Sistemi lineari. Destinatari e Contenuti [Questo percorso didattico Sistemi lineari) si rivolge a studenti del Liceo Scientifico di ordinamento. Per i licei di ordinamento, tale argomento è previsto al anno, per il classico ore settimanali a disposiione), ed al anno per lo scientifico ore settimanali a disposiione). Nel P.N.I. l argomento dei Sistemi lineari è inserito nel Tema Insiemi numerici e calcolo), al punto e) : Equaioni, disequaioni e sistemi di primo grado. Nel caso del PNI vi sono ore settimanali a disposiione. Solitamente, l argomento è previsto al II anno di corso. Per quanto riguarda i programmi Brocca, si vedano i programmi PNI.. Prerequisiti Scomposiione di polinomi in fattori Calcolo algebrico con monomi, polinomi Fraioni algebriche Prodotti notevoli Ridurre a forma normale equaioni Utiliare il linguaggio degli insiemi Risoluione di equaioni lineari. Accertamento dei prerequisiti Per la comprensione del seguente percorso didattico è indispensabile la conoscena dei prerequisiti sopra elencati, il cui accertamento avverrà mediante una verifica. Se necessario si provvederà quindi al recupero dei prerequisiti mancanti. Si cercherà comunque di richiamare concetti e proprietà ogni volta che questi verranno utiliati. 4. Obiettivi OBIETTIVI GENERALI Acquisire le conoscene, competene e abilità previste dall unità didattica Comprendere le finalità e acquisire la competena del calcolo algebrico Condurre ad un appropriato utilio del linguaggio matematico Individuare la strategia di soluione più adeguata di un problema, in base alle indicaioni ricevute Condurre ad un appropriato utilio del lessico matematico Acquisiione e consapevolea dei vari collegamenti logici che partono dai sistemi lineari Riconoscere il contributo dato dalla matematica allo sviluppo delle sciene sperimentali OBIETTIVI TRASVERSALI Sviluppare attitudine alla comunicaione e ai rapporti interpersonali favorendo lo scambio di opinioni tra docente e allievo e tra gli allievi Ampliare ulteriormente il processo di preparaione scientifica e culturale degli studenti Contribuire a sviluppare capacità logiche ed argomentative
Sviluppare lo spirito critico e l attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente le conoscene acquisite Sviluppare la capacità di sistemare logicamente le conoscene acquisite OBIETTIVI SPECIFICI Conoscene Conoscere come si presenta un sistema lineare Conoscere la classificaione dei sistemi lineari Conoscere i metodi di risoluione dei sistemi lineari Abilità Classificare i sistemi di equaioni Risolvere un sistema di equaioni Applicare il concetto di sistema lineare alla risoluione di problemi. Metodologie didattiche Durante lo svolgimento delle leioni si cercherà di richiamare i concetti fondamentali. Al termine di ogni leione si fisseranno le nuove noioni attraverso lo svolgimento di esercii. 6. Materiali e strumenti utiliati Lavagna e gessi Libro di testo 7. Controllo dell apprendimento L andamento e l efficacia della metodologia didattica utiliata vengono controllate attraverso verifiche formative, discussioni in classe, svolgimento di esercii in classe e a casa e attraverso verifiche sommative. 8. Misuraione La misuraione si attua attraverso: Verifica per l accertamento dei prerequisiti Prove orali individuali Verifica sommativa 9. Griglia per la misuraione Per determinare gli esiti della verifica sommativa attribuiamo ad ogni eserciio un punteggio.
La diversità di punteggio tra i vari esercii rispecchia i livelli diversi di difficoltà in termini di conoscene e abilità per svolgerli. Il punteggio finale ottenuto sarà poi trasformato in voto seguendo la griglia per la valutaione decisa in collegio docenti della relativa scuola. Dipartimento di matematica) Eventualmente, si seguiranno due griglie differenti: una per il biennio ed una per il triennio. 0. Recupero Affinché l attività didattica risulti efficace e completa, si prevede di svolgere, eventualmente, attività di recupero così articolate: Recupero da effettuare in classe durante le ore curricolari, attraverso la ripresa dei concetti non ben compresi e lo svolgimento di esercii riguardanti tali argomenti. Attività pomeridiane con studenti carenti Assegnaione al singolo studente di esercii mirati, in modo da risolvere i suoi problemi e superare le sue difficoltà Per individuare gli argomenti che necessitano di recupero, sia a livello collettivo sia a livello individuale, ci si avvarrà di tutti i tipi di verifica.. Tempi dell intervento didattico Per l U.D. sono previste circa 0 ore di leione frontale più le ore dedicate ad esercii. Sono escluse dal computo le ore necessarie per l effettuaione e la correione/discussione della verifica sommativa. I tempi per il raggiungimento degli obiettivi prefissati dipenderanno anche dal livello di apprendimento raggiunto dagli allievi. U.D. SISTEMI LINEARI EQUAZIONI CON PIU VARIABILI. Esistono problemi che portano a considerare equaioni a due o più variabili. Esempi: Determinare due numeri sapendo che la loro somma è 7. Determinare due numeri sapendo che la somma del quadrato del primo, e del secondo è. Determinare tre numeri sapendo che la loro somma è 0. Se indichiamo con,, i tre numeri cercati negli esempi, possiamo impostare l equaione che ci permette di discutere l esistena e la ricerca di tali valori. Prendiamo a titolo esemplificativo il primo problema.
L equaione che occorre considerare è : 7 Si tratta di un equaione a due variabili la cui soluione consiste nel determinare tutte le coppie di numeri che sostituiti alle incognite, trasformino l uguagliana data in una identità. In questo L equaione data ha infinite soluioni. Per determinare una soluione particolare dell equaione data, si può procedere nel modo seguente: Si supponga di conoscere una delle due incognite. Si ponga, ad esempio. Sostituendo nell equaione, si ha: 7 Così facendo, si arriva ad un equaione ad una variabile, la cui soluione è. Una soluione dell equaione data è rappresentata dalla coppia e. Tutte le coppie di numeri che riusciamo a trovare infinite coppie ) con tale semplice metodo, sono le soluioni del problema. Definiione Date due espressioni algebriche A e B,delle quali almeno una contenga almeno due lettere, dette variabili, si dice equaione in più variabili, l uguagliana : A B scritta allo scopo di stabilire se esistono valori delle variabili per le quali le due espressioni assumono lo stesso valore, e di determinare tali valori nel caso che esistano. Le eventuali coppie ordinate di valori delle variabili, che fanno assumere valori uguali ai membri dell equaione, si dicono soluioni dell equaione. L insieme S di tutte le soluioni si chiama insieme delle soluioni. Classificaione,equaione: algebrica, raionale, intera, fratta, numerica, letterale, si veda equaioni in una variabile) Anche per le equaioni in due variabili valgono i principi di equivalena già considerati per le equaioni in una variabile. In base a tali principi, si può ottenere un equaione del tipo P, 0 dove P,) è un polinomio nelle variabili e,a coefficienti interi e ridotto a forma normale. In tal caso l equaione si dice ridotta a forma normale. Il grado di P,) si dice grado dell equaione. Esempio : l equaione ridotta a forma normale è ed è di grado. 4 0
Equaioni algebriche lineari in due variabili Un equaione lineare ridotta a forma normale, si può scrivere a b c dove a,b,c sono tre numeri dati. Osserviamo subito che: se abbiamo 0 0 c con c 0, allora è impossibile se abbiamo 0 0 0 allora è un identità. Negli altri casi, un equaione di questo tipo è verificata da infinite coppie ordinate di numeri. Tali coppie rappresentano le infinite soluioni dell equaione. Nel nostro esempio iniiale 7 si può scrivere S,, 7. Osserviamo che l equaione 7, pur ammettendo infinite soluioni, non è un identità. Essa non è verificata da tutte le possibili coppie di numeri, ma solo da quelle per le quali la somma di tali numeri dà come risultato 7. Una tale equaione è detta indeterminata. Sistemi di due equaioni in due variabili Se due o più equaioni sono considerate insieme allo scopo di trovare le soluioni comuni, si dice che l insieme di tali equaioni costituisce un SISTEMA DI EQUAZIONI. Per specificare, ad esempio, che le due equaioni seguenti: 8 e 4 formano un sistema, si scrive : 8. 4 Ogni eventuale soluione comune a tutte le equaioni di un sistema, si chiama soluione del sistema. Se S ed S sono rispettivamente gli insiemi soluione della prima e della seconda equaione, risolvere il sistema significa determinare l insieme S S S Analoghe consideraioni si possono fare per sistemi di tre o più equaioni. Un sistema si dice : determinato, se ammette un numero finito di soluioni indeterminato, se ammette infinite soluioni impossibile, se non ammette soluioni.
Sistemi equivalenti Due sistemi si dicono equivalenti, quando hanno lo stesso insieme soluione. Si osserva che Due sistemi equivalenti ad un tero, sono equivalenti tra loro. Se a tutte o ad alcune equaioni di un sistema si sostituiscono altrettante equaioni, rispettivamente equivalenti a quelle sostituite, si ottiene un sistema equivalente al dato. Occorrerà procedere, quindi, in modo analogo a quello visto per le equaioni, cercando di ottenere sistemi equivalenti di forma più semplice tramite opportune trasformaioni, fino a giungere sempre che sia possibile ) ad un sistema equivalente, in ogni equaione del quale compaia una sola variabile. Tali successive trasformaioni si possono effettuare applicando opportuni metodi, che verranno considerati in sede di risoluione di alcuni esempi. Sistema di due equaioni lineari in due variabili E un caso molto importante di sistema lineare. Esso può essere scritto nella seguente forma: a b c a ' b ' c ' ) dove a, a, b, b indicano numeri raionali noti. I numeri a, a, b, b si chiamano coefficienti delle variabili, mentre c, c, si chiamano termini noti. Consideriamo ora il problema di decidere se il sistema ) ammette soluioni, ed in caso affermativo, quante ne ammette. Vediamo prima due casi particolari: se tutti i coefficienti ed i termini noti sono nulli, allora il sistema ) si scrive 0 0 0 0 0 0 e allora ogni coppia,) di numeri raionali è soluione del sistema. se i coefficienti a, a, b, b sono nulli, e almeno uno dei termini noti c, c, non è nullo, allora il sistema ) è impossibile. Tralasciando i casi estremi, vediamo il caso più generale, in cui i coefficienti delle variabili sono tutti diversi da ero. Consideriamo il sistema: a b c a ' b ' c ' in cui a 0, b 0, a ' 0, b ' 0.
In tal caso, si può dimostrare che il sistema lineare è : determinato, se ab ' a ' b 0 impossibile, se ab ' a ' b 0 e cb ' c ' b 0 indeterminato, se ab ' a ' b 0 e cb ' c ' b 0 Tralasciamo la dimostraione di tale teorema, per vederne subito alcune applicaioni. Nel sistema : 0 4 individuiamo a, b, c, a ' 0, b' 4, c ' si ha quindi ab' a ' b 4) 0 ) 0 e cb ' c ' b 4) ), condiioni per le quali il teorema ci assicura che il sistema è impossibile. Dividendo entrambi i membri della seconda equaione per si ottiene il sistema equivalente : Da cui è evidente che non esistono coppie ordinate del tipo,) che soddisfano entrambe le equaioni. Osserviamo che, in tal caso, i coefficienti delle variabili sono tra loro proporionali,sena esserlo ai termini noti. Nel sistema : 8 individuiamo a, b, c, a ', b', c ' 8 I coefficienti soddisfano alla condiione ab ' a ' b 0,dunque, dal teorema, si ha che il sistema considerato è determinato, ed ammette una sola soluione. La ricerca di tale soluione avviene tramite metodi che verranno più avanti esposti. Osserviamo che, in tal caso, i coefficienti delle variabili non sono tra loro proporionali. Nel sistema : 6 individuiamo a, b, c, a ', b' 6, c ' I coefficienti delle variabili ed i termini noti soddisfano alla condiione: ab ' a ' b 0 e cb ' c ' b 0, dunque il sistema è indeterminato. Dividendo entrambi i membri della seconda equaione per si ottiene il sistema equivalente :
Tale sistema è equivalente ad un equaione in due variabili ) ed ha infinite soluioni. Tali soluioni sono le infinite coppie ordinate del tipo,,con ad esempio ). Osserviamo che i coefficienti delle incognite ed i termini noti sono tutti fra loro proporionali. Da ciò che si è detto, il sistema si dovrà risolvere solo nell ipotesi che sia a b a ' b '. Un caso particolare ma piuttosto importante di sistema lineare in due variabili, è quello comprendente equaioni lineari omogenee. In tale sistema c c ' 0 e quindi esso si presenta nella forma a b 0 a ' b ' 0 Come si può facilmente intuire e dimostrare ), tale sistema ammette sempre la soluione : 0,0. a b Da quanto detto prima segue che se a ' b' a b mentre se a ' b ', essendo anche b c b' c ' il sistema ha l unica soluione 0,0 ;, il sistema è indeterminato. Metodi di risoluione Accanto ai metodi per determinare la natura del sistema e delle soluioni,esistono metodi risolutivi che possono essere presi in consideraione, di volta in volta, a seconda del particolare tipo di sistema con cui abbiamo a che fare. E opportuno fare esempi di sistemi indeterminati o impossibili. Iniiamo col considerare il: Metodo di sostituione. Dopo aver effettuato tutte le operaioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, consideriamo il sistema nella sua forma più generale a b c a ' b' c' nel quale si suppone a b a ' b' Si esplicita una delle due equaioni, ossia si ricava una variabile in funione dell altra conviene esplicitare la variabile più comoda,se c è questa possibilità ) e la si sostituisce nella restante equaione che, riducendosi ad una sola variabile, si risolve facilmente. Infine il valore della variabile così ottenuto lo sostituiamo nell equaione in cui l altra variabile era stata messa in evidena.
Esempio : ) ) 0 ) ) 6 6 ) 6 0 6 0 0 0 8 6 4 0 8 6 0 4 6 8 4 4 4 ) 4 Metodo del confronto. E una variante del metodo di sostituione. Dopo aver effettuato tutte le operaioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili,si ottiene il sistema nella forma più generale a b c a ' b' c' Occorre poi esplicitare entrambe le equaioni rispetto alla stessa variabile ed uguagliarle. Si ottiene così un equaione in una sola variabile, facilmente risolvibile. Il valore ottenuto si sostituisce in una delle due equaioni di partena indifferentemente). Esempio : 9 8 9 8 cambio segno nella seconda equaione 9 8 uguaglio le due equaioni: 8 9 da cui 9 8 7 che dà 7 7 ; tale valore viene riportato nel sistema 7 9 9 9
Metodo di riduione Dopo aver effettuato tutte le operaioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica, - si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di una variabile - si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. e il suo opposto) per la variabile considerata - si sommano algebricamente in colonna le due equaioni: in questo modo scompare una variabile - si risolve l equaione così ottenuta ad una sola variabile - a scelta si può ripetere il procedimento per l eliminaione dell altra variabile oppure effettuare il metodo di sostituione. Esempio : consideriamo il sistema ridotto in forma canonica : 9 8 Cerchiamo di eliminare la : il m.c.m. tra e è 60, perciò si moltiplica nel modo seguente: 4 9 8 60 60 4 4 7 +) sommando le due equaioni, si ottiene: ---------------------- 9 7 da cui A questo punto è facile sostituire quest ultimo valore trovato in una delle equaioni equivalenti, per trovare. Analogamente ed in questo caso particolare, più comodamente ) è possibile cercare di eliminare la, dal sistema iniiale : 9 8 per eliminare la non sono necessarie altre operaioni. Basta sommare algebricamente le due equaioni : 9 +) 8 ---------------- 7 7 da cui Il valore di è ricavabile con il metodo di sostituione da una qualsiasi delle equaioni. E quindi :
Metodo di Cramer Si chiama matrice quadrata di ordine due una tabella con quattro numeri ordinati in due righe e due colonne, del tipo e f g h in cui e, f, g, h sono numeri. Per esempio: 0 Si chiama determinante di una matrice quadrata di ordine due numero dato dall espressione e h f g. Si ha cioè: e g f h e si indica con e g f h il e f g h = e h f g Per esempio : Il determinante della matrice quadrata 0 è = 0 ) 0 a b c Dato il sistema lineare a ' b' c ' a b matrice. Ad esempio : a ' b' si chiama matrice dei coefficienti del sistema lineare la la matrice dei coefficienti del sistema lineare 8 è la matrice. Risoluione: Dopo aver posto il sistema nella forma canonica a a' b b' c c' Si definisce delta, delta, delta, rispettivamente, le seguenti espressioni:
a b a' b' a b' a' b c b c' b' c b' c' b a c a' c' a c' a' c La soluione si trova ponendo Dovrà essere necessariamente 0. ; Esempio : 0 ) 6 0 0 ) 0 0 0 9 0 E quindi: Sistemi fratti I procedimenti indicati per risolvere i sistemi lineari in due variabili, si prestano anche per risolvere sistemi fratti in cui ci sono denominatori contenenti almeno una variabile ). Tali sistemi, ridotti a forma normale, diventano sistemi lineari. Il metodo di riduione è analogo a quello visto per le equaioni fratte in una variabile; per questo motivo ci sono gli stessi inconvenienti già visti per le equaioni : potrebbe accadere che il sistema ottenuto con tale riduione, abbia come soluione dei numeri che annullano qualche denominatore. Occorre quindi verificare che le soluioni trovate soddisfino anche il sistema di partena. Visto che la trattaione è analoga a quella delle equaioni fratte, forniamo solo un piccolo esempio: consideriamo il sistema
Deve essere 0 e 0 quindi Applicando i principi di equivalena, e riducendo a forma normale, si ha =0 da cui 6 = Poiché la soluione 0,) è contraria alle nostre condiioni annulla il denominatore della prima equaione ), il sistema risulta impossibile. Sistemi letterali Per risolvere i sistemi lineari letterali cioè quelli che oltre alle variabili contengono altre lettere, che vengono considerate parametri) occorre : escludere per i parametri quei valori che, eventualmente, fanno perdere di significato ad una almeno) delle equaioni del sistema. vedere, poi, se esistono particolari valori dei parametri per i quali il sistema diventa impossibile, o indeterminato. In ciò consiste la discussione del sistema. Risolviamo questo sistema, come esempio: a b da cui si hanno i seguenti sistemi equivalenti: a b a ) b b a) a Discussione: se b a 0, cioè se b a : il sistema è determinato, ed ha come soluione b a, a b b a se b a e a 0, cioè a, allora S. Il sistema è impossibile se b a e a 0, cioè a, allora S, e. Il sistema è indeterminato.
Applicaioni Applicaioni di varia natura sono attribuibili alle equaioni lineari in due variabili, ed ai sistemi di due equaioni lineari in due variabili. Nell unità didattica dedicata alla retta nel piano cartesiano si proverà a suggerire i collegamenti tra gli argomenti fino ad ora trattati, ed i temi di geometria analitica. Naturalmente abbiamo già citato i problemi in due ed in tre incognite, come applicaioni naturali dei sistemi lineari. ------------------------------------ per me, sarebbe finita qui! ---------------------------------------- Sistemi di tre equaioni lineari in tre variabili qui ho lasciato quasi tutto. C è da dire che i sistemi in variabili non si fanno quasi mai! Conviene solo accennarli) Nella risoluione di problemi di varia natura, si presenta frequentemente il caso di dover risolvere sistemi con tre equaioni lineari, in tre variabili. Tali sistemi si possono risolvere con i metodi studiati per i sistemi di due equaioni lineari. Ridotti in forma canonica, essi sono del tipo a a' a'' b c d b' c' b'' c'' d' d'' in cui a, b, c, a ', b', c ', a '', b'', c '' sono i coefficienti delle variabili, e d, d ', d '' sono i termini noti. Alcuni esempi di risoluione : Metodo di sostituione Dopo aver effettuato tutte le operaioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, e portato il sistema nella forma normale, si esplicita la prima delle tre equaioni, rispetto ad una qualsiasi delle tre variabili, ossia si ricava un incognita in funione delle altre due, e la si sostituisce nelle restanti equaioni che, riducendosi, si risolvono facilmente. 4 6 0 ricavo nella prima equaione e la sostituisco nelle altre due 0 0 ) 4 0 ) 6 0 4 0 6 8 40 6 0 7 7 7 4 6 divido per 7 la seconda e la tera equaione
0 8 ricavo nella seconda equaione e lo sostituisco nella tera equaione ) 0 8 ricavo nella tera equaione 0 Ottenuto il valore di una variabile lo sostituiamo nella seconda equaione nella quale l altra variabile era stata messa in evidena e poi risaliamo fino alla prima equaione, ottenendo le tre soluioni, ossia i valori delle tre variabili,,. 0 0 4 0 Metodo di Cramer Si chiama matrice quadrata di ordine tre una tabella con nove numeri ordinati in tre righe e tre colonne, del tipo a b c A a ' b ' c ' a '' b '' c '' in cui a,b, c,a,b, c, a, b, c sono numeri a b c Si chiama determinante della matrice A, e si indica con A oppure con a ' b' c ', il numero a '' b'' c '' : b' c ' a ' c ' a ' b' a b c b'' c '' a '' c '' a '' b'' in cui i determinanti delle matrici quadrate di ordine due b' c ' a ' c ' a ' b' ; ; b'' c '' a '' c '' a '' b'' si calcolano con il metodo già visto. Esempio : A - 0 Il determinante di tale matrice è:
A 0) ) 0 0 0 Risoluione: dopo aver posto il sistema nella forma canonica a a' a'' b c d b' c' b'' c'' d' d'' Calcoliamo i quattro determinanti Delta, Delta, Delta, Delta, rispettivamente, le seguenti espressioni : a b c b ' c ' a ' c ' a ' b ' a ' b ' c ' a b c b '' c '' a '' c '' a '' b '' a '' b '' c '' d b c b ' c ' d ' c ' d ' b ' d ' b' c ' d b c b '' c '' d '' c '' d '' b'' d '' b '' c '' a d c d ' c ' a ' c ' a ' d ' a ' d ' c ' a d c d '' c '' a '' c '' a '' d '' a '' d '' c '' a b d b ' d ' a ' d ' a ' b ' a ' b ' d ' a b d b'' d '' a '' d '' a '' b '' a '' b'' d '' La soluione si trova ponendo: Dovrà essere necessariamente 0. Esempio :
[ 4) )] [ )] [ )] 6 9 [ 4) )] [ 0 )] [ 6)] 6 6 4 [ 0 )] [ )] [ )] 6 6 4 [ 6 )] [ )] [ )] 4 8 6 60 E quindi: 4 60. Osserviamo il fatto che è esseniale che sia 0.
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