Lezione 3 Esercitazioni

Lezione 3 Esercitazioni Forlì, 26 Marzo 2013 Teoria della produzione Esercizio 1 Impiegando un fattore produttivo (input) sono stati ottenuti i livelli di produzione (output) riportati in tabella. Fattore x Produzione Y(x) 1 30 2 78 3 102 4 124 5 135 6 126 Calcolare produttività media e marginale del fattore impiegato. SOLUZIONE La produttività media del fattore produttivo (x) è determinata dal rapporto fra la quantità di prodotto ottenuta Y(x) e la quantità di x impiegata; P(x)= La produttività marginale del fattore x indica la variazione di produzione corrispondente ad ogni variazione unitaria del fattore impiegato: Pmg(x)= =

Poiché nell esercizio sono state considerate variazioni unitarie del fattore x, la variazione è sempre uguale ad 1. Fattore Produzione P(x) Pmg(x) x Y(x) 1 30 30 30 2 78 39 48 3 102 34 24 4 124 31 22 5 135 27 11 6 126 21-9 In base alla legge dei rendimenti marginali decrescenti, quando uno o più fattori sono fissi è probabile che il prodotto marginale del fattore variabile (di solito il lavoro) diminuisca quando la quantità del fattore stesso supera un determinato livello. Esercizio 2 Si determini il tipo di rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione: a. Q=L+K b. Q= c. Q=L+ d. Q= +LK SOLUZIONE I rendimenti di scala indicano la variazione del livello di produzione (output) quando varia nello stesso modo la quantità di tutti gli input utilizzati. Rendimento di scala: Tasso al quale la produzione aumenta quando vengono incrementati proporzionalmente tutti i fattori produttivi In particolare possiamo avere: rendimenti di scala costanti: se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento equi-proporzionale dell output; rendimenti di scala crescenti: se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento dell output più che proporzionale; rendimenti di scala decrescenti: se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento dell output meno che proporzionale; I rendimenti di scala differiscono dalla produttività marginale di un singolo input in quanto essa indica come varia la quantità prodotta variando la quantità utilizzata di quel particolare input. Quando la funzione di produzione è omogenea di grado r è immediato valutare il tipo di rendimenti di scala presentati da quella particolare funzione. In generale, una funzione di produzione è omogenea di grado r se:

F(L,K) Si possono allora individuare I seguenti casi: 1. Se r=1, allora F(L,K): l output varia nella stessa proporzione degli input e si hanno rendimenti di scala costanti; 2. Se r, allora F(L,K) F(L,K): l output varia più che proporzionalmente e si hanno rendimenti di scala crescenti; 3. Se r, allora F(L,K) F(L,K) F(L,K): l output varia meno che proporzionalmente e si hanno rendimenti di scala decrescenti. In caso di funzioni di produzione omogenea di grado r, un modo veloce per individuare la tipologia di rendimenti di scala che la caratterizza è dunque analizzare il valore assunto da r. Questa proprietà è particolarmente utile nel caso la funzione di produzione sia di tipo Cobb-Douglas, con generica espressione: Il cui grado di omogeneità è allora pari alla somma degli esponenti associati agli input. Infatti: = ( ) Da cui Consideriamo ora le funzioni proposte dall esercizio: a. Q=L+K Questa funzione è omogenea di grado r=1, infatti I rendimenti di scala sono perciò costanti. Questo poteva essere ricavato anche dalla semplice osservazione della funzione. In particolare, raddoppiando entrambi gli input anche l output ottenuto raddoppia. Partiamo da una situazione in cui L=6 e K=3 e raddoppiamo le quantità utilizzate degli input =F(6,3)=6+3=9 =F(12,6)=12+6=18 Come si può osservare anche l output raddoppia passando da 9 a 18. a. Q= Si tratta di una Cobb-Douglas con e. Quindi

La funzione presenta rendimenti decrescenti. Quindi, raddoppiando la quantità di entrambi gli input, l output aumenta ma non raddoppia. a. Q=L+ Questa funzione non è omogenea. Infatti Non è possibile raccogliere t in modo da ottenere: F(L,K) Per valutare i rendimenti di scala occorre assegnare un valore positive a t e vedere come varia l output totale. Assumiamo quindi di raddoppiare gli input, ovvero poniamo t=2, fissiamo inoltre L=6 e K=3 Raddoppiamo gli input otteniamo I rendimenti di scala sono pertanto crescenti. a. Q= +LK Anche questa funzione non è omogenea. Infatti Procediamo come prima e vediamo cosa accade all output totale se raddoppiamo gli input. Partendo da L=1 e K=2 otteniamo F(1,2)=2+2=4 Raddoppiando gli input F(2,4)=2+8=10 I rendimenti di scala sono crescenti, perlomeno nell intervallo considerato. Esercizio 3 La tecnologia di un impresa che impiega due input di produzione è rappresentata dalla funzione di produzione a) Disegnare l isoquanto che rappresenta il livello di output; b) Verificare quale delle seguenti combinazioni di output (4,9), (5,10) appartiene all isoquanto Y=6;

c) Se l impresa, utilizzando la combinazione di input (9,4) decidesse di ridurre di un unità l impiego dell input, di quanto dovrebbe aumentare quello del fattore per mantenere costante l output? SOLUZIONE a) Per tracciare il diagramma dell isoquanto conviene esplicitare la funzione di produzione per ; Pertanto si ottiene: Da cui: ) 2 ) (con = La funzione = esprime una relazione inversa tra i due input impiegati nella produzione. Il grafico della funzione rappresenta il luogo geometrico di tutte le combinazioni di input che consentono di ottenere il medesimo livello di output. b) La funzione di produzione 6= è soddisfatta per 6= ; Quindi la combinazione che appartiene all isoquanto è la. c) Il saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST) indica in che misura l input può essere sostituito dall input mantenendo costante il livello dell output. Il SMST è data dal rapporto tra la produttività marginale del primo input e quella del secondo ed esprime la pendenza (in valore assoluto) dell isoquanto passante per quel punto. Il quesito può essere risolto basandosi sul seguente ragionamento. Poiché funzione di produzione può essere scritta come: viene ridotto di un unità, la = =4,4 Definizioni: Funzione di produzione: funzione che associa a ogni possibile combinazione dei fattori produttivi (input) il massimo livello di produzione (output) che l impresa può ottenere.

Si noti che K=Capitale, L=Lavoro. Si noti inoltre che la funzione di produzione si riferisce ad una particolare tecnologia, ovvero a un determinato stato della conoscenza circa i metodi utilizzabili per trasformare i fattori in prodotto. Le funzioni di produzione descrivono ciò che è tecnicamente possibile quando l impresa lavora in modo efficiente, ovvero utilizza ogni combinazione di fattori nel modo più proficuo possibile. Quindi, quanto la tecnologia compie dei progressi e la funzione di produzione cambia, l impresa può ottenere una maggiore quantità di prodotto dalle stesse quantità di fattori. Prodotto medio: Quantità prodotta per unità di un determinato fattore. Prodotto marginale: Quantità aggiuntiva prodotta in virtù dell incremento unitario nell utilizzo di un fattore. Mappa di isoquanti di produzione: è un insieme di curve di isoquanti di produzione che descrive la funzione di produzione. Isoquanto di produzione: è una curva formata da tutte le possibili combinazioni di fattori produttivi che consentono un determinato livello di produzione. Saggio marginale di sostituzione tecnica di lavoro e capitale (SMST): è la quantità di cui il fattore capitale deve essere ridotto quando si aggiunge un unità di lavoro affinché il livello di produzione rimanga costante. E sempre misurato come una quantità positiva: SMST= - SMST= (per un dato livello di q) Dove e sono piccole variazioni di capitale e lavoro lungo un isoquanto. Saggio marginale di sostituzione tecnica decrescente: Ipotizziamo che SMST sia decrescente, ovvero che diminuisca quando ci si sposta verso il basso lungo un isoquanto. Da un punto di vista matematico, ciò significa che la curva di isoquanto è convessa, mentre da un punto di vista concettuale significa che la produttività di qualsiasi fattore è limitata. Saggio marginale di sostituzione tecnica è strettamente legato al prodotto marginale del lavoro e del capitale. Supponiamo di aggiungere lavoro e di ridurre la quantità di capitale in modo da mantenere costante la produzione. L aumento di produzione dovuto alla maggior quantità di lavoro è uguale alla quantità aggiuntiva di prodotto per unità aggiuntiva di lavoro (il prodotto marginale del lavoro) moltiplicata per il numero di unità di lavoro aggiunte: Analogamente la riduzione della produzione determinata dalla riduzione del capitale è uguale alla perdita di produzione per riduzione unitaria del capitale (il prodotto marginale del capitale) moltiplicata per il numero di unità di capitale in meno: Dato che ci si muove lungo un isoquanto (quindi il livello di produzione rimane costante), la variazione complessiva della produzione deve essere zero. Quindi: )*( )*(

+ =0 Riformulando, si ottiene: = - = SMST L equazione indica che il SMST tra i due fattori di produzione è uguale al rapporto tra i prodotti marginale dei fattori. Domande di verifica 1. Che cos è una funzione di produzione? Quali sono le differenze tra una funzione di produzione di breve periodo e una funzione di produzione di lungo periodo? 2. Con quale criterio si stabilisce se un fattore è fisso o variabile? 3. Qual è la differenza tra una funzione di produzione e un isoquanto? 4. Spiegare il termine Saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST). Che cosa significa che SMST=4? 5. Spiegare perché è probabile che il SMST diminuisca man mano che si sostituisce il capitale con il lavoro. ESERCIZIO 4 Supponete che un giovane chef abbia aperto un ristorante. Per farlo, ha lasciato il suo lavoro precedente, che gli consentiva di guadagnare 28.000 all anno; ha venduto un certificato di deposito che gli assicurava un rendimento del 5% per 5.000 (al fine di acquistare le attrezzature); ha utilizzato un immobile di proprietà di sua moglie, che prima veniva affittato per 1.000 al mese. Nel corso del primo anno di attività ha speso 50.000 per le forniture alimentari, 40.000 per il personale e 4.000 di acqua, luce, gas, telefono, ecc. Lo chef sta cercando di stabilire se gli è convenuto lasciare il lavoro per mettersi in proprio. Egli sa come calcolare i ricavi, ma ha bisogno di aiuto per quanto riguarda i costi. Calcolate il costo economico totale che ha sostenuto in un anno. SOLUZIONE Quantità Voce 28.000 Costo imputato del suo lavoro 5.000 Costo delle attrezzature nell ipotesi che possano essere rivendute 250 Interessi persi sul certificato di deposito 12.000 Affitto annuo imputato dell edificio di proprietà della moglie 50.000 Forniture alimentari 40.000 Spesa per il personale 4.000 Spesa per acqua, luce, gas, telefono 139.250 Costo economico totale Domanda di verifica 1. Differenza tra costo economico, costo opportunità e costo contabile.

ESERCIZIO 5 La funzione di costo totale di un impresa è Determinare i livelli di costo corrispondenti a Y=5. a) Costo totale (CT); b) Costo medio (CMe); c) Costo marginale (CMa); d) Costo fisso medio (CFM); e) Costo variabile (CV); f) Costo variabile medio (CVM); A) Nel breve periodo l imprenditore sostiene costi fissi e costi variabili. Pertanto la funzione del costo totale è: Poiché si produce un output pari a Y=5, sostituendo tale valore nell equazione di costo totale otteniamo che Il Costo Totale (costo economico totale della produzione) può essere suddiviso in due componenti: 1) COSTO FISSO (CF): un costo che non varia con il livello di produzione e può essere eliminato solamente attraverso la cessazione dell attività; infatti anche se la produzione è zero, il costo fisso esiste; 2) COSTO VARIABILE (CV): un costo che varia al variare del livello di produzione; (es. spese per salari, retribuzioni varie, materie prime utilizzate). Ciò che aiuta a distinguere i costi tra fissi e variabili è l arco temporale considerato. Nel breve periodo: la maggior parte dei costi è fissa. Indipendentemente dal livello di produzione, l impresa non è in grado di licenziare i lavoratori e deve pagare le forniture di materie prime; Nel lungo periodo: molti costi diventano variabili perché se l impresa vuole per esempio ridurre la produzione può diminuire la forza lavoro impiegata nel processo di produzione, può vendere macchinari, etc. Nel lungo periodo tutti i fattori sono variabili. B) Il costo medio (CMe) è dato dal rapporto tra il costo totale e la quantità prodotta (il livello di produzione): CMe= = Sostituendo ed inserendo il valore di Y=5, si avrà: CMe= = =4 Il costo medio economico ci indica il costo di produzione unitario.

C) Il costo marginale (CMa), anche chiamato costo incrementale, misura la variazione del costo totale dovuta ad una variazione unitaria della quantità prodotta. Ci indica quanto costa aumentare la produzione di una unità. Per variazioni infinitesime di Y, il costo marginale si ottiene calcolando la derivata prima del CT: CMa= = 2Y-3=2(5)-3=7 D) Il costo fisso che nel breve periodo rimane costante, è rappresentato dal termine noto della funzione di costo totale, CF=10. E) Il costo fisso medio è espresso dal rapporto tra il costo fisso diviso per il livello di produzione; CFM= = =2 Poiché il costo fisso è costante, all aumentare del livello di produzione, il costo fisso medio diminuisce. F) Il costo variabile rappresenta una spesa il cui valore assoluto varia proporzionalmente alla quantità di output: CVM= = = =2 (costo variabile medio) Il costo variabile medio è dato dal rapporto tra il costo variabile ed il livello di produzione. Esercizio 6 I prezzi degli input sono =1, =4 e la tecnologia dell impresa è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Si ricavi la curva di isocosto per C=8 e si indichi la sua pendenza; come varia la curva di isocosto per C=12? SOLUZIONE Una curva di isocosto è costituita da tutte quelle combinazioni di input che comportano lo stesso livello di costo per l impresa, cioè le coppie che soddisfano la relazione.

Per C=8, =1 e =4 si ha la relazione 8=. La curva di isocosto è data dalla retta =- +2 e la sua pendenza, in valore assoluto, è pari a che è il rapporto tra i prezzi degli input. Se si considera un livello più elevato di costi la pendenza rimane invariata e la retta di sposta verso l alto. ESERCIZIO 7 Immaginate di ereditare da uno zio americano un impresa specializzata nella produzione di palloncini di gomma. La produzione impiega la seguente tecnologia: Dove A è una costante positiva, B è il numero di palloncini prodotti, L è il vostro lavoro nella fabbrica e G è la quantità di gomma utilizzata. L e G sono sostituti nella produzione: più tempo dedicate alla fabbrica tanto più efficiente diventa il vostro lavoro e diminuisce la quantità di gomma che dovete utilizzare per palloncino (ne sprecate meno). Lavorare nella fabbrica dello zio d America ha per voi un costo-opportunità, poiché dovete lasciare le vostre attività attuali: tale costo opportunità è il costo del lavoro ed è pari a. Il prezzo della gomma è. Ogni anno la fabbrica produce e vende all ingrosso 1296 palloncini. 1. Determinare la domanda di fattori produttivi in funzione di. 2. Determinare la combinazione ottima dei fattori quando SOLUZIONE Il problema è quello di massimizzare i profitti producendo una quantità di palloncini B=1296. Ciò è equivalente a scegliere la combinazione di lavoro e gomma che minimizza il costo di produzione: E possibile definire la retta di isocosto come il luogo dei punti dati dalle combinazioni di lavoro e gomma che implicano uno stesso livello di costo totale. Nel piano (L,G) la retta di isocosto è data da - -L Come si può verificare, più piccolo C, il livello di costo associato ad un dato isocosto, più vicino l isocosto dall origine. La combinazione ottima dei due fattori L e G si trova nel punto di tangenza fra l isoquanto associato ad un livello di produzione B=1600 e la retta di isocosto più vicina all origine. Nel punto di tangenza la pendenza della retta di isocosto è uguale a quella dell isoquanto, ovvero il SMST è uguale al rapporto dei prezzi dei fattori. Il SMST è dato dal rapporto tra le produttività marginali dei fattori:

Calcoliamo dunque le produttività marginali nel caso di questa funzione di produzione PMA (L)= PMA (G)= =2L(G- =2 (G- Da cui: = Le funzioni di domanda di L e G si ottengono risolvendo il seguente sistema di due equazioni in due incognite: = = (G- 1296 Da cui si ottiene L( )=6 G( )=A+6 Se =8 e =2 dalle funzioni di domanda ricavate sopra otteniamo le quantità ottime dei fattori L( )=6 =3 G( )=A+6 = A+12 Esercizio 8 Data la funzione di produzione Ed i prezzi dei fattori K e L rispettivamente: A. Determinare la combinazione ottimale di K e L che consente all impresa di ottenere un output Y=10.000 unità di prodotto; B. il costo minimo; C. il prezzo unitario minimo di vendita affinché il prodotto sia positivo.

SOLUZIONE a. Impostiamo il sistema risolutivo SMST= (Vincolo di tangenza tra isoquanto ed isocosto) Y=10KL (Vincolo tecnologico) Sappiamo inoltre che: =10L; =10K; Sostituiamo ed otteniamo che: SMST= SMST= Il sistema diviene pertanto: = 10.000=10KL Il sistema risolto rende le seguenti quantità ottime: =10 =100 b. Moltiplicando il prezzo di ciascun fattore per sua quantità ottima, si ottiene il costo minimo come segue: Sostituendo:

c. Sappiamo che il profitto è dato da: Pertanto: = ricavo costo minimo Poiché poniamo la funzione di profitto come segue: