Derivata di una funzione Sia una funzione definita in un intervallo a, b R. Fissato un punto appartenente allinsieme di definizione della funzione, sia P (, f ( )) il punto di ascissa appartenente al grafico della funzione. Considerato un ulteriore punto 1, con incremento della variabile indipendente, con 1 sempre appartenente allinsieme di definizione della funzione, sia P1 ( 1, f ( 1)) il punto di ascissa 1 appartenente allo stesso grafico. Si definisce rapporto incrementale della funzione variazione ce subisce la variabile dipendente dipendente Il rapporto tra la e quella subita dalla variabile quando la variabile indipendente subisce un incremento f ( 1 ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 1 Il limite per del rapporto incrementale, se esiste ed è finito, viene ciamato derivata della funzione nel punto Essa si indica in vari modi: f ( ) f ( ) f ( ) lim (derivata) df ; f ( ); ; D( f ( )) d Il limite su descritto vale per un intorno completo di ; se il risultato di tale limite fosse finito, ma diverso nell intorno sinistro e destro, allora la funzione ammetterebbe derivata s e d differente. Inoltre tale limite deve risultare finito e non infinito. Quindi, affincé una funzione sia derivabile in devono sussistere quindi le seguenti condizioni.. - la derivata è definita in un intorno completo di 1
- esiste il limite del rapporto incrementale relativo a, per, cioè esistono limite destro e limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono - questo limite è un numero finito Se tale limite non esiste, o i due limiti destro e sinistro sono diversi, o è infinito si dice ce la funzione non è derivabile in quel punto. Una funzione si dice derivabile nel complesso se ammette derivata in ogni punto del suo insieme di definizione. Il valore della derivata di una funzione in ogni punto dell insieme di definizione della funzione è una grandezza a sua volte variabile e costituisce quindi una nuova funzione, ciamata funzione derivata della funzione Tale funzione si indica con. f ( ) Significato geometrico della derivata o alternativamente ( ), df d o D( f ( )) La retta ce passa per i due punti P (, f ( )) e P1 ( 1, f ( 1)), con 1 è una retta secante al grafico della funzione. Il rapporto incrementale così costruito, data la definizione in geometria analitica del coefficiente angolare della retta passante per due punti, è appunto il coefficiente angolare di questa retta secante ( m sec 1 1 tg( ) )..
e coincide goniometricamente con la tangente goniometrica ce la retta secante forma con la direzione positiva dell asse. Fermo restando il punto, immaginiamo ora di ripetere la costruzione, scegliendo 1 via via più vicino ad, facendo cioè diminuire lincremento della variabile indipendente. Al tendere di 1 ad (sia da destra ce da sinistra) la retta secante tende ad avvicinarsi al grafico, i punti di intersezione diventano via via più vicini e la retta secante tende ad assumere una posizione limite t, ce prende il nome di retta tangente. Il coefficiente angolare della retta secante tende quindi a diventare il coefficiente angolare della retta tangente nel punto P (, f ( )). m tg( ) ( ) ) ( tan Quindi la derivata della funzione nel punto P (, f ( )), ossia il limite f ( ) f ( ) lim f ( ) non è altro ce il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto P (, f ( )). La retta tangente alla curva avrà equazione: f ( ) f ( ) ( ) 3
Le funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmice, trigonometrice sono tutte funzioni derivabili. Calcolo della derivata secondo la definizione. Sia f ( ) 1, ce rappresenta una parabola di vertice V(; 1) e sia 1. Calcolare la derivata della funzione in 1 e lequazione della retta tangente alla curva nel punto di ascissa 1. f ( 1) ( 1) 1 f ( 1 ) ( 1 ) 11 1 f ( ) f ( ) ( ) f ( 1) lim lim lim lim( ) quindi f ( 1) La retta tangente alla curva, ricordando la definizione di retta passante per un punto in geometria analitica, avrà equazione: f ( 1) f ( 1) ( 1) ( 1) 4
Derivate fondamentali 1) La derivata di una funzione costante è. Ricordando ce, se f k ance f ( ) k, calcoliamo: f ( ) f ( ) k k ( ) lim lim lim Se la funzione è costante, è rappresentata da una retta parallela allasse, e quindi con coefficiente angolare m f ( ) ) La derivata della funzione è 1. Ricordando ce, se f ance f ( ), calcoliamo: f ( ) f ( ) ( ) lim lim lim lim1 1 La funzione è rappresentata dalla bisettrice del 1 e 3 quadrante; la tangente al grafico in ogni suo punto è la retta stessa, quindi il suo coefficiente angolare è 1. 3) La derivata della funzione è Ricordando ce, se ance f ( ), calcoliamo: f f ( ) f ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) lim La funzione è una parabola con vertice nellorigine. Il coefficiente angolare della retta tangente è una funzione crescente lineare di. 4) La derivata della funzione 3 è 3 Ricordando ce, se 3 ance f ( ) 3, calcoliamo: 5
f 3 3 3 3 f ( ) f ( ) ( ) 3 3 ( ) lim lim lim 3 3 3 (3 3 ) lim 3 La funzione 3 è una cubica. Il coefficiente angolare della retta tangente è una funzione ce cresce parabolicamente con. 5) La derivata della funzione Ricordando ce, se n n è n 1 con n N n ance f ( ) n, calcoliamo: f n n f ( ) f ( ) ( ) ( ) lim lim n Sviluppando la potenza secondo la regola del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia, risulta un polinomio di grado n a a... a lim n n1 n1 n1 n n 1 n1 Dove 1, a1, a... an 1,1 sono gli n+1 coefficienti dello sviluppo del binomio di Newton. Semplificando e dividendo per si ottiene: lim a a... a n1 n1 n n1 1 n1 Tutti i limiti, a parte il primo sono nulli, per cui risulta: n n ( ) lim lim( a a... a ) a n1 n1 n n1 n1 1 n1 1 Ma, risultando n, come risulta dal triangolo di Tartaglia, si ottiene alla fine: n n 6) La derivata della funzione 1 è con R e Ricordando ce, se n n ance f ( ) 1, calcoliamo: 6
f ( ) f ( ) ( ) f ( ) lim lim... 1 Esempi: 1) ) 7 1 7 7 7 1 6 1 1 1 1 1 1 3) 4) 3 4 3 4 5 5 6 6 3 1 1 3 3 3 4 4 4 con 4 4 4 5 ( 6) 61 Teoremi sul calcolo delle derivate 3 7 1) La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione k f ( ) k f () dimostrazione: k f ( ) k f ( ) k f ( ) f ( ) lim lim f ( ) f ( ) k lim k f ( ) ) La derivata della somma di due o più funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni dimostrazione: f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( k) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim lim f ( ) g ( ) 7
3) La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla somma della derivata della prima funzione per la seconda non derivata e dalla derivata della seconda per la prima non derivata f ( ) g( ) f g f g ( ) ( ) ( ) ( ) dimostrazione: f ( ) g( k) f ( ) g( ) lim Al primo termine del numeratore sottraiamo e sommiamo il prodotto g( ) f ( ) f ( ) g( k) g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) lim Raccogliendo g( ) nei primi due termini e f( ) tra gli ultimi due: g( k) f ( ) ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim f ( ) ) f ( ) g( ) ) g( ) lim g( k) lim f ( ) g( ) f ( ) f ( ) g ( ) 4) La derivata del reciproco di una funzione è uguale ad una frazione ce a: - per numeratore lopposto della derivata della funzione - per denominatore il quadrato della funzione 1 f( ) f ( ) 1 1 1 f f 1 ( ) ( ) f ( ) f ( ) ) La derivata del quoziente tra due funzioni derivabili è uguale ad una frazione ce a: - per numeratore la differenza tra il prodotto della derivata della prima funzione e la seconda non derivata e il prodotto dalla derivata della seconda e la prima non derivata - per denominatore il quadrato della seconda funzione f( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) con g ( ) g ( ) 8
Dimostrazione: Scriviamo la funzione quoziente f( ) g ( ) come prodotto di due funzioni 1 f ( ) e appliciamo la regola del prodotto g ( ) 1 g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) f ( ) g( ) g ( ) g ( ) Le derivate di ordine superiore La derivata della derivata prima viene ciamata derivata seconda. La derivata della derivata seconda viene ciamata derivata terza, e così via. Le varie derivate si ciamano derivate di ordine superiore e si indicano con,,,,... I punti stazionari (4) (5) (6) ( n) In figura vediamo alcuni casi in cui la retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto è parallela allasse (in figura si osservano un punto di massimo relativo, e un punto di flesso a tangente orizzontale decrescente). Altri due possibili casi sono il punto di minimo relativo e il flesso a tangente orizzontale ascendente. In questi punti la derivata prima è uguale a zero. Per cui, se in punto risulta f ( ) allora il punto di coordinate, f ( ) si dice punto stazionario. 9
La continuità e la derivabilità La funzione è continua in in quanto: lim f() tuttavia essa non è derivabile nello stesso punto in quanto presente unna discontinuità di 1 specie nella derivata, cioè le due derivate sinistra e destra anno valore finito ma diverso, il valore e 1 per la derivata destra e -1 per la derivata sinistra. Il punto è un punto angoloso per la funzione. Questo dimostra ce se una funzione è continua, non è detto ce sia derivabile. Ma se la funzione è derivabile in un certo punto. è ance ivi continua? Scriviamo la relazione: f ( ) f ( ) ce risulta essere unidentità. f ( ) f ( ) Calcoliamo il limite per di entrambi i membri, ricordando ce il limite della somma è uguale alla somma dei limiti: f ( ) f ( ) lim ( ) lim ( ) lim f f Lultimo limite tende a zero, mentre i secondo tende a f( ) per cui, lim f ( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) essendo ; se lim f ( ) f ( ) cioè otteniamo la definizione di funzione continua. Per cui se una funzione è derivabile è necessariamente continua. 1
Il Teorema di Rolle (definizione) Sia continua in un intervallo ciuso interno ad esso. Se risulta f ( a) f ( b) la derivata si annulla: ab, ed è derivabile in ogni punto, esiste almeno un punto f ( ) cioè, in tale punto o in tali punti la retta tangente è orizzontale a b, per cui Il teorema di Lagrange Sia ab, continua in un intervallo ciuso interno ad esso, esiste almeno un punto a b, ed è derivabile in ogni punto per cui vale la relazione: f ( b) f ( a) f ( ) b a cioè, in tale punto o in tali punti la tangente a lo stesso coefficiente angolare della retta secante alla curva nei punti di ascissa a e b. 11
Dimostrazione: Consideriamo la funzione: ( ) f ( ) K ab, Per le ipotesi del teorema la funzione è continua in e derivabile, poicé somma di funzioni continue e derivabili. Determiniamo K in modo ce ( a) ( b) f ( a) K a f ( b) K b K ( b a) f ( b) f ( a) K f ( b) f ( a) b a La funzione risulta quindi f ( b) f ( a) ( ) f ( ) b a Applicando il teorema di Rolle, esisterà un punto a b ( ), f ( b) f ( a) ( ) f ( ) b a cioè f ( b) f ( a) f ( ) b a, tale ce Teorema Sia una funzione ogni punto interno ad esso e tale ce allora f( ) è costante un tutto ab,. è continua in un intervallo ciuso, ab ed è derivabile in f ( ) in ogni punto interno dellintervallo, 1
Teorema Se due funzioni e g() continue in un intervallo ciuso ab, ed è derivabili in ogni punto interno ad esso e tali ce f ( ) g ( ) in ogni punto interno dellintervallo, allora esse differiscono per una costante. Teorema di Cauc Siano due funzioni e g() continue in un intervallo ciuso ab, e ab derivabili in ogni punto interno ad esso e inoltre in (, ) esiste almeno un punto a b, per cui vale la relazione: è sempre g ( ), allora f ( b) f ( a) f ( ) g b g a g ( ) ( ) ( ) cioè ce il rapporto tra i due incrementi delle funzioni e g() nellintervallo ab, punto interno allintervallo. Teorema di De LHospital è uguale al rapporto tra le rispettive derivate in un particolare Dato un intorno I di un punto e due funzioni e g() definite in I (escluso al più ) se: e g() sono derivabili in I (escluso al più ) con g ( ) e le due funzioni tendono entrambe a o entrambe a per esiste il f ( ) delle loro derivate lim g ( ) allora esiste il limite del rapporto delle funzioni ed è f ( ) f ( ) lim lim g( ) g ( ) Il teorema vale ance per un intorno di. per 13
Crescenza e decrescenza di una funzione Data una funzione in ogni punto interno ad esso, essa è: a, b - crescente in I - decrescente in negativa I a, b, continua in un intervallo ciuso, se in ogni punto interno di a, b I I e derivabile la sua derivata prima è positiva, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è Dimostrazione: Dobbiamo dimostrare ce se allora è crescente in ( ab, ) Siano I a b. con 1,, 1 continua in ab, e f ( ) ( a, b), Per il teorema di Lagrange, applicato alla funzione, nellintervallo 1, si a: f ( ) f ( 1) 1 f ( ) con 1 Poicé 1 e, per ipotesi,, deve risultare ance f ( ) f ( 1) per cui f ( ) f ( ) da cui la crescenza in ( ab, ). 1 Si dimostra in modo analogo per la decrescenza. Per studiare gli intervalli in cui una qualunque funzione è crescente o decrescente bisogna quindi calcolare la derivata prima della funzione e porla maggiore di zero, cioè risolvere una disequazione ce può essere di qualunque genere, polinomiale, fratta, irrazionale, goniometrica, esponenziale, logaritmica o una combinazione di esse. Negli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta, la funzione sarà crescente, negli altri decrescente. Negli estremi di tali intervalli, se la funzione passerà da crescente a 14
decrescente, sarà localizzato ivi un punto di massimo relativo, mentre, se passerà da decrescente a crescente, vi sarà un punto di minimo relativo. I punti di massimo e minimo relativo sono punti stazionari per la funzione, ance se, come abbiamo visto precedentemente, ance i flessi a tangente orizzontale fanno parte di questa categoria. Dallo studio del segno della derivata prima, vedremo in seguito, si possono riconoscere tali punti percé separano intervalli in cui la derivata prima presenta lo stesso segno, o positivo (flesso ascendente) o negativo (flesso discendente). Massimi e minimi relativi Data una funzione, definita in un intervallo I, il punto I si dice di massimo relativo se esiste un intorno I di, tale ce f ( ) f ( ), I f( ) si dice massimo relativo della funzione in I. Il punto M ( ; f ( )) sarà un punto di massimo relativo. Data una funzione, definita in un intervallo I, il punto I si dice di minimo relativo se esiste un intorno I di, tale ce f ( ) f ( ), I f( ) si dice minimo relativo della funzione in I. Il punto m( ; f ( )) sarà un punto di massimo relativo. Un punto di massimo relativo è ance massimante per la funzione. Un punto di minimo relativo è ance minimante per la funzione. Un punto di un intervallo si dice estremale o estremante se è massimante o minimante. I punti di massimo o minimo relativo si ciamano ance punti estremali o estremanti per la funzione. 15
Concavità verso lalto e verso il basso Siano date la funzione, definita e derivabile nellintervallo I e la retta di equazione t( ), tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa interno allintervallo I. Si dice ce il grafico della funzione a la concavità rivolta verso lalto se esiste un intorno completo I di, tale ce I, lordinata del punto di ascissa appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ascissa, ossia: f ( ) t( ), I Si dice ce il grafico della funzione a la concavità rivolta verso il basso se esiste un intorno completo I di, tale ce I, lordinata del punto di ascissa appartenente al grafico è minore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ascissa, ossia: f ( ) t( ), I Si dice ce il grafico di una funzione a la concavità verso lalto in un certo intervallo se a la concavità verso lalto (convessa) in ogni punto dellintervallo. Analogamente per gli intervalli in cui la funzione a la concavità verso il basso. 16
I Flessi Data una funzione, definita e continua in un intervallo I, il punto I si dice punto di flesso se esiste un intorno cambia concavità. I di nel quale la funzione Se la funzione è derivabile nel punto di flesso, esiste la tangente a tale punto, ce si ciama tangente inflessionale; essa può essere parallela allasse o obliqua. I punti stazionari di flesso orizzontale (flessi a tangente orizzontale) Data una funzione stesso intorno, il punto soddisfatte le seguenti condizioni: f ( ), definita e continua in un intervallo I, e derivabile nello I si dice punto di flesso a tangente orizzontale se sono il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dellintorno I 17
Riassumendo: Si calcola la derivata prima della funzione e si determina il suo dominio, per trovare i punti in cui la funzione non è derivabile (cuspidi, flessi a tangente verticale, punti angolosi) (solo quando il dominio è diverso dal dominio della funzione si studia la disequazione f ( ) per trovare i punti di massimo e minimo relativo e i flessi a tangente orizzontale se è un punto estremante, cioè soluzione dellequazione ( ) f, il segno della disequazione prima e dopo sarà il seguente: + - massimo relativo - + minimo relativo + + flesso a tangente orizzontale ascendente - - flesso a tangente orizzontale discendente Flessi e derivata seconda Siano date la funzione, definita e continua in un intervallo I, insieme con le sue derivate prima e seconda, e sia un punto interno allintervallo I. 18
Se in è f ( ), il grafico della funzione volge in - la concavità verso lalto se f ( ) - la concavità verso il basso se f ( ) Si a in un punto di flesso a tangente obliqua se la derivata seconda si annulla, cioè se f ( ) In pratica, per trovare i punti di flesso a tangente obliqua, si calcola la derivata seconda e si risolve la disequazione f ( ), individuando gli intervalli in cui la funzione a la concavità verso lalto e quelli in cui a la concavità verso il basso. Se è un punto ce delimita due intervalli, il primo in cui f ( ) e il secondo in cui f ( ), si a un flesso a tangente obliqua ascendente Se è un punto ce delimita due intervalli, il primo in cui ( ) f e il secondo in cui f ( ), si a un flesso a tangente obliqua discendente La tangente inflessionale è la retta tangente alla funzione nel suo punto di flesso. Essa a equazione: f ( ) ( ) F F F 19
Essa, in un flesso ascendente, si troverà al di sopra della funzione per F e al di sotto per F. Essa, in un flesso discendente, si troverà al di sotto della funzione per F e al di sotto per F. Punti di non derivabilità Quando la derivata 1 non è definita in certi punti, nei quali la funzione esiste, cioè quando si verifica in generale ce i due domini non coincidono, la derivata prima presenta una discontinuità di specie, cioè il limite per ce tende ad un valore finito tende allinfinito lim f ( ) Di conseguenza sia la derivata sinistra, ce la derivata destra tendono ad infinito. Se lim f ( ) e lim f ( ) il limite del rapporto incrementale a la stessa tendenza sia a sinistra ce a destra. Si dice ce nel punto sia a un flesso a tangente verticale ascendente. La retta è la tangente inflessionale.
Se lim f ( ) e lim f ( ) il limite del rapporto incrementale a la stessa tendenza sia a sinistra ce a destra. Si dice ce nel punto sia a un flesso a tangente verticale discendente. La retta è la tangente inflessionale. Tipice funzioni ce presentano flessi a tangente verticale sono quelle ce presentano radici cubice. Se lim f ( ) e lim f ( ) il limite del rapporto incrementale a tendenza a sinistra e a destra. Si dice ce nel punto sia a una cuspide rivolta verso il basso. La retta è la tangente al punto di cuspide. 1
Se lim f ( ) e lim f ( ) il limite del rapporto incrementale a tendenza a sinistra e a destra. Si dice ce nel punto sia a una cuspide rivolta verso lalto. La retta è la tangente al punto di cuspide. Tipice funzioni ce presentano cuspidi sono le radici di valori assoluti.
Punti angolosi Se invece la derivata prima a una discontinuità di 1 specie, cioè le due derivate sinistra e destra anno valore finito ma diverso, si dice ce il punto angoloso per la funzione. è un punto Nei punti angolosi esistono sia la tangente sinistra ce la tangente destra e ovviamente presentano diverso coefficiente angolare pur passando per lo stesso punto. Tipice funzioni ce presentano punti angolosi sono le funzioni con valore assoluto e la funzioni definite a tratti ce si raccordano negli estremi. 3
Punti di partenza e di arresto di una funzione Questi punti si presentano in particolare con funzioni irrazionali quadratice. Consideriamo, ad esempio, la funzione 3 6. Il suo dominio è D R / Interseca lasse nel punto A (,).. E sempre positiva o uguale a zero nel dominio. Comportamento allinfinito: lim 3 6 Derivata prima: 3 6 3 dominio della funzione. lim del punto. Il dominio della derivata prima è D R / diverso dal 3 3 lim. La funzione presenta quindi nellintorno destro 3 6 una tangente verticale. Analogamente accade per i punti di arresto della funzione. Consideriamo, ad esempio, la funzione 3 6. 4
Il suo dominio è D R /. E sempre positiva o uguale a zero nel dominio. Interseca lasse nel punto A(,). Comportamento allinfinito: lim 3 6 Derivata prima: 3 6 3 dominio della funzione. lim del punto. Il dominio della derivata prima è D R / diverso dal 3 3 lim. La funzione presenta quindi nellintorno sinistro 3 6 una tangente verticale. 5