Sistemi lineari 1 / 41

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Equazioni lineari Una equazione lineare a n incognite, è una equazione del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, dove a 1,,a n,b sono delle costanti (numeri) reali. I simboli x 1,,x n sono detti incognite dell equazione I numeri reali a 1,,a n sono detti coefficienti b è chiamato termine noto Per semplificare la notazione, useremo spesso il simbolo di sommatoria n i=1 a i x i = b. 2 / 41

Definizione Una soluzione di una equazione lineare a n incognite n i=1 a i x i = b è una n-upla ordinata di numeri reali, ossìa un elemento tale che si abbia: n i=1 (x 0 1,,x0 n) R n a i x 0 i = a 1 x 0 1 + + a nx 0 n = b. 3 / 41

Esempio Consideriamo l equazione in 4 incognite: 2x 1 x 2 + 2x 4 = 0. Si osservi innanzitutto che il coefficiente di x 3 è nullo e perciò tale incognita non appare nell equazione ed inoltre il termine noto è anch esso nullo. La quaterna di numeri reali (0,0,0,0) è una soluzione, infatti si ha: 2 0 1 0 + 2 0 = 0 + 0 + 0 = 0, Allo stesso modo si verifica che le quaterne sono entrambe soluzioni. (1,2,0,0) e ( 2,0,5, 2) 4 / 41

Esempio L equazione a 5 incognite 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0, ammette come soluzione qualunque 5-upla di numeri reali. 5 / 41

Esempio L equazione ad un incognita (che denotiamo con x) 5x = 3 ammette come unica soluzione il numero reale 3 5. Infatti si verifica sostituendo che 3 5 è una soluzione. Inoltre, se x 0 è una soluzione di tale equazione allora si ha 5x 0 = 3 e, dividendo entrambi i membri per 5, si ottiene x 0 = 5 3. 6 / 41

Definizione Una equazione lineare a n incognite è detta omogenea se il suo termine noto è nullo: n i=1 a i x i = 0 La n-upla in cui ogni elemento è zero, è una soluzione dell equazione omogenea: a 1 0 + + a n 0 = 0 La n-upla verrà chiamata soluzione nulla. (0,...,0) 7 / 41

Data un equazione lineare a n incognite n i=1 a i x i = b ci interessa determinare e descrivere l insieme formato da tutte le soluzioni di tale equazione: S = {(x 1,...,x n ) R n : n i=1 a i x i = b} R n Tale insieme è per definizione un sottoinsieme di R n 8 / 41

Equazione lineare ad una incognita In questo caso denoteremo con x l incognita, a il coefficiente di x e b il termine noto. L equazione diventa: ax = b Nella ricerca delle soluzioni si presentano vari casi a seconda dei valori assunti dal coefficiente e dal termine noto. 9 / 41

Caso a 0 Una soluzione dell equazione è un numero x 0 R tale che ax 0 = b Dividendo entrambi i membri dell equazione per a (dato che a 0) si ha ax 0 a = b a x 0 = b a segue che x 0 = b a è l unica soluzione da cui { } b S = a 10 / 41

Caso a = 0 Se a è nullo, l equazione diventa e quindi abbiamo due possibilità. 0x = b b 0 L equazione non ha soluzioni poichè se x 0 R fosse una soluzione, allora 0 = 0x 0 = b 0 In questo caso si ha S = /0 b = 0 L equazione ha infinite soluzioni, infatti per ogni x 0 R si ha 0x 0 = 0 Si trova quindi S = R 11 / 41

Ricapitolando L equazione presenta: ax = b, a,b R un unica soluzione se a 0 nessuna soluzione se a = 0 e b 0 infinite soluzioni se a = 0 e b = 0 12 / 41

Equazione lineare a due incognite Indicheremo con x e y le due incognite, con a e b i rispettivi coefficienti e con c il termine noto cosicché l equazione diventa: ax + by = c. Come per l equazione ad una incognita distingueremo due casi: (a,b) = (0,0) (a,b) (0,0) 13 / 41

(a,b) = (0,0) Se entrambi i coefficienti sono nulli avremo e quindi i due sotto casi: 0x + 0y = c c 0 non esistono soluzioni. Infatti se (x 0,y 0 ) R 2 fosse una soluzione si avrebbe 0 = 0x 0 + 0y 0 = c 0 c = 0 l insieme delle soluzioni è S = R 2. Infatti per ogni copia (x 0,y 0 ) R 2 si ha 0 = 0x 0 + 0y 0 = 0 14 / 41

(a,b) (0,0) Se (a, b) (0, 0) almeno uno dei coefficienti è non nullo, supponiamo che sia a. ax + by = c Sia (x 0,y 0 ) R 2 una soluzione, cioè ax 0 + by 0 = c Dividendo ambo i membri per a si ottiene x 0 + b a y0 = c a x 0 = b a y0 + c a Quindi una qualunque soluzione (x 0,y 0 ) R 2 ha la forma ( ba y0 + ca, y0 ) 15 / 41

Viceversa, y 0 R ogni coppia della forma ( ba y0 + ca, y0 ) è soluzione dell equazione. Infatti ( a b a y0 + c ) + by 0 = by 0 + c + by 0 = c a L insieme delle soluzioni è: S = {( ba t + ca ) },t R 2 : t R. Diremo che le soluzioni sono infinito a uno, ossìa che dipendono da un parametro (in questo caso abbiamo usato t come parametro). 16 / 41

Ricapitolando L equazione presenta: ax + by = c, a,b,c R infinite a uno soluzioni se (a,b) (0,0) nessuna soluzione se (a,b) = (0,0) e c 0 infinite a due soluzioni se (a,b) = (0,0) e c = 0 17 / 41

Equazioni lineari: caso generale Il caso dell equazione ad n incognite n i=1 a i x i = b è una semplice generalizzazione di quanto fatto per due incognite e quindi si avrà: 18 / 41

Equazioni lineari: caso generale n i=1 a i x i = b Se i coefficienti a i sono tutti nulli, e il termine noto b è nullo, avremo S = R n In questo caso l equazione rappresenta una identità. Se i coefficienti a i sono tutti nulli, e il termine noto b è non nullo, avremo S = /0 In questo caso l equazione non ammette soluzioni è si dice incompatibile. 19 / 41

Equazioni lineari: caso generale n i=1 a i x i = b Se almeno uno dei coefficienti a i è diverso da zero sarà possibile descrivere l insieme delle soluzioni utilizzando n 1 parametri (uno in meno del numero delle incognite). Ad esempio, se a 1 0, si trova n i=1 a ix i a 1 = b a 1 x 1 + 1 a 1 n i=2a i x i = b a 1 x 1 = 1 a 1 n i=2a i x i + b a 1 quindi x 2,,x n possono assumere qualunque valore reale mentre x 1 deve avere la forma suddetta. L insieme S risulta: {( } S = ) 1 n a 1 a i t i + b, t 2,,t n R n : t 2,,t n R i=2 a 1. 20 / 41

Esempio Consideriamo l equazione a 4 incognite 3x 1 + x 3 x 4 = 5 Poiché il coefficiente di x 3 è diverso da zero, possiamo isolare x 3 e portare i restanti termini al secondo membro e ottenere x 3 = 5 3x 1 + x 4 e quindi l insieme delle soluzioni sarà S = { (t 1, t 2, 5 3t 1 + t 4, t 4 ) R 4 : t 1,t 2,t 4 R }. In quoto caso si ottengono 3 soluzioni. 21 / 41

Esempio Consideriamo la stessa equazione 3x 1 + x 3 x 4 = 5 ma isoliamo x 4. Si ottiene x 4 = 3x 1 + x 3 5 e quindi l insieme delle soluzioni sarà S = { (t 1, t 2, t 3, 3t 1 + t 3 5) R 4 : t 1,t 2,t 3 R }. 22 / 41

Sistemi lineari Definition Un sistema lineare a n incognite e m equazioni è un insieme di m equazioni lineari ad n incognite. Esempio 2 equazioni m = 2 3 incognite n = 3 { 3x 1 2x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + 2x 3 = 1 Il generico sistema 2 3 si scrive come { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 23 / 41

In generale dunque, se abbiamo n incognite ed m equazioni e indichiamo con a ij i coefficienti e b i i termini noti, per descrivere il sistema scriveremo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1.. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i.. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m n j=1 a 1j x j = b 1. n j=1 a ij x j = b i. n j=1 a mj x j = b m 24 / 41

Che scriveremo anche nella forma concisa n j=1 a ij x j = b i, i = 1,,m. Definizione Una soluzione del sistema è una n-upla di numeri reali che sia soluzione di ogni equazione del sistema. Se S i indica l insieme delle soluzioni della i-esima equazione del sistema, l insieme delle soluzioni del sistema sarà S = S 1 S 2 S m = m i=1 S i Definizione Un sistema si dice compatibile se ammette soluzioni, altrimenti si dice incompatibile. 25 / 41

Esempio Considerimao il sistema a tre incognite e due equazioni { x 2y + z = 0 πx + 5y (ln5)z = 0 Il sistema è compatibile poiché entrambe le equazioni ammettono la soluzione nulla (0, 0, 0). 26 / 41

Esempio Consideriamo il sistema a due incognite e due equazioni { x y = 0 x y = 1 Il sistema non è compatibile. Infatti se (a, b) fosse una soluzione, si dovrebbe avere a = b, dalla prima equazione 0 = a b = 1, dalla seconda equazione 27 / 41

Sistemi omogenei Definizione Un sistema è detto omogeneo se tutte le sue equazioni sono omogenee. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0.. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = 0.. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 Poiché una equazione omogenea ammette sempre la soluzione nulla, un sistema omogeneo è sempre compatibile. 28 / 41

Sistemi lineari equivalenti Due sistemi sono detti equivalenti se ammettono le stes- Definizione se soluzioni. Due sistemi equivalenti devono avere lo stesso numero di incognite! Se si scambiano due righe di un sistema si ottiene un sistema equivalente Esempio 2x 1 3x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 + 4x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 1 3x 3 = 1 x 2 + 4x 3 = 1 Se si moltiplicano entrambi i membri di una equazione per un numero non nullo, si ottiene un sistema equivalente. 29 / 41

Combinazioni lineari Dato un sistema lineare m n n j=1 a 1j x j = b 1. n j=1 a ij x j = b i. n j=1 a mj x j = b m Siano λ 1,,λ m R. L equazione: ( n ) ( n ) 1j x j mj x j j=1a j=1a λ 1 + + λ m = λ 1 b 1 + + λ m b m è detta combinazione lineare di coefficienti λ 1,,λ m 30 / 41

Gauss Jordan Teorema (Gauss Jordan) Se all equazione di un sistema si somma una combinazione lineare delle altre equazioni, si ottiene un sistema equivalente. 31 / 41

Notazioni Dato un sistema lineare m n n j=1 a 1j x j = b 1. n j=1 a ij x j = b i. n j=1 a mj x j = b m x = (x 1,,x n ) x 0 = (x1 0,,x0 n) P i (x) = n j=1 a ij x j, P i (x) è un polinomio omogeneo di grado 1 La i-esima equazione del sistema diventa P i (x) = b i 32 / 41

Dato un numero reale λ e un polinomio omogeneo P(x) = a 1 x 1 + + a n x n indicheremo con il polinomio (λp)(x) (λa 1 )x 1 + + (λa n )x n Dati due polinomi omogenei P(x) = a 1 x 1 + + a n x n e Q(x) = b 1 x 1 + + b n x n indicheremo con (P + Q)(x) il polinomio somma (P + Q)(x) = (a 1 + b 1 )x 1 + + (a n + b n )x n 33 / 41

Dimostrazione del Teorema di Gauss Jordan P 1 (x) = b 1.. (S1) P i (x) = b i.. P m (x) = b m (S2) P 1 (x) + λ 2 P 2 (x) + + λ m P m (x) = b 1 + λ 2 b 2 + + λ m b m.. P i (x) = b i.. P m (x) = b m Siano S 1 e S 2 gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi (S1) e (S2) Vogliamo dimostrare che S 1 = S 2 ovvero che si ha S 1 S 2 e S 2 S 1 34 / 41

Sia x 0 S 1 P i (x 0 ) = b i, i = 1,2,,m x 0 è soluzione di tutte le equazioni del sistema (S2), tranne eventualmente della prima. Verifichiamo che x 0 è soluzione della prima equazione, cioè P 1 (x 0 ) + λ 2 P 2 (x 0 ) + + λ m P m (x 0 ) = b 1 + λ 2 b 2 + + λ m b m da P i (x 0 ) = b i, i = 1,2,,m, si ottiene x 0 S 2 0 = 0 35 / 41

Viceversa. Sia x 0 S 2 P i (x 0 ) = b i, i = 2,,m e P 1 (x 0 ) + λ 2 P 2 (x 0 ) + + λ m P m (x 0 ) = b 1 + λ 2 b 2 + + λ m b m P 1 (x 0 ) + λ 2 b 2 + + λ m b m = b 1 + λ 2 b 2 + + λ m b m P 1 (x 0 ) = b 1 Q.E.D. 36 / 41

Esempio I > I + II II > II + III x 2y + z = 0 I x + 2y 5z = 0 II x y = 0 III 4z = 0 x + 2y 5z = 0 x y = 0 4z = 0 y 5z = 0 x y = 0 Dividendo la prima equazione per 4 e riordinando x y = 0 x y = 0 y 5z = 0 (II > II +5III) y = 0 z = 0 z = 0 x = 0 y = 0 z = 0 37 / 41

Esempio Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare di a R: I > I III ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 ax 1 + 2ax 2 + ax 3 = 3a x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 II > II aiii ax 2 = a + 1 x 2 + x 3 = 2 III > III II ax 1 = 1 ax 2 = a + 1 ax 3 = a 1 II > II I Supponiamo a 0 ax 1 = 1 2ax 2 + ax 3 = 3a + 1 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 ax 2 = a + 1 ax 2 + ax 3 = 2a 38 / 41

Esempio Se a 0 ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 ax 1 = 1 ax 2 = a + 1 ax 3 = a 1 x 1 = 1/a Se a 0 un unica soluzione x 2 = 1 + 1/a x 3 = 1 1/a Se a = 0? ax 1 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 0 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 x 2 + x 3 = 2 il sistema è incopatibile 39 / 41

Esempio Discutere e risolvere il seguente sistema lineare al variare di h R: x 1 x 2 x 3 = 0 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 4x 1 + h x 3 = 0 II > II 3I III > III II x 1 x 2 x 3 = 0 0 + 4x 2 + 5x 3 = 0 III > III 4I 4x 1 + h x 3 = 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 + 4x 2 + 5x 3 = 0 0 + 0 + (h 1) x 3 = 0 Se h 1 l unica soluzione è quella nulla (0,0,0) Se h = 1? x 1 x 2 x 3 = 0 0 + 4x 2 + 5x 3 = 0 0 + 4x 2 + (h + 4) x 3 = 0 40 / 41

Esempio { x 1 x 2 x 3 = 0 4x 2 + 5x 3 = 0 I > I + (1/4)II { x 1 + (1/4)x 3 = 0 4x 2 + 5x 3 = 0 { x 1 = (1/4)x 3 x 2 = (5/4)x 3 S = {( 1 4 t, 5 4 t, t) R3 : t R} 41 / 41