La procedura Box-Jenkins La selezione del modello - Procedura di Box e Jenkins (1976): procedura per cosruire, a parire dall osservazione dei dai, un modello ARMA ao ad approssimare il processo generaore della serie sorica. - Si ipoizza che la serie sia già saa resa sazionaria araverso una serie di rasformazioni preliminari (se necessarie) Idenificazione Sima dei parameri Conrollo diagnosico - Quando il conrollo diagnosico non è soddisfacene il modello deve essere rispecificao per cui le re fasi principali possono essere ripeue più vole in maniera ieraiva; - Quando il modello risula soddisfacene si passa alla fase del suo uilizzo per scopi descriivi e previsivi. 1
Idenificazione -Specificazione dell ordine del modello (parameri p e q) -Principali srumeni da usare: ACF e PACF simae -Se le auocorrelazioni endono ad annullarsi molo lenamene (o non si annullano affao) è probabile che il processo generaore sia non sazionario (Es: prezzi degli srumeni finanziari, ved. correlogramma su ENI) Esempio NASDAQ passando ai rendimeni si ha: Sruura ipica di un processo non sazionario
Esempio NASDAQ () il cui correlogramma è Esempio NASDAQ (3) Se eleviamo al quadrao i rendimeni abbiamo il cui correlogramma è: 3
Operazioni preliminari Serie generaa da un PS ARIMA(1,1,0), cioè ΔY y = φ Δ + ε Y 1 y 1 = 0.7( y 1 y ) + ε L impressione è quella di una serie non sazionaria in media. Il correlogramma conferma l impressione di non sazionarieà avua dall osservazione del grafico della serie. Operazioni preliminari () il cui correlogramma è il seguene differenziamo la serie e oeniamo il seguene grafico che è il correlogramma ipico di un processo AR(1). 4
La fase di sima dei parameri -Minimi quadrai ierai o massima verosimiglianza (ipoesi di normalià) -Fase complicaa numericamene e affidaa ai calcolaori -Le sime dei parameri si indicano con il cappello (ha) per cui un modello ARMA(1,1) può essere scrio: yˆ ˆ = ˆ + + c φ1 y 1 θ1 ˆ ε 1 ˆ dove ŷ è il valore simao al empo. Sima dei parameri () Correlogramma di una serie generaa da un processo ARMA(1,1) proviamo un MA(6). coef s.e..sa p.value ma1 1.05855 0.031777 37.94776 1.90E-195 ma 0.8557 0.048814 17.46498 9.05E-60 ma3 0.54615 0.05003 10.50179 1.55E-4 ma4 0.31637 0.050841 6.763 7.19E-10 ma5 0.134581 0.047594.8768 0.004783 ma6 0.03703 0.09439 1.57597 0.08833 inercep 0.047095 0.13908 0.354343 0.73157 Si può pensare ad un MA(q) 5
La significaivià dei parameri Durane la fase di sima è necessario verificare se i coefficieni simai sono significaivamene diversi da zero. H 0 : φi = 0 ˆ φi 0 H1 : φi 0 ~ m var( ˆ φ ) dove m è il numero di parameri simai. Rule of humb: α = 0.05 i φ ˆ i > il paramero simao è significaivamene var(ˆ ) ifi diverso da zero. φ i Osservazione: var( φ ˆ i ) = sandard error (s.e.) di φˆ i Il crierio della parsimonia I polinomi AR: ( 1 φ L... φ L p 1 p ) q e MA: ( + θ L +... + θ L q ) 1 1 non devono avere radici comuni. Esempio. ARMA(1,1) ( 1 0.7L) Y = ( 1 0.7L) φ1 = 0.7 e θ1 = 0.7 Y ε = ε la serie è W. N. In generale, se nel modello ARMA(p,q) φk θ k k=1,,,min(p,q) allora il modello e sovraparamerizzao. 6
Esempio 1: non significaivo il paramero di ordine superiore ΔY = 1 0.86 L L + 0.0 (0.1) (0.1) ε 0.0 0.1 sandard errors 0.86 > significaivo 0.1 < non significaivo Il modello finale sarà il seguene: ΔY = ( 1 0.86B) ε Esempio : non significaivo il paramero di ordine inferiore Y Δ = 1 0.0 L 0.86 L ε (0.1) (0.1) E' significaivo θ, ma non θ1 Osservazione. Soliamene i parameri di ordine inferiore sono indispensabili nella procedura di sima, di conseguenza occorre cauela prima di eliminarli. ρ θˆ θˆ Se (, ) 1 1 Bisogna analizzare ρ( θˆ, θ ) 1 ˆ anche la loro sima è sreamene correlaa, di conseguenza è possibile oenere buoni risulai (in ermini di descrizione dei dai) anche usando un solo paramero anziché due. Se, ad esempio ρ( θ, θ ) 0. 94 il modello divena: ΔY = ( 1 0.88L) ˆ ˆ 1 = ε 7
Riprendendo l esempio su ARMA(1,1) simulao: parsimonia avevamo provao un MA(6) coef s.e..sa p.value ar1 0.6975 0.053 7.5878 0.0000 ma1 0.499 0.098098 16.5447 0.00000000 inercep 0.0449 0.1597 0.81 0.7786 -Modello ARMA(1,1) più flessibile e parsimonioso Esempio su NASDAQ: parsimonia Proviamo un AR(4) sul quadrao dei rendimeni del NASDAQ proviamo quindi un ARMA(1,1): coef se s.e. sa.sa p.value ar1 0.118 0.03135 4.876 0.0000 ar 0.086 0.03146 9.0104 0.0000 ar3 0.1053 0.03148 4.5483 0.0000 coef s.e..sa p.value ar1 0.9837 0.00598 164.39 0.0000 ma1-0.90 0.0156-59.10 0.0000 ar4 0.116 0.0314 5.030 0.0000 inercep 0.0004 0.00011 3.390 0.001 inercep 0.0004 0.000048 7.5611 0.0000 Anche qui il rischio è quello di sovraparamerizzazione 8
Conrollo diagnosico sui residui -Verifica dell adeguaezza del modello simao: analisi dei residui ˆ ε = y yˆ -Presenza di auocorrelazione residua. H 0 : ˆε ~ WN es sui singoli valori della funzione di auocorrelazione simaa sui residui, cioè ρ ( ˆ) ε k ˆ ε ˆ ε k = k + 1 = ˆ ε = 1 -Verifica complessiva di assenza di auocorrelazione nei residui con il es Q di Ljung-Box: H 0 : assenza di correlazione nei residui fino al lag m. H 1 : presenza di correlazione nei residui fino al lag m. Saisica-es: Q( m) = ( + ) m ρk ( k = 1 ˆ) ε k Soo l ipoesi nulla Q ( m) ~ χ m Esempio su NASDAQ (coninua) Correlogramma dei residui con i due modelli simai sui quadrai dei rendimeni del NASDAQ. Residui del modello AR(4) Residui del modello ARMA(1,1) 9
Esempio su ARMA(1,1) simulao Correlogramma dei residui con il modello adeguao su una serie simulaa da un ARMA(1,1) Conrollo sull omoschedasicià dei residui Cosanza della varianza dei residui nel empo. In caso conrario eeroschedasicià dei residui In ale caso: 1) la significaivià dei parameri non può essere valuaa con il es ; ) gli inervalli di confidenza delle previsioni non sono cosani nel empo Si uilizza il es di McLeod e Li: idenico al es di Ljung-Box, ma fao sui quadrai dei residui 10
Esempio Calcolo di un AR(1) sui rendimeni del MIDEX coef s.e..sa p.value ar1 0.175 0.03 5.5057 4.E-08 c 0.000000 0.00030003 0.710 0.4777 es di McLeod e Li (es di LB sui residui al quadrao) Lag ACF Q-Sa Prob 0 1 47.457968 5.6E-1 1 0.16051684 87.951755 0 0.1488345 45.597073 0 3 0.93534 73.30354453035445 0 4 0.169557 39.619164 0 5 0.17466548 388.513813 0 6 0.178574379 433.56016 0 7 0.15611813 50.109109 0 8 0.1968543 569.4490541 0 9 0.190640708 594.07078 0 10 0.1156814 605.998397 0 11 0.079744434 610.6993983 0 1 0.05036707 619.4490105 0 13 0.068695301 68.8538398 0 14 0.07101499 633.65548 0 15 0.050844451 641.75689 0 16 0.066060569 648.009495 0 17 0.058007567 656.57701 0 18 0.067883835 660.8395965 0 19 0.047869008 660.9645351 0 I residui non sono omoschedasici Conrollo sulla normalià dei residui -Indice di asimmeria di Fisher con M μ s ( ˆε ) = s = 1 e γ = 1 M μ 3 3 σ σ = 1 = ( ˆε ) Asimmeria posiiva o negaiva se maggiore o minore di zero. -Indice di curosi Normale curosi = 3 M 4 β = Plaicurica curosi < 3 M μ Lepocurica curosi > 3 β M μ 1 - es di Jarque-Bera JB = γ 1 + ( β 3) 6 4 Soo l hp di normalià JB si disribuisce come una chi-quadrao con gdl. Ipoesi nulla: normalià della serie. 11
Esempi Isogramma dei residui di un ARMA(1,1) sul quadrao dei rendimeni del NASDAQ Isogramma dei residui di un modello ARMA(1,1) su una serie generaa da un processo ARMA(1,1) Adaameno del modello ai dai osservai Correlogramma dei residui di un MA(5) su una serie generaa da un processo ARMA(1,1) Isogramma dei residui dello sesso modello 1
La scela fra modelli alernaivi Come scegliere il modello migliore fra MA(5) e ARMA(1,1)? -Crieri di scela per p e q, che engono cono del rade-off fra parsimonia (numero di parameri) e capacià previsiva del modello Asympoic Informaion Crierion (Akaike, 1974) AIC( r) = ln ˆ σ + r 1 con r = p + q + 1 e σˆ = ˆ ε = 1 Bayesian Informaion Crierion (Schwarz, 1978) BIC( r) = ln ˆ σ + r ln -Ciascun crierio assegna un coso all inroduzione di ogni nuovo paramero addizionale. I valori di p e di q che minimizzano i crieri rappresenano l ordine del modello -Il crierio BIC impone una penalià più ala di AIC per l inclusione di nuove variabili Esempio su ARMA(1,1) simulao (coninua) SIMA DI UN ARMA(1,1) coef s.e..sa p.value ar1 0.604 0.074 8.199 0.000 ma1-0.789 0.057-13.86 0.000 inercep 0.015 0.017 0.860 0.390 AIC 65.55 BIC 85.15 coef s.e..sa p.value ma1-0.175 0.0303-5.551 551 0.000000 ma -0.138 0.03-4.316 0.000 ma3-0.06 0.033-1.88 0.060 ma4-0.019 0.031-0.60 0.535 ma5-0.044 0.03-1.370 0.171 inercep 0.015 00 0.018 00 0.87 08 0.408 08 AIC 70.57 BIC 104.9 AENZIONE: R calcola AIC in modo diverso: -*loglik+*(r+1) I valori minori di AIC e di BIC si hanno per il modello ARMA(1,1). 13