Generalità sulle funzioni

Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni D fa corrispondere uno e un solo valore R. Chiameremo l insieme D dominio o insieme di definizione o di esistenza della funzione. Se indichiamo con f la funzione, per ogni D indicheremo il corrispondente valore di con f() e lo chiameremo immagine di nella funzione f. Chiameremo codominio, l insieme C delle immagini della funzione f. Per ogni elemento c C del codominio indicheremo con f (c) l insieme di tutti i valori di D che hanno c come immagine e li chiameremo controimmagini di c nella funzione f. In seguito, per indicare una funzione f useremo le notazioni f() o = f(). Chiameremo variabile indipendente, variabile dipendente. Considereremo sempre funzioni matematiche, ovvero funzioni nelle quali f() è un espressione matematica che consente di calcolare a partire dalla. Esistono anche funzioni empiriche come la temperatura di un luogo al variare delle ore, o un indice di borsa nei diversi giorni dell anno di cui non ci occuperemo in analisi. Per una funzione matematica, l insieme delle controimmagini f (c) = { D f() = c} è l insieme delle soluzioni dell equazione f() = c. Rappresentiamo simbolicamente quanto scritto nella definizione attraverso la seguente figura: D R f C R Controimmagini di c f (c) c = f() Immagine di Esempio Data la funzione = il dominio D; le immagini di, 3, 0; il codominio C; le controimmagini di 5. determina: 4

La funzione f() = quadrato. Le immagini di, 3, 0 sono ha dominio D = R perché per qualunque numero reale si può calcolare il suo f() = = 4 f( 3) = ( 3) = 9 f(0) = 0 Il codominio è l insieme delle immagini. Per capire di quale insieme si tratti osserviamo che R = 0, cioè le immagini sono numeri reali non negativi, viceversa ogni numero 0 è il quadrato della propria radice quadrata, cioè = ( ) e dunque è un immagine della funzione. Possiamo allora concludere che il codominio della funzione è l insieme di tutti i numeri reali non negativi C = [0; + ). f (5) = { R = 5}, le controimmagini di 5, per definizione, sono le soluzioni dell equazione = 5 = ± 5 f (5) = {± 5 }. Osservazione In generale ad un valore nel codominio possono corrispondere più controimmagini nel dominio, mentre ad ogni valore nel dominio corrisponde una sola immagine nel codominio. Il grafico Definizione Data una funzione f si dice grafico l insieme G = { (; ) = f()} di tutti e soli i punti del piano che hanno per ascissa un valore del dominio e per ordinata l immagine f(). In altri termini il grafico di f è l insieme delle soluzioni dell equazione = f(). Osservazione In generale possiamo tracciare approssimativamente il grafico di una funzione f per punti, cioè trovando alcune soluzioni dell equazione = f(), riportandole nel piano cartesiano e unendo i punti così ottenuti. Abbiamo già tracciato in questo modo i grafici delle funzioni lineari = a + b (le rette), delle funzioni quadratiche = a + b + c (le parabole) e delle proporzionalità inverse = k (le iperboli equilatere). Esempio Qual è il grafico della funzione =? Per trovare alcuni punti del grafico, assegniamo alla alcuni valori e troviamo i corrispondenti valori di = mediante la seguente tabella: = (; ) 0 0 (0; 0) (; ) 4 (; 4) 3 9 (3; 9) ( ; ) 4 ( ; 4) 3 9 ( 3; 9) 5 9 4 3 0 3

I valori che diamo alla sono elementi del dominio e li riportiamo sull asse delle ascisse. Essi sono le proiezioni dei corrispondenti punti del grafico sull asse. Le immagini della funzione, nella seconda colonna, le riportiamo sull asse e corrispondono alle proiezioni dei punti del grafico sull asse. Brevemente, se proiettiamo i punti del grafico sull asse otteniamo il dominio, se proiettiamo i punti del grafico sull asse otteniamo il codominio della funzione. Così facendo ritroviamo che il dominio della funzione è D = R mentre il codominio è l insieme C = [0; + ). Le controimmagini di 5 sono gli elementi del dominio che hanno come immagine 5 e graficamente si ottengono riportando 5 sull asse, considerando i punti del grafico che hanno 5 come ordinata e proiettando questi ultimi sull asse. 5 5 5 Osservazione Quanto detto per la funzione e il suo grafico vale in generale, cioè se di una funzione f si conosce il grafico, allora il dominio è la proiezione del grafico sull asse, il codominio è la proiezione del grafico sull asse, le controimmagini di un elemento c del codominio si ottengono considerando i punti del grafico di ordinata c, e proiettandoli sull asse. Esempio 3 Determina a partire dal grafico: il dominio e il codominio della funzione; f (3), f (), f (0). Proiettando il grafico sull asse si ottiene che il dominio è l insieme: D = ( ; ). (Fig. ) Proiettando il grafico sull asse l insieme C = ( ; 3]. (Fig. ) si ottiene che il codominio è 7 3 0 3 Per trovare f () consideriamo i punti del grafico che hanno come ordinata. Le loro proiezioni sull asse ovvero le loro ascisse sono 7 e /, pertanto f () = { 7, /}. (Fig. 3) Procedendo nello stesso modo si trova che f (3) = 3, f (0) = 0 Fig. Fig. Fig. 3 3 7 3 0 3 Esempio 4 Determina il dominio della funzione =. + 3 4 6

Il numeratore e il denominatore si possono calcolare per qualunque valore della, ma una frazione è definita per tutti i valori della per i quali il denominatore è diverso da 0, ovvero per i quali è soddisfatta la condizione: + 3 4 0. Risolviamo pertanto l equazione + 3 4 = 0 3 5 = 4 3± 9+ 6 3± 5 = = =, 3+ 5 = la disequazione + 3 4 0 è soddisfatta per 4 pertanto il dominio della funzione è l insieme: D = R { 4, }. Esempio 5 Data la funzione = : determina il dominio e il codominio traccia il suo grafico. La funzione è definita per tutti i valori della per i quali il denominatore è diverso da 0, cioè dalla condizione: 0 Il valore assoluto di un numero è diverso da 0 quando il numero è diverso da 0, pertanto la precedente condizione è equivalente a 0. Il dominio della funzione è formato da tutti i numeri reali diversi da, ovvero D = R {}. Per trovare il codominio e tracciare il grafico, osserviamo innanzitutto che: ( + )( ) se > 0 ovvero se > : =, = = = = + ( + )( ) se < 0 ovvero se < : = ( ), = = = = ( + ) ( ) ( ) quindi + se > = =. se < Il grafico di questa funzione è formato dalla retta di equazione = + nel semipiano > e dalla retta di equazione = nel semipiano <. La retta = + è parallela alla bisettrice del e del 3 quadrante ed incontra l asse nel punto (fig. ), la retta = è parallela alla bisettrice del e del 4 quadrante ed incontra l asse nel punto (fig. ). 7

= + = O Fig. Fig. O = O Fig. 3 Il grafico della funzione è quello della fig.3. Il pallino vuoto sta ad indicare che il grafico non contiene quel punto, quindi né il punto (; ) né il punto (; ) appartengono al grafico della funzione. Proiettando questo grafico sull asse C = ( ; + ). si trova che il codominio della funzione è l insieme Osservazione La funzione dell esempio precedente è una funzione definita per casi. Queste funzioni si incontrano spesso quando nell espressione della funzione figurano valori assoluti contenenti la variabile. Esercizi. Trova il dominio e il grafico della funzione = 4. Determina l immagine di 3 e la controimmagine di. Determina, a partire dal grafico, il codominio. 6 3 f =, 4 3 f = 6. Considera la funzione = + 3 4. Determina il suo dominio, l immagine di 0 e le controimmagini di 0. Come si potrebbe determinare il codominio? 7 4 K, f (0) =,, C = ; + 8 + 3. Determina il dominio delle funzioni: =, = 3 + + 3, = 4 + 4 [R {0, }; ; R] per 4. E data la funzione: f ( ) = per < 0 Determina f( 5), f(3), f(0). Qual è il dominio della funzione? Come si può tracciare il suo grafico? Qual è il codominio? [, C = [0; + )] 3 3 8

5. Trova il dominio e il codominio della funzione g di cui si conosce il grafico 0 6. Noto il grafico della funzione f, determina: il dominio e il codominio; le immagini f(), f(4); le controimmagini f (), f (0), f ( 3/5), f ( ). 7. Noto il grafico della funzione f, determina: il dominio e il codominio; le immagini f(), f(); le controimmagini f (), f (0), f ( ). 0 3/5 3 4 3 5 0 5 8. Determina il dominio e il codominio della funzione reciproco =. Tracciane il grafico nel piano cartesiano, assegnando ad i valori ±/4, ±/, ±, ±, ±4. 9. Determina il dominio e il codominio della funzione valore assoluto = che associa ad ogni numero reale il suo valore assoluto. Tracciane il grafico nel piano cartesiano, assegnando ad i valori 0, ±, ±, ±3. 9

Le funzioni elementari Le funzioni elementari sono i mattoni con cui si costruiscono la maggior parte delle funzioni matematiche. Passiamole brevemente in rassegna, evidenziandone i grafici, i domini e i codomini. Le funzioni potenza ad esponente naturale Definizione equazione: Sia n un numero naturale diverso da 0, si dice funzione potenza, la funzione di = n Dato che la potenza con esponente naturale si può sempre calcolare, il dominio di queste funzioni è D = R. Se n è un numero pari, dato che il valore di una potenza n è positivo o uguale a zero, il codominio della funzione è l insieme C = [0; + ). Se n è un numero dispari, dato che il valore di una potenza n ha lo stesso segno della base, il codominio della funzione è l insieme C = R. = n con n pari = n con n dispari O O Le funzioni radice Definizione Sia n un numero naturale diverso da 0, si dice funzione radice di indice n, la funzione di equazione: = n Se n è un numero pari, la radice n, si può calcolare solo se il radicando è positivo o nullo, quindi il dominio è D = [0; + ). Inoltre il valore di una radice di indice pari è un numero positivo o nullo, pertanto il codominio è anch esso C = [0; + ). Se n è un numero dispari, la radice n si può calcolare per qualunque numero reale, quindi D = R. Infine dato che le radici di indice dispari hanno lo stesso segno del radicando, C = R 0

= n con n dispari = n con n pari O O Le funzioni esponenziali Definizione Sia a un prefissato numero reale positivo, si definisce funzione esponenziale di base a la funzione di equazione = a Osservazione Se a =, la funzione esponenziale = non è altro che la funzione costante di equazione =. In seguito prenderemo in esame il caso in cui la base sia a. Riportiamo di seguito i grafici nei due casi a > e 0 < a <. = a a > = a 0 < a < O O Ricordando le proprietà delle funzioni esponenziali o basandosi sui grafici, si stabilisce che: il dominio è D = R; il codominio è C = R + = (0; + ). Osserviamo che i grafici delle due funzioni passano entrambi per il punto (0; ). Le funzioni logaritmiche Definizione Sia a un prefissato numero reale positivo diverso da, si definisce funzione logaritmica di base a la funzione di equazione = log a Riportiamo di seguito i grafici nei due casi a > e 0 < a <.

O = log a 0 < a < = log a a > O Il dominio è D = R + = (0, + ), in quanto il logaritmo è definito quando il suo argomento è un numero positivo. Il codominio è C = R. Osserviamo che entrambi i grafici passano per il punto (; 0). Le funzioni goniometriche La funzione = sen Dato che il seno può essere definito per un qualunque angolo orientato, D = R, inoltre poiché sen, il codominio della funzione è l intervallo C = [ ; ]. In analisi matematica, conviene assumere come unità di misura dell argomento delle funzioni goniometriche il radiante ed è ciò che faremo d ora in avanti. La funzione sen è periodica di periodo, cioè sen ( + k) = sen k Z Ciò significa che la funzione assume gli stessi valori dopo ogni angolo giro. Il grafico della funzione seno si chiama sinusoide. = sen 3/ / O / 3/ La funzione = cos Dato che il coseno può essere definito per un qualunque angolo orientato, D = R inoltre poiché cos, il codominio della funzione è l intervallo C = [ ; ]. Anche la funzione cos è periodica di periodo, cioè cos ( + k) = cos Il grafico della funzione coseno è detto cosinusoide. k Z

= cos 3/ / O / 3/ Osserviamo che la cosinusoide si ottiene traslando la sinusoide del vettore ( /; 0). Tale proprietà segue dalla relazione cos = sen ( + /). La funzione = tg La tangente di un angolo può essere definita solo per gli angoli diversi dall angolo retto / e da quelli ottenuti aggiungendo ad esso multipli interi dell angolo piatto, cioè per / + k con k numero intero. Quindi D = R {/ + k k Z}. Dato che la tangente goniometrica varia in tutto l insieme dei numeri reali, il codominio della funzione è l insieme C = R. La funzione tg è periodica di periodo, tg ( + k) = tg Il grafico della funzione tangente è detto tangentoide. k Z = = = tg 3/ / O / 3/ La funzione = cotg Come per la tangente si arriva a concludere che la funzione è definita nell insieme D = R {k k Z}, ha come codominio l insieme C = R ed è periodica di periodo, cioè cotg ( + k) = cotg k Z Il grafico della funzione cotangente è detto cotangentoide. 3

= cotg = 0 = 3/ / O / 3/ Esempio Determina il dominio della funzione 4 = 4. Dato che le radici di indice pari si possono calcolare quando il radicando non è negativo, il dominio della funzione è formato da tutti i numeri reali peri quali è soddisfatta la condizione: Risolvendo questa disequazione 4 0. 4 = 0 (4 ) = 0 = 0 = 4 otteniamo le soluzioni 0 4, quindi il dominio della funzione è l intervallo D = [0; 4]. 0 4 Esempio Determina il dominio della funzione = +. Dato che le potenze si possono calcolare per qualunque esponente reale, il dominio della funzione assegnata coinciderà con quello della funzione + che figura all esponente. Le radici quadrate sono definite quando il radicando non è negativo, pertanto il dominio della funzione è dato dalla condizione + 0, le cui soluzioni sono, in conclusione D = [ ; + ). Esempio 3 Determina il dominio della funzione = log. Dato che il logaritmo è definito quando il suo argomento è positivo, il dominio della funzione sarà formato da tutti i valori reali della per i quali è soddisfatta la condizione: 4

Risolviamo dunque questa disequazione: > 0 > > 0 essa ha per soluzioni < 0 >, > 0. pertanto il dominio della funzione è l insieme D = ( ; 0) (; + ). 0 + + Esempio 4 Determina il dominio della funzione = + tg. Dato che l addizione e il quadrato sono operazioni che si possono sempre eseguire, il dominio di questa funzione coincide con quello della funzione tg. La funzione tangente è definita quando il suo argomento è diverso da +k con k Z, quindi il dominio della funzione assegnata sarà formato da tutti i valori reali della per i quali è soddisfatta la condizione: + k. Moltiplicando entrambi i membri per, otteniamo le soluzioni: + k, pertanto D = R { + k k Z}. Esercizi Determina il dominio delle funzioni: 0. = 3, = 4 [( ; ] [; + ); R ]. + =, = 3+. = ln ( 3), = tg 3 4, = 3 ; + 3 3. (Esame di stato 005) Trova il dominio della funzione : f (0) = f ( ) = ( 3 log) + Determina f(). [... ; ( ; ] (0; ] ; R { 3}] [( ; 0) (3 ; + ) ; R + k ] 6 3 4. Data la funzione = sen, determina l immagine di e la controimmagine di /. - 5 K, sen = + k, + k 6 6 k Z 5

5. (Test di ammissione medicina 006) L equazione log ( + ) = non può avere soluzioni. Quale tra le seguenti ne è la motivazione? a) La funzione logaritmica è sempre positiva b) Né il primo membro né il secondo membro si annullano mai c) Il secondo membro non si annulla mai d) Il primo membro è sempre positivo o nullo mentre il secondo membro è sempre negativo e) Una funzione logaritmica non può avere intersezioni con una parabola 6

Funzioni biunivoche e funzioni inverse Abbiamo visto, nell esempio, che, ad un elemento del codominio di una funzione f possono corrispondere più controimmagini. Definizione Diremo che una funzione è biunivoca se ogni elemento del suo codominio ha una sola controimmagine (nel dominio). In altri termini una funzione f è biunivoca se C l equazione f() = ha una sola soluzione rispetto alla variabile. Possiamo schematizzare una funzione biunivoca come segue: R D f C R = f () Esempio Verifica che la funzione 3 è biunivoca. Sappiamo che la funzione 3 ha dominio D = R e codominio C = R. Preso comunque un elemento C calcoliamo le sue controimmagini: 3 = = 3 quando risolviamo la precedente equazione, dobbiamo pensare alla come ad un numero fissato e alla come l incognita da trovare. Osserviamo che la controimmagine di è unica f ( ) = 3, quindi la funzione 3 è biunivoca. Alla stessa conclusione si può arrivare osservando il suo grafico. Ad un elemento del codominio vediamo che corrisponde un solo punto del grafico e dunque una sola controimmagine. O = 3 3 Esempio Consideriamo la funzione =. Essa ha dominio D = R, e codominio C = [0; + ). Preso comunque un elemento C calcoliamo le sue controimmagini: = = ±. Osserviamo che ogni > 0 ha più di una controimmagine, precisamente f ( ) = ±, quindi la funzione = non è biunivoca nel suo dominio naturale D = R. O = 7

Alla stessa conclusione si può arrivare osservando il grafico. Ad un elemento > 0 del codominio corrispondono due punti del grafico e dunque due controimmagini. Se restringiamo il dominio della funzione = al sottoinsieme D = [0, + ), il codominio resta lo stesso, C = [0; + ), ma nel calcolo della controimmagine di dobbiamo tener conto del solo valore 0 che appartiene al dominio ristretto D, quindi =. In altri termini, nel dominio D la funzione diventa biunivoca. Alla stessa conclusione si può giungere osservando il grafico. Notiamo infine che la funzione = diventa biunivoca anche restringendo il dominio all insieme D = (, 0], in tal caso la controimmagine di è =. O = Le funzioni inverse Definizione Sia = f() una funzione biunivoca di dominio D f e codominio C f. Si chiama funzione inversa la funzione = f ( ) che associa ad ogni C la sua unica controimmagine D rispetto alla funzione f. Possiamo schematizzare la definizione con la figura a fianco. Osserviamo che il dominio della funzione inversa f è il codominio della funzione f, inoltre la funzione inversa = f () ha come variabile indipendente e come variabile dipendente. D f = f () f biunivoca C f Dato che le due equazioni = f() e = f ( ) sono equivalenti i grafici corrispondenti coincidono. C f f inversa D f Volendo conservare la consuetudine di indicare con la variabile indipendente e con la variabile dipendente, si può eseguire la sostituzione [ ; ], scambiare cioè i nomi delle due variabili, ottenendo l equazione = f () per la funzione inversa. Nel piano cartesiano, la trasformazione [ ; ] fa corrispondere ad ogni punto P(; ) il punto P (; ) simmetrico rispetto alla bisettrice del e del 3 quadrante, di conseguenza il grafico della funzione inversa = f () è simmetrico al grafico della funzione = f() rispetto alla bisettrice del e del 3 quadrante. = P (; ) P(; ) Riassumendo: per determinare la funzione inversa di una funzione biunivoca = f(): si risolve l equazione = f() rispetto alla, ottenendo l equazione = f (); si scambiano le due variabili ottenendo l equazione = f (); col precedente scambio, i grafici delle due funzioni f e f sono simmetrici rispetto alla bisettrice del e del 3 quadrante. 8

Esempio 3 cartesiano. Scrivi la funzione inversa della funzione = 3 e riporta i loro grafici nel piano Abbiamo visto nell esempio che la funzione = 3 è biunivoca nel suo dominio D = R. La sua funzione inversa è = 3 ; eseguendo la sostituzione [ ; ] si ottiene la funzione inversa nella forma = 3. Dalla figura che segue si osserva che i grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alla bisettrice del e del 3 quadrante. = 3 = O = 3 Esempio 4 Dimostra che la funzione = è biunivoca nel suo dominio, determina la + 3 funzione inversa. Risolviamo l equazione della funzione = rispetto alla variabile. Per non confondersi nei + 3 passaggi, conviene pensare alla variabile come se fosse un numero: ( + 3) = + 3 = trasportiamo i termini con la al primo membro e i rimanenti al secondo = 3, raccogliamo la a fattor comune: ( ) = 3, 3 3+ da qui ricaviamo: = =. Poiché ogni ha una sola controimmagine, la funzione è biunivoca e la funzione inversa è: 3+ = Scambiando la con la, l equazione della funzione inversa diventa: 3+ =. Le funzioni goniometriche inverse Consideriamo la funzione = sen. Sappiamo che il suo dominio è D = R e il codominio è C = [ ; ]. Sia un qualunque elemento del codominio e calcoliamo le sue controimmagini: = α+ k sen = k Z = ( α) + k 9

dove abbiamo indicato con α, l unico angolo come seno, ovvero α = arc sen ( ). α che ha Le controimmagini di nel dominio D = R sono pertanto infinite (due per ciascun valore intero di k) e la funzione = sen non è biunivoca in R. Se restringiamo però il dominio all intervallo D = ;, l unica controimmagine di è proprio = α = arc sen ( ). In conclusione: la funzione = sen è biunivoca nell intervallo D = e la funzione inversa è = arc sen ( ). ; α O α = arc sen Con la sostituzione [ ; ], l equazione della funzione inversa diventa = arc sen. Il dominio di questa funzione è il codominio della funzione = sen, ovvero l intervallo [ ; ], e il grafico è simmetrico al grafico della funzione = sen rispetto alla bisettrice del e del 3 quadrante. Nella figura sono riportati i delle funzioni seno e arcoseno. / = / 0 / = sen = arc sen / Similmente si vede che: la funzione = cos è biunivoca in D = [0; ] e la sua funzione inversa è la funzione = arc cos ; la funzione = tg è biunivoca in D = ; e la funzione inversa è la funzione = arc tg. Riportiamo di seguito i grafici delle funzioni = arc tg e = arc cos. 30

/ = O = arc tg () = arc cos () / = O 0 Esempio 5 Determina il dominio della funzione = arc sen. + Dato che l arcoseno è definito quando l argomento è compreso nell intervallo [ ; ], il dominio della funzione assegnata è formato da tutti i valori reali della per i quali è soddisfatta la condizione, + + + + + + 0 + 0 + 0 + ovvero il sistema:. + 0 ( + ) + 0 + 0 + + Risolviamo la prima disequazione: 0 + + > 0 > ½ + > 0 > essa è verificata quando < ½. Risolviamo la seconda disequazione: 0 0 + + dato che il numeratore è positivo, la frazione è 0 solo se il denominatore è positivo, cioè quando + > 0 >. < Il sistema è pertanto equivalente a > che è verificato quando ½. Concludendo il dominio della funzione è l intervallo D = ; +. + + ½ + + ½ 3

Esercizi 6. Verifica che la funzione esponenziale = a è biunivoca e determina la funzione inversa. Traccia nello stesso piano cartesiano i grafici della funzione esponenziale e della sua inversa 7. Dimostra che la funzione = 4 è biunivoca nel suo dominio, determina la funzione 3 inversa e traccia nello stesso piano cartesiano i grafici di f e di f. 8. Dimostra che la funzione = non è biunivoca nel suo dominio. 9. Quali sono i domini e i codomini delle funzioni arcotangente ed arcocoseno? 0. Dimostra che la funzione = e il dominio di f.. Dimostra che la funzione = + funzione inversa e il dominio di f. 3 è biunivoca nel suo dominio, determina la funzione inversa =, D= R { 3} 3. (Test di ammissione veterinaria 004) La funzione inversa di dall equazione: a) 3 = b) 3 = c) è biunivoca nel dominio D = [0; + ), determina la = d) 3 =, D= (0; ] 3 f ( ) = è espressa 3 = e) + 3 = 3

Funzioni composte La maggior parte delle funzioni matematiche che si incontrano nelle scienze sperimentali sono funzioni composte. Introduciamo questo concetto con la seguente Definizione Sia g una funzione di dominio A e codominio B ed f una funzione di dominio B e codominio C, si dice funzione composta di f e di g, e si indica con la scrittura f ) g, la funzione che associa ad ogni elemento A l elemento f(g()) C. Schematizziamo la definizione con la seguente figura: A g B f C g() = f(g()) f ) g Osservazione L equazione della funzione composta f ) g è = f(g()) e si ottiene dall equazione della seconda funzione = f() sostituendo al posto della l espressione g() della prima funzione. Esempio Date le funzioni: f di equazione = + e g di equazione = determina le equazioni delle funzioni composte f ) g e g ) f. Cominciamo col determinare l equazione di f ) g. Per quanto osservato in precedenza, basta eseguire la sostituzione indicata in figura. La funzione composta f ) g avrà equazione: f: = + g: = = + Similmente si trova l equazione della funzione composta g ) f. f: = + g: = Nell equazione della funzione = g() occorrerà sostituire al posto della l espressione f(). = ( + ). Osserviamo che le due funzioni trovate f ) g e g ) f sono diverse! Ciò significa che conta l ordine con cui si compongono due funzioni, ovvero che l operazione di composizione di due funzioni non è commutativa. 33

Esempio Scrivi le equazioni di due funzioni f e g che composte danno luogo alla funzione ( ) 3 = +. La funzione assegnata si ottiene elevando al cubo l espressione racchiusa tra parentesi, quindi possiamo prendere come funzione g: = + e come funzione f: = 3. Esercizi f: = 3 g: = + 3. Individua le componenti delle seguenti funzioni composte: 3 = + 3, = 4+, = + 3, + = e. 34

Grafici delle funzioni elementari Tutte le funzioni matematiche che incontreremo in analisi si ottengono sommando algebricamente, moltiplicando, dividendo o componendo le funzioni elementari. E importante conoscere i grafici di queste funzioni, in quanto a partire da essi è possibile ricavare informazioni preziose nello studio delle funzioni, soprattutto nel calcolo dei limiti. Riportiamo i grafici delle funzioni elementari. = n con n dispari = n con n pari O O = n con n dispari = n con n pari O O = = O O 35

= sen 3/ / O / 3/ = cos 3/ / O / 3/ = = = 0 = = tg = cotg / O / O / = arc sen () = arc cos () O O 0 36

/ = O = arc tg () / = = / = arc cotg () = 0 O = a a > = a 0 < a < O O O = log a 0 < a < = log a a > O 37

Determinazione del dominio di una funzione Classificazione delle funzioni Definizione Una funzione = f() si dice algebrica se le operazioni da eseguire sui valori della variabile per ottenere i valori della variabile possono essere solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, radici e valori assoluti. In ogni altro caso la funzione si dice trascendente. Le funzioni algebriche si suddividono in razionali intere se f() è un polinomio; razionali fratte se si presentano nella forma = e D() ha almeno grado. irrazionali se la compare sotto qualche simbolo di radice. N( ) dove N() e D() sono due polinomi D( ) Se indichiamo con g() una qualunque funzione, le funzioni trascendenti si suddividono in: esponenziali se si presentano nella forma g () = a con a numero reale positivo; logaritmiche se si presentano nella forma = log a g() con a numero reale positivo e a ; goniometriche se si presentano nella forma = sen g(), = cos g(), = tg g(), = cotg g(); goniometriche inverse se si presentano nella forma = arc sen g(), = arc cos g(), = arc tg g(), = arc cotg g(); potenze con esponente irrazionale positivo se si presentano nella forma = [g()] α con α numero irrazionale positivo; potenze con esponente e base variabili se si presentano nella forma = h() g(), dove h() può essere una qualunque funzione h() 0. Esempio Classifica le seguenti funzioni 3 = + 3 4 è una funzione.. + = è una funzione.. = 3 4 + è una funzione.. = è una funzione.. Più brevemente una funzione = f() è algebrica se la sua equazione è riconducibile alla forma F(; ) = 0, dove F è un polinomio nelle due variabili e. Ad esempio la funzione = 3 3 ( ) = 0 3 0; + 0 38 è algebrica, infatti con semplici passaggi si arriva a scriverla nella forma: +

( ) = log 3 è una funzione.. = tg 3 è una funzione.. = arc cos ( ) è una funzione.. ( ) = è una funzione.. = + è una funzione.. Dai domini delle funzioni elementari e delle funzioni razionali si possono dedurre i domini delle funzioni più ricorrenti. Sintetizziamo i procedimenti nella tabella della pagina seguente. 39

Funzioni Domini Motivazione Razionali intere Razionali fratte n g( ) R R {valori che annullano il denominatore} = n pari Soluzioni della disequazione g() 0 Le operazioni di addizione e sottrazione e moltiplicazione sono sempre possibili. L operazione di divisione ha significato solo se il divisore è diverso da 0. La radice di indice pari si può calcolare quando il radicando è positivo o nullo. = n g( ) n dispari Dominio di g() La radice di indice dispari si può sempre calcolare. g () = a, a > 0 Dominio di g() La potenza ad esponente reale con la base positiva si può calcolare qualunque sia l esponente. = log a g(), a > 0, a Soluzioni della disequazione g() > 0 Il logaritmo si può calcolare quando l argomento è positivo. = sen g() = cos g() Dominio di g() Il seno e il coseno si possono calcolare per qualunque valore dell argomento. = tg g() La tangente si può calcolare quando l argomento è Soluzioni della disequazione g() +k, k Z diverso da +k con k Z. = cotg g() Soluzioni della disequazione g() k, k Z La cotangente si può calcolare quando l argomento è diverso da k con k Z. = arc sen g() = arc cos g() Soluzioni della disequazione g() L arcoseno e l arcocoseno si possono calcolare quando l argomento varia nell intervallo [ ; ]. = arc tg g() = arc ctg g() Dominio di g() L arcotangente e l arcocotangente si possono sempre calcolare perché la tangente e la cotangente possono variare in tutto R. = [g()] α α irrazionale positivo Soluzioni della disequazione g() 0 La potenza con esponente irrazionale si può calcolare quando la base è positiva o nulla. Le potenze ad esponente reale sono definite quando = h() g() h( ) > 0 h( ) = 0 la base è positiva o quando la base è 0 ma Soluzioni dei sistemi l esponente è positivo. Dominio dig( ) g( ) > 0 Inoltre h g, se h > 0, si può scrivere nella forma g ah a dove a > 0, a è un numero reale fissato. 40

Nei paragrafi precedenti abbiamo già incontrato alcuni esempi sulla determinazione del dominio di una funzione. Vediamo un caso non ancora trattato. Esempio Determina il dominio della funzione = sen. La funzione è trascendente e si presenta come potenza con base ed esponente variabili. Dato che l esponente sen è definito per qualunque numero reale, la funzione è definita o quando la base è positiva > 0 > 0 < 0 >. o quando la base è nulla ma l esponente è positivo. Dallo studio precedente si deduce che la base è nulla quando = e in tal caso l esponente sen 0,84 è positivo. In conclusione la funzione è definita per < 0 pertanto il dominio è l insieme D = ( ; 0) [; + ). 0 + + Esercizi Classifica e determina il dominio delle seguenti funzioni: 4. = 3+, = 3, = 3 4 5. = log( ), 3 { } ; ; R Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della scelta effettuata. (e. s. 003) 4 R = arcsen, = ( + ) [( ; ); [ 4; 4]; ( ; + )] 4 6. = cos (limitare la determinazione del dominio all intervallo [ ; ]) ; 7. = ( 3)( ), = 4 4 8. ( ) 9. 4 ;, = + ; ; + ; ( ; ) ; + ; 0; + 3 [ ) [ ) [ ) =, = +, = sen [[ ; ]; ( ; ) (0; + ); R {0}] =, = arctg arctg, = ( + ) sen [(0; ); R { }; R] + { } 30. Il dominio della funzione ( ) = ln + ( ) f è l'insieme degli reali tali che: A) < 3; B) < 3; C) 0 < 3; D) 0 < 3.

3. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (O), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione: Tale luogo è costituito da: = + A) un punto; B) due punti; C) infiniti punti; D) nessun punto. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un'esauriente spiegazione della risposta. (e. s. 00) 3. È vero o falso che le due funzioni ln( 4) e ln( + ) + ln( ) hanno lo stesso grafico? Fornire un esauriente spiegazione della risposta. (e. s. 005 s.s.). [è falso ] 33. Determinare il dominio della funzione f ( ) = ln( 4 ) 4 34. Si consideri la seguente uguaglianza: ln( + ) = 4 ln( + ). (e. s. 004 s.s.) ; ; + 4. È vero o falso che vale per ogni reale? Fornire un esauriente spiegazione della risposta. (e. s. 006 s. s.) [è falso ]. (E. s. 007 s. straordina- 35. Si determini il campo di esistenza della funzione ria) = ( 3) 36. (Test di ammissione odontoiatria 006) La funzione reale di variabile reale definita per: a) < b) > c), d) >, e) motiva esaurientemente la risposta. 4 [( ; 0] [3; 4) (4; + )] + = log ( ) è 37. (Test di ammissione odontoiatria 005) Essendo e due variabili reali, la funzione = a) è definita solo per b) è definita solo per c) è sempre definita e positiva d) è positiva in ogni punto del suo dominio e) non è definita per < < Motiva la risposta. 4

38. (Test di ammissione odontoiatria 007) Essendo e due variabili reali, la funzione = ln ( ) a) è definita solo per b) è definita solo per c) è sempre definita e positiva d) Non è definita per e) è positiva in ogni punto del suo dominio Motiva la risposta. 43

Proprietà delle funzioni Funzioni pari e funzioni dispari I grafici di alcune funzioni elementari presentano delle simmetrie rispetto agli assi cartesiani. Tali simmetrie spesso si conservano quando si considerano le funzioni ottenute a partire da queste mediante le operazioni di prodotto, quoziente, somma algebrica e composizione. Dato che le simmetrie rendono più semplice lo studio e la rappresentazione grafica delle funzioni, ci soffermiamo ad esaminare le più frequenti. Definizione Una funzione si dice pari quando f( ) = f() D. () In altri termini una funzione è pari quando numeri opposti hanno la stessa immagine. Le funzioni pari hanno il grafico simmetrico rispetto all asse, come si nota dalla figura a fianco. f( ) = f() Esercizio 39. Guardando i grafici delle funzioni elementari, individua quali sono pari. Scrivi per ciascuna di esse la (). Definizione Una funzione si dice dispari quando f( ) = f() D. () In altri termini una funzione è dispari quando numeri opposti hanno immagini opposte. Le funzioni dispari hanno il grafico simmetrico rispetto all origine O degli assi cartesiani, come si osserva dalla figura a fianco. Esercizio 40. Guardando i grafici delle funzioni elementari, individua quali sono dispari. Scrivi per ciascuna di esse la (). f() O f( ) = f() Osservando i grafici delle funzioni elementari, ci si accorge facilmente che esistono funzioni che non sono né pari né dispari, ad esempio la funzione esponenziale a, la funzione radice quadrata, Esempio Verifica se la funzione f() = sen è pari, dispari o non è né pari né dispari. Si calcola innanzitutto f( ) f( ) = ( ) sen = ( ) sen = ( ) sen = sen. ( ) Dato che abbiamo riottenuto f(), la funzione assegnata è pari. Funzioni periodiche Definizione Una funzione f si dice periodica se esiste un numero reale T > 0, tale che 44

D f( + T) = f(). () Il più piccolo T per cui la () è verificata si chiama periodo della funzione. Dato che: R sen ( + ) = sen ; cos ( + ) = cos tg ( + ) = tg cotg ( + ) = cotg le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo mentre le funzioni tangente e cotangente sono periodiche di periodo. La periodicità è una proprietà utile ai fini dello studio di una funzione in quanto se si conosce il comportamento della funzione in un intervallo di ampiezza T, è automaticamente noto il comportamento in tutto il dominio della funzione. Nella figura è evidenziato come dal grafico di una funzione periodica in un intervallo [a; a + T] si risale al grafico in tutto il dominio. a T a a + T a + T Esempio Qual è il periodo della funzione f() = sen cos? (Esame di Stato 003 s.s.) Dalla formula di addizione del seno, segue l identità dove ϕ = arc tg a b. a sen + b cos + c = a + b sen( +ϕ) + c Nell esempio considerato a =, b =, quindi a +b = 5 e ϕ = arc tg ( ),07 rad, segue che 5 sen +ϕ. = sen cos = ( ) Dato che la funzione seno è periodica di periodo, avremo che: f() = 5 sen ( + ϕ) = 5 sen [( + ϕ) + ] = 5 sen [( + ) + ϕ] = f( + ) quindi anche la funzione assegnata è periodica di periodo. Esempio Determina il il periodo della funzione a cos (b + c) con a, b, c R, b > 0 e a 0. Dato che il coseno è periodico di periodo, avremo che: f() = a cos (b + c) = a cos [(b + c) + ] = a cos [(b + ) + c] = a cos b + + c b = f +, b 45 =

quindi la funzione f() = a cos (b + c) ha periodo. b Funzioni limitate Definizione Una funzione f si dice limitata se esiste un numero reale M > 0 tale che D f() M () o equivalentemente D M f() M. Se una funzione è limitata, il suo grafico è contenuto nella striscia orizzontale del piano cartesiano delimitata dalle due rette di equazione = M e = M. M = M O M = M Esercizi Individua quali delle seguenti funzioni sono pari, dispari, né pari né dispari: sen 4. ; cotg ; log ; = 3 3 [pari; dispari; né pari nè dispari; ] 4. sen ; 3 ; 4 3 3 + ; + 43. 3 ; cos + sen ; ; 3 sen cos tg 5 Determina il periodo delle funzioni: 44. cos 3; sen + ; cos + sen 4 ; ; 3 45. cos sen ; tg 3 ; 3 46. Guardando i grafici delle funzioni elementari individua quelle che sono limitate. a 47. È assegnata la funzione f a ( ) =, dove a è un parametro reale non nullo. Dopo aver + fornito la definizione di funzione limitata, spiegare perché la funzione f a () è limitata. (e.s. 005 s.s.) 46

Studio del segno di una funzione Nello studio di una funzione, dopo aver determinato il dominio, il passo successivo è lo studio del segno, che consiste nello stabilire gli intervalli in cui la funzione è positiva (e quindi il grafico giace al di sopra dell asse ), quelli in cui la funzione è negativa (il grafico giace al di sotto dell asse ), e dei valori che la annullano, detti zeri della funzione, che corrispondono ai punti in cui il grafico incontra l asse. Lo studio del segno, assieme al dominio, consente di localizzare nel piano cartesiano il grafico della funzione. Illustreremo il procedimento attraverso qualche esempio. Esempio Data la funzione = 4 a) classificala e determina il suo dominio; b) studiane il segno; c) trova i punti di intersezione tra grafico e gli assi cartesiani. Dominio: La funzione è razionale fratta, definita nell insieme D = { R 4 0 } 4 0 4 ± D = R {±}. Studio del segno: > 0 > 4 > 0 < < f > 0 in ( ; ) (; ) f < 0 in ( ; ) (; + ) f = 0 per = (zero della funzione) 4 Segno di f + + Intersezione con gli assi cartesiani: = 4 = 0 (asse) 0= 4 = 0 = 0 = 0 = = 0 A(; 0) Osservazione Come si vede dalla risoluzione del sistema, le ascisse delle intersezioni tra il grafico e l asse sono gli zeri della funzione. Questi ultimi sono stati già trovati durante lo studio del segno. In generale se si conoscono già gli zeri della funzione, la risoluzione del precedente sistema può essere omessa. = 4 = 0 (asse) 0 = = 4 0 4 = 0 (asse) B 0; 4 Osservazione In generale se l intersezione con l asse esiste essa è unica. Interpretiamo graficamente le informazioni ottenute: 47

O A /4 B Esempio Data la funzione sen =, ripeti quanto fatto nell esempio precedente. cos Dominio: La funzione è goniometrica fratta, periodica di periodo, basterà quindi studiarla in un intervallo di ampiezza, ad esempio in [0; ]. La funzione è definita nell insieme D = { [0; ] cos 0 } cos 0 cos 0 < < D = (0; ). sen ( ) sen sen Dato che f ( ) = = = = f ( ) cos( ) cos cos La funzione è dispari. Studio del segno: sen > 0 cos > 0 cos > 0 0 dato che il coseno non può essere maggiore di, il denominatore cos non è mai positivo; è uguale a 0 quando cos =, ovvero per = 0 e =, negativo per gli altri angoli 0 0 0 0 f > 0 in (; ) f < 0 in (0; ) f = 0 in (zero della funzione). sen cos Segno di f 0 + Intersezioni con gli assi: il grafico incontra l asse nel punto A(; 0). Non ha senso cercare le intersezioni con l asse in quanto la funzione non è definita in 0. Interpretiamo graficamente le informazioni ottenute: 48

0 A Esempio 3 Data la funzione =, ripeti quanto fatto negli esempi precedenti. ln Dominio: la funzione è trascendente, definita nell insieme D = { R ln 0 } > 0 ln ln ln e D = (0; e) (e; + ). e Studio del segno: > 0 ln > 0 ln > ln > ln e > e f > 0 in (e; + ) f < 0 in (0; e) f = 0 per nessun valore della. 0 log Segno di f e + Intersezioni con gli assi: il grafico non interseca l asse perché la funzione non presenta zeri, non interseca l asse perché la funzione non è definita in 0. Interpretiamo graficamente le informazioni ottenute: 0 e 49

Esercizi Ripeti quanto fatto negli esempi precedenti per le funzioni: 48. = 3 3 (e.s. 004) 49. 50. 5. 5. [funzione raz. intera dispari, D = R; positiva in ( ; ) (0; ); intersezioni assi: ( ± ; 0), (0; 0)] + = (e.s. 00) 3 + = = 53. = 6+ 5 4 4 + log [funzione raz. fratta, D = R { 3 }; positiva in ( 3 ;+ ); intersezione assi (0; )] [funzione raz. fratta, D = R {; 5}; positiva in ( ; ) (; 5); intersezioni assi (; 0), (0; /5)] [funzione raz. fratta, D = R; positiva in ( ; ); intersezioni assi (± ; 0), (0; )] = [funzione trascendente, D = (0; + ); positiva in (; + ); intersezioni assi (; 0)] [funzione irrazionale intera; D = [0; /]; positiva in (0; /); intersezioni assi (0; 0), (/; 0)] 54. = 3 e [funzione trascendente, D = R; positiva in (0; + ); intersezione assi (0;0)] 55. = log (3 5), 56. 57. 5 = + cos = sen [funzione logaritmica; D = ( ; 3/5); positiva in ( ; /5); intersezioni con gli assi (/5; 0), (0; log 3)] [funzione raz. fratta; D = R {}; positiva nel dominio; intersez. assi (0; 5)] [funz. goniometrica fratta, periodica di periodo. Studiandola in [0; ]: D = [0; /) (/; ], è positiva in (/; 3/); intersezioni con gli assi (3/; 0), (0; )] 58. = [funz. raz. fratta, D = R {}; positiva in ( ; ) {}; intersez. assi ( ± ; 0), (0; )] ( ) 59. = sen + cos [funzione goniom. intera, periodica di periodo. Studiandola in [0; ]: D = [0; ], è positiva in (0; /); intersezioni assi (/; 0), (0; 0)] 60. = 3 ( ) [funzione raz. fratta, D = R {}; positiva in ( ; /) (; + ); intersezioni assi (/; 0), (0; /8)] 6. = sen cos, [funzione goniom. intera, periodica di periodo. Studiandola in [0; ]: D = [0; ], è positiva in (/6; /) (5/6; 3/) ; intersezioni assi (/6; 0), (/; 0), (5/6; 0), (3/; 0) (0; )] 6. = 4 + [funz. irraz.; D = [0; 4]; positiva in (0; 4); intersezioni assi (0; 0), (4; 0)] Esercizi di ripasso 63. Classifica e determina il dominio delle funzioni: a) = [D = (0; + ) {e }]; b) = ln 50 [D = ( ; 0]]

c) = + Log D = ;+ d) = 3 log [D = ( ; e 3 ]] 0 64. Dimostra che le seguenti funzioni sono biunivoche e determina le rispettive funzioni inverse: 5 5 a) = = ; b) = = e ln Date le seguenti funzioni, classificale, determina il dominio, studia il segno, trova i punti di intersezione del loro grafico con gli assi cartesiani e rappresenta nel piano cartesiano quanto hai ottenuto 65. = intersez. assi ( ) ± 66. = ( ) 3 7 4 ; 0, (0; )] 7 + 7 [funz. raz. fratta, D = R {}; positiva in ; ; + ; 4 4 [funz. dispari raz. fratta, D = R {±}; positiva in (0; + ) {}; intersez. assi, (0; 0)] 67. = 3sen sen 3 [funzione goniom. intera, periodica di periodo. Studiandola in [0; ]: D = [0; ], è positiva in (0; ) (; ) ; intersezioni assi (0; 0), (; 0), (; 0)] 68. = cos + sen [funzione goniom. fratta, periodica di periodo. Studiandola in [0; ]: D = [0; 7/6) (7/6; /6) (/6; ], è positiva in (0; /) (/; 7/6) (/6; ) ; intersezioni assi (/; 0), (3/; 0), (0; )] 69. = 70. Dimostra che la funzione di f. [funz. irraz.; D = [0, + ) {}; positiva in (; + ); intersezione assi (0;0)] = è biunivoca, determina la funzione inversa e il dominio + = log, D= ( 0; ) 5