. Teorema di reciprocità Consideriamo un mezzo in cui sono presenti i campi (E, H ) e (E, H ). Questi campi hanno per sorgenti rispettivamente (J, M) e (J, M), ricavabili sostituendo i campi nelle equazioni di Maxwell. Determineremo una relazione di tipo integrale tra i due campi. Il dominio di interesse è lo stesso, l unica cosa che differenzia i campi sono le sorgenti. Le equazioni di Maxwell in un mezzo lineare, omogeneo nel tempo, non dispersivo nello spazio e isotropo (per semplicità) forniscono: E jh M H j E J () Per formulare il teorema di reciprocità si considera l espressione E H E H e si calcola la divergenza: E H E H E H E H H E E H H E E H () ostituendo le equazioni di Maxwell () nella () si ottiene: E H E H H ( jh M ) E ( j E J ) H ( j H M ) E ( j E J ) (3) Poiché in un mezzo isotropo e µ sono scalari H H H H E E E E e la (3) diventa: E H E H H M E J H M E J (4) i osservi che la (4) può essere ricavata in modo analogo anche nell ipotesi di mezzi anisotropi e reciproci, e cioè tali che: T T In questo caso si ha infatti
H H H H E E E E che consentono di semplificare la (3) per ottenere in modo analogo la (4). A questo punto si integra la (4) su un volume, limitato da una superficie con normale uscente i n (Fig. ) i n Fig. E H E H d H M E J H M E J d (5) Applicando il teorema della divergenza si ha: E H E H in d H M E J H M E J d (6) La (6) fornisce la forma più generale del teorema di reciprocità. L integrale di volume a secondo membro è esteso a tutto il volume, anche se in realtà lo posso considerare esteso solamente alla parte di che contiene le sorgenti. Il teorema di reciprocità costituisce uno strumento molto potente della teoria dell elettromagnetismo. Può essere utilizzato per dedurre altri teoremi, ovvero per calcolare i campi generati da certe sorgenti in una certa regione, partendo da altri campi già noti, prodotti nella stessa regione da sorgenti diverse (si veda ad esempio G. Conciauro: Introduzione alle Onde Elettromagnetiche, Par. 4.5: immetria della matrice di ammettenza di una giunzione ). Nella (6) si può notare che, se l integrale di superficie a primo membro è nullo, si ottiene la seguente espressione:
E J H M d E J H M d (7) Ciascuno degli integrali in (7) prende il nome di integrale di reazione. Il teorema di reciprocità nella formulazione (7) afferma che le reazioni dei campi sulle sorgenti sono uguali. A questo punto ha senso valutare l integrale a primo membro della (6) per verificare se, e sotto quali condizioni, è nullo. L integrale a primo membro del teorema di reciprocità è nullo a) se la superficie è un conduttore elettrico perfetto Infatti: E H i i E H E n n n n 0 H i i E H 0 perchè la componente tangente del campo elettrico è nulla sulla superficie di un C.E.P. b) se la superficie è un conduttore magnetico perfetto E H i i H E E n n n n 0 H i i H E 0 perchè la componente tangente del campo magnetico è nulla sulla superficie di un C.M.P. c) se l integrale è esteso a tutto lo spazio, ovvero la superficie è una superficie all infinito (per semplicità si suppone una sfera di raggio infinito) La funzione integranda a primo membro è: E H i E H i (8) r r u una sfera all infinito vale la condizione di ommerfeld: E H ir o r (9)
ostituendo la (9) nella (8) e ricordando che i campi sono O, si ha: r E H i E H i E H i E H i r r r r E E o E E o o r r r cioè l integrando a primo membro della (6) va a zero più rapidamente di r e dunque l integrale è nullo perché la superficie di integrazione (la superficie della sfera all infinito) va all infinito come r : r o r lim 0 r d) se nel volume non ci sono sorgenti e) se la superficie racchiude tutte le sorgenti si suppone di avere delle sorgenti al finito e che queste siano racchiuse entro un volume all interno del volume delimitato dalla superficie chiusa (fig. ) ' ' i n Fig. In c) è stato dimostrato che ( ) 0, quindi ( ) ( ) 0 ma, poiché l integrale di volume dà contributo solamente nella zona dove ci sono le sorgenti e le sorgenti sono presenti solo all interno di, si ha:
. 0 ( ) ( ) ' In conclusione tutte le sorgenti. ( ) ( ) ( ) 0, ovvero ( ) 0 se contiene ' In altre parole, se si deforma la superficie senza incontrare sorgenti (a partire da una superficie all infinito), l integrale esteso ad vale sempre zero. Questo avviene perché la funzione integranda nella zona in cui non ci sono sorgenti è una funzione solenoidale. f) se la superficie è una superficie di impedenza su vale una condizione di impedenza del tipo E E Z in H in H Z E H i E H i E H i E H i n n n n E E E E 0 Z Z
. Applicazione del teorema di reciprocità i consideri un conduttore elettrico perfetto di superficie. e sulla superficie si mettono delle correnti superficiali impresse J s, il campo generato da queste correnti è identicamente nullo. C.E.P i n Js Fig. 3 Per la dimostrazione di quanto detto sopra si utilizza il teorema di reciprocità. Il volume è costituito da tutto lo spazio ad eccezione del volume occupato dal C.E.P. La superficie che racchiude il volume è la superficie all infinito con normale uscente più la superficie del C.E.P. con normale opposta ad i n. ia il campo quello generato delle correnti superficiali J s e il campo quello di un dipolo elementare arbitrario ( r 0 e i D qualunque): J J ( 0) J I z r r i D L integrale di superficie a primo membro del teorema di reciprocità (6) è nullo (è nullo sulla superficie all infinito ed è nullo sulla superficie del C.E.P.). i ha dunque: E J E J d 0 Ma E J 0, infatti il campo del dipolo sulla superficie del C.E.P. è ad esso normale, mentre J J è tangente alla superficie del C.E.P. Rimane pertanto E 0 J d ossia 0 In conclusione E 0 in tutto lo spazio. E ( ) 0 r i D per qualunque valore di r 0 e di D i.