1 BREVI NOTE DI GEOMETRIA EUCLIDEA I fondamentali Riportiamo di seguito alcuni risultati che non si può non sapere. La presentazione sintetica è una scelta obbligata per questioni di sintesi, tuttavia è buona regola verificarne il contenuto con gli strumenti necessari. 1. Data una retta r ed un punto P esterno ad essa, esiste un unica retta s passante per P e parallela ad s. 2. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180. Questioni di parallelismo 3. (rette tagliate da una trasversale). Se due rette tagliate da una trasversale formano a) o due angoli alterni interni uguali; b) o due angoli alterni esterni uguali; c) o due angoli corrispondenti uguali; d) o due angoli coniugati interni supplementari; e) o due angoli coniugati esterni supplementari;
2 allora risultano uguali tutti gli angoli alterni interni, alterni esterni, e corrispondenti; e risultano supplementari tutti gli angoli coniugati interni e coniugati esterni. 4. (Teorema fondamentale sulle rette parallele). Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette del piano siano parallele è che, tagliate da una trasversale formino: a) o due angoli alterni (esterni o interni) uguali; b) o due angoli corrispondenti uguali; c) o due angoli coniugati (esterni o interni) supplementari. 5. (Teorema dell angolo esterno). In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore degli angoli interni non adiacenti.
3 Dimostrazione. Si dimostra che l angolo esterno EBC è maggiore dell angolo interno non adiacente BCA. Indicato con D il punto medio del lato BC, sia A il simmetrico di A rispetto a D. Dall uguaglianza dei triangoli BA D e ADC (hanno due lati e l angolo tra essi compreso uguali) segue che l angolo esterno EBC è maggiore dell angolo A BC che è uguale a BCA. 6. (Teorema di Talete). Un fascio di rette parallele determina sopra due trasversali due classi di segmenti proporzionali. 7. (Corollario). Una retta è parallela ad un lato di un triangolo, se e solo se determina sugli altri due lati, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali. Dimostrazione. Siano d, ed e due rette parallele al lato AB. Per il teorema di Talete risulta: CD :CA = CE :CB = CA :CB.
4 Viceversa, supponiamo per assurdo che DE non sia parallela a BC. In tal caso esisterebbe un punto F su BC, distinto da E, in cui la parallela ad AB condotta da D interseca BC. Per quanto visto sopra CD :CA = CF :CB, quindi CE = CF, contro l ipotesi. 8. Proposizione. E dato il triangolo ABC. Siano M e N i punti medi dei lati AC e BC rispettivamente. Indicato con G il baricentro del triangolo, allora i triangoli AGB e MNG sono simili.
5 9. Proposizione. Siano AC e BD due segmenti paralleli. Indicato con E il punto intersezione dei segmenti AD e BC, tracciamo per E la parallela ai sementi AC e BD, ed indichiamo con F il suo punto intersezione con AB. Allora 1 AC + 1 BD = 1. EF Dimostrazione. I triangoli ABD e AFE sono simili, così come i triangoli ABC e FBE, 10. Esercizio. Sia ABC un triangolo con  =120. Si tracci la bisettrice dell angolo  e si indichi con D il punto intersezione di questa con il lato BC. Allora 1 AD = 1 AB + 1. AC Soluzione.
6 Si conducano dai vertici B e C le parallele al segmento AD, e le semirette per A. Si indichino con E e con F le intersezioni di tali semirette con le parallele, come in figura. Per questioni di complementarità risulta CÂF = 60. Inoltre, per il teorema delle parallele, l angolo β = A ˆFE = 60 ; di conseguenza, γ = AĈF = 60. Il triangolo ACF è dunque equilatero, così come ABE, simile ad ACF. Da questo segue in particolare che BE = AB e CF = AC ; la tesi segue dall applicazione della proposizione precedente. La disuguaglianza triangolare Con la disuguaglianza triangolare è possibile risolvere svariati problemi, tra cui, ad esempio, quello classico in cui si chiede di determinare il cammino più breve che congiunge due località che si trovano dalla stessa parte rispetto ad un fiume, dovendo portare un secchio d acqua (del fiume) dall una all altra.
7 E ora un classico. 11. Proposizione. In un triangolo, la somma delle lunghezze delle mediane è minore del perimetro. Dimostrazione. Sulla circonferenza e sul triangolo
8 12. (Teorema della bisettrice) In un triangolo ABC, la bisettrice AL BL dell angolo BĈA divide il lato BC in due segmenti tali che: LC = AB AC. Dimostrazione 1. Dimostrazione 2. I seguenti risultati sono applicazioni delle proprietà degli angoli alla circonferenza.
9 13. (Teorema delle due corde) Indicato con A il punto intersezione delle corde BC e DE risulta: AB : AD = AE : AC. Dimostrazione. Da questo risultato segue in particolare la relazione AB AC = AD AE 14. (Teorema delle secanti) Le secanti ad una circonferenza condotte da un punto esterno A staccano coppie di segmenti tali che: AB : AD = AE : AC. Dimostrazione.
10 Da questo risultato segue ancora la relazione AB AC = AD AE 15. (Teorema della secante e della tangente) La tangente ad una circonferenza condotta da un punto A e una secante condotta sempre da A, sono tali che, indicati con D e con C i punti in cui queste rispettivamente incontrano la circonferenza, risulta AB : AD = AD : AC. Dimostrazione.
11 Stavolta la relazione può essere scritta nella forma AC AB = AD 2. 16. La potenza di un punto rispetto ad una circonferenza Nei teoremi che abbiamo appena visto (quello delle corde, quello delle secanti, e quello della secante e della tangente), abbiamo evidenziato la relazione invariante AB AC = AD AE. Invariante significa che, fissati il punto A e la circonferenza, il suo valore è costante al variare della coppia di semirette uscenti da A se questo punto è esterno, o della coppia di corde che si intersecano in A, se questo si trova all interno della circonferenza. In generale, se P è un punto esterno alla circonferenza, e A e B sono i punti in cui la semiretta uscente da P incontra la circonferenza, si definisce potenza di P rispetto alla circonferenza la quantità PA PB. Indicato con r il raggio della circonferenza, risulta PA PB = PC 2 = PO 2 r 2. La potenza di un punto rispetto ad una circonferenza è positiva se il punto è esterno alla circonferenza, è zero se il punto si trova sulla circonferenza, mentre è negativa se il punto è interno alla circonferenza.
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Intermezzo analitico Può essere interessante riportare l approccio analitico al concetto di potenza di un punto rispetto ad una circonferenza, come proposto nel testo Il metodo delle coordinate di Prodi-Foà, come caso di una proprietà geometrica può essere dedotta attraverso relazioni algebriche. Vogliamo studiare le intersezioni della circonferenza ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = r 2 con l asse delle ascisse: # % $ &% ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = r 2 y = 0 x 2 2x 0 x + x 0 2 + y 0 2 r 2 = 0. Le soluzioni dell equazione di secondo grado ottenuta, se esistono, sono tali che x 2 2x 0 x + x 2 0 + y 2 0 r 2 = ( x x 1 )( x x 2 ) = x 2 x( x 1 + x 2 ) + x 1 x 2, da cui seguono le relazioni " $ # %$ x 1 + x 2 = 2x 0 x 1 x 2 = x 0 2 + y 0 2 r 2. Indicato con Q( x 0 ; y 0 ) il centro della circonferenza, e posto d 2 = x 0 2 + y 02, segue x 1 x 2 = d 2 r 2 : il prodotto delle ascisse dei punti intersezione della circonferenza con la retta y = 0 dipende solo dalla distanza OQ e dal raggio r. Quanto detto vale per qualsiasi semiretta di origine O che interseca la circonferenza di centro Q e raggio r in due punti P 1, P 2. 13 Si definisce quindi potenza del punto O rispetto alla circonferenza data la quantità d 2 r 2.
14 Esercizio. Si determini il luogo geometrico dei punti del piano aventi la stessa potenza rispetto ad una circonferenza fissata. 17. L asse radicale come luogo geometrico Definiamo asse radicale il luogo geometrico dei punti del piano aventi la stessa potenza rispetto a due circonferenze. Si hanno vari casi, cominciamo da quello in cui le due circonferenze sono secanti. Indicati con A e con B i punti d incontro delle due circonferenze, l asse radicale è evidentemente rappresentato dalla retta passante per A e B. Se le due circonferenze sono tangenti, l asse radicale è la retta tangente alle due circonferenze, passante per il punto di tangenza.
15 Infine, se le due circonferenze sono esterne (non concentriche) l asse radicale si determina trovando il punto P sulla retta dei centri che ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze, e servendoci di una terza circonferenza secante le circonferenze date. I due assi radicali che si vengono così a determinare si incontrano in un punto L che ha, per la proprietà transitiva, la stessa potenza rispetto alle due circonferenze di partenza. L asse radicale cercato è la retta per L perpendicolare alla retta dei centri. Il punto P, situato sulla retta dei centri, dista dalla circonferenza di centro ( A e raggio R la lunghezza x = AB r ) 2 R 2, e dalla circonferenza di centro 2AB ( B e raggio r la lunghezza y = AB R ) 2 r 2. Tali lunghezze sono state 2AB determinate imponendo l uguaglianza delle potenze di P rispetto alle due
circonferenze: x ( x + 2R ) = ( AB R r x) ( AB R x + r). Dimostriamo che la y = AB R r x perpendicolare per P alla retta dei centri è il luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze. Sia M un punto su questa retta; allora la potenza di M rispetto alla circonferenza di centro A è MN 2 = AM 2 R 2 = MP 2 + ( R + x) 2 R 2, mentre rispetto alla circonferenza di centro B è MQ 2 = BM 2 r 2 = MP 2 + ( r + y) 2 r 2. La tesi segue dall uguaglianza dei membri di destra. Esercizio. Si traccino le tre circonferenze aventi per diametro i lati di un triangolo. Si dimostri che gli assi radicali di queste circonferenze s incontrano nell ortocentro del triangolo. 18. L omotetia Si tratta di una trasformazione del piano euclideo che dilata le distanze dei punti da un determinato centro, indicato con A, e che lascia invariate le rette passanti per A (che si dicono rette unite). 16 Il fattore che descrive la dilatazione nell omotetia viene detto rapporto dell omotetia. Se tale rapporto è positivo, il punto P viene trasformato in un punto P situato dalla stessa parte di P rispetto alla semiretta uscente da A, mentre se il rapporto è negativo, il punto viene trasformato in un punto dalla parte opposta di P, sempre rispetto alla semiretta uscente da A. Esercizio. Sia M il punto medio dell arco AB di una circonferenza di raggio R. Siano P e T i punti in cui una circonferenza di raggio r è tangente alla
17 circonferenza data e alla corda AB. Si dimostri che i punti P, T, M sono allineati. Soluzione. Si dimostra che T viene mandato in M da un opportuna omotetia. Esercizio. Sono dati due punti A, B esterni ad una circonferenza Γ. Si determini il luogo geometrico dei baricentri del triangolo ABC, al variare del vertice C sulla circonferenza Γ. Soluzione. Il baricentro si ottiene da C prendendo il punto che divide il segmento CM (M è il punto medio di AB) in rapporto 2:1. Il luogo cercato sarà quindi una certa circonferenza di raggio 1 3. Esercizio. Si individui l omotetia che lega tra loro due circonferenze di raggi R r, e centri A e B, con d = AB, discutendo i vari casi che si possono presentare. 19. La retta di Eulero Si tratta della retta che unisce l ortocentro, il baricentro ed il circocentro di un triangolo. 20. Il teorema di Ceva In un triangolo ABC, si considerano i punti D, E, F, rispettivamente sui lati BC, AC, AB. I segmenti AD, BE, CF concorrono 1 se e solo se BD DC CE EA AF FB =1. 1 Concorrono significa che si incontrano in un punto O.
18 Dimostrazione Ragioniamo sul lato AB. Si conducano da O le altezze relative ai lati AB, BC, CA. I triangoli AOF e FOB hanno la stessa altezza, così come i Area( AOF) triangoli ACF e CFB. Di conseguenza, Area( FOB) = AF Area( ACF) = FB Area( CFB). Per una nota proprietà delle proporzioni " a b = c d = a c % $ # b d & ', si ha Area( AOC) Area( ACF) Area( AOF) = AreA( BOC) Area( CFB) Area( FOB) = AF FB. Ragionamenti analoghi condotti sui lati AC e BC conducono alle relazioni: Area( AOB) AreA( BOC) = AE Area( AOB), e EC AreA( AOC) = BD, da cui segue la tesi per moltiplicazione CD Area( AOB) 1= AreA( AOC) Area ( AOC ) Area( BOC) Area( BOC) Area( AOB) = BD CD AF FB EC AE. 21. Punti notevoli di un triangolo Proposizione. Il simmetrico dell ortocentro di un triangolo rispetto a un lato (o a un suo prolungamento) appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo. Dimostrazione. In riferimento al triangolo CDB, indichiamo con E l ortocentro, con H il piede della perpendicolare al lato BC condotta da D, e con R il punto intersezione della semiretta contenente il lato DB con l altezza ad essa relativa, condotta da C. Dimostriamo che il simmetrico di E rispetto a R, indicato con S, appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo CDB. I triangoli ERD e DHB
19 sono simili, quindi α := D ˆBC = RÊD e, per costruzione, D ˆBC = RÊD = RŜD := α. Di conseguenza, il punto S vede la corda CD sotto un angolo π α, quindi sta sulla circonferenza circoscritta al triangolo. Vediamo adesso una costruzione classica che utilizza quanto visto fino ad ora. Il cerchio dei nove punti Consideriamo, al solito un triangolo ABC.
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22. Il problema delle tangenti a due circonferenze Se le due circonferenze sono esterne, si possono avere le seguenti situazioni. 21
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