 5,765965 0,474035 0,224709 2 3,5 6,18 4,704561 5,781851 0,398149 0,158522 3 2,95 5,2 7,392961 5,607102-0,4071 0,165732 4 3,77 6,11 3,606201 5,867637 0,242363 0,05874 5 3,67 6,36 3,996001 5,835865 0,524135 0,274718 6 5,31 5,67 0,128881 6,356936-0,68694 0,471881 7 5,1 5,48 0,323761 6,290214-0,81021 0,656446 8 7,85 5,67 4,756761 7,163962-1,49396 2,231921 9 8,79 9,4 9,740641 7,462624 1,937376 3,753424 10 12,3 8,4 43,970161 8,577845-0,17784 0,031629 83,54389 somma degli scarti^2 8,027722 b= 0,31772653 s(b)^2= 1,003465 a= 4,66980832 ES(b)= 0,109596 IC(95%)_b= 0,064998-0,570455 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 51
8 6 4 2 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo IC(95%)_b= 10 0,06-0,57 trigliceridi (y) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 52
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza circonferenza cranica 36,0 34,0 32,0 30,0 28,0 26,0 24,0 a=8,02 b= 0,51 ES(b)=0,05021 (IC 95%_b: 0,41-0,61) y= 8,02 + 0,51x 22,0 20,0 18,0 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 53
Valore di y predetto dalla retta di regressione data y=a+bx, dopo aver ricavato a e b possiamo predire il valore atteso di y, corrispondente ad un dato valore di x. Il calcolo si effettua sostituendo il valore di x nella formula, noti a e b e risolvendo l equazione. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 54
Valore di y predetto dalla retta di regressione Es. il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 41 cm è ŷ =8,02+0,513 * x ŷ ŷ =8,02+0,513 * 41 =29,05 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 55
Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) 2 x x i ( ) x x 1 = yˆ ± t s 1+ + gl, α 2 2 n i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 56
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Es. il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 41 cm è ŷ =29,05 ŷ IC( )= 25,47-32,63 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 57
Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) 2 x x i ( ) x x 1 = yˆ ± t s 1+ + gl, α 2 2 n i La predizione ha un errore maggiore allontanandosi dalla media di x La predizione ha un errore minore con un ampia variabilità di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 58
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14 12 10 8 6 4 atteso_y 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 60
Cautele nella predizione La predizione non è valida fuori dell intervallo osservato di x La predizione è più incerta agli estremi della distribuzione di x Per migliorare la precisione della predizione debbo aumentare la somma dei quadrati degli scarti (devianza) di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 61
Outliers ed osservazioni influenti Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 62
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Ho due outliers, indicati come: 1 e 2 36,0 34,0 2 32,0 30,0 circonferenza cranica 28,0 26,0 24,0 22,0 1 20,0 18,0 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 63
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Se escludo outlier 1 36,0 34,0 32,0 30,0 circonferenza cranica 28,0 26,0 24,0 22,0 1 20,0 18,0 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 64
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36,0 34,0 Se escludo outliers 1 e 2 2 32,0 circonferenza cranica 30,0 28,0 26,0 24,0 22,0 1 20,0 18,0 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 65
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Tutti i dati: a=8,02 b= 0,51 Escluso outlier 1: a=4,91 b=0,60 Esclusi outlier 1 e 2: a=4,46 b=0,61 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 66
Valutazione del modello R 2 : proporzione della varianza che è spiegata dal modello di regressione = coefficiente di correlazione ^2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 67
variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo 10 r =0,716 R 2 =0,51 trigliceridi (y) 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 68
Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribuzione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 69
Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribizione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 70
Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 71
Verifica delle assunzioni del modello La verifica delle assunzioni del modello viene condotta esaminando la distribuzione dei residui Se la varianza è costante per tutta la distribuzione della x,anche i residui saranno distribuiti in modo uniforme. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 72
Verifica delle assunzioni del modello Distribuzione uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 73
Distribuzione uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 74
Distribuzione non uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 75
Distribuzione non uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 76
Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribuzione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 77
Distribuzione normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 78
Distribuzione non normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 79
Distribuzione non normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 80
Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribizione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 81
Perchè parliamo di regressione lineare? La variazione lineare è spesso una spiegazione adeguata Variazioni non lineari diventano tali dopo una trasformazione matematica di una delle variabili La variazione lineare è un punto di partenza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 82
Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 83
Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 84
Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Radice quadrata Logaritmo Inversa (meglio se ulteriormente moltiplicata per -1) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 85
Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 86
Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Dati trasformati Inversa negativa Log Radice Dati originali Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 87
Esercizi regressione Pag.326 n 1 Pag.326 n 3 Pag.326 n 4 Pag.326 n 6 Pag.326 n 10 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 88