REALTÀ E MDELLI SCHEDA DI LAVR 1 La siepe Sul retr di una villetta deve essere realizzat un piccl giardin rettanglare di m riparat da una siepe psta lung il brd Dat che un lat del giardin è ccupat dalla parete della casa quali dimensini deve avere il giardin per minimizzare la lunghezza e di cnseguenza il cst della siepe? Schematizziam la situazine in figura Figura 1 Indichiam cn L la lunghezza della siepe da allestire Tenend cnt che un lat è già ccupat (dalla parete della casa) si avrà: L = + cn la cndizine che la superficie sia uguale a: = " = " L = + Per minimizzare la funzine calcliam la sua derivata prima rispett alla variabile : dl = - d Studiam il segn della derivata prima: - $ 0 " - $ 0 " $ 5 " #- $ 5 Ignriam la sluzine = - 5 piché rappresenta la dimensine di un rettangl e quindi è psitiva La sluzine = 5 rappresenta un minim della funzine in quant per 0 1 1 5 è fl ( ) 1 0 per 5 è fl ( ) 0 Il giardin cn la siepe di lunghezza minima avrà dimensini = 5 m e = = 10 m Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi 1
Salt tripl Nel salt tripl l atleta dp una rincrsa raggiunge la zna di battuta da dve effettua tre balzi cnsecutivi Il recrd del mnd appartiene al britannic Jnathan Edwards ed è di 189 m Esaminand il salt si sserva che nel prim balz (hp) la velcità di stacc (tangente) ha un inclinazine di 15 rispett alla pedana nel secnd (step) di 1 e nell ultim (jump) di 17 Le misure parziali dei tre balzi sn rispettivamente di 57 m 59 m 669 m Fissat il sistema di riferiment nel punt di stacc del prim balz determina le funzini delle traiettrie nei tre salti parziali (apprssima i calcli) e studia l andament degli stessi Schematicamente i tre salti si presentan csì: 1 A B C D 4 6 8 10 1 14 16 18 Figura Per ciascuna delle tre traiettrie bisgna determinare l equazine della parabla = a + b+ c avend a dispsizine cndizini: passaggi per punti e cefficiente anglare della tangente in un di essi (che è individuat dalla derivata l = a+ b della funzine in quel punt) Per la prima traiettria si ha A(0; 0) B(57; 0) l ( A ) = tg15 quindi: c = 0 a =-005 * 49a+ 5 7b+ c = 0 " * b = 07 " 1 =- 005 + 07 b = 07 c = 0 Per la secnda traiettria si ha B(57; 0) C(116; 0) l ( B ) = tg1 quindi: 49a+ 5 7b+ c = 0 a =-00 4 * 14 56a+ 11 6b+ c = 0 " * b = 0 69 " =- 0 04 + 0 69-6 11 4a+ b = 0 c = -6 Per la terza traiettria si ha C(116; 0) D(189; 0) l ( C ) = tg17 quindi: 14 56a+ 11 6b+ c = 0 a =-00 5 * 4 541a+ 18 9b+ c = 0 " * b = 147 " =- 00 5 + 1 47-10 a+ b = 0 1 c =-10 Per quant riguarda gli intervalli di crescenza e decrescenza ccrre studiare il segn della derivata prima nei tre balzi Cnsiderand anche gli intervalli in cui sn definite le tre funzini si ttiene: 1 l =- 01 + 07 0 " 01 1 7 funzine crescente; l =- 008 + 069 0 " 57 1 1 865 funzine crescente; l =- 0 10+ 1 47 0 11 6 1 1 14 7 funzine crescente " Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi
Luci sul palc La ptenza elettrica P assrbita da ciascuna lampada utilizzata per illuminare un palcscenic segue la seguente legge: Pr () V R = R + Rr + r dve V indica la tensine (misurata in vlt) e R la resistenza (misurata in hm) di ciascuna lampada r indica invece la resistenza interna al circuit Abbiam a dispsizine lampade che funzinan a una tensine di 0 V e hann una resistenza di 100 X Studia l andament della ptenza P di ciascuna lampada in funzine della resistenza interna r del circuit Csa succede se la resistenza interna al circuit diventa mlt grande? La ptenza P assume un valre massim? Sstituiam i valri di vltaggi e resistenza nella funzine della ptenza: 0 $ 100 Pr () = 100 + 00r+ r Il dmini naturale della funzine è R -- { 100} ma piché r rappresenta una resistenza deve essere r $ 0: cnsideriam quindi il dmini r $ 0 Intersezini cn gli assi: se r = 0 P(0) = 59 X Nn ci sn asintti verticali perché 100 + 00r+ r! 0 per gni r $ 0 Piché il denminatre ha grad e il numeratre ha grad 0 si ha: 0 $ 100 lim 0 r 100 + 00r+ r = ; " + la funzine ha quindi l asse delle ascisse cme asintt rizzntale Calcliam la derivata prima e studiamne il segn 0 $ 100 Pr () = 0 $ 100 $ ( 100 r) 100 + 00r+ r = + - Pl () r =- $ 0 $ 100 $ ( 100 + r) - Pl () r 1 0 per r $ 0 (ci limitiam al dmini cnsiderat) Dall studi del segn della derivata prima si deduce che la funzine è sempre decrescente per r $ 0 Calcliam la derivata secnda e studiamne il segn: Pm () r = 6 $ 0 $ 100 $ ( 100 + r) -4 Pm () r 0 per r $ 0 Dall studi del segn della derivata secnda si deduce che la funzine ha cncavità rivlta sempre vers l alt per r $ 0 Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi
La funzine P(r) ha quindi l andament disegnat in figura P 700 600 0 400 00 00 100 0 40 60 80 100 10 140 160 180 00 r Figura Cme si può vedere dal grafic e dall espressine analitica della funzine la ptenza diminuisce tendend asintticamente a 0 La ptenza assume il valre massim P = 59 X per r = 0 4 Il maratneta Un atleta sta partecipand a una maratna; in un tratt il percrs segue una traiettria di equazine = (cn $ 0) rispett a un pprtun sistema di assi Nell stess sistema il su allenatre si trva nel punt A(1; 5) e gli deve lanciare una spugna bagnata per farl idratare In che punt del percrs il maratneta si trverà più vicin al su allenatre per ricevere la spugna? Disegniam la traiettria del percrs e il punt in cui si trva l allenatre 7 L equazine della traiettria ha cme grafic la parte di parabla cn vertice nell rigine e asse cincidente cn l asse che attraversa il prim quadrante 6 5 4 A d P 1 1 4 5 6 7 8 Figura 4 Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi 4
La distanza tra il punt A(1; 5) e il punt P(; ) generic della curva è: d = ( - 1) + ( - 5) Se P appartiene alla parabla avrà crdinate Pc ; m e la distanza da A diventa: d = c - 1 m + ( -5) Invece di minimizzare d minimizziam d in quant il minim di d cincide cn il minim di d : d = c - 1m + ( -5) Deriviam rispett ad : f l () = c - 1m + ( - 5) = - + - 10 = -10 Studiam il segn della derivata: $ 10 " $ 10 - fl () 1 0 per 1 10 fl () 0 per 10 Perciò il punt = 10 crrispnde a un minim relativ della funzine Il punt in cui il maratneta si trverà più vicin al su allenatre avrà crdinate: ( ) P c ; m 10 = c ; 10m - ( ; 15) Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi 5