Corso di Idraulica Ambientale - 3 gennaio 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Un industria scarica in modo costante una portata liquida Q s = 0 l/s in prossimità di una sponda di un corso d acqua. Normalmente lo scarico contiene una sostanza inquinante con una concentrazione pari a C s = 20 mg/l, ma a causa di un guasto tecnico la concentrazione aumenta improvvisamente di C = 5000 mg/l per una durata di 0 secondi. Calcolare, dopo 6 ore dallo scarico, la concentrazione massima che si realizza nel corso d acqua, la posizione di tale massimo e l estensione della nuvola di inquinante in eccesso rispetto alla condizione di routine. Dati del problema: profondità Y = 3 m, larghezza B = 70 m, k s = 30 m /3 /s, pendenza i f = 0.00, alveo meandriforme: (K y + D t y)/(u Y ) =.
3 Corso di Idraulica Ambientale - 7 febbraio 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Un piccolo corso d acqua avente portata Q si immette in un fiume caratterizzato da una portata Q 2. Una sostanza inquinante è presente con una concentrazione C nell immissario, mentre è assente nel corso d acqua principale. Si assuma che alla confluenza i due corsi d acqua abbiano larghezze B e B 2 proporzionali alle rispettive portate, un medesimo valore del tirante Y, e che dopo la confluenza la larghezza complessiva B sia uguale alla somma delle due larghezze. Stimare: un valore caratteristico della distanza necessaria ad ottenere il mescolamento trasversale; la concentrazione all avvenuto mescolamento; la concentrazione massima e minima sulla sezione ad una distanza x = 3 km dalla confluenza. Dati del problema: concentrazione C = 0 mg/l, C 2 = 0 mg/l, portate Q = 5 m 3 /s, Q 2 = 30 m 3 /s, profondità Y = 2 m, larghezza totale B = 50 m, pendenza i f = 0.00, alveo debolmente meandriforme: (K y + D t y)/(u Y ) = 0.3. 0.05 5 3 7 9 5 8 ζ * 0.5 0.3.2..05.02.0 2.4.03.07 0. 4.6.3.5 0 0.05 0. 0.5 5 0.3 0.35 5 0.5 0.55 ξ * Figura : Concentrazione adimensionale per una posizione ζ 0 = 0 dello scarico.
5 5 5 5 0.55 0.5 5 0.35 0.3 5 0.5 0. 0.05 0 ξ ( ) = ( ξ ) π 0 0. 0.3 0.5..2.3.4.5.6.7.8.9 2 2. 2.2 2.3 2.4 Figura 2: Funzione erf(x).
Corso di Idraulica Ambientale - 2 aprile 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Un industria scarica una portata massica Ṁ (costante, di norma) di una sostanza inquinante in prossimità di una sponda di un canale artificiale. A causa di un interruzione del processo produttivo, lo scarico si interrompe per un lungo periodo. Facendo riferimento ad una stazione di misura posta ad una distanza x a valle dello scarico, verificare se il mescolamento sulla sezione è completo; calcolare il valore della concentrazione media quando la produzione è in corso; stimare il tempo necessario a partire dall interruzione affinché la concentrazione misurata scenda sotto il 5% della concentrazione di regime. Dati del problema: sezione rettangolare, canale approssimativamente rettilineo, pendenza i f = 0 4, larghezza B = 20 m, profondità Y = 3 m, coefficiente di Gauckler-Strickler k s = 40 m /3 s, distanza x = 20 km, scarico Ṁ = 00 kg/day. 5 5 5 ( ) = ( ξ ) π ξ 5 0.55 0.5 5 0.35 0.3 5 0.5 0. 0.05 0 0 0. 0.3 0.5..2.3.4.5.6.7.8.9 2 2. 2.2 2.3 2.4 Figura : Funzione erf(x).
Soluzione Calcoli idraulici Raggio idraulico (si noti che la sezione non è larga): R h = BY B + 2Y = 2.3 m. () Velocità d attrito, velocità media e portata: u f = gr h i f = 0.048 m/s, (2) Coefficienti di diffusione turbolenta: U = k s if R 2/3 h = 0 m/s, (3) Q = UBY = 42.0 m 3 /s. (4) D t z = 0.067u f Y = 0.0096 m 2 /s, (5) D t y 2D t z = 0.09 m 2 /s, (6) D t x D t z = 0.0096 m 2 /s. (7) Coefficienti di dispersione nel campo intermedio (ponendo α = 0.5 dato che il canale è rettilineo): D t y + K y = αu f Y = 0.02 m 2 /s, (8) K x = 5.86u f Y = 4 m 2 /s. (9) Coefficienti di dispersione nel campo lontano secondo Fischer (si noti però che la stima vale per alvei naturali e non per canali artificiali): K = 0.0 U 2 B 2 u f Y = 5 m2 /s. (0) Fasi del mescolamento Lunghezza di mescolamento verticale (scarico posto in superficie come caso più gravoso): L mv = 0.536U Y 2 D t z = 352 m. () Lunghezza di mescolamento trasversale (scarico in sponda): B 2 L mt = 0.536U (Dy t + K y ) = 6995 m = 7 km. (2) La sezione posta alla distanza x = 20 km si trova quindi nel campo lontano e la concentrazione è quindi uniforme sulla sezione.
Scarico a regime Quando l industria funziona a regime, lo scarico è Ṁ = 00 kg/d =.6 g/s. Nel caso di scarico stazionario la concentrazione risulta costante nel campo lontano: C 0 = Ṁ Q = 0.027 g/m3 = 27 µg/l. (3) Interruzione della produzione Assumendo che la produzione si interrompa bruscamente, ipotizziamo in prima approssimazione che lo scarico Ṁ scenda immediatamente a zero al tempo t = 0. In tale istante, il canale può essere suddiviso in due parti: a valle dello scarico la concentrazione media è C 0, a monte è nulla. Utilizziamo questa situazione come condizione iniziale di un problema monodimensionale di convezione-diffusione di un onda a gradino del tipo C(x, t = 0) = { C0 (x > 0) 0 (x < 0). (4) La soluzione da utilizzare nel campo lontano è quindi C(x, t) = C [ ( )] 0 x Ut + erf 2 4Dx t, (5) dove si è trascurato il contributo dovuto all origine virtuale. Il coefficiente di diffusionedispersione D x da utilizzare nella soluzione (5) non sarà stimato correttamente dalla formula di Fischer (0), calibrata nel caso di alvei naturali, ma sarà comunque maggiore del coefficiente di dispersione longitudinale nel campo intermedio (9) a causa delle variazioni di velocità comunque presenti lungo la sezione trasversale del canale artificiale. Assegnato il valore C s = 0.05C 0 come soglia di concentrazione per l avvenuto passaggio dell onda nella sezione x, la (5) può essere riscritta nella forma ( ) x Uts erf = 2 C s =, (6) 4Dx t s C 0 che consente di trovare il tempo t s assegnate le altre grandezze del problema. E utile avere un idea del tempo di passaggio convettivo dell onda (ovvero trascurando l effetto della diffusione), che può essere stimato molto semplicemente: t c = x U = 2863 s = 7.95 h. (7) Non avendo una stima affidabile del valore del coefficiente di dispersione da utilizzare in questo caso, utilizziamo i valori K e K x come casi limite. Risolvendo la (6) analiticamente, nel primo caso si ottiene t s K = 30902 s = 8.58 h, (8) nel secondo t s KX = 2952 s = 8.09 h. (9) Non avendo strumenti di calcolo adeguati per invertire la funzione erf, si può utilizzare il grafico tenendo presente che erf( ξ) = erf(ξ). (20)
Per erf(ξ) = si ottiene quindi agevolmente un valore di ξ =.7, ovvero x Ut s 4Dx t s =.7, (2) che fornisce stime di t s comparabili a quelle ottenute in precedenza (scegliendo la soluzione corretta tra le due ottenute risolvendo l equazione algebrica di secondo grado). Approssimazione della nuvola congelata L esercizio potrebbe essere risolto in forma più semplice utilizzando l approssimazione della nuvola congelata. Si immagini di fissare la forma dell onda di concentrazione al tempo t c corrispondente al passaggio convettivo della discontinuità (che si avrebbe in assenza di diffusione) nella sezione x. La soluzione (5) può essere fissata quindi nella forma Imponendo C = C s si ottiene x s = Ut c + Ĉ(x, t c ) = C 0 2 [ + erf ( )] x Utc. (22) 4Dx t c ( erf 2 C ) s = x s Ut c, (23) C 0 4Dx t c ( 4D x t c [erf 2 C )] ( s = x 4D x t c [erf 2 C )] s C 0 C 0, (24) che definisce la sezione in cui si realizza la concentrazione C s (si noti che Ut c = x). Il punto in cui C = C s della nuvola congelata impiega un tempo t = (x x s )/U per arrivare nella sezione considerata, ovvero il tempo t s può essere stimato come t s = t c + x x s U = t c + ( 4D x t c [erf 2 C )] s, (25) U C 0 che per C s /C 0 = 0.05 fornisce 4Dx t c t s = t c +.7. (26) U Nel caso in cui si utilizzi K si ottiene t s = 30830 s, mentre per K x si trova t s = 2950 s. Lo stesso risultato si poteva ottenere fissando la forma della nuvola (legata alla diffusione presente al denominatore dell argomento della funzione erf), e scrivendo la soluzione in funzione del tempo nella sezione considerata C (x, t) = C 0 2 [ + erf ( )] x Ut = C [ ( )] 0 U(tc t) + erf. (27) 4Dx t c 2 4Dx t c
Corso di Idraulica Ambientale - 7 giugno 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti A causa di un incidente in uno stabilimento, una massa M = 800 kg di una sostanza inquinante viene scaricata in un torrente, che affluisce dopo un breve tratto in un corso d acqua principale. Stimare: il tempo e la distanza necessari per ottenere il completo mescolamento sulla sezione; il valore massimo della concentrazione attesa nei pressi di una città posizionata 00 km a valle della confluenza e l istante in cui si realizza; il tempo necessario dopo il passaggio del massimo affinché la concentrazione scenda sotto il valore C s = 00 mg/m 3. Dati del problema: portata corso d acqua principale Q = 370 m 3 /s, portata torrente Q 2 = 30 m 3 /s; dati idraulici a valle della confluenza: sezione rettangolare, canale debolmente meandriforme (α = 0.3), pendenza i f = 0 3, larghezza B = 70 m, coefficiente di Gauckler- Strickler k s = 30 m /3 s. P m 0.5 0.3 0. * ζ 0 =0.5 * ζ 0 =0.33 * ζ 0 =5 * ζ 0 =0 0 0 0. 0.3 0.5 Figura : Grado di mescolamento P m in funzione della coordinata adimensionale ξ per diverse posizioni ζ0 dello scarico. ξ *
Corso di Idraulica Ambientale - 2 luglio 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Si consideri una confluenza tra due corsi d acqua: il primo è caratterizzato da una portata Q e una concentrazione C di una sostanza da monitorare, entrambe costanti; il secondo da una portata costante Q 2 e una concentrazione nulla. In seguito ad un incidente, una massa M della stessa sostanza viene scaricata nel secondo corso d acqua, poco a monte della confluenza. Stimare: la distanza necessaria a valle della confluenza per ottenere una concentrazione uniforme sulla sezione; il valore massimo della concentrazione ad una distanza L dalla confluenza e l istante in cui si realizza; cosa cambierebbe rispetto alla domanda precedente se la concentrazione C fosse nulla. Dati del problema: portate Q = 2 m 3 /s, Q 2 = 8 m 3 /s, concentrazione C = 3 mg/l, massa scaricata M = 00 kg, distanza L = 5 km; dati idraulici a valle della confluenza: sezione rettangolare, canale meandriforme (α = 0.5), pendenza i f = 2 0 4, larghezza B = 20 m, coefficiente di Gauckler-Strickler k s = 35 m /3 s.
Corso di Idraulica Ambientale - 5 settembre 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Due impianti industriali, posizionati a distanza d, scaricano in modo costante una sostanza inquinante in un fiume (con portate massiche Ṁ e Ṁ2 rispettivamente). Facendo riferimento allo schema in figura e sapendo che lo scarico dell impianto è collocato in sponda destra, mentre quello dell impianto 2 in sponda sinistra, calcolare: il grado di mescolamento del primo scarico nella sezione in cui si immette il secondo scarico (x = d); la concentrazione in sponda destra ad una distanza x = L dal primo scarico; la distanza necessaria per ottenere il completo mescolamento su tutta la sezione e il corrispondente valore di concentrazione. Dati del problema: sezione rettangolare, portata liquida Q = 200 m 3 /s, portate massiche Ṁ = 3 kg/h, Ṁ 2 = kg/h, distanze d = 0 km, L = 25 km, canale debolmente meandriforme (α = 0.3), pendenza i f = 6 0 4, larghezza B = 80 m, coefficiente di Gauckler-Strickler k s = 35 m /3 s. Sul retro: grafico adimensionale per una posizione ζ 0 = 0 dello scarico.
3 0.05 7 5 9 5 8 0.5 0.3 0. 0 0.05 0. 0.5 5 0.3 0.35 5 0.5 0.55 ξ *.02.0.05..2.4 2.03.07.5.3 4.6 3 ζ *
Soluzione Calcoli idraulici Risolvendo l equazione per il moto uniforme, Q = BY k s if R 2/3 h, () con la portata assegnata si ottengono tirante, raggio idraulico, velocità d attrito, velocità media: Y =.937 m. (2) R h = BY =.847 m. (3) B + 2Y u f = gr h i f = 0.04 m/s, (4) U = Q BY =.29 m/s, (5) Coefficienti di diffusione turbolenta [D t x e D t y non utilizzati nel problema]: D t z = 0.067u f Y = 0.035 m 2 /s, (6) D t y 2D t z = 0.027 m 2 /s, (7) D t x D t z = 0.035 m 2 /s. (8) Coefficienti di dispersione nel campo intermedio (α = 0.3) [K x non utilizzato nel problema]: D t y + K y = αu f Y = 0.0606 m 2 /s, (9) K x = 5.86u f Y =.8 m 2 /s. (0) Coefficiente di dispersione nel campo lontano secondo Fischer [non utilizzato nel problema]: Fasi del mescolamento K = 0.0 U 2 B 2 u f Y = 58 m2 /s. () Lunghezza di mescolamento verticale (scarico posto in superficie come caso più gravoso): L mv = 0.536U Y 2 D t z = 92 m. (2) Lunghezza di mescolamento trasversale (scarico in sponda): B 2 L mt = 0.536U (Dy t + K y ) = 73. km, (3) valida per entrambi gli scarichi (naturalmente a partire dal punto di scarico, che è differente). Le sezioni poste alle distanze d = 0 km e L = 25 km si trovano quindi nel campo intermedio.
Il mescolamento complessivo è completato sulla sezione nella sezione x = d + L mt = 83. km (risposta alla terza domanda). Le concentrazioni asintotiche all avvenuto mescolamento sulla sezione (x > L mt per lo scarico, x > d + L mt per lo scarico 2) sono: C m = Ṁ Q = 4.7 mg/m3, (4) C m2 = Ṁ2 Q =.39 mg/m3, (5) da cui si ottiene per sovrapposizione la concentrazione totale al mescolamento C m = Ṁ + Ṁ2 Q = C m + C m2 = 5.55 mg/m 3. (6) Risultati ottenuti con la soluzione analitica La soluzione analitica del modello a coefficienti costanti nel campo intermedio è Ṁ C = Y 4π(Dy t + K y ) U x { [ (y y0 + 2jB) 2 ] [ (y + y0 + 2jB) 2 ]} exp + exp. (7) j= 4(Dy t + K y ) x/u 4(Dy t + K y ) x/u Esaminiamo i due scarichi separatamente, prendendo l origine dell asse y in sponda destra. Scarico alla distanza d. La concentrazione per Ṁ varia tra gli estremi C,max = C(x = d, y = 0) = 8.68 mg/m 3, C,min = C(x = d, y = B) = 0.38 mg/m 3, (8) da cui si ottiene un grado di mescolamento pari a P m = C,min C,max = 0.066. (9) Scarico nella sezione x = L. La concentrazione in sponda destra ad una distanza L dallo scarico Ṁ è C,L = C(x = L, y = 0) = 5.54 mg/m 3. (20) Scarico 2 nella sezione x = L. La concentrazione in sponda destra ad una distanza L d dallo scarico Ṁ2 è C 2,L = C(x = L d, y = 0) = 9 mg/m 3. (2) Concentrazione totale nella sezione x = L. La concentrazione totale in sponda destra è ovviamente C L = C,L + C 2,L = 6.02 mg/m 3. (22)
Risultati ottenuti con il grafico adimensionale E possibile ottenere la soluzione in forma approssimata anche utilizzando il grafico allegato. La distanza longitudinale adimensionale è data da x = x L t, L t = UB2 D t y + K y = 36 km. (23) Esaminiamo anche in questo caso i due scarichi separatamente. Scarico alla distanza d. Nel punto x = d/l t = 0.073 la concentrazione massima si realizza in y = 0 e vale C 2.2, mentre la minima si trova in y = e vale C 0.5. Da queste stime si ottiene un grado di mescolamento P m 0.068. Scarico nella sezione x = L. La concentrazione nella sponda destra (corrispondente allo scarico Ṁ) nel punto x = L/L t =, y = 0 vale C.3. La concentrazione dimensionale può essere approssimata con il valore C,L C C m 5.4 mg/m 3. (24) Scarico 2 nella sezione x = L. La concentrazione nella sponda destra (opposta allo scarico Ṁ2) nel punto x = (L d)/l t = 0., y = vale C 0.35. La concentrazione dimensionale può essere approssimata con il valore C 2,L C C m2 9 mg/m 3. (25) Concentrazione totale nella sezione x = L. può infine essere approssimata con il valore La concentrazione totale in sponda destra C L = C,L + C 2,L 5.9 mg/m 3. (26)
Corso di Idraulica Ambientale - 3 novembre 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Un piccolo serbatoio prismatico, contenente un volume di acqua in quiete, è diviso in due regioni (identificate come e 2 in figura). Una sostanza colorante è presente in entrambe e distribuita in modo uniforme in ciascuna, ma con due diverse concentrazioni (C e C 2 rispettivamente). Ad un certo istante il setto divisorio viene rimosso senza perturbare il sistema. Calcolare: la concentrazione che si realizza asintoticamente; e, con riferimento al tempo t dall istante di rimozione del setto tale per cui L = 2 2D t, la concentrazione massima e minima; il flusso di massa nella sezione in cui inizialmente era presente il setto. Dati del problema: altezza H = cm, larghezza B = 3 cm, lunghezze L = cm, L 2 = 2 cm, coefficiente di diffusione D = 0 5 cm 2 /s, concentrazioni iniziali C = 8 mg/l, C 2 = 2 mg/l. Sul retro: funzione erf(x).
ξ ( ) = ( ξ ) 5 5 5 5 0.55 0.5 5 0.35 0.3 5 0.5 0. 0.05 0 0 0. 0.3 0.5..2.3.4.5.6.7.8.9 2 2. 2.2 2.3 2.4 π
3 Corso di Idraulica Ambientale - 2 dicembre 200 Esercizio preparatorio per l esame orale Tempo a disposizione: 45 minuti Un refluo industriale viene scaricato in un canale artificiale rettilineo con sezione rettangolare. Assumendo che lo scarico, posizionato sul fondo in prossimità di una sponda, sia costante nel tempo, stimare la concentrazione massima nelle sezioni poste alle seguenti distanze dal punto di scarico: 0 m, 00 m, 000 m. Dati del problema: profondità Y = m, larghezza B = 3 m, velocità U = 0. m/s, pendenza i f = 0 5. Scarico: concentrazione C s = 50 mg/l, portata Q s = 5 l/s. 0.05 5 3 7 9 5 8 ζ * 0.5 0.3.2..05.02.0 2.4.03.07 0. 4.6.3.5 0 0.05 0. 0.5 5 0.3 0.35 5 0.5 0.55 ξ * Figura : Curve di isoconcentrazione per una posizione dello scarico ζ 0 = 0.