Qunto test d autovalutazone d ANALISI DEI SISTEMI A.A. 9/. S determn, per t R +, operando nel domno del tempo, l evoluzone lbera d stato ed uscta del modello d stato a tempo contnuo ẋ(t) Fx(t) y(t) Hx(t) n corrspondenza alle seguent scelte delle matrc F e H e dello stato nzale x(): (a) F,H,x() T ; (b) F,H,x() T ; (c) F,H,x() T ; (d) F,H,x() T ;. S determn, lavorando nel domno delle trasformate d Laplace, le evoluzon d stato ed uscta de sstem assegnat n corrspondenza alle specfche scelte della condzone nzale e della sollectazone d ngresso: 3 ẋ(t) x(t) + u(t), (a) y(t) x(t), (b) x(),u(t) e t δ (t); ẋ(t) x(t) + y(t) x(t), u(t), (c) x() T,u(t) ; ẋ(t) x(t) + y(t) x(t), u(t), x() T,u(t) e δ (t).
3. S determnno mod elementar e s stud la stabltà asntotca, semplce e BIBO de seguent modell d stato: ẋ(t) x(t) + u(t), (a) y(t) x(t), ẋ(t) / x(t) + u(t), (b) y(t) x(t) u(t), + a a ẋ(t) x(t) + u(t), a R, (c) y(t) x(t).
. Evoluzone lbera d stato ed uscta: RISPOSTE (a) La generca potenza della matrce F è ( ), se è par, F ( ), se è dspar da cò segue S trova, allora, e Ft F + ( ) ( ) ( ) t ( )!, Z +, e e t e e t. x l (t) e Ft e x() e t e e t e y l (t) Hx l (t) e. e e e (b) La generca potenza della matrce F è F, >, da cò segue S trova, allora, e Ft I + Ft x l (t) e Ft x() y l (t) Hx l (t). +. + (c) La generca potenza della matrce F è F, se è dspar; F F, se è par e maggore d. S può rcorrere all espressone unca F, +( ) +( ) ( ) 3
valda per. Da cò segue + e Ft I 3 + t +( ) +( ) ( )! + + t! + S trova, allora, x l (t) e Ft x() t! + t ( )! + t! + t ( )! + t! + ( (e t ) e t e t ) + ( e ) ( e t ) + ( e ). e e t + et + 3 e y l (t) Hx l (t) + t ( )! ( (e t ) e t e t ) + ( e ) ( e t ) + ( e ) e e t + et + 3 e 3 et 3 e + 3. (d) La generca potenza della matrce F è ( ) F ( ) + ( ), Z + ; ( ) da cò segue e Ft + ( ) e ( ) + ( ) t ( )! te e. e S trova, allora, e e x l (t) e Ft x() te e. (4t )e e e e y l (t) Hx l (t) (4t )e e e (4t )e (4t + )e.. Calcolo d evoluzone d stato ed uscta: (a) Il fatto che la condzone nzale sa nulla asscura che le evoluzon d stato ed uscta che andamo a calcolare sano puramente forzate e valgono pertanto le seguent espresson: X(s) (si n F) GU(s), () Y (s) H(sI n F) G + DU(s). () 4
Poché u(t) e t δ (t), la trasformata d Laplace dell ngresso assegnato è Ottenamo qund: X f (s) s 3 s (s )(s ) U(s) s. 3 s s Y f (s) X f (s) 4 s (s )(s ). s 3 (s )(s ) (s ) 3 (s )(s ) (s ) Anttrasformando termne a termne s trova ( 3 e x f (t) t e t + t e t) δ (t) t e t δ (t) y f (t) ( 3e t 3e t + t e t) δ (t). (b) In questo caso l fatto che l ngresso applcato sa dentcamente nullo asscura che le evoluzon d stato ed uscta che andamo a calcolare sano puramente lbere e valgono pertanto le seguent espresson: Ottenamo qund: X l (s) X l (s) (si n F) x(), (3) Y l (s) H(sI n F) x(). (4) s s s Y l (s) X l (s) Anttrasformando termne a termne s trova x l (t) s(s ) e t y l (t) e t. s s(s ) s s(s ). (c) In questo caso l fatto che sa la condzone nzale che l ngresso applcato sano non null rchede l calcolo delle component sa lbere (formule (3)-(4)) che forzate (formule ()-()) delle evoluzon d stato ed uscta. Per quanto concerne le component d evoluzone lbera ottenamo: X l (s) Y l (s) s + s + X l (s) 5 s+ s+ s+. s+
Anttrasformando termne a termne s trova e x l (t) e y l (t) e Per le component d evoluzone forzata, tenuto conto del fatto che s trova: X f (s) Y f (s) U(s) s +,. s + s + s + X f (s) (s+) (s+) Anttrasformando termne a termne s trova te x f (t) δ (t) te y f (t) δ (t) e. δ (t) 3. Mod, stabltà asntotca, semplce e BIBO: (a) (b) (s+). (s+) È mmedato verfcare che F ha due autovalor dstnt, uno n d molteplctà algebrca e uno n d molteplctà algebrca uno. La valutazone della molteplctà geometrca dell autovalore resttusce subto. Pertanto la forma d Jordan d F presenta un solo mnblocco relatvo all autovalore. D conseguenza la forma d Jordan d F è J. Pertanto l sstema presenta mod (lmtato), t (dvergente) e e (convergente). Ma allora l sstema è nstable. La funzone d trasfermento del sstema è W(s) e pertanto l sstema non è BIBO stable. (s + ) s (s + ) s + s, È mmedato verfcare che F ha due autovalor dstnt, uno n d molteplctà algebrca e uno n / d molteplctà algebrca uno. La valutazone della molteplctà geometrca dell autovalore resttusce subto. Pertanto la forma d Jordan d F presenta due mnblocch relatv all autovalore. D conseguenza la forma d Jordan d F è J. / 6
(c) Pertanto l sstema presenta mod e t/ (dvergente) e e (convergente). Ma allora l sstema è nstable. La funzone d trasfermento del sstema è (s /)(s + ) W(s) (s /)(s + ) s + s s +, e pertanto l sstema è BIBO stable. È mmedato verfcare che F ha autovalor + a e. Tal autovalor sono dstnt per ogn valore d a. Per a la matrce del sstema ha due autovalor dstnt λ + a e λ. Il prmo ha molteplctà algebrca untara, l secondo ha molteplctà algebrca. Qualunque sa a, λ ha molteplctà geometrca e qund la forma d Jordan d F presenta un mnblocco relatvo all autovalore. D conseguenza la forma d Jordan d F è J. + a Pertanto l sstema presenta mod (lmtato), t (dvergente) e e ( +a)t (convergente se a <, dvergente se a > ). Ma allora l sstema è sempre nstable. Per a la matrce del sstema è un mnblocco d Jordan d dmensone 3 relatva a e qund l sstema ha mod (lmtato), t e t / (entramb dvergent) e non è stable. L anals della BIBO stabltà non rchede una anals dfferenzata. Il calcolo dretto della funzone d trasfermento porta faclmente a W(s) s + as a (s (a )) s. La cancellazone del polo doppo nell orgne (che preclude la possbltà d avere BIBO stabltà) è possble solo per a e per tale valore del parametro a la funzone d trasfermento dventa W(s) s +. Per ogn altro valore del parametro a, la permanenza del polo nell orgne pregudca la BIBO stabltà. Pertanto l sstema è BIBO stable se e solo se a. 7