UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA III Parziale - Compito C 6/5/5 A. A. 4 5 ) Studiare la seguente funzione polinomiale: y = + 6 8 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta di una funzione polinomiale, risulta: C.E. = { R: < < + } La funzione non ha asintoti verticali!!! INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Poiché si è in presenza di un polinomio di terzo grado, occorre, in primo luogo, vedere se è possibile scomporlo nel prodotto di due polinomi, uno di primo grado ed uno di secondo grado, attraverso la Regola di Ruffini. I divisori del termine noto, 8, sono esattamente ±, ±, ± 4, ± 8. Ma allora si ha: P( ) = + 6 8 da cui, procedendo per tentativi, risulta: P =+ = + 6 8= + 6 8= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = = + 6 8= + + 6 8= cioè per = + il polinomio si annulla. Quindi si ottiene il seguente prospetto: 6 8 8 8 Pertanto il polinomio P() si può scrivere anche nel seguente modo: P = + 6 8= + + 8 ( ) ( )( ) Inoltre è possibile scomporre il polinomio di secondo grado: Q = + 8 ( )
utilizzando la formula risolutiva: ± + 8, = = ± 9= ± = = 4 e = + = Quindi risulta: Q( ) = + 8= ( )( + 4) da cui: P = + 6 8= + + 8 = + + 4 ( ) ( )( ) ( )( )( ) È ora possibile determinare le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani: = = y = + 6 8 y = 8 A =, 8 è il punto di intersezione della funzione con l asse y ( ) y = = + 6 8 ( 4,) y = y = y = + = = ( + )( )( + 4) = = = + 4= = 4 sono i punti di intersezione della, D =, funzione con l asse B = C = ( ) ( ) SEGNO DELLA FUNZIONE. Risulta: y > > > > 4 + 6 8> ( + )( )( + 4) > 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + > > + 4 > + + + + + + y < y > y < y >
LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. ( 6 8) ( ) ( 6 8) ( ) lim y= lim + = lim =+ + + + lim y= lim + = lim = La funzione non ha asintoti orizzontali!!! STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: D + 6 8 = + 6 6 ( ) da cui segue: y ' > + 6 6 > + > Troviamo, in primo luogo, le soluzioni dell equazione associata a tale disequazione: ± +, = = ± =,7 e = +,7 da cui: + > < e > + + + + + + + + + + + + Crescenza M Decrescenza m Crescenza Dunque la funzione ha un massimo in = ed un minimo in = +. In particolare: = y = ( ) + ( ) 6( ) 8,9 = + y = ( + ) + ( + ) 6( + ) 8,9 Ne segue, quindi, che: m,7;,9 è il punto di minimo ( ) M (,7;,9) è il punto di Massimo
IL GRAFICO. y M B C D O A m 4
) Studiare la seguente funzione razionale fratta: + y = + CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta di una funzione razionale fratta, risulta: C.E. = { R: + } = { R: < < + } poiché + è sempre diverso da zero (è la somma di due quadrati, essendo il quadrato di ). La funzione non ha asintoti verticali!!! INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Risulta: = = + y = y,5 A =, è il punto di intersezione = = + della funzione con l asse y y = y = y = + + = = + = + + y = ± + 8 ± 9 ±, = = = 4 4 4 y = y = e + = = = = 4 4 B = (,) C =, sono i punti di intersezione della funzione con l asse SEGNO DELLA FUNZIONE. Risulta: + + > y > > + + > <, > sempre ( somma di due quadrati) 5
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + y > y < + + + + + + + + + y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. + lim y = lim = lim = ± ± + ± cioè la retta di equazione y = è un asintoto orizzontale per la funzione. AO..: y= STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: ( 4+ ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) + D = = + + 4 + 8+ + 4 + + + = = ( + ) ( + ) da cui segue: + + + + > < y ' > > ( + ) ( + ) > ( + ) > Poiché risulta: 5± 5+ =, = = 5± 7 = 5 7,9 e = 5+ 7,9 segue: < 5 7 < < 5+ 7 y ' > ( + ) > sempre ( èun quadrato) 6
5 7 5+ 7 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Dunque la funzione ha un minimo in = 5 7 ed un massimo in = 5+ 7. In particolare si ha: = 5 7 = 5+ 7 ( ) ( ) ( 5 7) + ( ) ( ) ( 5+ 7) + 5 7 + 5 7 y =,54 5+ 7 + 5+ 7 y =,4 Ne segue, quindi, che: M,9;,4 è il punto di Massimo ( ) Decrescenza Decrescenza m m(,9;,54) è il punto di minimo Crescenza M 7
IL GRAFICO. y M I y = B O C A m Osservazione. La funzione interseca l asintoto orizzontale. Possiamo calcolare il punto di intersezione tra la funzione assegnata e la retta y = risolvendo il seguente sistema: + y = + + = + y = + + 4 = = + + = 5 I = 5,. Dunque il punto di intersezione sarà ( ) (essendo uguali i primi membri delle due equazioni del sistema dovranno necessariamente essere uguali anche i secondi membri) 5 = + 5= 8
) Studiare la seguente funzione irrazionale: y = + 4 CAMPO DI ESISTENZA. Osserviamo in primo luogo che la funzione data è irrazionale: il suo indice di radice è dispari, pari a, ed il suo radicando è una frazione; poiché si tratta di una radice cubica, essa è definita su tutto l asse reale, ma essendo il radicando una frazione bisogna considerare il denominatore diverso da zero. Risulta, pertanto: C.E. = { R: 4 } = { R: ± } = = { R: < <, < < +, + < < + } Ne segue subito che le rette =, = + sono due asintoti verticali per la funzione assegnata. A.V.: =, = + INTERSEZIONI CON GLI ASSI. = = + y = A =, y = =,6 4 4 4 4 y = y = y = y = + + + = = = + = 4 4 4 y = non ci sono intersezioni con l asse mai ( somma di due quadrati) SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: y > + > 4 + > 4 ( ) sempre somma di due quadrati <, >+ + > 4> 9
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + y > y < y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: + + lim y = lim = lim = = ± ± 4 ± 4 Ne segue che, per ±, la y : dunque la retta di equazione y = è un Asintoto Orizzontale. A.O.: y = STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottiene: + D 4 + ( 4) ( + ) D = = = 4 + + ( 4) 4 4 8 = = + + 4 4 Ne segue: y ' > ( 4) ( 4) > + ( 4) 4 + 4 > ( 4) > + > 4 > ( 4) >
sempre ( il radicando èun quadrato equindi sempre positivo) < sempre ( somma di due quadrati) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Crescenza M Decrescenza Dunque il punto di massimo, ottenuto in =, coincide esattamente con il punto di intersezione della funzione con l asse y. IL GRAFICO. y y = O A M = - =
4) Studiare la seguente funzione esponenziale: y = e CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta di una funzione esponenziale, il cui esponente è una frazione, il suo campo di esistenza è rappresentato da tutto l asse reale esclusi i punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. = { R: + } = { R: } = { R: < <, < < + } Ne segue subito che la retta = è un asintoto verticale per la funzione assegnata. A.V.: = + INTERSEZIONI CON GLI ASSI. = y = e y = = e + + = + + y= e = e = y = + e = SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: y > e A = (,) è il punto di intersezione della funzione con l asse y y = non ci sono intersezioni con l asse mai + > sempre in quanto si tratta di una funzione esponenziale, cioè: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: lim + lim ( ) + + lim lim lim + + + + y= lim e = e = e = e = e =+ + lim ( ) lim lim + + y= lim e = e = e = e = e = = = e
Ne segue che, per, la y : dunque la retta y = è un Asintoto Orizzontale Sinistro (la funzione, cioè ci tende solo da sinistra). A.O.S.: y = STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottiene: ( )( + ) ( ) + + + D e = e D = e = + ( + ) + + + + + = e e = ( ) + ( + ) da cui: + + e > e > + y ' > + e > ( + + + > ) > ( + ) ( + ) > sempre ( in quanto funzione esponenziale) + > sempre ( in quanto èun quadrato) Troviamo, pertanto, le soluzioni dell equazione associata alla disequazione che figura nel sistema. Poiché risulta: ± + + =, = = ± =,7 e = +,7 segue: sempre ( in quanto funzione esponenziale) sempre y ' > + > < sempre ( in quanto èun quadrato) sempre,
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Crescenza M Decrescenza m Crescenza Dunque la funzione ha un massimo in = ed un minimo in = +. In particolare si ha: ( ) ( ) = y= e ( ) +,5 ( + ) ( + ) ( + ) + = + y= e,58 Ne segue, quindi, che: m,7;,58 è il punto di minimo ( ) M (,7;,5) è il punto di Massimo 4
IL GRAFICO. y M A m y = O = 5
5) Studiare la seguente funzione logaritmica: y= ln + 4 ( ) CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta di una funzione logaritmica il cui argomento è un polinomio di secondo grado con termine noto nullo, il campo di esistenza si ottiene esclusivamente imponendo che l argomento del logaritmo sia strettamente positivo (il polinomio, infatti, è definito su tutto l asse reale!!!). Allora risulta: C.E. = { R: + 4 >} = { R: ( + 4) > } = { R : < 4, > } 4 + + + + + + + + + + + + C.E. Non C.E. esiste cioè le rette = 4 ed = sono due asintoti verticali per la funzione assegnata. AV..: = 4, = INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Osserviamo che in = la funzione non è definita, per cui essa non interseca l asse y. y = y = y = = ln( + ln 4) ln( + 4) = ( + 4) e = e y = y = y = ± 4+ + 4 = + 4 =, = = ± 5 y = y = e = 5 4, = + 5, A = ( 5,) B = ( + 5, sono i punti di intersezione ) della funzione con l asse SEGNO DELLA FUNZIONE. Risulta: y > ln( ) + 4 > e ( + ) ln 4 > e + 4> + 4 > < 5, > + 5 6
avendo già calcolato precedentemente (nelle intersezioni con l asse ) le soluzioni dell equazione associata alla disequazione di secondo grado. 5 + 5 + + + + + + y > y < + + + + + + y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. ( 4 ) ( 4 ) ( ) lim y= lim ln ln lim ln + + + = + = + =+ + lim y= lim ln( 4 ) ln ( 4 lim ) ln( ) + = + = + =+ La funzione non ha asintoti orizzontali!!! STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: D ln( 4) + = ( + 4) + 4 da cui segue: + 4 + 4> > y ' > > + 4 + 4 > ( + 4) > 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + > < 4, > Derivata Decrescenzscenzscenza Cre- Decre- m M m 4 + + + + + + + + + + C.E. Non esiste Crescenza + + + + + + + + + + + + + C.E. Campo di esistenza 7
Dunque, tenendo conto dei due grafici contemporaneamente, segue che la funzione non ha né massimi né minimi: le rette = 4 ed = sono, infatti, due asintoti verticali della funzione!!! IL GRAFICO. A = 4 non è definita y la funzione O B = 8