Corso di Modelli Numerici per i Campi Interpolazione polinomiale Giovanni Miano 1
Riferimenti bibliografici: - A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer. - A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer. - Appunti del docente. 2
Dominio monodimensionale [a,b] f = f ( x) C 0 [ a,b] x = a x = b x 3
Partizione del dominio [a,b] x 0 x 1 x 2 x 3 x N x N+1 x = a I 1 I 2 I 3 I N P = { I 1, I 2,..., I N } x = b Il dominio Ω = [a,b] è partizionato in N elementi I 1, I 2,, I N I j = x j, x j+1 j = 1,2,..., N 4
Partizione del dominio [a,b] x 0 x 1 x 2 x N+1 x 3 x N x = a I 1 I 2 I 3 I N P = { I 1, I 2,..., I N } x = b Il dominio Ω = [a,b] è partizionato in N elementi I 1, I 2,, I N I j = x j, x j+1 j = 1,2,..., N h j = ( x j+1 x ) j 5
Partizione del dominio [a,b] x 0 x 1 x 2 x 3 x N x N+1 x = a I 1 I 2 I 3 I N P = { I 1, I 2,..., I N } x = b Il dominio Ω = [a,b] è partizionato in N elementi I 1, I 2,, I N I j = x j, x j+1 j = 1,2,..., N h j = ( x j+1 x ) j h = max j { h } j 6
Interpolazione polinomiale nodale sul singolo elemento I n I n = [ x n, x ] n+1 n = 1,2,..., N Spazio dei polinomi interpolatori su (k+1) nodi equispaziati { ( i x ) n,0 i k} x n x n+1 ( 0) x n ( 1) x n ( 2) x n ( ) ( ) k 1 k x n x n P k ( ) = p x I n k i=0 ( ) = a i n ( ) x i x I n 7
Griglia x n x n+1 x 0 x 1 x 2 x N+1 x N x = a I 1 I 2 I n I N x = b x n x n+1 ( 0) x n ( 1) x n ( 2) x n ( ) ( ) k 1 k x n x n La griglia G h è definita dall insieme di tutti gli elementi {I 1, I 2,, I M } e dall insieme dei nodi di interpolazione su tutti gli elementi {z 1, z 2,, z M }. 8
P k ( I 1 ) Interpolazione polinomiale composita sull intero intervallo [a,b] P k ( I 2 ) P k I 3 ( ) P k ( I N ) x = a I 1 I 2 I 3 I N x = b X h k { ( ) :v In P k ( I n ) I n } h k 1 ( a,b) = v C 0 a,b 9
( 0) l i z i -1 ( k) Polinomi compositi Lagrangiani l i ( x) 1 z i z i +1 x ( x) grado 0 k = 0 10
( 0) l i z i -1 ( k) Polinomi compositi Lagrangiani l i ( x) ( 1) l i ( x) 1 1 z i z i +1 x ( x) grado 0 k = 0 grado 1 k = 1 z i -1 z i z i +1 x 11
( 0) l i z i -1 ( k) Polinomi compositi Lagrangiani l i ( x) ( 1) l i ( x) 1 1 z i z i +1 x ( x) grado 0 k = 0 grado 1 k = 1 z i -1 z i z i +1 x ( 2) l i 1 ( x) 1 1 ( 2) l i ( x) grado 2 k = 2 z i -1 z i z i +1 x 12
Base dello spazio dei polinomi compositi P k ( I 1 ) P k ( I 2 ) P k ( I 3 ) P k ( I N ) x = a I 1 I 2 I 3 I N x = b Una base per lo spazio dei polinomi compositi è costituita dai polinomi compositi Lagrangiani ( ),l ( k),...,l ( k ) 2 M { k l } 1 ( k) l i ( z ) j = δ ij dove {z 1, z 2,, z M } è l insieme di tutti i nodi di interpolazione della griglia sull intero dominio [a,b]. X h k ( a,b) 13
Interpolazione polinomiale composita su [a,b] z M-2 z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z M z M-1 x = a I 1 I 2 I 3 I N x = b Π h k f x M i=1 ( ) = f z i ( )l i k ( ) ( x) Π h k f Il polinomio a tratti coincide su I n con il polinomio interpolante P k (I n ) della funzione f ristretta a I n nei (k+1) nodi di I n. 14
Interpolazione lineare a tratti su [a,b], k = 1 Π h 1 f x M i=1 ( ) = f x i ( )l i 1 ( ) ( x) f ( x 0 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( ) f ( x N+1 ) f x N I 1 I 2 I 3 I N x 1 x 1 x 2 x 3 x N x N+1 x 15
Interpolazione polinomiale composita: errore in Se ( ) C k+1 ( a,b) f x allora si ha f Π k h f < Ch k+1 f ( k+1) dove C è una costante indipendente da h. 16
Interpolazione polinomiale composita: errore in L 2 Si ha anche: e f Π 1 h f L 2 ( a,b) < C 1 h2 d 2 f / dx 2 L 2 ( a,b) d dx f Π h ( 1 f ) L 2 ( a,b) < C 2 h d 2 f / dx 2 L 2 ( a,b) dove C 1 e C 2 sono costanti indipendenti da h. 17
Ω Ω Dominio bidimensionale f = f ( P) C 0 ( Ω) 18
Ω Ω Dominio bidimensionale f = f ( P) C 0 ( Ω) L elevata flessibilità dell interpolazione composita consente di trattare facilmente domini complessi. 19
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω 20
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω 21
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω elemento: triangolo 22
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω elemento: triangolo lato di frontiera e m 23
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω ( i) e n elemento: triangolo ( ) lato di frontiera e n k ( ) e n j e m h n = max s i, j,k ( ) ( ( s) e ) n 24
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω ( i) e n elemento: triangolo ( k) e n h n = max s i, j,k ( ) ( j) e n ( ( s) e ) n lato di frontiera h = max{ h n } n e m 25
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω elemento: triangolo lato di frontiera e m Ω h = Ω h = n e m m 26
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω Ω h Ω h e m Ω h = Ω h = n e m m 27
Triangolazione Ω Ω attraverso un generatore di griglia si genera una triangolazione di Ω Ω h Ω h e m lim h 0 mis( Ω Ω h ) = 0 Ω h = Ω h = n e m m 28
, n = 1,2,..., N t Sfericità ( i) e n Ω h = n ( k) e n ( j) e n h n = max s i, j,k ( ) ( ( s) e ) n ρ n sfericità dell elemento 29
Griglia regolare, n = 1,2,..., N t ( i) e n Ω h = n ( k) e n ( j) e n ρ n sfericità dell elemento Per assegnato δ > 0 è verificata la condizione h n ρ n δ n = 1,2,..., N t 30
Interpolazione polinomiale sull elemento y Indichiamo con P k ( ) lo spazio vettoriale lineare dei polinomi in (x,y) di grado minore o uguale a k definiti su x P k ( ) = p x, y k i, j=0 i+ j k ( ) = a ij n ( ) x i y j x, y ( ) 31
Interpolazione polinomiale sull elemento k = 0 k = 1 k = 2 P 0 P 1 P 2 ( ) = p x, y ( ) = a { } ( ) = p x, y ( ) = a + bx + cy { } ( ) = p x, y ( ) = a + bx + cy + dxy + ex 2 + gy 2 { } 32
Polinomi di Lagrange y r x Introduciamo su l insieme dei nodi di interpolazione Una base per { r 1 = ( x 1, y 1 ),r 2 = ( x 2, y 2 ),...,z Nh = ( x Nh, y )} Nh P k c ( ) Ω h è costituita dai polinomi di Lagrange ( k l ) ( k) i = l i ( r) ( k) l i ( r ) j = δ ij 33
Interpolazione polinomiale composita K n, n = 1,2,..., N t Ω h = n K n Spazio dei polinomi compositi definiti su Ω h { ( Ω h ) :v Tn P k ( ), Ω } h k 1 X k h = v C 0 34
Polinomi compositi Lagrangiani 2D 1D k=0 k=1 35
Polinomi compositi Lagrangiani 2D 1D k=0 k=1 36
Interpolazione polinomiale composita N h numero di nodi Π h k f x, y N h i=1 ( )l i k ( ) = f x i, y i Π h k f ( ) ( x, y) Il polinomio a tratti coincide su con il polinomio interpolante della funzione f ristretta a, nei nodi appartenenti a. 37
Interpolazione polinomiale composita: errore in Se f ( x, y) C k+1 ( Ω) e la griglia è regolare, allora si ha f Π k h f, Ω < Ch k+1 f ( k+1) k 0, Ω dove C è una costante indipendente da h. 38
Interpolazione polinomiale composita: errore in L 2 Inoltre si ha anche per k = 1: e f Π 1 h f L 2 ( Ω) < C 1 h2 2 f L 2 ( Ω) f H 2 ( Ω) ( f Π 1 h f ) < C h L 2 2 ( Ω) 2 f L 2 ( Ω) f ( H2 Ω) dove C 1 e C 2 sono costanti indipendenti da h. 39
Integrazione numerica in due dimensioni Ω Ω f = f ( P) C 0 ( Ω) I = Ω f ( P)dS P Integrale di Riemann 40
Triangolazione del dominio Ω Ω Ω h Ω h = n 41
Triangolazione del dominio Ω Ω Ω h Ω h = n I = Ω f ( P)dS P I h = Ωh f ( P)dS P approssimazione 42
Quadratura composita Ω h I h = Ωh f ( P)dS P Ω h = n I h = n Tn f ( P)dS P 43
( n) P i Formula del punto medio f ( P)dS P f ( P b )A n ( n) P k ( n) P b Coordinate del baricentro ( n) P j k = 0 Interpolazione polinomiale composita con k = 0 k = 1 P b 1 ( 3 x + x + x i j k ), 1 3 y + y + y i j k ( ) A n = area ( ) 44
( n) P i Formula del punto medio f ( P)dS P f ( P b )A n ( n) P k ( n) P b Coordinate del baricentro ( n) P j P b k = 1 Interpolazione k = 0 polinomiale composita con k = 0 1 3 x i + x j + x k ( ), 1 3 y i + y j + y k ( ) A n = area ( ) Approssimazione dell integrale I h = n A n f ( ( n) P ) b 45
( n) P i Formula del trapezio ( n) P k f ( P)dS P 1 3 A n f P i ( n) P j k = 1 ( ) A n = area ( ) + f P j k = 0 ( ) ( ) + f P k Interpolazione polinomiale composita con k = 1 46
( n) P i Formula del trapezio ( n) P k f ( P)dS P 1 3 A n f P i ( n) P j k = 1 ( ) A n = area ( ) + f P j k = 0 ( ) ( ) + f P k Interpolazione polinomiale composita con k = 1 Approssimazione dell integrale I h = 1 3 n A n ( ) + f ( ( n) P ) j + f ( ( n) P ) k ( n) f P i 47
Grado di esattezza Una formula di quadratura ha grado di esattezza pari ad p, con p 0, se dà il valore esatto dell integrale per ogni polinomio di grado inferiore o uguale a p. Le formule del punto medio e del trapezio hanno grado di esattezza pari ad 1. 48
Integrazione numerica: errore Se la formula di quadratura su Ω ha grado di esattezza p, con p 0, e i pesi nella formula sono non negativi, allora esiste una costante positova K indipendente da h tale che I ( f ) I h ( f ) < Kh p+1 M p+1 Area( Ω) dove M p+1 indica il massimo valore assunto dai valori assoluti delle derivate di ordine p + 1 di f. Le formule del punto medio e del trapezio danno entrambe un errore di ordine infinitesimo rispetto ad h pari a 2. 49